Середнє значення та величина дисперсії. Дисперсію зручно обчислювати за формулою, яку легко отримати, використовуючи властивості дисперсії

Види дисперсій:

Загальна дисперсіяхарактеризує варіацію ознаки всієї сукупності під впливом всіх чинників, які зумовили цю варіацію. Ця величина визначається за формулою

де - загальна середня арифметична всієї досліджуваної сукупності.

Середня внутрішньогрупова дисперсіясвідчить про випадкову варіацію, яка може виникнути під впливом будь-яких неврахованих факторів і яка не залежить від ознаки-фактора, покладеного в основу угруповання. Дана дисперсія розраховується наступним чином: спочатку розраховуються дисперсії за окремими групами (), потім розраховується середня внутрішньогрупова дисперсія:

де n i - Число одиниць у групі

Міжгрупова дисперсія(Дисперсія групових середніх) характеризує систематичну варіацію, тобто. відмінності у величині досліджуваної ознаки, що виникають під впливом ознаки-фактора, який покладено в основу угруповання.

де – середня величина за окремою групою.

Всі три види дисперсії пов'язані між собою: загальна дисперсія дорівнює сумі середньої внутрішньогрупової дисперсії та міжгрупової дисперсії:

Властивості:

25 Відносні показники варіації

Коеф. Осц. провитрачає відносну коливання крайніх значень ознаки навколо середньої. Отн. лін. вимкнути. характеризує частку усередненого значення ознаки абсолютних відхилень від середньої величини. Коеф. Варіації є найпоширенішим показником коливання, використовуваним з метою оцінки типовості середніх величин.

У статистиці сукупності, що мають коефіцієнт варіації більше 30-35%, прийнято вважати неоднорідними.

Закономірність рядів розподілу. Моменти розподілу. Показники форми розподілу

У варіаційних рядах існує зв'язок між частотами і значеннями ознаки, що варіює: зі збільшенням ознаки величина частоти спочатку зростає до певної межі, а потім зменшується. Такі зміни називаються закономірностями розподілу.

Форму розподілу вивчають за допомогою показників асиметрії та ексцесу. Під час обчислення зазначених показників використовують моменти розподілу.

Моментом k-го порядку називають середній із k-х ступенів відхилень варіантів значень ознаки від деякої постійної величини. Порядок моменту визначається за величиною k. Під час аналізу варіаційних рядів обмежуються розрахунком моментів перших чотирьох порядків. При обчисленні моментів як ваги можуть бути використані частоти або частоти. Залежно від вибору постійної величини розрізняють початкові, умовні та центральні моменти.

Показники форми розподілу:

Асиметрія(As) показник, що характеризує ступінь асиметричності розподілу .

Отже, при (лівосторонній) негативній асиметрії . При (правосторонній) позитивній асиметрії .

Для розрахунку асиметрії можна використати центральні моменти. Тоді:

,

де μ 3 - Центральний момент третього порядку.

- ексцес (Е до ) характеризує крутість графіка функції в порівнянні з нормальним розподілом при тій же силі варіації:

,

де μ4 - центральний момент 4-го порядку.

Закон нормального розподілу

Для нормального розподілу (розподілу Гауса) функція розподілу має такий вигляд:

Мотовидання-стандартне відхилення

Нормальний розподіл симетрично і йому характерно таке співвідношення: Хср=Ме=Мо

Ексцес нормального розподілу дорівнює 3 а коефіцієнт асиметрії 0.

Крива нормального розподілу являє собою полігон (симетрична колокообразная пряма)

Види дисперсії. Правило складання дисперсій. Сутність емпіричного коефіцієнта детермінації.

Якщо вихідна сукупність поділена на групи за якоюсь суттєвою ознакою, то обчислюють такі види дисперсій:

Загальна дисперсія вихідної сукупності:

де - загальна середня величина вихідної сукупності; f - частоти вихідної сукупності. Загальна дисперсія характеризує відхилення індивідуальних значень ознаки загальної середньої величини вихідної сукупності.

Внутрішньогрупові дисперсії:

де j- номер групи; - середня величина в кожній j-ій групі; - частоти j-ої групи. Внутрішньогрупові дисперсії характеризують відхилення індивідуального значення ознаки у кожній групі від групової середньої величини. З усіх внутрішньогрупових дисперсій обчислюють середню за формулою: де- чисельність одиниць у кожній j-ій групі.

Міжгрупова дисперсія:

Міжгрупова дисперсія характеризує відхилення групових середніх величин загальної середньої величини вихідної сукупності.

Правило складання дисперсійполягає в тому, що загальна дисперсія вихідної сукупності повинна дорівнювати сумі міжгрупової та середньої з внутрішньогрупових дисперсій:

Емпіричний коефіцієнт детермінаціїпоказує частку варіації досліджуваної ознаки, обумовлену варіацією групувальної ознаки, і розраховується за такою формулою:

Спосіб відліку від умовного нуля (спосіб моментів) для розрахунку середньої величини та дисперсії

Розрахунок дисперсії способом моментів заснований на використанні формули та 3 і 4 властивостей дисперсії.

(3. Якщо всі значення ознаки (варіанти) збільшити (зменшити) якесь постійне число А, то дисперсія нової сукупності не зміниться.

4.Якщо всі значення ознаки (варіанти) збільшити (помножити) до К разів, де К – постійне число, то дисперсія нової сукупності збільшиться (зменшиться) до К 2 разів.)

Отримаємо формулу обчислення дисперсії у варіаційних рядах з рівними інтервалами способом моментів:

А- умовний нуль, рівний варіанті з максимальною частотою (середина інтервалу з максимальною частотою)

Розрахунок середньої величини способом моментів також ґрунтується на використанні властивостей середньої.

Поняття про вибіркове спостереження. Етапи дослідження економічних явищ вибірковим методом

Вибірковим називають спостереження, у якому обстеженню та вивченню піддаються в повному обсязі одиниці вихідної сукупності, лише частина одиниць, у своїй результат обстеження частини сукупності поширюється протягом усього вихідну сукупність. Сукупність, з якої проводиться відбір одиниць для подальшого обстеження та вивчення називається генеральноїі всі показники, що характеризують цю сукупність, називаються генеральними.

Можливі межі відхилень вибіркової середньої величини від генеральної середньої величини називають помилкою вибірки.

Сукупність відібраних одиниць називається вибірковоюі всі показники, що характеризують цю сукупність, називаються вибірковими.

Вибіркове дослідження включає такі етапи:

Характеристика об'єкта дослідження (масові економічні явища). Якщо генеральна сукупність невелика, вибірку проводити не рекомендується, необхідно суцільне дослідження;

Розрахунок обсягу вибірки. Важливо визначити оптимальний обсяг, який дозволить за найменших витрат отримати помилку вибірки в межах допустимої;

Проведення відбору одиниць спостереження з огляду на вимоги випадковості, пропорційності.

Доказ репрезентативності, що ґрунтується на оцінці помилки вибірки. Для випадкової вибірки помилка розраховується із застосуванням формул. Для цільової вибірки репрезентативність оцінюється за допомогою якісних методів (порівняння, експерименту);

Аналіз вибіркової сукупності. Якщо сформована вибірка відповідає вимогам репрезентативності, проводиться її аналіз з використанням аналітичних показників (середніх, відносних та ін.)

Поряд із вивченням варіації ознаки по всій по всій сукупності в цілому часто буває необхідно простежити кількісні зміни ознаки по групах, на які поділяється сукупність, а також між групами. Таке вивчення варіації досягається за допомогою обчислення та аналізу різних видів дисперсії.
Виділяють дисперсію загальну, міжгрупову та внутрішньогрупову.
Загальна дисперсія σ 2вимірює варіацію ознаки у всій сукупності під впливом всіх чинників, що зумовили цю варіацію, .

Міжгрупова дисперсія (δ) характеризує систематичну варіацію, тобто. відмінності у величині досліджуваної ознаки, що виникають під впливом ознаки-фактора, покладеного в основу угруповання. Вона розраховується за такою формулою:
.

Внутрішньогрупова дисперсія (σ)відбиває випадкову варіацію, тобто. частина варіації, що відбувається під впливом неврахованих факторів і не залежить від ознаки-фактора, покладеного в основу угруповання. Вона обчислюється за такою формулою:
.

Середня із внутрішньогрупових дисперсій: .

Існує закон, що пов'язує 3 види дисперсії. Загальна дисперсія дорівнює сумі середньої з внутрішньогрупової та міжгрупової дисперсії: .
Дане співвідношення називають правилом складання дисперсій.

В аналізі широко використовується показник, що є частиною міжгрупової дисперсії в загальній дисперсії. Він має назву емпіричного коефіцієнта детермінації (? 2): .
Корінь квадратний з емпіричного коефіцієнта детермінації зветься емпіричного кореляційного відношення (η):
.
Воно характеризує вплив ознаки, покладеної в основу угруповання, на варіацію результативної ознаки. Емпіричне кореляційне відношення змінюється не більше від 0 до 1.
Покажемо його практичне використання на прикладі (табл. 1).

Приклад №1. Таблиця 1 – Продуктивність праці двох груп робітників одного з цехів НВО «Циклон»

Вихідні дані для обчислення середньої внутрішньогрупової та міжгрупової дисперсії представлені в табл. 2.
Таблиця 2
Розрахунок і 2 по двох групах робочих.

Поряд із варіацією кількісних ознак може спостерігатися і варіація якісних ознак. Таке вивчення варіації досягається у вигляді обчислення наступних видів дисперсій:

Внутрішньогрупова дисперсія частки визначається за формулою

Це співвідношення дисперсій називається теоремою складання дисперсій частки ознаки.

Варіаційний розмах (або розмах варіації)це різниця між максимальним та мінімальним значеннями ознаки:

У прикладі розмах варіації змінної вироблення робочих становить: у першій бригаді R=105-95=10 дет., у другій бригаді R=125-75=50 дет. (У 5 разів більше). Це свідчить, що вироблення 1-ї бригади більш «стійка», але резервів зростання вироблення більше в другій бригади, т.к. у разі досягнення всіма робітниками максимальної для цієї бригади виробітку, нею може бути виготовлено 3*125=375 деталей, а в 1-й бригаді лише 105*3=315 деталей.
Якщо крайні значення ознаки не типові для сукупності, використовують квартильний або децильний розмахи. Квартильний розмах RQ = Q3-Q1 охоплює 50% обсягу сукупності, децильний розмах перший RD1 = D9-D1охоплює 80% даних, другий децильний розмах RD2 = D8-D2 - 60%.
Недоліком показника варіаційного розмаху є, але його величина не відображає всі коливання ознаки.
Найпростішим узагальнюючим показником, що відображає всі коливання ознаки, є середнє лінійне відхилення, що являє собою середню арифметичну абсолютних відхилень окремих варіантів від їх середньої величини:

,
для згрупованих даних
,
де хi - значення ознаки в дискретному ряду або середина інтервалу в інтервальному розподілі.
У вищенаведених формулах різниці в чисельнику взяті за модулем, інакше, згідно з властивістю середньої арифметичної, чисельник завжди дорівнюватиме нулю. Тому середнє лінійне відхилення у статистичній практиці застосовують рідко, лише у випадках, коли підсумовування показників без урахування знака має економічний сенс. З його допомогою, наприклад, аналізується склад працюючих, рентабельність виробництва, оборот зовнішньої торгівлі.
Дисперсія ознаки- Це середній квадрат відхилень варіант від їх середньої величини:
проста дисперсія
,
зважена дисперсія
.
Формулу для розрахунку дисперсії можна спростити:

Таким чином, дисперсія дорівнює різниці середньої з квадратів варіант і квадрата середньої з варіант сукупності:
.
Однак, внаслідок підсумовування квадратів відхилень дисперсія дає спотворене уявлення про відхилення, тому її на основі розраховують середнє квадратичне відхиленнящо показує, наскільки в середньому відхиляються конкретні варіанти ознаки від їхнього середнього значення. Обчислюється шляхом вилучення квадратного кореня з дисперсії:
для несгрупованих даних
,
для варіаційного ряду

Чим менше значення дисперсії та середнього квадратичного відхилення, тим однорідніша сукупність, тим більш надійною (типовою) буде середня величина.
Середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення - іменовані числа, тобто виражаються в одиницях виміру ознаки, ідентичні за змістом та близькі за значенням.
Розраховувати абсолютні показники варіації рекомендується з допомогою таблиць.
Таблиця 3 - Розрахунок показників варіації (на прикладі терміну даних про змінну вироблення робочих бригади)

Середнє зміна вироблення робітників:

Середнє лінійне відхилення:

Дисперсія виробітку:

Середнє квадратичне відхилення виробітку окремих робітників від середнього виробітку:
.

1 Розрахунок дисперсії способом моментів

Обчислення дисперсій пов'язані з громіздкими розрахунками (особливо якщо середня величина виражена великим числом із кількома десятковими знаками). Розрахунки можна спростити, якщо використовувати спрощену формулу та властивості дисперсії.
Дисперсія має такі властивості:

1. якщо всі значення ознаки зменшити або збільшити на ту саму величину А, то дисперсія від цього не зменшиться:

,

, то чи
Використовуючи властивості дисперсії і спочатку зменшивши всі варіанти сукупності на величину А, а потім розділивши величину інтервалу h, отримаємо формулу обчислення дисперсії в варіаційних рядах з рівними інтервалами способом моментів:
,
де - Дисперсія, обчислена за способом моментів;
h – величина інтервалу варіаційного ряду;
- Нові (перетворені) значення варіант;
А - постійна величина, в якості якої використовують середину інтервалу, що має найбільшу частоту; або варіант, що має максимальну частоту;
- Квадрат моменту першого порядку;
- Момент другого порядку.
Виконаємо розрахунок дисперсії способом моментів на основі даних про змінне вироблення робітників бригади.
Таблиця 4 - Розрахунок дисперсії за способом моментів

Порядок розрахунку:

1. розраховуємо дисперсію:

2 Розрахунок дисперсії альтернативної ознаки

Серед ознак, що вивчаються статистикою, є такі, яким властиві лише два взаємно виключають значення. Це альтернативні ознаки. Їм надається відповідно два кількісні значення: варіанти 1 і 0. Частиною варіанти 1, яка позначається p, є частка одиниць, що мають дану ознаку. Різниця 1-р=q є частотою варіанти 0. Таким чином,

Середня арифметична альтернативна ознака
, Оскільки p+q=1.

Дисперсія альтернативної ознаки
, т.к. 1-р = q
Таким чином, дисперсія альтернативної ознаки дорівнює добутку частки одиниць, що володіють даною ознакою, і частки одиниць, що не мають цієї ознаки.
Якщо значення 1 і 0 зустрічаються однаково часто, тобто p = q, дисперсія досягає свого максимуму pq = 0,25.
Дисперсія альтернативної ознаки використовується у вибіркових обстеженнях, наприклад, якості продукції.

3 Міжгрупова дисперсія. Правило складання дисперсій

Дисперсія, на відміну інших характеристик варіації, є адитивної величиною. Тобто в сукупності, яка поділена на групи за факторною ознакою х , дисперсія результативної ознаки yможе бути розкладена на дисперсію у кожній групі (внутрішньогрупову) та дисперсію між групами (міжгрупову). Тоді, поряд із вивченням варіації ознаки по всій сукупності загалом, стає можливим вивчення варіації у кожній групі, а також між цими групами.

Загальна дисперсіявимірює варіацію ознаки упо всій сукупності під впливом всіх факторів, що спричинили цю варіацію (відхилення). Вона дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки увід загальної середньої та може бути обчислена як проста або зважена дисперсія.
Міжгрупова дисперсіяхарактеризує варіацію результативної ознаки у, спричинену впливом ознаки-фактора х, покладеного в основу угруповання. Вона характеризує варіацію групових середніх і дорівнює середньому квадрату відхилень групових середніх від загальної середньої.
,
де – середня арифметична i-та група;
– чисельність одиниць у i-тій групі (частота i-тої групи);
- Загальна середня сукупності.
Внутрішньогрупова дисперсіявідбиває випадкову варіацію, т. е. ту частину варіації, що викликана впливом неврахованих чинників і залежить від ознаки-фактора, покладеного основою угруповання. Вона характеризує варіацію індивідуальних значень щодо групових середніх, дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки увсередині групи від середньої арифметичної цієї групи (групової середньої) та обчислюється як проста або зважена дисперсія для кожної групи:
або ,
де – число одиниць групи.
На підставі внутрішньогрупових дисперсій з кожної групи можна визначити загальну середню із внутрішньогрупових дисперсій:
.
Взаємозв'язок між трьома дисперсіями отримав назву правила складання дисперсій, згідно з яким загальна дисперсія дорівнює сумі міжгрупової дисперсії та середньої з внутрішньогрупових дисперсій:

приклад. При вивченні впливу тарифного розряду (кваліфікації) робітників на рівень продуктивності їхньої праці отримані такі дані.
Таблиця 5 - Розподіл робітників по середньогодинному виробітку.

У цьому прикладі робітники розділені на дві групи за факторною ознакою х- кваліфікації, що характеризується їх розрядом. Результативна ознака – вироблення – варіюється як під його впливом (міжгрупова варіація), так і за рахунок інших випадкових факторів (внутрішньогрупова варіація). Завдання полягає у вимірі цих варіацій за допомогою трьох дисперсій: загальної, міжгрупової та внутрішньогрупової. Емпіричний коефіцієнт детермінації показує частку варіації результативної ознаки упід впливом факторної ознаки х. Решта загальної варіації увикликана зміною інших чинників.
У прикладі емпіричний коефіцієнт детермінації дорівнює:
або 66,7%,
Це означає, що у 66,7% варіація продуктивність праці робочих зумовлена ​​відмінностями у кваліфікації, але в 33,3% – впливом інших чинників.
Емпіричне кореляційне ставленняпоказує тісноту зв'язку між групувальною та результативними ознаками. Розраховується як квадратний корінь з емпіричного коефіцієнта детермінації:

Емпіричне кореляційне відношення, як і може приймати значення від 0 до 1.
Якщо зв'язок немає, то =0. І тут =0, тобто групові середні рівні між собою міжгрупової варіації немає. Значить групувальний ознака – чинник впливає освіту загальної варіації.
Якщо зв'язок функціональний, то =1. І тут дисперсія групових середніх дорівнює загальної дисперсії (), тобто внутригрупповой варіації немає. Це означає, що групувальна ознака повністю визначає варіацію результативної ознаки, що вивчається.
Чим ближче значення кореляційного ставлення до одиниці, тим більше, ближче до функціональної залежності зв'язок між ознаками.
Для якісної оцінки тісноти зв'язок між ознаками користуються співвідношеннями Чеддока.

У прикладі , що свідчить про тісний зв'язок між продуктивністю праці робітників та його кваліфікацією.

Основними узагальнюючими показниками варіації у статистиці є дисперсії та середнє квадратичне відхилення.

Дисперсія це середня арифметична квадратів відхилень кожного значення ознаки від загальної середньої. Дисперсія називається середнім квадратом відхилень і позначається  2 . Залежно від вихідних даних дисперсія може обчислюватися за середньою арифметичною простою або зваженою:

 дисперсія незважена (проста);

 дисперсія зважена.

Середнє квадратичне відхилення це узагальнююча характеристика абсолютних розмірів варіації ознаки у сукупності. Виражається воно у тих самих одиницях виміру, як і ознака (в метрах, тоннах, відсотках, гектарах тощо. буд.).

Середнє квадратичне відхилення являє собою квадратний корінь з дисперсії і позначається :

 середнє квадратичне відхилення незважене;

 середнє квадратичне відхилення зважене.

Середнє квадратичне відхилення є мірилом середньої надійності. Чим менше середнє квадратичне відхилення, тим краще середня арифметична відбиває всю сукупність, що представляється.

Обчислення середнього квадратичного відхилення передує розрахунок дисперсії.

Порядок розрахунку дисперсії зваженої наступний:

1) визначають середню арифметичну зважену:

2) розраховують відхилення варіантів від середньої:

3) зводять у квадрат відхилення кожного варіанта від середньої:

4) множать квадрати відхилень на ваги (частоти):

5) підсумовують отримані твори:

6) отриману суму ділять на суму ваг:

Приклад 2.1

Обчислимо середню арифметичну зважену:

Значення відхилень від середньої та його квадратів представлені у таблиці. Визначимо дисперсію:

Середнє квадратичне відхилення дорівнюватиме:

Якщо вихідні дані представлені у вигляді інтервального ряду розподілу , спочатку потрібно визначити дискретне значення ознаки, а потім застосувати викладений метод.

Приклад 2.2

Покажемо розрахунок дисперсії для інтервального ряду даних про розподіл посівної площі колгоспу за врожайністю пшениці.

Середня арифметична дорівнює:

Обчислимо дисперсію:

6.3. Розрахунок дисперсії за формулою за індивідуальними даними

Техніка обчислення дисперсії складна, а при великих значеннях варіантів та частот може бути громіздкою. Розрахунки можна спростити, використовуючи властивості дисперсії.

Дисперсія має такі властивості.

1. Зменшення або збільшення ваг (частот) варіюючої ознаки в кілька разів дисперсію не змінює.

2. Зменшення або збільшення кожного значення ознаки на ту саму постійну величину Адисперсію не змінює.

3. Зменшення або збільшення кожного значення ознаки в якесь число разів kвідповідно зменшує або збільшує дисперсію в k 2 рази середнє квадратичне відхилення  в kразів.

4. Дисперсія ознаки щодо довільної величини завжди більше дисперсії щодо середньої арифметичної на квадрат різниці між середньою та довільною величинами:

Якщо А 0, то приходимо до наступної рівності:

тобто дисперсія ознаки дорівнює різниці між середнім квадратом значень ознаки та квадратом середньої.

Кожна властивість при розрахунку дисперсії може бути застосована самостійно або у поєднанні з іншими.

Порядок розрахунку дисперсії простий:

1) визначають середню арифметичну :

2) зводять у квадрат середню арифметичну:

3) зводять у квадрат відхилення кожного варіанта ряду:

х i 2 .

4) знаходять суму квадратів варіантів:

5) ділять суму квадратів варіантів з їхньої число, т. е. визначають середній квадрат:

6) визначають різницю між середнім квадратом ознаки та квадратом середньої:

Приклад 3.1Є такі дані про продуктивність праці робочих:

Зробимо такі розрахунки:

На цій сторінці описано стандартний приклад знаходження дисперсії, також Ви можете переглянути інші завдання на її знаходження

Приклад 1. Визначення групової, середньої з групової, міжгрупової та загальної дисперсії

Приклад 2. Знаходження дисперсії та коефіцієнта варіації у групувальній таблиці

Приклад 3. Знаходження дисперсії у дискретному ряду

Приклад 4. Є такі дані щодо групи з 20 студентів заочного відділення. Потрібно побудувати інтервальний ряд розподілу ознаки, розрахувати середнє значення ознаки та вивчити його дисперсію

Побудуємо інтервальне угруповання. Визначимо розмах інтервалу за формулою:

де X max - максимальне значення групувального ознаки;
X min-мінімальне значення групувальної ознаки;
n – кількість інтервалів:

Приймаємо n=5. Крок дорівнює: h = (192 - 159) / 5 = 6,6

Складемо інтервальне угруповання

Для подальших розрахунків збудуємо допоміжну таблицю:

X"i - середина інтервалу. (наприклад середина інтервалу 159 - 165,6 = 162,3)

Середню величину зростання студентів визначимо за формулою середньої арифметичної зваженої:

Визначимо дисперсію за такою формулою:

Формулу можна перетворити так:

З цієї формули випливає, що дисперсія дорівнює різниці середньої з квадратів варіантів і квадрата та середньої.

Дисперсія у варіаційних рядахз рівними інтервалами за способом моментів може бути розрахована наступним способом при використанні другої властивості дисперсії (розділивши всі варіанти на величину інтервалу). Визначення дисперсії, обчисленої за способом моментів, за такою формулою менш трудомісткий:

де i – величина інтервалу;
А - умовний нуль, як який зручно використовувати середину інтервалу, що володіє найбільшою частотою;
m1 – квадрат моменту першого порядку;
m2 – момент другого порядку

Дисперсія альтернативної ознаки (якщо в статистичній сукупності ознака змінюється так, що є тільки два варіанти, що взаємно виключають один одного, то така мінливість називається альтернативною) може бути обчислена за формулою:

Підставляючи до цієї формули дисперсії q =1- р, отримуємо:

Види дисперсії

Загальна дисперсіявимірює варіацію ознаки у всій сукупності загалом під впливом всіх чинників, що зумовлюють цю варіацію. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки х від загального середнього значення х може бути визначена як проста дисперсія або зважена дисперсія.

Внутрішньогрупова дисперсія характеризує випадкову варіацію, тобто. частина варіації, яка обумовлена ​​впливом неврахованих факторів і не залежить від ознаки-фактора, покладеної в основу угруповання. Така дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи X від середньої арифметичної групи і може бути обчислена як проста дисперсія або зважена дисперсія.

Таким чином, внутрішньогрупова дисперсія вимірюєваріацію ознаки всередині групи та визначається за формулою:

де хі - групова середня;
ni – число одиниць у групі.

Наприклад, внутрішньогрупові дисперсії, які треба визначити в задачі вивчення впливу кваліфікації робітників на рівень продуктивності праці в цеху показують варіації виробітку в кожній групі, викликані всіма можливими факторами (технічний стан обладнання, забезпеченість інструментами та матеріалами, вік робітників, інтенсивність праці тощо) .), крім відмінностей у кваліфікаційному розряді (всередині групи всі робітники мають одну й ту саму кваліфікацію).