Координати відрізка по двох точках. Знаходження координат середини відрізка, приклади, рішення

Відрізкомназивають частину прямої лінії, що складається з усіх точок цієї лінії, які розташовані між даними двома точками - їх називають кінцями відрізка.

Розглянемо перший приклад. Нехай у площині координат заданий двома точками якийсь відрізок. У разі його довжину ми можемо визначити, застосовуючи теорему Піфагора.

Отже, у системі координат накреслимо відрізок із заданими координатами його кінців.(x1; y1) і (x2; y2) . На осі X і Y з кінців відрізка опустимо перпендикуляри. Відзначимо червоним кольором відрізки, що є на осі координат проекціями від вихідного відрізка. Після цього перенесемо паралельно до кінців відрізків відрізки-проекції. Отримуємо трикутник (прямокутний). Гіпотенузою даного трикутника стане сам відрізок АВ, а його катетами є перенесені проекції.

Обчислимо довжину даних проекцій. Отже, на вісь Y довжина проекції дорівнює y2-y1 , а на вісь Х довжина проекції дорівнює x2-x1 . Застосуємо теорему Піфагора: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . В даному випадку |AB| є довжиною відрізка.

Якщо використовувати цю схему для обчислення довжини відрізка, можна навіть відрізок і будувати. Тепер вирахуємо, яка довжина відрізка з координатами (1;3) і (2;5) . Застосовуючи теорему Піфагора, отримуємо: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . А це означає, що довжина нашого відрізка дорівнює 5:1/2 .

Розглянемо наступний спосіб знаходження довжини відрізка. Для цього нам необхідно знати координати двох точок у будь-якій системі. Розглянемо цей варіант, застосовуючи двовимірну Декартову систему координат.

Отже, у двомірній системі координат дано координати крайніх точок відрізка. Якщо проведемо прямі лінії через ці точки, вони мають бути перпендикулярними до осі координат, то отримаємо прямокутний трикутник. Початковий відрізок буде гіпотенузою отриманого трикутника. Катети трикутника утворюють відрізки, їхня довжина дорівнює проекції гіпотенузи на осі координат. Виходячи з теореми Піфагора, робимо висновок: щоб знайти довжину даного відрізка, потрібно знайти довжини проекцій на дві осі координат.

Знайдемо довжини проекцій (X та Y) вихідного відрізка координатні осі. Їх обчислимо шляхом знаходження різниці координат точок по окремій осі: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .

Розрахуємо довжину відрізка А , для цього знайдемо квадратний корінь:

A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Якщо наш відрізок розташований між точками, координати яких 2;4 і 4;1 , то його довжина, відповідно, дорівнює √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .

Довжина, як зазначалося, позначається знаком модуля.

Якщо дані дві точки площини і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Якщо дані дві точки простору і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Примітка: Формули залишаться коректними, якщо переставити місцями відповідні координати: і , але стандартніший перший варіант

Приклад 3

Рішення:за відповідною формулою:

Відповідь:

Для наочності виконаю креслення

Відрізок – це не вектор, і переміщати його кудись, звичайно, не можна. Крім того, якщо ви виконаєте креслення в масштабі: 1 од. = 1 см (дві зошити), то отриману відповідь можна перевірити звичайною лінійкою, безпосередньо вимірявши довжину відрізка.

Так, рішення коротке, але в ньому є ще кілька важливих моментів, які хотілося б пояснити:

По-перше, у відповіді ставимо розмірність: «одиниці». В умові не сказано, ЩО це, міліметри, сантиметри, метри чи кілометри. Тому математично грамотним рішенням буде загальне формулювання: «одиниці» – скорочено «од.».

По-друге, повторимо шкільний матеріал, який корисний не тільки для розглянутого завдання:

Зверніть увагу на важливий технічний прийом – винесення множника з-під кореня. В результаті обчислень у нас вийшов результат і хороший математичний стиль передбачає винесення множника з-під кореня (якщо це можливо). Докладніше процес виглядає так: . Звичайно, залишити відповідь у вигляді не буде помилкою - але недоліком точно і вагомим аргументом для причіпки з боку викладача.

Ось інші поширені випадки:

Нерідко під коренем виходить досить велика кількість, наприклад. Як бути у таких випадках? На калькуляторі перевіряємо, чи число ділиться на 4: . Так, розділилося націло, таким чином: . А може, число ще раз вдасться поділити на 4? . Таким чином: . У числа остання цифра непарна, тому розділити втретє на 4 явно не вдасться. Пробуємо поділити дев'ять: . В результаті:
Готово.

Висновок:якщо під коренем виходить невитягне націло число, то намагаємося винести множник з-під кореня - на калькуляторі перевіряємо, чи число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 і т.д.

У ході вирішення різних завдань коріння зустрічаються нерідко, завжди намагайтеся витягувати множники з-під кореня, щоб уникнути нижчої оцінки і непотрібних проблем з доопрацюванням ваших рішень за зауваженням викладача.

Давайте заразом повторимо зведення коренів у квадрат та інші ступені:

Правила дій зі ступенями у загальному вигляді можна знайти у шкільному підручнику з алгебри, але, гадаю, з наведених прикладів все чи майже все вже ясно.

Завдання для самостійного вирішення з відрізком у просторі:

Приклад 4

Дано крапки і . Знайти довжину відрізка.

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Якщо ви добре заточеним олівцем доторкнетесь до листа зошита, то залишиться слід, який дає уявлення про точку. (Рис. 3).

Зазначимо на аркуші паперу дві точки A та B. Ці точки можна з'єднати різними лініями (рис. 4). А як з'єднати точки A та B найкоротшою лінією? Це можна зробити за допомогою лінійки (рис. 5). Отриману лінію називають відрізком.

Крапка та відрізок – приклади геометричних фігур.

Точки A та B називають кінцями відрізка.

Існує єдиний відрізок, кінцями якого є точки A та B. Тому відрізок позначають, записуючи точки, які є його кінцями. Наприклад, відрізок малюнку 5 позначають однією з двох способів: AB чи BA. Читають "відрізок AB" або "відрізок BA".

На малюнку 6 зображено три відрізки. Довжина відрізка AB дорівнює 1 см. Він міститься у відрізку MN рівно три рази, а у відрізку EF – рівно 4 рази. Говоритимемо, що довжина відрізка MN дорівнює 3 см, а довжина відрізка EF – 4 см.

Також прийнято говорити: "відрізок MN дорівнює 3 см", "відрізок EF дорівнює 4 см". Пишуть: MN = 3 див, EF = 4 див.

Довжини відрізків MN та EF ми виміряли одиничним відрізком, довжина якого дорівнює 1 см. Для вимірювання відрізків можна вибрати інші одиниці довжининаприклад: 1 мм, 1 дм, 1 км. На малюнку 7 довжина відрізка дорівнює 17 мм. Він виміряний одиничним відрізком, довжина якого дорівнює 1 мм, за допомогою лінійки з поділками. Також за допомогою лінійки можна побудувати (накреслити) відрізок заданої довжини (рис. 7).

Взагалі, виміряти відрізок означає підрахувати, скільки одиничних відрізків у ньому міститься.

Довжина відрізка має таку властивість.

Якщо відрізку AB відзначити точку C, то довжина відрізка AB дорівнює сумі довжин відрізків AC і CB(Рис. 8).

Пишуть: AB = AC + CB.

На малюнку 9 зображено два відрізки AB та CD. Ці відрізки при накладенні співпадуть.

Два відрізки називають рівними, якщо вони збігатимуться при накладенні.

Отже, відрізки AB і CD рівні. Пишуть: AB = CD.

Рівні відрізки мають рівні довжини.

З двох нерівних відрізків більшим вважатимемо той, у другого довжина більше. Наприклад, на малюнку 6 відрізок EF більший від відрізка MN.

Довжину відрізка AB називають відстаннюміж точками A та B.

Якщо кілька відрізків розташувати так, як показано на малюнку 10, то вийде геометрична фігура, яку називають ламана. Зауважимо, що це відрізки малюнку 11 ламану не утворюють. Вважають, що відрізки утворюють ламану, якщо кінець першого відрізка збігається з кінцем другого, а інший кінець другого відрізка - з кінцем третього і т.д.

Точки A, B, C, D, E − вершини ламаної ABCDE, точки A та E − кінці ламаної, а відрізки AB, BC, CD, DE – її ланки(Див. рис. 10).

Довжиною ламаноїназивають суму довжин всіх її ланок.

На малюнку 12 зображено дві ламані, кінці яких збігаються. Такі ламані називають замкнутими.

приклад 1 . Відрізок BC на 3 см менший від відрізка AB, довжина якого дорівнює 8 см (рис. 13). Знайдіть довжину відрізка AC.

Рішення. Маємо: BC = 8 − 3 = 5 (см).

Скориставшись властивістю довжини відрізка можна записати AC = AB + BC. Звідси AC = 8 + 5 = 13(см).

Відповідь: 13 см.

приклад 2 . Відомо, що MK = 24 см, NP = 32 см, MP = 50 см (рис. 14). Знайдіть довжину відрізка NK.

Рішення. Маємо: MN = MP – NP.

Звідси MN = 50 - 32 = 18 (см).

Маємо: NK = MK − MN.

Звідси NK = 24 - 18 = 6 (см).

Відповідь: 6 см.

Існують три основні системи координат, що використовуються в геометрії, теоретичній механіці, інших розділах фізики: декартова, полярна та сферична. У цих системах координат вся точка має три координати. Знаючи координати 2-х точок, можна визначити відстань між цими двома точками.

Вам знадобиться

Декартові, полярні та сферичні координати кінців відрізка

Інструкція

1. Розгляньте для початку прямокутну декартову систему координат. Розташування точки у просторі у цій системі координат визначається координатами x, y та z. З початку координат до точки проводиться радіус-вектор. Проекції цього радіусу-вектора на координатні осі і будуть координатамицієї точки.Нехай у вас зараз є дві точки з координатами x1,y1,z1 та x2,y2 та z2 відповідно. Позначте за r1 і r2, відповідно, радіус-вектори першої та другої точки. Мабуть, що відстань між цими двома точками дорівнюватиме модулю вектора r = r1-r2, де (r1-r2) – векторна різниця. Координати вектора r, мабуть, будуть наступними: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Тоді модуль вектора r або відстань між двома точками дорівнюватиме: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2)).

2. Розгляньте зараз полярну систему координат, в якій координата точки задаватиметься радіальною координатою r (радіус-вектор у площині XY), кутовою координатою? (кутом між вектором r і віссю X) і координатою z, аналогічною координаті z в декартовій системі. Полярні координати точки можна перевести в декартові подальшим чином: x = r * cos?, y = r * sin? Тоді відстань між двома точками з координатами r1, ?1 ,z1 і r2, ?2, z2 дорівнюватиме R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin?2) )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2) +((z1-z2)^2))

3. Тепер розгляньте сферичну систему координат. У ній розташування точки задається трьома. координатами r, ? і?. r - відстань від початку координат до точки,? і? – азимутальний та зенітний кут відповідно. Кут? аналогічний куту з таким самим позначенням у полярній системі координат, а? – кут між радіус-вектором r та віссю Z, причому 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с координатами r1, ?1, ?1 і r2, ?2 і?2 дорівнюватиме R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+((r1 *sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin?1) )^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+((r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))

Відео на тему

У статті нижче будуть висвітлені питання знаходження координат середини відрізка за наявності вихідних даних координат його крайніх точок. Але, перш ніж приступити до вивчення питання, запровадимо низку визначень.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Визначення 1

Відрізок- Пряма лінія, що з'єднує дві довільні точки, звані кінцями відрізка. Як приклад нехай це будуть точки A та B і відповідно відрізок A B .

Якщо відрізок A B продовжити в обидві сторони від точок A і B ми отримаємо пряму A B . Тоді відрізок A B – частина отриманої прямої, обмежена точками A і B . Відрізок A B поєднує точки A і B, що є його кінцями, а також безліч точок, що лежать між. Якщо, наприклад, взяти будь-яку довільну точку K , що лежить між точками A і B можна сказати, що точка K лежить на відрізку A B .

Визначення 2

Довжина відрізка- Відстань між кінцями відрізка при заданому масштабі (відрізку одиничної довжини). Довжину відрізка A B позначимо так: A B .

Визначення 3

Середина відрізка- Крапка, що лежить на відрізку і рівновіддалена від його кінців. Якщо середину відрізка A B позначити точкою C , то вірною буде рівність: A C = C B

Вихідні дані: координатна пряма O x і точки, що не збігаються на ній: A і B . Цим точкам відповідають дійсні числа x A та x B . Точка C – середина відрізка A B: необхідно визначити координату x C .

Оскільки точка C є серединою відрізка АВ, вірним буде рівність: | А З | = | З У | . Відстань між точками визначається модулем різниці їх координат, тобто.

| А З | = | З У | ⇔ x C - x A = x B - x C

Тоді можливі дві рівності: x C - x A = x B - x C і x C - x A = - (x B - x C)

З першої рівності виведемо формулу для координати точки C: x C = x A + x B 2 (напівсума координат кінців відрізка).

З другої рівності отримаємо: x A = x B що неможливо, т.к. у вихідних даних - незбігаючі точки. Таким чином, формула визначення координат середини відрізка A B з кінцями A (x A) і B (x B):

Отримана формула буде основою визначення координат середини відрізка на площині чи просторі.

Вихідні дані: прямокутна система координат на площині О x y , дві довільні точки, що не збігаються, з заданими координатами A x A , y A і B x B , y B . Крапка C – середина відрізка A B . Необхідно визначити координати x C та y C для точки C .

Візьмемо для аналізу випадок, коли точки A і B не збігаються і не лежать на одній координатній прямій чи прямій, перпендикулярній до однієї з осей. A x, A y; B x , B y і C x , C y - проекції точок A , B і C на осі координат (прямі О х та О y).

Відповідно до побудови прямі A A x , B B x , C C x паралельні; прямі також паралельні між собою. Сукупно з цим за теоремою Фалеса з рівності А С = С слідують рівності: А x С x = С x В x і А y С y = С y В y , і вони у свою чергу свідчать про те, що точка С x - середина відрізка А x x , а С y - середина відрізка А y В y . І тоді, спираючись на отриману раніше формулу, отримаємо:

x C = x A + x B 2 і y C = y A + y B 2

Цими формулами можна скористатися у випадку, коли точки A і B лежать на одній координатній прямій або прямій, перпендикулярній одній з осей. Проводити детальний аналіз цього випадку не будемо, розглянемо його лише графічно:

Резюмуючи все вище сказане, координати середини відрізка A B на площині з координатами кінців A (x A , y A) і B (x B , y B) визначаються як:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Вихідні дані: система координат x y z і дві довільні точки із заданими координатами A (x A , y A , z A) і B (x B , y B , z B) . Необхідно визначити координати точки C , що є серединою відрізка A B .

A x , A y , A z ; B x , B y , B z та C x , C y , C z - проекції всіх заданих точок на осі системи координат.

Відповідно до теореми Фалеса вірні рівності: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Отже, точки C x , C y , C z є серединами відрізків A x B x , A y B y , A z B z відповідно. Тоді, для визначення координат середини відрізка у просторі вірні формули:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Отримані формули можна застосовувати також у випадках, коли точки A і B лежать на одній з координатних прямих; на прямій, перпендикулярній до однієї з осей; в одній координатній площині або площині перпендикулярної однієї з координатних площин.

Визначення координат середини відрізка через координати радіус-векторів його кінців.

Формулу для знаходження координат середини відрізка також можна вивести відповідно до тлумачення алгебри векторів.

Вихідні дані: прямокутна декартова система координат O x y, точки із заданими координатами A (x A, y A) і B (x B, x B). Крапка C – середина відрізка A B .

Відповідно до геометричного визначення дій над векторами вірною буде рівність: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C у разі – точка перетину діагоналей паралелограма, побудованого з урахуванням векторів O A → і O B → , тобто. точка середини діагоналей. Координати радіус-вектора точки дорівнюють координатам точки, тоді вірні рівності: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Виконаємо деякі операції над векторами в координатах та отримаємо:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Отже, точка C має координати:

x A + x B 2 , y A + y B 2

За аналогією визначається формула для знаходження координат середини відрізка у просторі:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)

Приклади розв'язання задач на знаходження координат середини відрізка

Серед завдань, що передбачають використання отриманих вище формул, зустрічаються, як і ті, в яких безпосередньо стоїть питання розрахувати координати середини відрізка, так і такі, що передбачають приведення заданих умов до цього питання: найчастіше використовується термін «медіана», що має на меті знаходження координат одного з кінців відрізка, і навіть поширені завдання на симетрію, вирішення яких загалом також має викликати труднощів після вивчення цієї теми. Розглянемо характерні приклади.

Приклад 1

Вихідні дані:на площині – точки із заданими координатами А (- 7, 3) та В (2, 4). Необхідно знайти координати середини відрізка АВ.

Рішення

Позначимо середину відрізка A B точкою C . Координати її визначатимуться як напівсума координат кінців відрізка, тобто. точок A та B .

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Відповідь: координати середини відрізка АВ - 5 2 , 7 2 .

Приклад 2

Вихідні дані:відомі координати трикутника АВС: А (- 1 , 0) , В (3 , 2) , С (9 , - 8) . Необхідно знайти довжину медіани АМ.

Рішення

За умовою завдання A M – медіана, отже M є точкою середини відрізка B C . Насамперед знайдемо координати середини відрізка B C , тобто. точки M:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (-8) 2 = - 3

Оскільки тепер нам відомі координати обох кінців медіани (точки A та М), можемо скористатися формулою для визначення відстані між точками та порахувати довжину медіани А М:

A M = (6 - (-1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Відповідь: 58

Приклад 3

Вихідні дані:у прямокутній системі координат тривимірного простору заданий паралелепіпед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Задано координати точки C 1 (1 , 1 , 0) , а також визначено точку M , що є серединою діагоналі B D 1 і має координати M (4 , 2 , - 4) . Потрібно розрахувати координати точки А.

Рішення

Діагоналі паралелепіпеда мають перетин в одній точці, яка при цьому є серединою всіх діагоналей. Виходячи з цього твердження, можна мати на увазі, що відома за умовами завдання точка М є серединою відрізка АС 1 . Спираючись на формулу для знаходження координат середини відрізка у просторі, знайдемо координати точки А: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 · x M - x C 1 = 2 · 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 · y M - y C 1 = 2 · 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 · z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

Відповідь:координати точки А (7, 3, - 8).

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter