Різні шляхи побудови математичної моделі
При побудові математичної моделі системи можна назвати кілька етапів.
1-й етап.Постановка задачі. Етапу передує виникнення ситуацій чи проблем, усвідомлення яких призводить до думки їх узагальнення чи вирішення подальшого досягнення будь-якого ефекту. Виходячи з цього, об'єкт описується, наголошуються питання, що підлягають вирішенню, і ставиться мета дослідження. Тут потрібно усвідомити, що ми хочемо отримати в результаті досліджень. Попередньо слід оцінити, чи не можна отримати ці результати іншим, дешевшим або доступним шляхом.
2-й етап.Визначення задачі. Дослідник намагається визначити, якого виду належить об'єкт, визначає параметри стану об'єкта, змінні, характеристики, чинники довкілля. Потрібно пізнати закономірності внутрішньої організації об'єкта, окреслити межі об'єкта, побудувати його структуру. Ця робота називається ідентифікацією системи. Звідси вибирається завдання дослідження, яке може вирішувати питання: оптимізації, порівняння, оцінки, прогнозу, аналізу чутливості, виявлення функціональних співвідношеньі т.п.
Концептуальна модель дозволяє оцінити становище системи у зовнішньому середовищі, виявити необхідні ресурси для її функціонування, вплив факторів зовнішнього середовища та те, що ми очікуємо на виході.
Необхідність проведення дослідження виникає з реальних ситуацій, що складаються в процесі роботи системи, коли вони у чомусь починають не задовольняти будь-яким старим чи новим вимогам. Якщо недоліки очевидні та відомі методи їх усунення, то немає потреби в дослідженнях.
Виходячи із завдання дослідження, можна визначити призначення математичної моделі, яка має бути побудована для дослідження. Такі моделі можуть вирішувати завдання:
· Виявлення функціональних співвідношень, що полягають у визначенні кількісних залежностей між вхідними факторами моделі і вихідними характеристиками досліджуваного об'єкта;
· Аналізу чутливості, що полягає у встановленні факторів, які більшою мірою впливають на цікаві дослідника вихідні характеристики системи;
· Прогнозу - оцінки поведінки системи при деякому передбачуваному поєднанні зовнішніх умов;
· Оцінки - визначення, наскільки добре досліджуваний об'єкт відповідатиме деяким критеріям;
· Порівняння, що полягає в зіставленні обмеженого числа альтернативних варіантів систем або ж в порівнянні декількох запропонованих принципів або методів дії;
· Оптимізації, яка полягає в точному визначенні такого поєднання змінних керування, при яких забезпечується екстремальне значення цільової функції.
Вибір завдання визначає процес створення та експериментальної перевірки моделі.
Будь-яке дослідження має починатися з побудови плану, що включає обстеження системи та аналіз її функціонування. У плані мають бути передбачені:
· Опис функцій, що реалізуються об'єктом;
· Визначення взаємодій всіх систем та елементів об'єкта;
· Визначення залежності між вхідними та вихідними змінними та вплив змінних управляючих впливів на ці залежності;
· Визначення економічних показників функціонування системи.
Результати обстеження системи та навколишнього середовища надаються ввигляді опису процесу функціонування, що використовується для ідентифікації системи. Ідентифікувати систему - значить виявити та вивчити її, а також:
Отримати повнішу характеристику системи та її поведінки;
пізнати об'єктивні закономірності її внутрішньої організації;
Окреслити її межі;
Вказати на вхід, процес та вихід;
Визначити обмеження на них;
Побудувати її структурну та математичну моделі;
Описати її якоюсь формальною абстрактною мовою;
Визначити цілі, що примушують зв'язки, критерії дії системи.
Після ідентифікації системи будується концептуальна модель, що є «ідеологічною» основою майбутньої математичної моделі. Саме в ній відображається склад критеріїв оптимальності та обмежень, що визначають цільову спрямованість моделі.Переклад на етапі формалізації якісних залежностей у кількісні перетворює критерій оптимальності на цільову функцію, обмеження - на рівняння зв'язку, концептуальну модель - на математичну.
На основі концептуальної моделі можна збудувати факторнумодель, яка встановлює логічний зв'язок між параметрами об'єкта, вхідними та вихідними змінними, факторами довкілля та параметрами управління, а також враховувати зворотні зв'язки в системі.
3-й етап. Складання математичної моделі.Вигляд математичної моделі значною мірою залежить від мети дослідження. Математична модель може бути у вигляді математичного виразу, що являє собою рівняння алгебри, або нерівність, що не має розгалуження обчислювального процесу при визначенні будь-яких змінних стану моделі, цільової функції і рівнянь зв'язку.
Для побудови такої моделі формулюються такі поняття:
· критерій оптимальності- показник, вибраний дослідником, що має, як правило, екологічний зміст, який служить для формалізації конкретної мети управління об'єктом дослідження та виражається за допомогою цільової функції;
· цільова функція -характеристика об'єкта, встановлена з умови подальшого пошуку критерію оптимальності, що математично зв'язує між собою ті чи інші фактори об'єкта дослідження. Цільова функція та критерій оптимальності - різні поняття. Вони можуть бути описані функціями одного і того ж виду або різними функціями;
· обмеження- межі, що звужують область здійсненних, прийнятних або допустимих рішень та фіксують основні внутрішні та зовнішні властивості об'єкта. Обмеження визначають область дослідження, перебігу процесів, межі зміни параметрів та факторів об'єкта.
Наступним етапом побудови системи є формування математичної моделі, що включає кілька видів робіт: математичну формалізацію, чисельне уявлення, аналіз моделі і вибір методу її вирішення.
Математична формалізаціяздійснюється за концептуальною моделлю. При формалізації розглядають три основні ситуації:
1) відомі рівняння, що описують поведінку об'єкта. У цьому випадку рішенням прямої задачі можна знайти реакцію об'єкта на вхідний сигнал;
2) зворотне завдання, коли за заданим математичним описом і відомою реакції необхідно знайти вхідний сигнал, що викликає цей відгук;
3) математичний опис об'єкта невідомий, але є чи можуть бути задані сукупності вхідних та відповідних їм вихідних сигналів. У цьому випадку маємо справу із завданням ідентифікації об'єкта.
При моделюванні виробничо-екологічних об'єктів у третій ситуації під час вирішення завдання ідентифікації використовується підхід, запропонований М. Вінером, і відомий як метод «чорної скриньки». Як «чорний ящик» розглядається об'єкт загалом, внаслідок його складності. Оскільки внутрішній пристрій об'єкта невідомий, ми можемо вивчити «чорну скриньку», знайшовши входи та виходи. Зіставляючи входи та виходи, можна написати співвідношення
Y = АХ,
де X -вектор вхідних параметрів; Y -вектор вихідних параметрів; А- Оператор об'єкта, що перетворює Хв Y.Для опису об'єкта як математичної залежності у завданнях ідентифікації використовуються методи регресивного аналізу. При цьому можливий опис об'єкта безліччю математичних моделей, оскільки не можна винести обґрунтованого судження про його внутрішній устрій.
Основою вибору методу математичного опису є знання фізичної природи функціонування описуваного об'єкта досить широкого кола еколого-математичних методів, можливостей та особливостей ЕОМ, де планується проведення моделювання. Для багатьох розглянутих явищ є досить багато відомих математичних описів та типових математичних моделей. При розвиненій системі математичного забезпечення ЕОМ низку процедур моделювання можна здійснити з допомогою стандартних програм.
Оригінальні математичні моделі можна написати на основі проведених досліджень систем та апробованих у реальній обстановці. Для нових досліджень такі моделі коригуються під нові умови.
Математичні моделі елементарних процесів, фізична природа яких відома, записуються у вигляді тих формул і залежностей, які встановлені для цих процесів. Як правило, статичні завдання виражаються у вигляді алгебраїчних виразів, динамічні - у вигляді диференціальних або звичайно різницевих рівнянь.
Чисельне уявленнямоделі проводиться для підготовки її до реалізації на ЕОМ. Завдання числових значень труднощів не представляє. Ускладнення зустрічаються при компактному поданні великої статистичної інформації та результатів експериментів.
Основними методами перетворення табличних значень до аналітичного виду є: інтерполяція, апроксимація та екстраполяція.
Інтерполяція -наближене або точне знаходження будь-якої величини за відомими окремими значеннями цієї або інших величин, пов'язаних з нею.
Апроксимація- Заміна одних математичних об'єктів іншими, в тому чи іншому сенсі близькими до вихідних. Апроксимація дозволяє досліджувати числові характеристики та якісні властивості об'єкта, зводячи завдання до вивчення більш простих чи зручніших об'єктів.
Екстраполяція -продовження функції межі її області визначення, у якому продовжена функція належить заданому класу. Екстраполяція функції зазвичай проводиться за допомогою формул, в яких використана інформація про поведінку функцій у деякому кінцевому наборі точок, які називаються вузлами екстраполяції, що належать до області визначення.
Наступним етапом побудови є аналіз отриманої моделіі вибір методуїї вирішення. Основою обчислення значень вихідних показників моделі служить складений з її основі алгоритм розв'язання завдання ЕОМ. Розробка та програмування такого алгоритму, як правило, не зустрічають важливих труднощів.
Більш складною є організація обчислювального процесу визначення вихідних характеристик, що у допустимих областях, особливо багатофакторних моделей. Ще складніше - пошук рішень щодо оптимізаційних моделей. Найдосконаліша й адекватна описуваному об'єкту математична модель без знаходження оптимального значення марна, вона може бути використана.
Основну роль при розробці алгоритму пошуку оптимальних рішень відіграють характер факторів математичної моделі, чисуї критеріїв оптимальності, вид цільової функції та рівнянь зв'язку. Вид цільової функції та обмежень визначає вибір одного та трьох основних методів вирішення еколого-математичних моделей:
· аналітичного дослідження;
· Дослідження за допомогою чисельних методів;
· Дослідження алгоритмічних моделей за допомогою методів експериментальної оптимізації на ЕОМ.
Аналітичні методивідрізняються тим, що крім точного значення змінних, що шукаються, вони можуть давати оптимальне рішення у вигляді готової формули, куди входять характеристики зовнішнього середовища і початкові умови, які дослідник може змінювати в широких межах, не змінюючи самої формули.
Чисельні методидають можливість отримати рішення шляхом багаторазового обчислення за певним алгоритмом, що реалізує той чи інший чисельний метод. Як вихідні дані для обчислення використовуються числові значення параметра об'єкта, зовнішнього середовища та початкових умов. Чисельні методи є ітеративними процедурами: щодо наступного кроку розрахунків (при новому значенні керованих змінних) користуються результати попередніх розрахунків, що дозволяє отримувати процесі обчислень поліпшені результати і цим знаходити оптимальне рішення.
Властивості конкретної алгоритмічної моделі,на якій базується алгоритм пошуку оптимального рішення, наприклад її лінійність або опуклість, можуть бути визначені тільки в процесі експериментування з нею, у зв'язку з чим рішення моделей цього класу використовуються звані методи експериментальної оптимізації на ЕОМ. При використанні цих методів проводиться покрокове наближення до оптимального рішення на основі результатів розрахунку за алгоритмом, що моделює роботу досліджуваної системи. Методи базуються на принципах пошуку оптимальних рішень у чисельних методах, але на відміну від них усі дії щодо розробки алгоритму та програми оптимізації виконує розробник моделі.
Імітаційне моделювання завдань, що містять випадкові параметри, прийнято називати статистичним моделюванням.
Заключним кроком створення моделі є складання її опису, що містить відомості, необхідні вивчення моделі, її подальшого використання, і навіть всі обмеження і припущення. Ретельний та повний облік факторів при побудові моделі та формулюванні припущень дозволяє оцінити точність моделі, уникнути помилок під час інтерпретації її результатів.
· 4-й етап. Обчислення.При розв'язанні задачі необхідно ретельно розібратися з розмірністю всіх величин, що входять в математичну модель, і визначити межі (межі), в яких лежатиме цільова функція, а також необхідну точність обчислень. Якщо можливо, то обчислення проводяться за незмінних умов кілька разів, щоб переконатися, що цільова функція не змінюється.
· 5-й етап. Видача результатів.Результати дослідження об'єкта можуть видаватися в усній чи письмовій формі. Вони повинні включати короткий опис об'єкта дослідження, цілі дослідження, математичну модель, припущення, прийняті при виборі математичної моделі, основні результати обчислень, узагальнення та висновки.
2.2.1 З точки зору математичного підходу "Завдання - це модель та алгоритм її застосування в рамках деякої математичної теорії" Для застосування математичних методів дослідження потрібно побудувати математичну модель завдання. Математична модельЗавдання - це спеціальна логічна конструкція, що цілеспрямовано описує в термінах математичної теорії об'єктивний процес або явище, що лежать в основі конкретної задачі. Процес розв'язання такої моделі є своєрідним аналогом розумового процесу фахівця, який приймає рішення.
Модель є образ реального об'єкта, що досліджується, або явища, створений за допомогою певного набору коштів. Моделі значно полегшують розуміння об'єктів (явлень), дозволяють прогнозувати їх поведінку в умовах, що цікавлять нас, застосовувати уніфіковані методи аналізу. У моделі концентруються найважливіші, з погляду аналізованої проблеми, ознаки (властивості) досліджуваного об'єкта (явления). Метою моделювання є створення досить точного, повного, лаконічного та зручного для сприйняття та аналізу опису.
Елементами математичної моделі є змінні, параметри, зв'язки (математичні) та інформація.
Загальна кваліфікація математичних моделей, як правило, провадиться за такими ознаками:
Поведінці моделей у часі;
Види вхідної інформації,
Параметрів, виразів, конструкцій, що становлять математичну модель;
структуру математичної моделі;
Тип використовуваного математичного апарату.
Відповідно до даної класифікації математичні моделі бувають динамічними(Час грає роль незалежної змінної, і поведінка системи змінюється у часі); статичними(незалежними від часу); квазістатичними чи дискретно-подійними(поведінка системи змінюється від одного статичного стану до іншого відповідно до зовнішніх впливів). Якщо ці елементи моделі досить точно встановлені та поведінку системи можна точно визначити, то модель - детермінована,в іншому випадку - стохастична. Якщо інформація та параметри є безперервними величинами, а математичні зв'язки є стійкими, то модель безперервна, в іншому випадку - дискретна. Якщо параметри моделі фіксовані і не змінюються в процесі моделювання відповідно до поведінки об'єкта моделювання, це модель із фіксованими параметрами, в іншому випадку - модель з параметрами, що змінюються в часі або в просторі. Математична модель може бути складною, комплексною, ієрархічної, якщо можна знайти елементарні підсистеми, що становлять її. Це дуже важливе питання, оскільки його рішення дозволяє спростити моделювання, наприклад, оперативне управління розподіленими системами, особливо якщо модель можна представити у вигляді деревоподібної або мережевої структури. За типом використовуваного математичного апарату говоритимемо про аналітичних, імовірнісно-статистичних та нечіткихмоделях.
Основні вимоги до моделі:
Адекватність (достовірність);
Повнота;
Ненадмірність;
Прийнятна трудомісткість.
Адекватність і повнота означають, що модель повинна мати всі істотні (з точки зору розв'язуваної задачі) ознаки об'єкта моделювання і з достатнім ступенем точності не відрізнятися від нього за цими ознаками. Сюди ж, зокрема, відноситься проблема адекватності критерію оптимальності цілям функціонування системи, що моделюється. Щодо вимоги надмірності модель не повинна бути «засмічена» безліччю дрібних, другорядних факторів, які лише ускладнюють математичний аналіз і роблять результати дослідження важко осяжними. p align="justify"> Прийнятна трудомісткість означає, що витрати на створення моделі повинні відповідати встановленим обмеженням на ресурси і ефект від використання моделі повинен перевищувати витрати на її побудову. При цьому при оцінці витрат на моделювання слід враховувати витрати часу та зусиль усіх учасників, задіяних як безпосередньо у побудові моделі, так і збиранні необхідної інформації, витрати та час на навчання, вартість обробки та зберігання інформації. Зазначені вимоги до моделі суперечливі. Наприклад, з одного боку, вона має бути досить повною, а з іншого - досить простою і маловитратною. Тобто створення математичних моделей - це багато в чому творчість, що вимагає наявність відповідних математичних та прикладних знань, досвіду та кваліфікації.
2.2.2 Стосовно проблеми прийняття рішення можна говорити про модель ЗПР, модель середовища прийняття рішення (описової моделі проблемної ситуації), модель процесу прийняття рішення, модель комп'ютерної системи прийняття рішення (системи підтримки прийняття рішень).
При визначенні моделі конкретної ЗПР слід оцінити її щодо класифікаційних ознак, виділених нами у рамках розглянутої раніше системи класифікації ЗПР та за результатами такої оцінки визначити модель ЗПР у вигляді кортежу відповідних характеристик. Наприклад, загальна формальна модель ЗПР для індивідуального ЛПР може бути представлена у вигляді кортежу
а для групи ЛПР у вигляді кортежу
< So, T, R, S, G, B, A, К, F(f), L, A* >,
де So – проблемна ситуація; T – час прийняття рішення; R – наявні до ухвалення рішення ресурси; S = (S 1 , …, S n) – безліч допустимих ситуацій, що визначають предметну область і тим самим уточнюють проблемну ситуацію So; G=(G 1 ,…,G k) – безліч цілей, переслідуваних після ухвалення рішення; B=(B 1 ,…,B L) – безліч обмежень; A=(A 1 ,…,A m) – безліч альтернативних варіантів розв'язання; f – функція переваги ЛПР; K – критерії вибору; F(f) – функція групової переваги; L – принцип узгодження індивідуальних переваг формування групового переваги; A* – оптимальне рішення.
Пояснимо наявність у моделі критеріїв вибору K та функції переваги. Досвід показує, що в термінах критеріїв вибору найчастіше не вдається виразити всю гаму «пристрастей», «смаків» та переваг конкретного ЛПР. З допомогою безлічі приватних критеріїв, зазвичай виникають під час розгляду реальних ЗПР, лише намічаються певні мети, які нерідко виявляються дуже суперечливими. Ці цілі одночасно, як правило, досягнуті бути не можуть, і тому потрібна додаткова інформація для здійснення компромісу. Інакше кажучи, якщо обмежитися лише безліччю можливих рішень та векторним критерієм, то ЗПР виявляється «невизначеною». Ця «невизначеність» позначається потім у слабкій логічній обґрунтованості вибору ефективного рішення на основі векторного критерію. Для того щоб здійснити обґрунтований вибір, слід крім векторного критерію мати якісь додаткові відомості про переваги ЛПР. З цією метою необхідно включити в багатокритеріальну задачу функцію, яка описує відносини переваг.
Для позначення переваги рішення А перед рішенням A часто використовується запис А A. Слід зазначити, що не всякі два можливі рішення А і A пов'язані співвідношенням А A або співвідношенням A. Можуть існувати такі пари рішень, що ЛПР не в змозі віддати перевагу якомусь одному з них. ).
При визначенні відношення переваги слід забезпечити виконання двох умов:
Відношення переваги є суворим у тому сенсі, що ні для якого припустимого рішення А' неможливе виконання умови виду А'A' - оскільки жодне рішення не може бути кращим за самого себе;
Якщо А'A'' і А'A''', то А'A'''(властивість транзитивності).
Часто (наприклад, при ухваленні рішень в умовах управління ієрархічними розподіленими середовищами) виникає потреба у моделюванні процесу ухвалення рішення. Процес прийняття рішень схематично представляється як так званого дерева рішень. Побудова такого дерева базуються на декомпозиції процесу прийняття рішення - виділенні самостійних функціональних підпроцесів і більш приватних завдань, а також встановлення взаємозв'язку між ними, в результаті чого загальний процес прийняття рішень представляється у вигляді вирішення послідовності взаємопов'язаних ієрархічних локальних ЗПР. Основними принципами декомпозиції є відносна самостійність кожного з підпроцесів (тобто наявність конкретного об'єкта управління); наявність відповідного набору функцій та ЗПР із чітко вираженими локальними цілями прийняття рішення, що узгоджуються із загальними цілями прийняття рішення для системи в цілому; оптимізація складу включених у підпроцес елементів. Це питання буде розглянуто пізніше, при розгляді проблеми ухвалення рішення у рамках проблеми оперативного менеджменту якості.
2.2.3 Основними етапами загального процесу моделювання є:
1) аналіз поставленого завдання;
2) аналіз об'єкта моделювання та його середовища з погляду поставленої задачі;
3) побудова (синтез) моделі;
4) перевірка побудованої моделі на достовірність;
5) застосування моделі;
6) оновлення моделі (при необхідності).
1) Перед побудовою моделі спочатку необхідно визначити головне призначення моделі - які вихідні дані потрібно отримати, використовуючи модель, щоб допомогти ЛПР вирішити проблему, що стоїть перед ним.
Потім слід визначити, яка інформація потрібна для побудови моделі та які потрібні відомості на виході. Крім того, слід оцінити витрати на створення моделі та реакцію людей, які мають її використовувати. Модель, витрати на побудову та використання якої перевищує одержувані від неї вигоди, нікому не потрібна, а надто складна модель може бути не зрозуміла користувачам і не застосовуватиметься на практиці.
2) В основу моделі кладеться опис об'єкта, що формується (відповідно до розв'язуваної задачі та доступної інформації) на основі виділення складових об'єктів елементів, виявлення зв'язку між ними, визначення суттєві для завдання характеристик і параметрів. На цьому ж етапі формуються, що підлягають подальшій перевірці гіпотези про закономірності, властиві об'єкту, що вивчається, про характер впливу на об'єкт зміни тих чи інших параметрів і зв'язків між елементами, вивчаються взаємозв'язки, що визначають можливі наслідки прийнятих рішень, а також усувається нечіткі, неоднозначні висловлювання або визначення , які замінюються, можливо, і наближеними, але чіткими, не допускаючими різних тлумачень висловлюваннями
3) Сутність математичного моделювання полягає у підборі математичних схем, адекватно описують процеси, що відбуваються насправді.
При побудові математичної моделі явище якимось чином полегшується, схематизується; з незліченної множини факторів, що впливають на явище, виділяється порівняно невелика кількість найважливіших, і отримана схема описується за допомогою того чи іншого математичного апарату. Загальних методів побудови математичних моделей немає. У кожному конкретному випадку модель будується, виходячи з поставленого завдання, доступних вихідних даних, необхідної точності рішення, особистих переваг аналітика, що створює модель.
При побудові математичної моделі виконуються такі види діяльності:
-аналіз всіх елементів системи, що впливають на ефективність прийнятих рішень та оцінка ступеня впливу кожного з них на функціонування організації при різних варіантах рішень;
- Виняток з переліку елементів, що не впливають (або несуттєво впливають)на вибір варіантів рішень;
– попереднє угруповання деяких взаємопов'язаних елементів для спрощення моделі (наприклад, витрати на оренду, утримання приміщень та інші об'єднати в умовно-постійні витрати);
– визначення переліку елементів після уточнення їх постійного чи змінного характеру впливу систему (у складі змінних елементів встановлюються, своєю чергою, поделементи системи, які впливають їх величину; наприклад, транспортні витрати залежить від обсягу переміщених товарів, відстані, вартості пального та інших. );
– закріплення за кожним поделементом певного символу та складання відповідних математичних конструкцій.
Математична модель зазвичай будується з орієнтацією на передбачуваний метод розв'язання задачі. З іншого боку, у процесі проведення математичного дослідження чи інтерпретації рішення може знадобитися уточнити чи навіть суттєво змінити математичну модель.
Як зазначалося вище, математичні моделі, застосовувані нині у завданнях прийняття рішень, можна грубо поділити втричі класу: аналітичні, статистичні і засновані на нечіткої формалізації.
Для перших характерно встановлення формульних, аналітичних залежностей між параметрами задачі, записаних у будь-якому вигляді: алгебраїчні рівняння, звичайні диференціальні рівняння, рівняння з приватними похідними і т. д. Зазвичай за допомогою аналітичних моделей вдається з задовільною точністю, описати які- основою яких покладено відомі фізичні закони.
Використання статистичних моделей передбачає наявність відповідних імовірнісно-статистичних даних та закономірностей.
Використання моделей, заснованих на нечіткої формалізації, виправдане у разі відсутності даних, що дозволяють використовувати два перші типи моделей.
Побудована модель має бути піддана відповідному аналізу з метою обґрунтування. Найбільш важливий момент – доказ існування чи отримання рішення у рамках сформульованої моделі. Якщо ця умова не виконується, слід скоригувати або постановку завдання, або способи її математичної формалізації.
4) Насправді майже завжди необхідна перевірка моделі на достовірність. По-перше, треба визначити ступінь відповідності моделі реальному явищу, встановити, чи всі суттєві фактори реальної ситуації враховані у моделі. По-друге, слід зрозуміти, наскільки моделювання справді допомагає вирішити проблему. Бажано перевірити модель на ситуації, що мала місце у минулому.
Успішний результат порівняння (оцінки) об'єкта, що досліджується, з моделлю свідчить про достатній ступінь вивченості об'єкта, про правильність принципів, покладених в основу моделювання, і про те, що створена модель працездатна.
Часто перші результати моделювання задовольняють пред'явленим вимогам. Це вимагає проведення додаткових досліджень та відповідної зміни моделі.
5) Щодо застосування моделі слід враховувати, що основна причина недостатньо широкого використання моделей полягає в тому, що керівники, для яких вони створюються, часто не цілком розуміють результати і тому бояться їх застосовувати. Причиною є недолік у них знань у цій галузі. Для боротьби з цим системним аналітикам слід приділяти значно більше часу ознайомленню керівників із можливостями та методикою використання моделей.
6) Оновлення моделі проводиться, якщо керівництву потрібні вихідні дані у більш зручній формі або додаткові дані. Оновлення моделі може також знадобитися у разі зміни цілей організації та відповідних імкритеріїв прийняття рішень або при отриманні додаткової інформації, що дозволяє уточнити, удосконалити поточну модель. Остання ситуація пов'язана з проблемою недостатності, неточності апріорної інформації, що використовується для побудови моделі. Якщо зовнішнє середовище рухливе, інформацію про неї слід оновлювати швидко, але на це може не вистачати часу або це може виявитися занадто дорогим. p align="justify"> Інформаційні обмеження є основною причиною недостовірності передумов, покладених в основу побудови моделі. Нерідко виникають ситуації, коли неможливо отримати інформацію з усіх важливих факторів та використовувати її в моделі. Слід бути обережними щодо використання припущень, які не можуть бути точно оцінені та об'єктивно перевірені (наприклад, не піддається перевірці припущення про зростання продажів наступного року на певну суму).
2.2.4 При побудові моделі слід враховувати такі рекомендації:
Зазвичай спочатку визначається основна грубіша конструкція (тип, загальна схема) математичної моделі, а потім уточнюються деталі цієї конструкції (конкретний перелік змінних і параметрів, форма зв'язків);
Слід уникати непотрібної деталізації моделі, оскільки це надмірно ускладнює модель. Те саме можна сказати про такі характеристики складності моделі, як використовувані форми математичних залежностей, облік факторів випадковості та невизначеності тощо. Зайва складність та громіздкість моделі ускладнюють процес дослідження. Потрібно враховувати не тільки реальні можливості інформаційного та математичного забезпечення, але й зіставляти витрати на моделювання з ефектом, що отримується (при зростанні складності моделі приріст витрат може перевищити приріст ефекту);
Одна з важливих особливостей математичних моделей – потенційна можливість їх використання для вирішення різноякісних проблем. Тому навіть стикаючись з новим завданням, необхідно попередньо проаналізувати можливість використання для її вирішення вже відомих моделей (або окремих їх складових);
Необхідно прагнути отримати модель, що належить добре вивченому класу математичних завдань. Часто це вдається зробити шляхом деякого спрощення вихідних передумов моделі, що не спотворюють суттєвих рис об'єкта, що моделюється.
Позитивними характеристиками моделювання є:
- Застосування більш досконалих перевірених практикою технологій прийняття рішення;
- Високий ступінь обґрунтованості рішень;
– скорочення термінів прийняття рішень;
- Можливість виконання зворотної операції.
Особливість зворотної операції у тому, що, маючи модель і вихідні дані, можна як прийняти рішення, а й зорієнтуватися необхідний результат і визначити, які вихідні дані цього необхідні. Так, наприклад, орієнтуючись на отримання прибутку в обсязі N, можна встановити і кількісні значення інших показників, які прямо і опосередковано впливають на досягнення планованого результату (отримання нових знань про ситуацію (об'єкт), відсутніх раніше; формулювання висновків, які неможливо отримати при найзмістовніших). логічних міркуваннях).
Етапи створення математичних моделей
У випадку під математичної моделлю об'єкта (системи) розуміється будь-який математичний опис, відбиває з необхідної точністю поведінки об'єкта (системи) у реальних умовах. Математична модель відображає записану мовою математики сукупність знань, уявлень і гіпотез дослідника про об'єкт, що моделюється. Оскільки ці знання ніколи не бувають абсолютними, модель лише приблизно враховує поведінку реального об'єкта.
Математична модель системи – це сукупність співвідношень (формул, нерівностей, рівнянь, логічних співвідношень), що визначають характеристики станів системи в залежності від її внутрішніх параметрів, початкових умов, вхідних сигналів, випадкових факторів та часу.
Процес створення математичної моделі можна розбити на етапи відображені на рис. 3.2.
Рис. 3.2Етапи створення математичної моделі
1. Постановка проблеми та її якісний аналіз. Цей етап включає:
· Виділення найважливіших рис і властивостей моделюється об'єкта і абстрагування від другорядних;
· Вивчення структури об'єкта та основних залежностей, що пов'язують його елементи;
· Формування гіпотез (хоча б попередніх), що пояснюють поведінку та розвиток об'єкта.
2. Побудова математичної моделі.Це етап формалізації проблеми, вираження її у вигляді конкретних математичних залежностей і відносин (функцій, рівнянь, нерівностей і т.д.). Зазвичай спочатку визначається основна конструкція (тип) математичної моделі, а потім уточнюються деталі цієї конструкції (конкретний перелік змінних та параметрів, форма зв'язків). Отже, побудова моделі підрозділяється своєю чергою кілька стадій.
Неправильно вважати, що чим більше факторів (тобто вхідних та вихідних змінних станів) враховує модель, тим вона краще «працює» і дає кращі результати. Те саме можна сказати про такі характеристики складності моделі, як використовувані форми математичних залежностей (лінійні та нелінійні), облік факторів випадковості та невизначеності тощо. Зайва складність та громіздкість моделі ускладнюють процес дослідження. Потрібно не лише враховувати реальні можливості інформаційного та математичного забезпечення, а й зіставляти витрати на моделювання з одержуваним ефектом (у разі зростання складності моделі нерідко зростання витрат на моделювання може перевищити зростання ефекту від впровадження моделей у завдання управління).
3. Математичний аналіз моделі.Метою цього етапу є з'ясування загальних властивостей моделі. Тут застосовуються суто математичні прийоми дослідження. Найважливіший момент – доказ існування рішень у сформульованій моделі (теорема існування). Якщо вдається довести, що математичне завдання немає рішення, то необхідність у наступній роботі за первісним варіантом моделі відпадає; слід скоригувати або постановку завдання, або методи її математичної формалізації. При аналітичному дослідженні моделі з'ясовуються такі питання, як, наприклад, чи єдине рішення, які змінні можуть входити до вирішення, якими будуть співвідношення між ними, в яких межах і залежно від яких умов вони змінюються, які тенденції їх змін тощо. .
4. Підготовка вихідної інформації.Моделювання висуває жорсткі вимоги до системи інформації. У процесі підготовки інформації широко використовуються методи теорії ймовірностей, теоретичної та математичної статистики. p align="justify"> При системному математичному моделюванні вихідна інформація, що використовується в одних моделях, є результатом функціонування інших моделей.
5. Чисельне рішення.Цей етап включає розробку алгоритмів для чисельного розв'язання задачі, складання програм на ЕОМ та безпосереднє проведення розрахунків. Тут набувають актуальності різні методи обробки даних, розв'язання різноманітних рівнянь, обчислення інтегралів тощо. Нерідко розрахунки з математичної моделі мають багатоваріантний, імітаційний характер. Завдяки високій швидкодії сучасних ЕОМ вдається проводити численні «модельні» експерименти, вивчаючи «поведінку» моделі за різних змін деяких умов.
6. Аналіз чисельних результатів та їх застосування.На цьому заключному етапі циклу постає питання про правильність та повноту результатів моделювання, про адекватність моделі, про ступінь її практичної застосування. Математичні методи перевірки результатів можуть виявляти некоректність побудови моделі і цим звужувати клас потенційно правильних моделей.
Неформальний аналіз теоретичних висновків та чисельних результатів, одержуваних за допомогою моделі, зіставлення їх із наявними знаннями та фактами дійсності також дозволяють виявляти недоліки вихідної постановки завдання, сконструйованої математичної моделі, її інформаційного та математичного забезпечення.
Оскільки сучасні математичні завдання можуть бути складні за своєю структурою, мати велику розмірність, то часто трапляється, що відомі алгоритми та програми для ЕОМ не дозволяють вирішити завдання у первісному вигляді. Якщо неможливо в короткий термін розробити нові алгоритми та програми, вихідну постановку задачі та модель спрощують:
· Знімають і об'єднують умови, зменшують кількість факторів, що враховуються.
· Нелінійні співвідношення замінюють лінійними тощо.
Недоліки, які вдається виправити на проміжних етапах моделювання, усуваються у наступних циклах. Але результати кожного циклу мають цілком самостійне значення. Розпочавши дослідження з побудови простої моделі, можна швидко отримати корисні результати, а потім перейти до створення більш досконалої моделі, що поповнюється новими умовами, що включає уточнені математичні залежності.
Анотація: У лекції описано процес побудови математичної моделі. Наведено словесний алгоритм процесу.
Для використання ЕОМ при вирішенні прикладних завдань насамперед прикладна задача має бути "перекладена" формальною математичною мовою, тобто. для реального об'єкта, процесу або системи має бути побудована його математична модель.
Математичні моделі у кількісній формі, за допомогою логіко-математичних конструкцій, описують основні властивості об'єкта, процесу чи системи, його параметри, внутрішні та зовнішні зв'язки.
Для побудови математичної моделінеобхідно:
- ретельно проаналізувати реальний об'єкт чи процес;
- виділити його найбільш суттєві риси та властивості;
- визначити змінні, тобто. параметри, значення яких впливають на основні риси та властивості об'єкта;
- описати залежність основних властивостей об'єкта, процесу чи системи від значення змінних за допомогою логіко-математичних співвідношень (рівняння, рівності, нерівності, логіко-математичних конструкцій);
- виділити внутрішні зв'язкиоб'єкта, процесу чи системи за допомогою обмежень, рівнянь, рівностей, нерівностей, логіко-математичних конструкцій;
- визначити зовнішні зв'язки та описати їх за допомогою обмежень, рівнянь, рівностей, нерівностей, логіко-математичних конструкцій.
Математичне моделювання, крім дослідження об'єкта, процесу або системи та складання їх математичного опису, також включає:
- побудова алгоритму, що моделює поведінку об'єкта, процесу чи системи;
- перевірка адекватності моделіта об'єкта, процесу або системи на основі обчислювального та натурного експерименту;
- коригування моделі;
- використання моделі.
Математичний опис досліджуваних процесів та систем залежить від:
- природи реального процесу або системи складається на основі законів фізики, хімії, механіки, термодинаміки, гідродинаміки, електротехніки, теорії пластичності, теорії пружності і т.д.
- необхідної достовірності та точності вивчення та дослідження реальних процесів та систем.
На етапі вибору математичної моделі встановлюються: лінійність та нелінійність об'єкта, процесу чи системи, динамічність чи статичність, стаціонарність чи нестаціонарність, а також ступінь детермінованості досліджуваного об'єкта чи процесу. При математичному моделюванні свідомо відволікаються від конкретної фізичної природи об'єктів, процесів чи систем і переважно зосереджуються на вивченні кількісних залежностей між величинами, що описують ці процеси.
Математична модельніколи не буває повністю тотожною об'єкту, процесу або системі, що розглядається. Заснована на спрощенні, ідеалізації, вона є наближеним описом об'єкта. Тому результати, отримані під час аналізу моделі, мають наближений характер. Їхня точність визначається ступенем адекватності (відповідності) моделі та об'єкта.
Зазвичай починається з побудови та аналізу найпростішої, найбільш грубої математичної моделі об'єкта, що розглядається, процесу або системи. Надалі, у разі потреби, модель уточнюється, робиться її відповідність об'єкту повнішим.
Візьмемо простий приклад. Потрібно визначити площу поверхні письмового столу. Зазвичай для цього вимірюють його довжину та ширину, а потім перемножують отримані числа. Така елементарна процедура фактично означає таке: реальний об'єкт (поверхня столу) замінюється абстрактною математичною моделлю – прямокутником. Прямокутнику приписуються розміри, отримані в результаті вимірювання довжини та ширини поверхні столу, і площа такого прямокутника приблизно приймається за потрібну площу столу.
Однак модель прямокутника для письмового столу – це найпростіша, груба модель. При більш серйозному підході до завдання, перш ніж скористатися визначення площі столу моделлю прямокутника, цю модель потрібно перевірити. Перевірки можна здійснити так: виміряти довжини протилежних сторін столу, а також довжини його діагоналей і порівняти їх між собою. Якщо з необхідним ступенем точності, довжини протилежних сторін і довжини діагоналей попарно рівні між собою, то поверхню столу дійсно можна розглядати як прямокутник . В іншому випадку модель прямокутника доведеться відкинути та замінити моделлю чотирикутника загального вигляду. При більш високій вимогі до точності може виникнути потреба піти в уточненні моделі ще далі, наприклад, врахувати закруглення кутів столу.
За допомогою цього простого прикладу було показано, що математична модельне визначається однозначно досліджуваним об'єктом, процесом чи системою. Для того самого столу ми можемо прийняти або модель прямокутника, або більш складну модель чотирикутника загального вигляду, або чотирикутника із закругленими кутами. Вибір тієї чи іншої моделі визначається вимогою до точності. З підвищенням точності модель доводиться ускладнювати, враховуючи нові та нові особливості об'єкта, що вивчається, процесу або системи.
Розглянемо інший приклад: дослідження руху кривошипно-шатунного механізму (рис. 2.1).
Рис. 2.1.
Для кінематичного аналізу цього механізму насамперед необхідно побудувати його кінематичну модель. Для цього:
- Замінюємо механізм його кінематичною схемою, де всі ланки замінені жорсткими зв'язками;
- Використовуючи цю схему, ми виводимо рівняння руху механізму;
- Диференціюючи останнє, отримуємо рівняння швидкостей і прискорення, які є диференціальні рівняння 1-го і 2-го порядку.
Запишемо ці рівняння:
де С 0 - крайнє праве положення повзуна С:
r – радіус кривошипу AB;
l - Довжина шатуна BC;
- Кут повороту кривошипа;
Отримані трансцендентні рівнянняпредставляють математичну модель руху плоского аксіального кривошипно-шатунного механізму, засновану на наступних припущеннях, що спрощують:
- нас не цікавили конструктивні форми та розташування мас, що входять до механізму тіл, і всі тіла механізму ми замінили відрізками прямих. Насправді всі ланки механізму мають масу і досить складну форму. Наприклад, шатун – це складне збірне з'єднання, форма та розміри якого, звичайно, впливатимуть на рух механізму;
- при руху аналізованого механізму ми також враховували пружність які входять у механізм тіл, тобто. всі ланки розглядали як абстрактні абсолютно тверді тіла. Насправді ж, всі ті тіла, що входять у механізм – пружні тіла. Вони під час руху механізму якось деформуватися, у яких можуть виникнути навіть пружні коливання. Це все, звичайно, також впливатиме на рух механізму;
- ми не зважали на похибку виготовлення ланок, зазори в кінематичних парах A, B, C і т.д.
Таким чином, важливо ще раз підкреслити, що чим вищі вимоги до точності результатів розв'язання задачі, тим більша необхідність враховувати при побудову математичної моделіособливості досліджуваного об'єкта, процесу чи системи. Однак, тут важливо під час зупинитися, бо складна математична модельможе перетворитися на важко вирішуване завдання.
Найбільш просто будується модель, коли добре відомі закони, що визначають поведінку та властивості об'єкта, процесу чи системи, і є великий практичний досвід їх застосування.
Більш складна ситуація виникає тоді, коли наші знання про об'єкт, що вивчається, процес або систему недостатні. У цьому випадку при побудову математичної моделідоводиться робити додаткові припущення, які мають характер гіпотез, така модель називається гіпотетичною. Висновки, отримані в результаті дослідження такої гіпотетичної моделі, мають умовний характер. Для перевірки висновків потрібно зіставити результати дослідження моделі на ЕОМ з натурного експерименту. Таким чином, питання застосування деякої математичної моделі до вивчення об'єкта, процесу або системи, що розглядається, не є математичним питанням і не може бути вирішене математичними методами.
Основним критерієм істинності є експеримент, практика у найширшому значенні цього слова.
Побудова математичної моделіу прикладних завданнях – один із найбільш складних та відповідальних етапів роботи. Досвід показує, що у багатьох випадках правильно вибрати модель - значить вирішити проблему більш ніж наполовину. Складність цього етапу у тому, що він вимагає з'єднання математичних і спеціальних знань. Тому дуже важливо, щоб при вирішенні прикладних завдань математики володіли спеціальними знаннями про об'єкт, а їх партнери, фахівці – певною математичною культурою, досвідом дослідження у своїй галузі, знанням ЕОМ та програмування.
Усього, знайдіть у підручниках чи довідниках формули, що характеризують його закономірності. Заздалегідь підставте ті параметри, які є константами. Тепер знайдіть невідому інформацію про перебіг процесу у тій чи іншій його стадії, підставивши у формулу відомі дані про його перебіг у цій стадії.
Наприклад, необхідно моделювати зміну потужності, що виділяється на резисторі, залежно від напруги на ній. У цьому випадку доведеться скористатися відомим поєднанням формул: I=U/R, P=UI
При необхідності складіть графік або графіків про весь хід процесу. Для цього розбийте його хід на кілька точок (чим їх більше, тим точніше результат, але обчислення). Здійсніть обчислення для кожної точки. Особливо трудомісткими буде розрахунок у разі, якщо незалежно друг від друга змінюється кілька параметрів, оскільки здійснити його потрібно всім їх поєднань.
Якщо обсяг розрахунків значний, скористайтесь обчислювальною технікою. Використовуйте ту мову програмування, якою ви добре володієте. Зокрема, щоб розрахувати зміну потужності на навантаженні опором в 100 Ом при зміні напруги від 1000 до 10000 В з кроком в 1000 В (насправді побудувати таке навантаження важко, оскільки потужність на ньому досягне мегавата), можна таку програму на Бейсік:
10 R=100
20 FOR U=1000 TO 10000 STEP 1000
За бажанням, скористайтеся для моделювання одного процесу іншим, що підкоряється тим же закономірностям. Наприклад, маятник можна замінити електричним коливальним контуром або навпаки. Іноді є можливість скористатися як моделюючий тим самим явищем, що і моделюється, але в зменшеному або збільшеному масштабі. Наприклад, якщо взяти вже згаданий опір в 100 Ом, але подавати на нього напруги в діапазоні не від 1000 до 10000, а від 1 до 10 В, то потужність, що виділяється на ньому, буде змінюватися не від 10000 до 1000000 Вт, а від 0 01 до 1 Вт. Така вміститься на столі, а потужність, що виділяється, можна буде виміряти звичайним калориметром. Після цього результат виміру необхідно помножити на 1000000.
Зважайте на те, що масштабуванню піддаються не всі явища. Наприклад, відомо, що якщо всі деталі теплового двигуна зменшити або збільшити в однакове число разів, тобто пропорційно, то велика ймовірність, що він не запрацює. Тому при виготовленні двигунів різних розмірів збільшення або зменшення кожної з його деталей беруть різні.
