Приклад розв'язання спільної системи метод гауса. Метод Гауса для вирішення матриць. Розв'язання системи лінійних рівнянь методом Гаусса

Визначення та опис методу Гауса

Метод перетворень Гаусса (також відомий як перетворення методом послідовного виключення невідомих змінних із рівняння або матриці) для вирішення систем лінійних рівнянь є класичний методом розв'язання системи рівнянь алгебри (СЛАУ). Також цей класичний метод використовують для вирішення таких завдань як отримання матриць зворотних і визначення ранговості матриці.

Перетворення за допомогою методу Гауса полягає у скоєнні невеликих (елементарних) послідовних змін системи лінійних рівнянь алгебри, що призводять до виключення змінних з неї зверху вниз з утворенням нової трикутної системи рівнянь, що є рівносильною вихідної.

Визначення 1

Ця частина рішення зветься прямого ходу рішення Гауса, оскільки весь процес здійснюється зверху вниз.

Після приведення вихідної системи рівнянь до трикутної здійснюється знаходження всіх змінних системи знизу вгору (тобто перші знайдені змінні займають саме на останніх рядках системи або матриці). Ця частина рішення відома також як зворотний перебіг рішення методом Гаусса. Полягає його алгоритм у наступному: спочатку обчислюється змінні, що знаходяться ближче до низу системи рівнянь або матриці, потім отримані значення підставляються вище і таким чином знаходиться ще одна змінна і так далі.

Опис алгоритму методу Гауса

Послідовність дій для загального розв'язання системи рівняння методом Гаусса полягає у почерговому застосуванні прямого та зворотного ходу до матриці на основі СЛАУ. Нехай вихідна система рівнянь має такий вигляд:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$

Щоб вирішити СЛАУ методом Гауса, необхідно записати вихідну систему рівнянь як матриці:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \dots \\ b_m \end(pmatrix)$

Матриця $A$ називається основною матрицею і є записані по порядку коефіцієнти при змінних, а $b$ називається стовпцем її вільних членів. Матриця $A$, записана через межу зі стовпцем вільних членів називається розширеною матрицею:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Тепер необхідно за допомогою елементарних перетворень над системою рівнянь (або над матрицею, тому що це зручніше) привести її до наступного виду:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)

Матриця, отримана з коефіцієнтів перетвореної системи рівняння (1) називається ступінчастою, так зазвичай виглядають ступінчасті матриці:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) a_(33) & b_3 \end(array)$

Для цих матриць характерний наступний набір властивостей:

1. Усі її нульові рядки стоять після ненульових
2. Якщо деякий рядок матриці з номером $k$ ненульовий, то в попередньому рядку цієї матриці нулів менше, ніж у цій, що володіє номером $k$.

Після отримання ступінчастої матриці необхідно підставити отримані змінні в рівняння, що залишилися (починаючи з кінця) і отримати значення змінних, що залишилися.

Основні правила та дозволені перетворення при використанні методу Гауса

У разі спрощення матриці або системи рівнянь цим методом потрібно використовувати лише елементарні перетворення.

Такими перетвореннями вважаються операції, які можна застосовувати до матриці або системи рівнянь без зміни її сенсу:

• перестановка кількох рядків місцями,
• додавання або віднімання з одного рядка матриці іншого рядка з неї,
• множення чи розподіл рядки на константу, не рівну нулю,
• рядок, що складається з одних нулів, отриману в процесі обчислення та спрощення системи, потрібно видалити,
• Також потрібно видалити зайві пропорційні рядки, обравши для системи єдину з них з більш підходящими та зручними для подальших обчислень коефіцієнтами.

Усі елементарні перетворення є оборотними.

Розбір трьох основних випадків, що виникають при вирішенні лінійних рівнянь, використовуючи метод простих перетворень Гауса

Розрізняють три випадки, що виникають при використанні методу Гауса для вирішення систем:

1. Коли система несумісна, тобто вона не має жодних рішень
2. Система рівнянь має рішення, причому єдине, а кількість ненульових рядків і стовпців у матриці дорівнює між собою.
3. Система має кілька чи безліч можливих рішень, а кількість рядків у ній менше, ніж кількість стовпців.

Вихід рішення з несумісною системою

Для цього варіанта при розв'язанні матричного рівняння методом Гауса характерне отримання якогось рядка з неможливістю виконання рівності. Тому при виникненні хоча б однієї неправильної рівності отримана та вихідна системи не мають рішень незалежно від інших рівнянь, які вони містять. Приклад несумісної матриці:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

В останньому рядку виникла рівність, що не виконується: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Система рівнянь, яка має лише одне рішення

Дані системи після приведення до ступінчастої матриці та видалення рядків з нулями мають однакову кількість рядків та стовпців в основній матриці. Ось найпростіший приклад такої системи:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

Запишемо її у вигляді матриці:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

Щоб привести перший осередок другого рядка до нуля, домножимо верхній рядок на $-2$ і віднімемо його з нижнього рядка матриці, а верхній рядок залишимо у вихідному вигляді, в результаті маємо таке:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Цей приклад можна записати у вигляді системи:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

З нижнього рівняння виходить таке значення $x$: $x_2 = 3 \ frac (1) (3) $. Підставимо це значення у верхнє рівняння: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, отримуємо $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Система, що має безліч можливих варіантів рішень

Для цієї системи характерно менше значущих рядків, ніж кількість стовпців у ній (враховуються рядки основної матриці).

Змінні у такій системі діляться на два види: базисні та вільні. При перетворенні такої системи основні змінні, що містяться в ній, необхідно залишити в лівій області до знака “=”, а інші змінні перенести у праву частину рівності.

Така система має лише якесь загальне рішення.

Розберемо таку систему рівнянь:

$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

Запишемо її у вигляді матриці:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Наше завдання – знайти загальне рішення системи. Для цієї матриці базовими змінними будуть $y_1$ і $y_3$ (для $y_1$ - оскільки він стоїть першому місці, а разі $y_3$ - розташовується після нулів).

Як базисні змінні вибираємо саме ті, які перші в рядку не дорівнюють нулю.

Змінні, що залишилися, називаються вільними, через них нам необхідно висловити базисні.

Використовуючи так званий зворотний хід, розбираємо систему знизу вгору, для цього спочатку виражаємо $y_3$ з нижнього рядка системи:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Тепер у верхнє рівняння системи $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ підставляємо виражене $y_3$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Висловлюємо $y_1$ через вільні змінні $y_2$ і $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 - 0.1y_4 + 0.6 $

Рішення готове.

Приклад 1

Вирішити слау методом Гауса. приклади. Приклад розв'язання системи лінійних рівнянь заданих матрицею 3 на 3 використовуючи метод Гаусса

$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \end(cases)$

Запишемо нашу систему у вигляді розширеної матриці:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\\end(array)$

Тепер для зручності та практичності потрібно перетворити матрицю так, щоб у верхньому кутку крайнього стовпця була $1$.

Для цього до першого рядка необхідно додаємо рядок з середини, помножену на $-1$, а самий середній рядок записуємо як є, виходить:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\\end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3 \\end(array) $

Домножимо верхній та останній рядки на $-1$, а також поміняємо місцями останній та середній рядки:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\(array)$

І розділимо останній рядок на $3$:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\(end) $

Отримуємо наступну систему рівнянь, рівносильну вихідній:

$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(cases)$

З верхнього рівняння виражаємо $x_1$:

$ x1 = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1 $.

Приклад 2

Приклад рішення системи, заданої за допомогою матриці 4 на 4 методом Гаусса

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\\end(array)$.

Спочатку міняємо місцями верхню досліджувальну за нею рядки, щоб отримати в лівому верхньому кутку $1$:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\\end(array)$.

Тепер помножимо верхній рядок на $-2$ і додамо до 2-го і до 3-го. До четвертого додаємо перший рядок, домножений на $-3 $:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$

Тепер до рядка з номером 3 додаємо рядок 2, помножений на $4$, а до рядка 4 додаємо рядок 2, помножений на $-1$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$

Домножуємо рядок 2 на $-1$, а рядок 4 ділимо на $3$ і ставимо місце рядка 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1&3&2&1&11 \\0&1&0&1&2\\0&0&1&0&2\\0&0&5& 1 & 10 \\ \end(array)$

Тепер додаємо до останнього рядка передостанній, примножений на $-5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1&3&2&1&11 \\0&1&0&1&2\\0&0&1&0&2\\0&0&0& 1 & 0 \\ \end(array)$

Вирішуємо отриману систему рівнянь:

$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\ y + m = 2\ x + 3y + 2g + m = 11\end(cases)$

Нехай задана система лінійних рівнянь алгебри, яку необхідно вирішити (знайти такі значення невідомих хi, що звертають кожне рівняння системи в рівність).

Ми знаємо, що система лінійних рівнянь алгебри може:

1) Не мати рішень (бути несумісний).
2) Мати безліч рішень.
3) Мати єдине рішення.

Як ми пам'ятаємо, правило Крамера і матричний метод непридатні у випадках, коли система має нескінченно багато рішень чи несовместна. Метод Гауса – найбільш потужний та універсальний інструмент для знаходження рішення будь-якої системи лінійних рівнянь, Котрий у кожному випадкуприведе нас до відповіді! Сам алгоритм методу у всіх трьох випадках працює однаково. Якщо в методах Крамера і матричному необхідні знання визначників, то для застосування методу Гауса необхідно знання лише арифметичних дій, що робить його доступним навіть для школярів початкових класів.

Перетворення розширеної матриці ( це матриця системи - матриця, складена тільки з коефіцієнтів при невідомих, плюс стовпець вільних членів)системи лінійних рівнянь алгебри в методі Гауса:

1) з трокиматриці можна, можливо переставлятимісцями.

2) якщо в матриці з'явилися (або є) пропорційні (як окремий випадок – однакові) рядки, слід видалитиз матриці всі ці рядки крім одного.

3) якщо в матриці в ході перетворень з'явився нульовий рядок, то його слід також видалити.

4) рядок матриці можна помножити (розділити)на будь-яке число, відмінне від нуля.

5) до рядка матриці можна додати інший рядок, помножений на число, відмінне від нуля.

У методі Гауса елементарні перетворення не змінюють розв'язання системи рівнянь.

Метод Гауса складається з двох етапів:

1. «Прямий хід» - за допомогою елементарних перетворень привести розширену матрицю системи лінійних рівнянь алгебри до «трикутного» ступінчастого вигляду: елементи розширеної матриці, розташовані нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю (хід «згори-вниз»). Наприклад, до такого виду:

Для цього виконаємо такі дії:

1) Нехай ми розглядаємо перше рівняння системи лінійних рівнянь алгебри і коефіцієнт при х 1 дорівнює К. Друге, третє і т.д. рівняння перетворюємо наступним чином: кожне рівняння (коефіцієнти при невідомих, включаючи вільні члени) ділимо на коефіцієнт при невідомому х 1 , що стоїть у кожному рівнянні, і множимо на К. Після цього з другого рівняння (коефіцієнти при невідомих і вільні члени) віднімають Отримуємо при х 1 у другому рівнянні коефіцієнт 0. З третього перетвореного рівняння віднімаємо перше рівняння, так до тих пір, поки всі рівняння, крім першого, при невідомому х 1 не матимуть коефіцієнт 0.

2) Переходимо до наступного рівняння. Нехай це буде друге рівняння та коефіцієнт при х 2 дорівнює М. З усіма «нижчими» рівняннями чинимо так, як описано вище. Таким чином, «під» невідомої х 2 у всіх рівняннях будуть нулі.

3) Переходимо до наступного рівняння і так до тих пір, поки не залишиться одна остання невідома та перетворений вільний член.

1. «Зворотний хід» методу Гауса – отримання рішення системи лінійних рівнянь алгебри (хід «знизу-вгору»). З останнього «нижнього» рівняння отримуємо одне перше рішення – невідому х n . Для цього вирішуємо елементарне рівняння А * х n = В. У прикладі, наведеному вище, х 3 = 4. Підставляємо знайдене значення «верхнє» наступне рівняння і вирішуємо його щодо наступної невідомої. Наприклад, х 2 – 4 = 1, тобто. х 2 = 5. І так доти, доки не знайдемо всі невідомі.

приклад.

Вирішимо систему лінійних рівнянь методом Гауса, як радять деякі автори:

Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Дивимося на ліву верхню сходинку. Там у нас має бути одиниця. Проблема полягає в тому, що у першому стовпці одиниць немає взагалі, тому перестановкою рядків нічого не вирішити. У разі одиницю треба організувати з допомогою елементарного перетворення. Зазвичай це можна зробити кількома способами. Вчинимо так:
1 крок . До першого рядка додаємо другий рядок, помножений на -1. Тобто подумки помножили другий рядок на –1 і виконали додавання першого і другого рядка, при цьому другий рядок у нас не змінився.

Тепер ліворуч угорі «мінус один», що нас цілком влаштує. Хто хоче отримати +1, може виконати додаткову дію: помножити перший рядок на –1 (змінити знак).

2 крок . До другого рядка додали перший рядок, помножений на 5. До третього рядка додали перший рядок, помножений на 3.

3 крок . Перший рядок помножили на -1, в принципі це для краси. У третього рядка також змінили знак і переставили її на друге місце, таким чином, на другому сходинці у нас з'явилася потрібна одиниця.

4 крок . До третього рядка додали другий рядок, помножений на 2.

5 крок . Третій рядок поділили на 3.

Ознакою, яка свідчить про помилку у обчисленнях (рідше – про друкарську помилку), є «поганий» нижній рядок. Тобто, якби в нас унизу вийшло щось на кшталт (0 0 11 |23) , і, відповідно, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, то з великою часткою ймовірності можна стверджувати, що допущена помилка в ході елементарних перетворень.

Виконуємо зворотний хід, в оформленні прикладів часто не переписують саму систему, а рівняння "беруть прямо з наведеної матриці". Зворотний хід, нагадую, працює «знизу нагору». У цьому прикладі вийшов подарунок:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, отже x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Відповідь: x 1 = -1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Вирішимо цю саму систему за запропонованим алгоритмом. Отримуємо

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Розділимо друге рівняння на 5, а третє – на 3. Отримаємо:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Помножимо друге та третє рівняння на 4, отримаємо:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Віднімемо з другого та третього рівнянь перше рівняння, маємо:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Розділимо третє рівняння на 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Помножимо третє рівняння на 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Віднімемо з третього рівняння друге, отримаємо «ступінчасту» розширену матрицю:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Таким чином, так як у процесі обчислень накопичувалася похибка, отримуємо х 3 = 0,96 або приблизно 1.

х 2 = 3 та х 1 = -1.

Вирішуючи таким чином, Ви ніколи не заплутаєтеся у обчисленнях і не зважаючи на похибки обчислень, отримаєте результат.

Такий спосіб вирішення системи лінійних рівнянь алгебри легко програмуємо і не враховує специфічні особливості коефіцієнтів при невідомих, адже на практиці (в економічних і технічних розрахунках) доводиться мати справу саме з нецілими коефіцієнтами.

Бажаю успіхів! До зустрічі на заняттях! Репетитор.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Нехай задана система лінійних рівнянь алгебри, яку необхідно вирішити (знайти такі значення невідомих хi, що звертають кожне рівняння системи в рівність).

Ми знаємо, що система лінійних рівнянь алгебри може:

1) Не мати рішень (бути несумісний).
2) Мати безліч рішень.
3) Мати єдине рішення.

Як ми пам'ятаємо, правило Крамера і матричний метод непридатні у випадках, коли система має нескінченно багато рішень чи несовместна. Метод Гауса – найбільш потужний та універсальний інструмент для знаходження рішення будь-якої системи лінійних рівнянь, Котрий у кожному випадкуприведе нас до відповіді! Сам алгоритм методу у всіх трьох випадках працює однаково. Якщо в методах Крамера і матричному необхідні знання визначників, то для застосування методу Гауса необхідно знання лише арифметичних дій, що робить його доступним навіть для школярів початкових класів.

Перетворення розширеної матриці ( це матриця системи - матриця, складена тільки з коефіцієнтів при невідомих, плюс стовпець вільних членів)системи лінійних рівнянь алгебри в методі Гауса:

1) з трокиматриці можна, можливо переставлятимісцями.

2) якщо в матриці з'явилися (або є) пропорційні (як окремий випадок – однакові) рядки, слід видалитиз матриці всі ці рядки крім одного.

3) якщо в матриці в ході перетворень з'явився нульовий рядок, то його слід також видалити.

4) рядок матриці можна помножити (розділити)на будь-яке число, відмінне від нуля.

5) до рядка матриці можна додати інший рядок, помножений на число, відмінне від нуля.

У методі Гауса елементарні перетворення не змінюють розв'язання системи рівнянь.

Метод Гауса складається з двох етапів:

1. «Прямий хід» - за допомогою елементарних перетворень привести розширену матрицю системи лінійних рівнянь алгебри до «трикутного» ступінчастого вигляду: елементи розширеної матриці, розташовані нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю (хід «згори-вниз»). Наприклад, до такого виду:

Для цього виконаємо такі дії:

1) Нехай ми розглядаємо перше рівняння системи лінійних рівнянь алгебри і коефіцієнт при х 1 дорівнює К. Друге, третє і т.д. рівняння перетворюємо наступним чином: кожне рівняння (коефіцієнти при невідомих, включаючи вільні члени) ділимо на коефіцієнт при невідомому х 1 , що стоїть у кожному рівнянні, і множимо на К. Після цього з другого рівняння (коефіцієнти при невідомих і вільні члени) віднімають Отримуємо при х 1 у другому рівнянні коефіцієнт 0. З третього перетвореного рівняння віднімаємо перше рівняння, так до тих пір, поки всі рівняння, крім першого, при невідомому х 1 не матимуть коефіцієнт 0.

2) Переходимо до наступного рівняння. Нехай це буде друге рівняння та коефіцієнт при х 2 дорівнює М. З усіма «нижчими» рівняннями чинимо так, як описано вище. Таким чином, «під» невідомої х 2 у всіх рівняннях будуть нулі.

3) Переходимо до наступного рівняння і так до тих пір, поки не залишиться одна остання невідома та перетворений вільний член.

1. «Зворотний хід» методу Гауса – отримання рішення системи лінійних рівнянь алгебри (хід «знизу-вгору»). З останнього «нижнього» рівняння отримуємо одне перше рішення – невідому х n . Для цього вирішуємо елементарне рівняння А * х n = В. У прикладі, наведеному вище, х 3 = 4. Підставляємо знайдене значення «верхнє» наступне рівняння і вирішуємо його щодо наступної невідомої. Наприклад, х 2 – 4 = 1, тобто. х 2 = 5. І так доти, доки не знайдемо всі невідомі.

приклад.

Вирішимо систему лінійних рівнянь методом Гауса, як радять деякі автори:

Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Дивимося на ліву верхню сходинку. Там у нас має бути одиниця. Проблема полягає в тому, що у першому стовпці одиниць немає взагалі, тому перестановкою рядків нічого не вирішити. У разі одиницю треба організувати з допомогою елементарного перетворення. Зазвичай це можна зробити кількома способами. Вчинимо так:
1 крок . До першого рядка додаємо другий рядок, помножений на -1. Тобто подумки помножили другий рядок на –1 і виконали додавання першого і другого рядка, при цьому другий рядок у нас не змінився.

Тепер ліворуч угорі «мінус один», що нас цілком влаштує. Хто хоче отримати +1, може виконати додаткову дію: помножити перший рядок на –1 (змінити знак).

2 крок . До другого рядка додали перший рядок, помножений на 5. До третього рядка додали перший рядок, помножений на 3.

3 крок . Перший рядок помножили на -1, в принципі це для краси. У третього рядка також змінили знак і переставили її на друге місце, таким чином, на другому сходинці у нас з'явилася потрібна одиниця.

4 крок . До третього рядка додали другий рядок, помножений на 2.

5 крок . Третій рядок поділили на 3.

Ознакою, яка свідчить про помилку у обчисленнях (рідше – про друкарську помилку), є «поганий» нижній рядок. Тобто, якби в нас унизу вийшло щось на кшталт (0 0 11 |23) , і, відповідно, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, то з великою часткою ймовірності можна стверджувати, що допущена помилка в ході елементарних перетворень.

Виконуємо зворотний хід, в оформленні прикладів часто не переписують саму систему, а рівняння "беруть прямо з наведеної матриці". Зворотний хід, нагадую, працює «знизу нагору». У цьому прикладі вийшов подарунок:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, отже x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Відповідь: x 1 = -1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Вирішимо цю саму систему за запропонованим алгоритмом. Отримуємо

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Розділимо друге рівняння на 5, а третє – на 3. Отримаємо:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Помножимо друге та третє рівняння на 4, отримаємо:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Віднімемо з другого та третього рівнянь перше рівняння, маємо:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Розділимо третє рівняння на 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Помножимо третє рівняння на 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Віднімемо з третього рівняння друге, отримаємо «ступінчасту» розширену матрицю:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Таким чином, так як у процесі обчислень накопичувалася похибка, отримуємо х 3 = 0,96 або приблизно 1.

х 2 = 3 та х 1 = -1.

Вирішуючи таким чином, Ви ніколи не заплутаєтеся у обчисленнях і не зважаючи на похибки обчислень, отримаєте результат.

Такий спосіб вирішення системи лінійних рівнянь алгебри легко програмуємо і не враховує специфічні особливості коефіцієнтів при невідомих, адже на практиці (в економічних і технічних розрахунках) доводиться мати справу саме з нецілими коефіцієнтами.

Бажаю успіхів! До зустрічі на заняттях! Репетитор Дмитро Айстраханов.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Суть методу Гауса полягає у перетворенні (1) до системи з трикутною матрицею , з якої потім послідовно (зворотним ходом) виходять значення всіх невідомих. Розглянемо одну з обчислювальних схем. Ця схема називається схемою єдиного поділу. Отже, розглянемо цю схему. Нехай a11 ≠0 (провідний елемент) розділимо на a11 перше рівняння. Отримаємо
(2)
Користуючись рівнянням (2), легко виключити невідомі x 1 з інших рівнянь системи (для цього достатньо від кожного рівняння відняти рівняння (2) попередньо помножене на відповідний коефіцієнт при x 1), тобто на першому кроці отримаємо
.
Іншими словами, на 1 кроці кожен елемент наступних рядків, починаючи з другого, дорівнює різниці між вихідним елементом і добутком його «проекції» на перший стовпець і перший (перетворений) рядок.
Після цього залишивши перше рівняння у спокої, над іншими рівняннями системи, отриманої першому кроці, зробимо аналогічне перетворення: виберемо з їхньої рівняння з провідним елементом і виключимо з його допомогою з інших рівнянь x 2 (крок 2).
Після n кроків замість (1) отримаємо рівносильну систему
(3)
Отже, першому етапі ми отримаємо трикутну систему (3). Цей етап називається прямим перебігом.
На другому етапі (зворотний хід) ми знаходимо послідовно (3) значення x n , x n -1 , …, x 1 .
Позначимо отримане рішення за x0. Тоді різниця ε=b-A·x 0 називається нев'язкою.
Якщо ε=0, то знайдене рішення x0 є вірним.

Обчислення за методом Гауса виконуються у два етапи:

1. Перший етап називається прямим перебігом методу. У першому етапі вихідну систему перетворять до трикутному виду.
2. Другий етап називається зворотним ходом. З другого краю етапі вирішують трикутну систему, еквівалентну вихідної.

Призначення методу Гаусса

Види методу Гауса

1. Класичний метод Гаусса;
2. Модифікації методу Гауса. Однією з модифікацій методу Гаус є схема з вибором головного елемента. Особливістю методу Гауса з вибором головного елемента є така перестановка рівнянь, щоб на k-му кроці провідним елементом виявлявся найбільший за модулем елемент k-го стовпця.
3. Метод Жордано-Гаусса;

Приклад рішення методом Гаусса
Вирішимо систему:

Для зручності обчислень поміняємо рядки місцями:

Помножимо 2-й рядок на (2). Додамо 3-й рядок до 2-го

Помножимо 2-й рядок на (-1). Додамо 2-ий рядок до 1-го

З першого рядка виражаємо x 3:
З другого рядка виражаємо x 2:
З 3-го рядка виражаємо x 1:

Приклад рішення методом Жордано-Гаусса
Цю ж СЛАУ вирішимо методом Жордано-Гаусса.

Послідовно вибиратимемо роздільну здатність елемент РЕ, який лежить на головній діагоналі матриці.
Роздільний елемент дорівнює (1).



НЕ = СЕ - (А * В) / РЕ
РЕ - роздільна здатність елемент (1), А і В - елементи матриці, що утворюють прямокутник з елементами СТЕ і РЕ.
Уявимо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

x 1	x 2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

x 1	x 2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Реалізація методу Гауса

Використання методу Гауса

Застосування методу Гауса в теорії ігор

Застосування методу Гаусса під час вирішення диференціальних рівнянь

Застосування методу Жордано-Гаусса у лінійному програмуванні

Карл Фрідріх Гаусс, найбільший математик довгий час вагався, вибираючи між філософією та математикою. Можливо, саме такий склад розуму дозволив йому так помітно "успадкувати" у світовій науці. Зокрема, створивши "Метод Гауса".

Майже 4 роки статті цього сайту стосувалися шкільної освіти, здебільшого з боку філософії, принципів (не)розуміння, які впроваджуються у свідомість дітей. Приходить час більшої конкретики, прикладів та методів... Я вірю, що саме такий підхід до звичних, заплутаних та важливимобластям життя дає найкращі результати.

Ми, люди так влаштовані, що скільки не говори про абстрактне мислення, але розуміння завждивідбувається через приклади. Якщо приклади відсутні, то принципи вловити неможливо... Як неможливо опинитися на вершині гори інакше, як пройшовши її схил від підніжжя.

Теж і зі школою: поки що живих історійнедостатньо ми інстинктивно продовжуємо вважати її місцем, де дітей вчать розуміти.

Наприклад, навчаючи методу Гауса...

Метод Гаусса у 5 класі школи

Зазначу відразу: метод Гауса має набагато ширше застосування, наприклад, при вирішенні систем лінійних рівнянь. Те, про що ми говоритимемо, проходять у 5 класі. Це початку, Уяснивши які, набагато легше розібратися в більш "просунутих варіантах". У цій статті ми говоримо про методі (способі) Гауса при знаходженні суми ряду

Ось приклад, який приніс зі школи мій молодший син, який відвідує 5 клас московської гімназії.

Шкільна демонстрація методу Гауса

Вчитель математики з використанням інтерактивної дошки (сучасні методи навчання) показав дітям презентацію історії "створення методу" маленьким Гаусом.

Шкільний вчитель відшмагав маленького Карла (застарілий метод, нині в школах не застосовується) за те, що той,

замість того, щоб послідовно складати числа від 1 до 100 знайти їх суму помітив, Що пари чисел, рівно віддалені від країв арифметичної прогресії, в сумі дають те саме число. наприклад, 100 і 1, 99 і 2. Порахувавши кількість таких пар, маленький Гаус майже миттєво вирішив запропоноване вчителем завдання. За що й був екзекуції на очах здивованої публіки. Щоб решті думати було не кортіло.

Що зробив маленький Гаус, розвинув почуття числа? Помітивдеяку особливістьчислового ряду з постійним кроком (арифметична прогресія). І саме цезробило його згодом великим ученим, уміючим помічати, що володіє почуттям, інстинктом розуміння.

Цим і цінна математика, що розвиває здатність бачитизагальне у приватному - абстрактне мислення. Тому більшість батьків та роботодавців інстинктивно вважають математику важливою дисципліною ...

"Математику вже потім вчити треба, що вона розум у порядок наводить.
М.В.Ломоносов".

Однак, послідовники тих, хто порав різками майбутніх геніїв, перетворили Метод на щось протилежне. Як 35 років тому говорив мій науковий керівник: "Занавчили питання". Або як сказав учора про метод Гауса мій молодший син: "Може не варто з цього велику науку робити, а?"

Наслідки творчості "вчених" видно за рівнем нинішньої шкільної математики, рівнем її викладання та розуміння "Цариці наук" більшістю.

Проте, продовжимо...

Методи пояснення методу Гаусса у 5 класі школи

Вчитель математики московської гімназії, пояснюючи метод Гауса по-Віленкіну, ускладнив завдання.

Що якщо різниця (крок) арифметичної прогресії буде не одиниця, а інше число? Наприклад, 20.

Завдання, яке він дав п'ятикласникам:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Перш, ніж познайомитися з гімназічним методом, заглянемо до Мережі: як це роблять шкільні вчителі – репетитори з математики?

Метод Гауса: пояснення №1

Відомий репетитор на своєму каналі YOUTUBE наводить такі міркування:

"запишемо числа від 1 до 100 наступним чином:

спочатку ряд чисел від 1 до 50, а строго під ним інший ряд чисел від 50 до 100, але у зворотній послідовності"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Зверніть увагу: сума кожної пари чисел з верхнього та нижнього рядів однакова і дорівнює 101! Порахуємо кількість пар, вона становить 50 і помножимо суму однієї пари на кількість пар! Вуаля: Відповідь готова!".

"Якщо ви не змогли зрозуміти - не засмучуйтесь!", - тричі в процесі пояснення повторив учитель. "Цей метод ви проходитимете в 9 класі!"

Метод Гауса: пояснення №2

Інший репетитор, менш відомий (судячи з переглядів) використовує більш науковий підхід, пропонуючи алгоритм рішення з 5 пунктів, які необхідно виконати послідовно.

Для непосвячених: 5 це одне з чисел Фібоначчі, що традиційно вважається магічним. Метод із 5 кроків завжди більш навчений, ніж метод, наприклад, із 6 кроків. ... І це навряд чи випадковість, швидше за все, Автор - прихований прихильник теорії Фібоначчі

Дана арифметична прогресія: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Алгоритм знаходження суми чисел ряду методом Гауса:

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

При цьому потрібно пам'ятати про правил "Плюс один" : до отриманого частки необхідно додати одиницю: інакше ми отримаємо результат, менший на одиницю, ніж дійсне число пар: 42 + 1 = 43.

Це і є шукана сума арифметичної прогресії від 4 до 256 з різницею 6!

Метод Гауса: пояснення у 5 класі московської гімназії

А ось як потрібно вирішити завдання знаходження суми ряду:

20+40+60+ ... +460+480+500

у 5 класі московської гімназії, підручник Віленкіна (за словами мого сина).

Показавши презентацію, вчителька математики показала кілька прикладів методом Гаусса і дала класу завдання знайти суми чисел поруч із кроком 20.

При цьому потрібно наступне:

Як бачимо, це більш компактна та ефективна методика: число 3 - також член послідовності Фібоначчі

Мої коментарі до шкільної версії методу Гауса

Великий математик вибрав би філософію, якби передбачав, на що перетворять його "метод" послідовники німецького вчителя, що відшмагав Карла різками. Він побачив би і символізм, і діалектичну спіраль і невмираючу дурість "вчителів", намагаються виміряти алгеброю нерозуміння гармонію живої математичної думки ....

До речі: чи знаєте ви. що наша система освіти сягає корінням у німецьку школу 18 - 19 століть?

Але Гаус вибрав математику.

У чому полягає суть його методу?

У спрощення. У спостереженні та схоплюванніпростих закономірностей чисел. У перетворення сухої шкільної арифметики на цікаве та захоплююче заняття , що активізує в мозку бажання продовжувати, а не блокує високовитратну розумову діяльність

Хіба можливо однією з наведених "модифікацій методу" Гауса порахувати суму чисел арифметичної прогресії майже миттєво? За "алгоритмами" маленький Карл гарантовано уникнув би прочуханки, виховав відразу до математики і придушив на корені свої творчі імпульси.

Чому репетитор так наполегливо радив п'ятикласникам "не боятися нерозуміння" методу, переконуючи, що "такі" завдання вони вирішуватимуть аж у 9 класі? Психологічно безграмотна дія. Вдалим прийомом було відзначити: "Бачите? Ви вже у 5 класі можетевирішувати завдання, які проходитимете лише через 4 роки! Які ви молодці!

Для використання методу Гауса достатньо рівня 3 класуколи нормальні діти вже вміють складати, множити і ділити 2 -3 значні числа. Проблеми виникають через нездатність дорослих вчителів, які "не в'їжджають", як пояснити найпростіші речі нормальною людською мовою, не те що математичною... Не здатних зацікавити математикою і відбивають полювання навіть у "здібних".

Або, як прокоментував мій син: "роблять із цього велику науку".

Метод Гауса, мої пояснення

Нашій дитині ми з дружиною пояснювали цей "метод", здається, ще до школи.

Простота замість ускладнення чи гра у запитання - відповіді

""Подивися, ось числа від 1 до 100. Що ти бачиш?"

Справа не в тому, що саме побачить дитина. Фокус у тому, щоб він став дивитися.

"Як можна їх скласти?" Син вловив, що такі питання не задаються "просто так" і потрібно поглянути на питання "якось інакше, інакше, ніж він робить зазвичай"

Не важливо, чи дитина побачить рішення відразу, це малоймовірно. Важливо, щоб він перестав боятися дивитися, або як я говорю: "ворушив завдання". Це початок шляху до розуміння

"Що легше: скласти, наприклад, 5 та 6 або 5 та 95?" Навідне питання... Але ж будь-яке навчання і зводиться до "наведення" людини на "відповідь" - у будь-який прийнятний для нього спосіб.

На цьому етапі вже можуть виникнути припущення про те, як "заощадити" на обчисленнях.

Все, що ми зробили - натякнули: "лобовий, лінійний" метод рахунку - не можливий. Якщо дитина це усікала, то згодом вона вигадає ще багато таких методів, адже це цікаво!І він точно уникне "нерозуміння" математики, не відчуватиме до неї огиду. Він здобув перемогу!

Якщо дитина знайшла, Що додавання пар чисел, що дають у сумі сотню, нікчемне заняття, то "арифметична прогресія з різницею 1"- Досить моторошна і нецікава для дитини річ - раптом для нього знайшло життя . З хаосу виник порядок, а це завжди викликає ентузіазм: так ми влаштовані!

Питання на засипку: навіщо після одержання дитиною осяяння знову заганяти його в рамки сухих алгоритмів, до того ж функціонально марних у цьому випадку?!

Навіщо змушувати тупо переписуватичисла послідовності у зошит: щоб навіть у здібних не виникло і єдиного шансу на розуміння? Статистично, звичайно, адже масова освіта заточена на "статистику".

Куди подівся нуль?

І все-таки складати числа, що дають у сумі 100 для розуму набагато більш прийнятно, ніж дають 101.

"Шкільний метод Гауса" вимагає саме цього: бездумно складатирівновіддалені від центру прогресії пари чисел, незважаючи ні на що.

А якщо подивитися?

Все-таки нуль - найбільший винахід людства, якому понад 2 000 років. А вчителі математики продовжують його ігнорувати.

Набагато простіше перетворити ряд чисел, що починається з 1, в ряд, що починається з 0. Адже сума не зміниться, чи не так? Потрібно припинити "думати підручниками" і почати дивитися...І побачити, що пари із сумою 101 цілком можна замінити парами із сумою 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Як скасувати "правило плюс 1"?

Якщо чесно, то я про таке правило вперше почув від того ютубовського репетитора...

Як я досі роблю, коли потрібно визначити кількість членів якогось ряду?

Дивлюся на послідовність:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

а коли зовсім втомився, то на простіший ряд:

1, 2, 3, 4, 5

і прикидаю: якщо відняти з 5 одиницю, то вийде 4, але я цілком ясно бачу 5 чисел! Отже потрібно додати одиницю! Почуття числа, розвинене у початковій школі, підказує: навіть якщо членів ряду буде цілий гугл (10 сотою мірою), закономірність залишиться тією ж.

На фіг правила?

Щоб через пару - трійку років заповнити весь простір між чолом і потилицею і перестати розуміти? А заробляти на хліб із олією як? Адже ми прямими шеренгами рухаємось в епоху цифрової економіки!

Ще про шкільний метод Гауса: "навіщо науку з цього робити?.."

Я не дарма розмістив скріншот із зошита сина.

"Що там було, на уроці?"

"Ну, я порахував відразу, підняв руку, але вона не спитала. Тому, поки інші вважали я став робити ДЗ російською мовою, щоб не витрачати час. Потім, коли інші дописали (???), вона викликала мене до дошки." Я сказав відповідь."

"Правильно покажи, як ти вирішував", - сказала вчителька. Я показав. Вона сказала: "Неправильно, треба рахувати так, як я показала!"

"Добре, що двійку не поставила. І змусила написати в зошит "хід рішення" по-їхньому. Навіщо науку велику з цього робити?.."

Головний злочин вчителя математики

Навряд чи після того випадкуКарл Гаусс відчув високе почуття поваги до шкільного вчителя математики. Але якби він знав, як послідовники того вчителя перекрутять саму суть методу... він заревів би від обурення і через Всесвітню організацію інтелектуальної власності ВОІВ домігся заборони на використання свого чесного імені у шкільних підручниках!

У чому головна помилка шкільного підходу? Або, як я висловився – злочин шкільних вчителів математики проти дітей?

Алгоритм нерозуміння

Що роблять шкільні методисти, абсолютна більшість яких думати не вміє ні дуля?

Створюють методики та алгоритми (див. ). Це захисна реакція, що оберігає вчителів від критики ("Все робиться згідно..."), а дітей - від розуміння. І таким чином – від бажання критикувати вчителів!(Друга похідна чиновницької "мудрості", науковий підхід до проблеми). Людина не вловлюючи сенс швидше нарікатиме на власне нерозуміння, а не на тупість шкільної системи.

Що й відбувається: батьки нарікають на дітей, а вчителі... те ж саме на дітей, "не розуміють математику!..

Кмітуєте?

Що зробив маленький Карл?

Абсолютно нешаблонно підійшов до шаблонного завдання. Це квінтесенція Його підходу. Це головне, чого слід навчати у школі: думати не підручниками, а головою. Звичайно, є і інструментальна складова, яку цілком можна використати... у пошуках більш простих та ефективних методів рахунку.

Метод Гауса по-Віленкіну

У школі вчать, що метод Гауса полягає в тому, щоб

що, якщо число елементів ряду виявиться непарним, як у задачі, яку задали синові?

"Подвох" полягає в тому, що в цьому випадку слід виявити "зайве" число рядута додати його до суми пар. У нашому прикладі це число 260.

Як виявити? Переписуючи всі пари чисел у зошит!(Саме чому вчителька змусила дітей робити цю тупу роботу, намагаючись навчити "творчості" методом Гауса... І саме тому такий "метод" практично не застосовується до великих рядів даних, і саме тому він не є методом Гауса).

Трохи творчості у шкільній рутині...

Син же вчинив інакше.

(20 + 500, 40 + 480 ...).

0+500, 20+480, 40+460 ...

Нескладно, правда?

А практично робиться ще легше, що і дозволяє викроїти 2-3 хвилини на ДЗ російською, поки інші "вважають". До того ж, зберігає кількість кроків методики: 5, що не дозволяє критикувати підхід за антинауковість.

Очевидно цей підхід простіше, швидше та універсальніше, у стилі Методу. Але... вчителька не те, що не похвалила, а й змусила переписати "правильним чином" (див. скріншот). Тобто зробила відчайдушну спробу задушити творчий імпульс і здатність розуміти математику на корені! Мабуть, щоб потім найнятись репетитором... Не на того напала...

Все, що я так довго і нудно описав, можна пояснити нормальній дитині максимум за півгодини. Разом із прикладами.

Причому так, що він це ніколи не забуде.

І це буде крок до розуміння... не тільки математики.

Визнайте: скільки разів у житті ви складали методом Гауса? І я жодного разу!

Але інстинкт розуміння, який розвивається (або гаситься) у процесі вивчення математичних методів у школі... О!.. Це справді незамінна річ!

Особливо у вік загальної цифровізації, в який ми непомітно увійшли під чуйним керівництвом Партії та Уряду.

Декілька слів на захист вчителів...

Несправедливо та неправильно всю відповідальність за такий стиль навчання звалюватиме виключно на шкільних вчителів. Діє система.

Деяківчителі розуміють абсурдність того, що відбувається, але що робити? Закон про освіту, ФГОСи, методики, технологічні карти уроків... Все має робитися "відповідно та на підставі" і все має бути задокументовано. Крок убік – став у чергу на звільнення. Не будемо ханжами: зарплата московських вчителів дуже непогана... Звільнять - куди йти?..

Тому сайт цей не про освіту. Він про індивідуальній освіті, єдино можливий спосіб вибратися з натовпу покоління Z ...