Teorijski materijal na modulima "Teorija vjerovatnoće i matematička statistika". Velika enciklopedija nafte i gasa

Zadatak 14. U gotovinskoj lutriji igra se 1 dobitak od 1.000.000 rubalja, 10 dobitaka od po 100.000 rubalja. i 100 dobitaka od 1000 rubalja. sa ukupnim brojem listića 10000. Naći zakon raspodjele nasumičnih dobitaka X za vlasnika jedne srećke.

Odluka. Moguće vrijednosti za X: X 1 = 0; X 2 = 1000; X 3 = 100000;

X 4 \u003d 1000000. Njihove vjerovatnoće su respektivno jednake: R 2 = 0,01; R 3 = 0,001; R 4 = 0,0001; R 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Dakle, zakon distribucije isplate X može se dati sljedećom tabelom:

Zadatak 15. Diskretna slučajna varijabla X dato zakonom o distribuciji:

Konstruirajte poligon distribucije.

Odluka. Konstruišemo pravougaoni koordinatni sistem, a duž apscisne ose iscrtaćemo moguće vrednosti x i, a duž y-ose - odgovarajuće vjerovatnoće p i. Izgradimo bodove M 1 (1;0,2), M 2 (3;0,1), M 3 (6; 0,4) i M 4 (8; 0,3). Povezujući ove tačke sa segmentima, dobijamo željeni poligon distribucije.

§2. Numeričke karakteristike slučajnih varijabli

Slučajnu varijablu u potpunosti karakterizira njen zakon raspodjele. Prosječan opis slučajne varijable može se dobiti korištenjem njenih numeričkih karakteristika

2.1. Očekivana vrijednost. Disperzija.

Neka slučajna varijabla poprimi vrijednosti sa vjerovatnoćama.

Definicija. Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti i odgovarajućih vjerovatnoća:

Osobine matematičkog očekivanja.

Disperzija slučajne varijable oko srednje vrijednosti karakteriziraju varijansa i standardna devijacija.

Disperzija slučajne varijable je matematičko očekivanje kvadratnog odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja:

Za proračune se koristi sljedeća formula

Svojstva disperzije.

2. , gdje su međusobno nezavisne slučajne varijable.

3. Standardna devijacija.

Zadatak 16. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable Z = X+ 2Y, ako su poznata matematička očekivanja slučajnih varijabli X i Y: M(X) = 5, M(Y) = 3.

Odluka. Koristimo svojstva matematičkog očekivanja. Tada dobijamo:

M(X+ 2Y)= M(X) + M(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Zadatak 17. Varijanca slučajne varijable X jednako 3. Pronađite varijansu slučajnih varijabli: a) –3 X; b) 4 X + 3.

Odluka. Primijenimo svojstva 3, 4 i 2 disperzije. Imamo:

a) D(–3X) = (–3) 2 D(X) = 9D(X) = 9 . 3 = 27;

b) D(4X + 3) = D(4X) + D(3) = 16D(X) + 0 = 16 . 3 = 48.

Zadatak 18. Zadana je nezavisna slučajna varijabla Y je broj poena postignutih bacanjem kocke. Naći zakon raspodjele, matematičko očekivanje, varijansu i standardnu ​​devijaciju slučajne varijable Y.

Odluka. Tablica distribucije slučajnih varijabli Y izgleda kao:

Onda M(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

D(Y) \u003d (1 - 3,5) 2 1/6 + (2 - 3,5) 2 / 6 + (3 - 3,5) 2 1/6 + (4 - 3,5) 2 / 6 + (5 - -3,5) 2 1/ 6 + (6 - 3,5) 2. 1/6 = 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.

Slučajne varijable: diskretne i kontinuirane.

Prilikom izvođenja stohastičkog eksperimenta formira se prostor elementarnih događaja – mogućih ishoda ovog eksperimenta. Smatra se da na ovom prostoru elementarnih događaja slučajna vrijednost X, ako je dat zakon (pravilo) prema kojem se svakom elementarnom događaju dodjeljuje broj. Dakle, slučajna varijabla X može se smatrati funkcijom definiranom na prostoru elementarnih događaja.

■ Slučajno- vrijednost koja tokom svakog testa poprima jednu ili drugu brojčanu vrijednost (ne zna se unaprijed koju), u zavisnosti od slučajnih uzroka koji se ne mogu unaprijed uzeti u obzir. Slučajne varijable su označene velikim slovima latinice, a moguće vrijednosti slučajne varijable su označene malim slovima. Dakle, kada se baci kocka, dešava se događaj povezan sa brojem x, gde je x broj bačenih poena. Broj bodova je nasumična vrijednost, a brojevi 1, 2, 3, 4, 5, 6 su moguće vrijednosti ove vrijednosti. Udaljenost koju će projektil preletjeti kada je ispaljen iz pištolja također je slučajna varijabla (zavisi od ugradnje nišana, jačine i smjera vjetra, temperature i drugih faktora), te mogućih vrijednosti ​​ove količine pripadaju određenom intervalu (a; b).

■ Diskretna slučajna varijabla- slučajna varijabla koja poprima odvojene, izolovane moguće vrijednosti sa određenim vjerovatnoćama. Broj mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable može biti konačan ili beskonačan.

■ Kontinuirana slučajna varijabla je slučajna varijabla koja može preuzeti sve vrijednosti iz nekog konačnog ili beskonačnog intervala. Broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačan.

Na primjer, broj bodova ispuštenih prilikom bacanja kocke, rezultat za kontrolni rad su diskretne slučajne varijable; udaljenost koju projektil leti pri ispaljivanju iz pištolja, greška mjerenja indikatora vremena asimilacije obrazovnog materijala, visina i težina osobe kontinuirane su slučajne varijable.

Zakon distribucije slučajne varijable– korespondencija između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih vjerovatnoća, tj. svaka moguća vrijednost x i povezana je s vjerovatnoćom p i sa kojom slučajna varijabla može uzeti ovu vrijednost. Zakon raspodjele slučajne varijable može se dati tabelarno (u obliku tabele), analitički (u obliku formule) i grafički.

Neka diskretna slučajna varijabla X ima vrijednosti x 1 , x 2 , …, x n sa vjerovatnoćama p 1 , p 2 , …, p n respektivno, tj. P(X=x 1) = p 1 , P(X=x 2) = p 2 , …, P(X=x n) = p n . Uz tabelarnu dodjelu zakona raspodjele ove vrijednosti, prvi red tabele sadrži moguće vrijednosti x 1, x 2, ..., x n, a drugi - njihove vjerovatnoće

Kao rezultat testa, diskretna slučajna varijabla X uzima jednu i samo jednu od mogućih vrijednosti, tako da događaji X=x 1 , X=x 2 , …, X=x n čine kompletnu grupu parno nekompatibilnih događaja i , dakle, zbir vjerovatnoća ovih događaja jednak je jedan , tj. p 1 + p 2 + ... + p n \u003d 1.

Zakon raspodjele diskretne slučajne varijable. Distribucija poligona (poligona).

Kao što znate, slučajna varijabla je varijabla koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o slučaju. Slučajne varijable su označene velikim slovima latinične abecede (X, Y, Z), a njihove vrijednosti - odgovarajućim malim slovima (x, y, z). Slučajne varijable se dijele na diskontinualne (diskretne) i kontinuirane.

Diskretna slučajna varijabla je slučajna varijabla koja uzima samo konačan ili beskonačan (prebrojiv) skup vrijednosti sa određenim vjerovatnoćama koje nisu nula.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je funkcija koja povezuje vrijednosti slučajne varijable sa njihovim odgovarajućim vjerovatnoćama. Zakon o raspodjeli može se specificirati na jedan od sljedećih načina.

1. Zakon raspodjele može se dati u tabeli:

gdje je λ>0, k = 0, 1, 2, … .

c) korištenjem funkcije raspodjele F(x), koja za svaku vrijednost x određuje vjerovatnoću da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju od x, tj. F(x) = P(X< x).

Svojstva funkcije F(x)

3. Zakon raspodjele se može specificirati grafički - poligonom distribucije (poligonom) (vidi zadatak 3).

Imajte na umu da za rješavanje nekih problema nije potrebno poznavati zakon raspodjele. U nekim slučajevima dovoljno je znati jedan ili više brojeva koji odražavaju najvažnije karakteristike zakona o raspodjeli. To može biti broj koji ima značenje "prosječne vrijednosti" slučajne varijable ili broj koji pokazuje prosječnu veličinu odstupanja slučajne varijable od njene prosječne vrijednosti. Brojevi ove vrste nazivaju se numeričkim karakteristikama slučajne varijable.

Glavne numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable:

• Matematičko očekivanje (prosječna vrijednost) diskretne slučajne varijable M(X)=Σ x i p i .
  Za binomnu distribuciju M(X)=np, za Poissonovu distribuciju M(X)=λ
• Disperzija diskretne slučajne varijable D(X)= M 2 ili D(X) = M(X 2)− 2 . Razlika X–M(X) naziva se odstupanjem slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.
  Za binomnu distribuciju D(X)=npq, za Poissonovu distribuciju D(X)=λ
• Standardna devijacija (standardna devijacija) σ(X)=√D(X).

· Za jasnoću predstavljanja varijacione serije, njeni grafički prikazi su od velike važnosti. Grafički, varijacioni niz se može prikazati kao poligon, histogram i kumulat.

· Poligon distribucije (bukvalno, poligon distribucije) naziva se izlomljena linija, koja je izgrađena u pravougaonom koordinatnom sistemu. Vrijednost karakteristike je iscrtana na apscisi, a odgovarajuće frekvencije (ili relativne frekvencije) - duž ordinate. Tačke (ili ) se povezuju linijskim segmentima i dobija se poligon distribucije. Poligoni se najčešće koriste za prikaz diskretnih serija varijacija, ali se mogu koristiti i za intervalne serije. U ovom slučaju, tačke koje odgovaraju sredinama ovih intervala su iscrtane na osi apscise.

Zadatak 14. U gotovinskoj lutriji igra se 1 dobitak od 1.000.000 rubalja, 10 dobitaka od po 100.000 rubalja. i 100 dobitaka od 1000 rubalja. sa ukupnim brojem listića 10000. Naći zakon raspodjele nasumičnih dobitaka X za vlasnika jedne srećke.

Odluka. Moguće vrijednosti za X: X 1 = 0; X 2 = 1000; X 3 = 100000;

X 4 \u003d 1000000. Njihove vjerovatnoće su respektivno jednake: R 2 = 0,01; R 3 = 0,001; R 4 = 0,0001; R 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Dakle, zakon distribucije isplate X može se dati sljedećom tabelom:

Konstruirajte poligon distribucije.

Odluka. Konstruišemo pravougaoni koordinatni sistem, a duž apscisne ose iscrtaćemo moguće vrednosti x i, a duž y-ose - odgovarajuće vjerovatnoće p i. Izgradimo bodove M 1 (1;0,2), M 2 (3;0,1), M 3 (6; 0,4) i M 4 (8; 0,3). Povezujući ove tačke sa segmentima, dobijamo željeni poligon distribucije.

§2. Numeričke karakteristike slučajnih varijabli

Slučajnu varijablu u potpunosti karakterizira njen zakon raspodjele. Prosječan opis slučajne varijable može se dobiti korištenjem njenih numeričkih karakteristika

2.1. Očekivana vrijednost. Disperzija.

Neka slučajna varijabla poprimi vrijednosti sa vjerovatnoćama.

Definicija. Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti i odgovarajućih vjerovatnoća:

.

Osobine matematičkog očekivanja.

Disperzija slučajne varijable oko srednje vrijednosti karakteriziraju varijansa i standardna devijacija.

Disperzija slučajne varijable je matematičko očekivanje kvadratnog odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja:

Za proračune se koristi sljedeća formula

Svojstva disperzije.

2. , gdje su međusobno nezavisne slučajne varijable.

3. Standardna devijacija .

Zadatak 16. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable Z = X+ 2Y, ako su poznata matematička očekivanja slučajnih varijabli X i Y: M(X) = 5, M(Y) = 3.

Odluka. Koristimo svojstva matematičkog očekivanja. Tada dobijamo:

M(X+ 2Y)= M(X) + M(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Zadatak 17. Varijanca slučajne varijable X jednako 3. Pronađite varijansu slučajnih varijabli: a) –3 X; b) 4 X + 3.

Odluka. Primijenimo svojstva 3, 4 i 2 disperzije. Imamo:

a) D(–3X) = (–3) 2 D(X) = 9D(X) = 9 . 3 = 27;

b) D(4X + 3) = D(4X) + D(3) = 16D(X) + 0 = 16 . 3 = 48.

Zadatak 18. Zadana je nezavisna slučajna varijabla Y je broj poena postignutih bacanjem kocke. Naći zakon raspodjele, matematičko očekivanje, varijansu i standardnu ​​devijaciju slučajne varijable Y.

Odluka. Tablica distribucije slučajnih varijabli Y izgleda kao:

Onda M(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

D(Y) \u003d (1 - 3,5) 2 1/6 + (2 - 3,5) 2 / 6 + (3 - 3,5) 2 1/6 + (4 - 3,5) 2 / 6 + (5 - -3,5) 2 1/ 6 + (6 - 3,5) 2. 1/6 = 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.

Diskretno naziva se slučajna varijabla koja može poprimiti odvojene, izolirane vrijednosti sa određenim vjerovatnoćama.

PRIMJER 1. Broj pojavljivanja grba u tri bacanja novčića. Moguće vrijednosti: 0, 1, 2, 3, njihove vjerovatnoće su jednake redom:

P(0) = ; P(1) = ; P(2) = ; P(3) = .

PRIMJER 2. Broj neispravnih elemenata u uređaju koji se sastoji od pet elemenata. Moguće vrijednosti: 0, 1, 2, 3, 4, 5; njihove vjerovatnoće zavise od pouzdanosti svakog od elemenata.

Diskretna slučajna varijabla X može se dati nizom raspodjele ili funkcijom raspodjele (integralni zakon raspodjele).

Blizu distribucije je skup svih mogućih vrijednosti Xi i njihove odgovarajuće vjerovatnoće Ri = P(X = xi), može se dati kao tabela:

Istovremeno, vjerovatnoće Ri zadovoljiti uslov

Ri= 1 jer

gdje je broj mogućih vrijednosti n može biti konačan ili beskonačan.

Grafički prikaz distribucijske serije naziva poligon distribucije . Da biste ga konstruirali, moguće vrijednosti slučajne varijable ( Xi) su iscrtani duž x-ose i vjerovatnoće Ri- duž y-ose; bodova Ii sa koordinatama ( Xi , stri) povezani su isprekidanim linijama.

funkcija distribucije slučajna varijabla X naziva se funkcija F(X), čija je vrijednost u tački X jednaka je vjerovatnoći da je slučajna varijabla X bit će manja od ove vrijednosti X, to je

F(x) = P(X< х).

Funkcija F(X) za diskretna slučajna varijabla izračunato po formuli

F(X) = Ri , (1.10.1)

gdje je sumiranje preko svih vrijednosti i, za koji Xi< х.

PRIMJER 3. Iz serije koja sadrži 100 artikala, među kojima je 10 neispravnih artikala, nasumično se bira pet artikala kako bi se provjerila njihova kvaliteta. Konstruirajte seriju distribucija slučajnog broja X neispravne proizvode sadržane u uzorku.

Odluka. Budući da broj neispravnih proizvoda u uzorku može biti bilo koji cijeli broj u rasponu od 0 do 5 uključujući, moguće vrijednosti Xi slučajna varijabla X su jednaki:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Vjerovatnoća R(X = k) da će u uzorku biti tačno k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) neispravni proizvodi, jednako

P (X = k) \u003d.

Kao rezultat izračunavanja koristeći ovu formulu sa tačnošću od 0,001, dobijamo:

R 1 = P(X = 0) @ 0,583;R 2 = P(X = 1) @ 0,340;R 3 = P(X = 2) @ 0,070;

R 4 = P(X = 3) @ 0,007;R 5 = P(X= 4) @ 0;R 6 = P(X = 5) @ 0.

Korištenje jednakosti za provjeru Rk=1, pazimo da su proračuni i zaokruživanje urađeni ispravno (vidi tabelu).

PRIMJER 4. Dat je niz distribucije slučajne varijable X :

Pronađite funkciju distribucije vjerovatnoće F(X) ove slučajne varijable i konstruisati je.

Odluka. Ako X 10 funti onda F(X)= P(X<X) = 0;

ako 10<X 20 funti onda F(X)= P(X<X) = 0,2 ;

ako 20<X 30 funti onda F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

ako 30<X 40 funti onda F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

ako 40<X 50 funti onda F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

ako X> 50 , onda F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

Slučajna varijabla Naziva se količina koja, kao rezultat eksperimenta, može poprimiti jednu ili drugu vrijednost koja nije unaprijed poznata. Slučajne varijable su diskontinuirano (diskretno) i kontinuirano tip. Moguće vrijednosti diskontinuiranih veličina mogu se unaprijed nabrojati. Moguće vrijednosti kontinuiranih veličina ne mogu se unaprijed nabrojati i kontinuirano popunjavati određeni jaz.

Primjer diskretnih slučajnih varijabli:

1) Broj pojavljivanja grba u tri bacanja novčića. (moguće vrijednosti su 0;1;2;3)

2) Učestalost pojavljivanja grba u istom eksperimentu. (moguće vrijednosti)

3) Broj neispravnih elemenata u uređaju koji se sastoji od pet elemenata. (Moguće vrijednosti su 0;1;2;3;4;5)

Primjeri kontinuiranih slučajnih varijabli:

1) Apscisa (ordinata) tačke udara kada se ispaljuje.

2) Udaljenost od tačke udara do centra mete.

3) Vrijeme neispravnog rada uređaja (radio cijevi).

Slučajne varijable su označene velikim slovima, a njihove moguće vrijednosti odgovarajućim malim slovima. Na primjer, X je broj pogodaka sa tri hica; moguće vrijednosti: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

Razmotrimo diskontinuiranu slučajnu varijablu X sa mogućim vrijednostima X 1 , X 2 , … , X n . Svaka od ovih vrijednosti je moguća, ali nije sigurna, a vrijednost X može uzeti svaku od njih sa određenom vjerovatnoćom. Kao rezultat eksperimenta, veličina X će poprimiti jednu od ovih vrijednosti, odnosno dogodit će se jedan od kompletne grupe nekompatibilnih događaja.

Označimo vjerovatnoće ovih događaja slovima p sa odgovarajućim indeksima:

Pošto nekompatibilni događaji čine kompletnu grupu, onda

odnosno, zbir vjerovatnoća svih mogućih vrijednosti slučajne varijable jednak je 1. Ova ukupna vjerovatnoća je nekako raspoređena između pojedinačnih vrijednosti. Slučajna varijabla će biti potpuno opisana sa vjerovatnoće gledišta ako specificiramo ovu distribuciju, odnosno naznačimo tačno koju vjerovatnoću svaki od događaja ima. (Ovo će uspostaviti takozvani zakon raspodjele slučajnih varijabli.)

Zakon raspodjele slučajne varijable Poziva se svaka relacija koja uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti slučajne varijable i odgovarajuće vjerovatnoće. (Za slučajnu varijablu, reći ćemo da ona podliježe datom zakonu distribucije)

Najjednostavniji oblik specificiranja zakona distribucije slučajne varijable je tabela koja navodi moguće vrijednosti slučajne varijable i njihove odgovarajuće vjerovatnoće.

Tabela 1.

Takav sto se zove blizu distribucije slučajne varijable.

Da bi seriji distribucije dali vizualniji oblik, pribjegavaju njenom grafičkom prikazu: moguće vrijednosti slučajne varijable su iscrtane duž apscisne ose, a vjerovatnoće ovih vrijednosti su nacrtane duž ose ordinate. (Radi jasnoće, dobijene tačke su povezane linijskim segmentima.)

Slika 1 - poligon distribucije

Takva figura se zove distributivni poligon. Poligon distribucije, kao i serija distribucije, u potpunosti karakterizira slučajnu varijablu; to je oblik zakona raspodjele.

primjer:

izvodi se jedan eksperiment u kojem se može pojaviti ili ne mora pojaviti događaj A. Vjerovatnoća događaja A = 0,3. Razmatra se slučajna varijabla X - broj pojavljivanja događaja A u ovom eksperimentu. Potrebno je izgraditi niz i poligon distribucije X.

Tabela 2.

Slika 2 - Funkcija distribucije

funkcija distribucije je univerzalna karakteristika slučajne varijable. Postoji za sve slučajne varijable: i diskontinualne i ne-diskontinualne. Funkcija distribucije u potpunosti karakterizira slučajnu varijablu sa vjerojatnosnog stanovišta, odnosno jedan je od oblika zakona raspodjele.

Za kvantificiranje ove distribucije vjerovatnoće, zgodno je koristiti ne vjerovatnoću događaja X=x, već vjerovatnoću događaja X

Funkcija distribucije F(x) se ponekad naziva i integralna funkcija raspodjele ili integralni zakon raspodjele.

Svojstva funkcije distribucije slučajne varijable

1. Funkcija distribucije F(x) je neopadajuća funkcija svog argumenta, odnosno za ;

2. Na minus beskonačno:

3. Na plus beskonačnost:

Slika 3 - grafik funkcije distribucije

Dijagram funkcije distribucije u općem slučaju, to je graf neopadajuće funkcije, čije vrijednosti počinju od 0 i dosežu 1.

Poznavajući red distribucije slučajne varijable, moguće je konstruisati funkciju distribucije slučajne varijable.

primjer:

za uslove prethodnog primera, konstruisati funkciju distribucije slučajne varijable.

Konstruirajmo funkciju distribucije X:

Slika 4 - funkcija distribucije X

funkcija distribucije od bilo koje diskontinuirane diskretne slučajne varijable uvijek postoji diskontinuirana funkcija koraka čiji se skokovi javljaju u tačkama koje odgovaraju mogućim vrijednostima slučajne varijable i jednake su vjerojatnosti ovih vrijednosti. Zbir svih skokova u funkciji distribucije je 1.

Kako se broj mogućih vrijednosti slučajne varijable povećava i intervali između njih se smanjuju, broj skokova postaje sve veći, a sami skokovi postaju manji:

Slika 5

Kriva koraka postaje glatkija:

Slika 6

Slučajna varijabla se postepeno približava kontinuiranoj vrijednosti, a njena funkcija distribucije približava se kontinuiranoj funkciji. Postoje i slučajne varijable čije moguće vrijednosti kontinuirano popunjavaju određeni jaz, ali za koje funkcija distribucije nije svuda kontinuirana. I u nekim trenucima se lomi. Takve slučajne varijable se nazivaju mješovite.

Slika 7