Površina trokuta sa različitim stranama. Područje trokuta - formule i primjeri rješavanja problema

Trokut je takva geometrijska figura koja se sastoji od tri prave linije koje se spajaju u tačkama koje ne leže na jednoj pravoj liniji. Tačke veze linija su vrhovi trougla, koji su označeni latiničnim slovima (na primjer, A, B, C). Spojne ravne linije trougla nazivaju se segmenti, koji se također obično označavaju latiničnim slovima. Postoje sljedeće vrste trouglova:

Pravougaona.
tupo.
Oštri kut.
Svestran.
Equilateral.
Jednakokraki.

Opće formule za izračunavanje površine trokuta

Formula površine trokuta za dužinu i visinu

S=a*h/2,
gdje je a dužina stranice trougla čija se površina nalazi, h je dužina visine povučene do osnove.

Heronova formula

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
gdje je √ kvadratni korijen, p je poluperimetar trougla, a,b,c je dužina svake strane trougla. Poluperimetar trougla se može izračunati pomoću formule p=(a+b+c)/2.

Formula za površinu trokuta u smislu ugla i dužine segmenta

S = (a*b*sin(α))/2,
gdje je b,c dužina stranica trougla, sin(α) je sinus ugla između dvije stranice.

Formula za površinu trokuta daje polumjer upisane kružnice i tri strane

S=p*r,
gdje je p poluperimetar trougla čija se površina nalazi, r je poluprečnik kružnice upisane u ovaj trokut.

Formula za površinu trokuta s tri strane i polumjerom kružnice koja je opisana oko njega

S= (a*b*c)/4*R,
gdje je a,b,c dužina svake strane trougla, R je polumjer opisane kružnice oko trougla.

Formula za površinu trokuta u kartezijanskim koordinatama tačaka

Kartezijanske koordinate tačaka su koordinate u sistemu xOy, gdje je x apscisa, a y ordinata. Dekartov koordinatni sistem xOy na ravni naziva se međusobno okomite numeričke ose Ox i Oy sa zajedničkom referentnom tačkom u tački O. Ako su koordinate tačaka na ovoj ravni date u obliku A (x1, y1), B (x2, y2) i C (x3, y3), tada možete izračunati površinu trokuta koristeći sljedeću formulu, koja se dobija iz unakrsnog proizvoda dva vektora.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
gdje || označava modul.

Kako pronaći površinu pravokutnog trokuta

Pravougli trougao je trougao koji ima jedan ugao od 90 stepeni. Trougao može imati samo jedan takav ugao.

Formula za površinu pravokutnog trokuta na dvije noge

S=a*b/2,
gdje je a,b dužina nogu. Noge se nazivaju strane koje se nalaze uz pravi ugao.

Formula za površinu pravokutnog trokuta s obzirom na hipotenuzu i oštar ugao

S = a*b*sin(α)/ 2,
gdje su a, b kraci trougla, a sin(α) je sinus ugla pod kojim se prave a, b seku.

Formula za površinu pravokutnog trokuta po kraku i suprotnom kutu

S = a*b/2*tg(β),
gdje su a, b katete trougla, tg(β) je tangenta ugla pod kojim su katete a, b spojene.

Kako izračunati površinu jednakokračnog trougla

Jednakokraki trougao je onaj koji ima dvije jednake stranice. Ove strane se zovu stranice, a druga strana je baza. Možete koristiti jednu od sljedećih formula za izračunavanje površine jednakokračnog trokuta.

Osnovna formula za izračunavanje površine jednakokračnog trokuta

S=h*c/2,
gdje je c osnova trougla, h visina trougla spuštenog na osnovu.

Formula jednakokračnog trokuta na bočnoj strani i osnovici

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
gdje je c osnova trougla, a vrijednost jedne od stranica jednakokračnog trougla.

Kako pronaći površinu jednakostraničnog trougla

Jednakostranični trokut je trokut u kojem su sve strane jednake. Da biste izračunali površinu jednakostraničnog trokuta, možete koristiti sljedeću formulu:
S = (√3*a*a)/4,
gdje je a dužina stranice jednakostraničnog trougla.

Gore navedene formule će vam omogućiti da izračunate potrebnu površinu trokuta. Važno je zapamtiti da se za izračunavanje razmaka trokuta mora uzeti u obzir vrsta trokuta i dostupni podaci koji se mogu koristiti za proračun.

Na internetu se može naći više od 10 formula za izračunavanje površine trokuta. Mnoge od njih se koriste u problemima sa poznatim stranicama i uglovima trokuta. Međutim, postoji niz složenih primjera gdje su, prema uslovu zadatka, poznati samo jedna stranica i uglovi trokuta, odnosno poluprečnik opisane ili upisane kružnice i još jedna karakteristika. U takvim slučajevima, jednostavna formula se ne može primijeniti.

Formule u nastavku će riješiti 95 posto problema u kojima trebate pronaći površinu trokuta.
Pređimo na razmatranje formula zajedničkog područja.
Razmotrite trokut prikazan na donjoj slici

Na slici i dalje u formulama uvedene su klasične oznake svih njegovih karakteristika
a,b,c su stranice trougla,
R je poluprečnik opisane kružnice,
r je poluprečnik upisane kružnice,
h[b],h[a],h[c] - visine nacrtane u skladu sa stranicama a,b,c.
alfa, beta,hamma - uglovi blizu vrhova.

Osnovne formule za površinu trokuta

1. Površina je jednaka polovini proizvoda stranice trokuta i visine spuštene na ovu stranu. U jeziku formula, ova definicija se može napisati kao

Dakle, ako su strana i visina poznate, onda će svaki učenik pronaći površinu.
Usput, jedna korisna veza između visina može se izvesti iz ove formule

2. Ako uzmemo u obzir da je visina trougla kroz susjednu stranicu izražena zavisnošću

Zatim iz prve formule površine slijedi isti tip druge

Pažljivo pogledajte formule - lako ih je zapamtiti, jer rad ima dvije strane i ugao između njih. Ako ispravno označimo stranice i uglove trokuta (kao na gornjoj slici), onda ćemo dobiti dvije stranice a, b a ugao je povezan sa trećim C (hamma).

3. Za uglove trougla, relacija

Ovisnost vam omogućava da u proračunima primijenite sljedeće formule za površinu trokuta

Primjeri ove ovisnosti su izuzetno rijetki, ali morate zapamtiti da postoji takva formula.

4. Ako su poznati stranica i dva susjedna ugla, tada se površina nalazi po formuli

5. Formula za površinu u smislu stranice i kotangensa susjednih uglova je sljedeća

Preuređivanjem indeksa možete dobiti zavisnosti za druge strane.

6. Formula površine ispod se koristi u zadacima kada su vrhovi trougla dati na ravni sa koordinatama. U ovom slučaju, površina je jednaka polovini modulo determinante.

7. Heronova formula koristi se u primjerima s poznatim stranicama trokuta.
Prvo pronađite poluperimetar trokuta

A zatim odredite površinu po formuli

ili

Često se koristi u kodu programa kalkulatora.

8. Ako su poznate sve visine trougla, tada je površina određena formulom

Teško je izračunati na kalkulatoru, međutim, u paketima MathCad, Mathematica, Maple površina je "jedan dva".

9. Sljedeće formule koriste poznate polumjere upisanih i opisanih kružnica.

Konkretno, ako su poznati polumjer i stranice trokuta, ili njegov opseg, tada se površina izračunava prema formuli

10. U primjerima gdje su date stranice i polumjer ili prečnik opisane kružnice, površina se nalazi po formuli

11. Sljedeća formula određuje površinu trokuta u smislu stranice i uglova trokuta.

I na kraju - posebni slučajevi:
Površina pravouglog trougla sa katetama a i b jednaka je polovini njihovog proizvoda

Formula za površinu jednakostraničnog (pravilnog) trokuta=

\u003d jedna četvrtina proizvoda kvadrata stranice i korijena tri.

Kao što se možda sjećate iz školskog programa iz geometrije, trougao je figura formirana od tri segmenta povezana sa tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj liniji. Trougao formira tri ugla, otuda i naziv figure. Definicija može biti drugačija. Trougao se može nazvati i poligonom sa tri ugla, odgovor će biti jednako tačan. Trokuti se dijele prema broju jednakih stranica i veličini uglova na slikama. Dakle, razlikuju takve trokute kao što su jednakokračni, jednakostrani i razmjerni, kao i pravokutni, pod oštrim i tupokutnim.

Postoji mnogo formula za izračunavanje površine trokuta. Odaberite kako pronaći površinu trokuta, tj. koju formulu koristiti, samo vi. Ali vrijedi napomenuti samo neke oznake koje se koriste u mnogim formulama za izračunavanje površine trokuta. pa zapamti:

S je površina trokuta,

a, b, c su stranice trougla,

h je visina trokuta,

R je poluprečnik opisane kružnice,

p je poluperimetar.

Ovdje su osnovne oznake koje mogu biti korisne ako ste potpuno zaboravili kurs geometrije. Najrazumljivije i najkompliciranije opcije za izračunavanje nepoznate i misteriozne površine trokuta bit će navedene u nastavku. Nije teško i dobro će vam doći i za potrebe vašeg domaćinstva i za pomoć vašoj djeci. Prisjetimo se kako izračunati površinu trokuta lako kao ljuštenje krušaka:

U našem slučaju, površina trokuta je: S = ½ * 2,2 cm. * 2,5 cm. = 2,75 sq. cm. Zapamtite da se površina mjeri u kvadratnim centimetrima (sqcm).

Pravokutni trokut i njegova površina.

Pravougli trougao je trougao sa jednim uglom jednakim 90 stepeni (zbog toga se naziva pravougli trougao). Pravi ugao čine dvije okomite linije (u slučaju trougla, dva okomita segmenta). U pravouglom trouglu može postojati samo jedan pravi ugao, jer zbir svih uglova bilo kog trougla je 180 stepeni. Ispada da bi 2 druga ugla trebala podijeliti preostalih 90 stupnjeva između sebe, na primjer, 70 i 20, 45 i 45, itd. Dakle, sjetili ste se glavne stvari, ostaje da naučite kako pronaći površinu pravokutnog trokuta. Zamislite da imamo takav pravougaoni trougao ispred sebe, a trebamo pronaći njegovu površinu S.

1. Najlakši način za određivanje površine pravokutnog trokuta se izračunava pomoću sljedeće formule:

U našem slučaju, površina pravokutnog trokuta je: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 sq. cm.

U principu, više nije potrebno provjeravati površinu trokuta na druge načine, jer u svakodnevnom životu dobro će doći i samo će ovaj pomoći. Ali postoje i opcije za mjerenje površine trokuta kroz oštre uglove.

2. Za druge metode izračunavanja, morate imati tablicu kosinusa, sinusa i tangenta. Procijenite sami, evo nekoliko opcija za izračunavanje površina pravokutnog trougla koje još uvijek možete koristiti:

Odlučili smo da koristimo prvu formulu i sa malim mrljama (crtali smo u svesku i koristili stari lenjir i kutomjer), ali smo dobili pravi proračun:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) = (3 * 3) / (2 * 1,2). Dobili smo takve rezultate 3,6=3,7, ali uzimajući u obzir pomak ćelije, možemo oprostiti ovu nijansu.

Jednakokraki trokut i njegova površina.

Ako ste suočeni sa zadatkom izračunavanja formule jednakokračnog trokuta, tada je najlakši način da koristite glavnu i, kako se smatra klasičnom formulom za površinu trokuta.

Ali prvo, prije nego što pronađemo površinu jednakokračnog trokuta, saznat ćemo o kakvoj se figuri radi. Jednakokraki trougao je trougao čije su dve stranice iste dužine. Ove dvije strane se zovu stranice, a treća strana se zove baza. Ne brkajte jednakokraki trougao sa jednakostraničnim, tj. jednakostranični trougao sa sve tri strane jednake. U takvom trokutu nema posebnih sklonosti uglovima, odnosno njihovoj veličini. Međutim, uglovi u osnovi u jednakokračnom trokutu su jednaki, ali različiti od ugla između jednakih stranica. Dakle, već znate prvu i glavnu formulu, ostaje da saznate koje su druge formule za određivanje površine jednakokračnog trokuta poznate:

Geometrijska oblast- numerička karakteristika geometrijske figure koja pokazuje veličinu ove figure (dio površine omeđen zatvorenom konturom ove figure). Veličina područja izražava se brojem kvadratnih jedinica koje se u njemu nalaze.

Formule površine trougla

Formula površine trokuta za stranu i visinu
Površina trougla jednak polovini umnoška dužine stranice trokuta i dužine visine povučene ovoj strani
Formula za površinu trokuta date tri stranice i polumjer opisane kružnice
Formula za površinu trokuta date tri stranice i polumjer upisane kružnice
Površina trougla jednak je proizvodu poluperimetra trokuta i poluprečnika upisane kružnice.

Formule kvadratne površine

Formula za površinu kvadrata s obzirom na dužinu stranice
kvadratna površina jednak je kvadratu dužine njegove stranice.
Formula za površinu kvadrata s obzirom na dužinu dijagonale
kvadratna površina jednaka polovini kvadrata dužine njegove dijagonale.
S= 1 2
2

Formula površine pravokutnika

Površina pravougaonika

Formule za površinu paralelograma

Formula površine paralelograma za dužinu i visinu stranice
Područje paralelograma
Formula za površinu paralelograma date dvije stranice i ugao između njih
Područje paralelograma jednak je proizvodu dužina njegovih stranica pomnoženog sa sinusom ugla između njih.
a b sinα

Formule za površinu romba

Formula površine romba date dužinu i visinu stranice
Rhombus area jednak je proizvodu dužine njegove stranice i dužine visine spuštene na ovu stranu.
Formula za površinu romba s obzirom na dužinu stranice i ugao
Rhombus area jednak je proizvodu kvadrata dužine njegove stranice i sinusa ugla između stranica romba.
Formula za površinu romba iz dužina njegovih dijagonala
Rhombus area jednak je polovini umnoška dužina njegovih dijagonala.

Formule površine trapeza

Heronova formula za trapez
gdje je S površina trapeza,
- dužina osnova trapeza,
- dužina stranica trapeza,

Trougao je dobro poznata figura. I to, uprkos bogatoj raznolikosti njegovih oblika. Pravokutni, jednakostranični, akutni, jednakokraki, tupi. Svaki od njih je donekle drugačiji. Ali za bilo koje je potrebno znati površinu trokuta.

Zajedničke formule za sve trokute koji koriste dužine stranica ili visina

U njima usvojene oznake: strane - a, b, c; visine na odgovarajućim stranama na a, n in, n s.

1. Površina trokuta se izračunava kao proizvod ½, stranice i visine spuštene na nju. S = ½ * a * n a. Slično, treba napisati formule za druge dvije strane.

2. Heronova formula, u kojoj se pojavljuje poluperimetar (uobičajeno je označavati ga malim slovom p, za razliku od punog perimetra). Poluperimetar se mora izračunati na sljedeći način: zbrojite sve strane i podijelite ih sa 2. Formula poluperimetra: p \u003d (a + b + c) / 2. Tada je jednakost za površinu \ Slika izgleda ovako: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Ako ne želite koristiti poluperimetar, onda će vam dobro doći takva formula u kojoj su prisutne samo dužine stranica: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Nešto je duži od prethodnog, ali će vam pomoći ako ste zaboravili kako pronaći poluperimetar.

Opće formule u kojima se pojavljuju uglovi trokuta

Oznaka koja je potrebna za čitanje formula: α, β, γ - uglovi. Leže na suprotnim stranama a, b, c, redom.

1. Prema njemu, polovina proizvoda dviju stranica i sinusa ugla između njih jednaka je površini trokuta. To jest: S = ½ a * b * sin γ. Formule za druga dva slučaja treba napisati na sličan način.

2. Površina trougla može se izračunati iz jedne strane i tri poznata ugla. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Postoji i formula s jednom poznatom stranom i dva ugla koja su joj susjedna. To izgleda ovako: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Posljednje dvije formule nisu najjednostavnije. Prilično ih je teško zapamtiti.

Opće formule za situaciju kada su poznati polumjeri upisanih ili opisanih kružnica

Dodatne oznake: r, R — radijusi. Prvi se koristi za radijus upisane kružnice. Drugi je za opisani.

1. Prva formula po kojoj se izračunava površina trokuta odnosi se na poluperimetar. S = r * r. Na drugi način, može se napisati na sljedeći način: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. U drugom slučaju, morat ćete pomnožiti sve strane trougla i podijeliti ih četverostrukim polumjerom opisane kružnice. Doslovno, to izgleda ovako: S = (a * b * c) / (4R).

3. Treća situacija vam omogućava da ne znate stranice, ali su vam potrebne vrijednosti sva tri ugla. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Poseban slučaj: pravokutni trokut

Ovo je najjednostavnija situacija, jer je potrebna samo dužina obje noge. Označeni su latiničnim slovima a i b. Površina pravokutnog trokuta jednaka je polovini površine pravokutnika koji mu se dodaje.

Matematički, to izgleda ovako: S = ½ a * b. Nju je najlakše pamtiti. Budući da izgleda kao formula za površinu pravokutnika, pojavljuje se samo razlomak koji označava polovicu.

Poseban slučaj: jednakokraki trokut

Budući da su njegove dvije strane jednake, neke formule za njegovu površinu izgledaju donekle pojednostavljene. Na primjer, Heronova formula, koja izračunava površinu jednakokračnog trokuta, ima sljedeći oblik:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Ako ga pretvorite, postat će kraći. U ovom slučaju, Heronova formula za jednakokraki trokut je napisana na sljedeći način:

S = ¼ u √(4 * a 2 - b 2).

Formula površine izgleda nešto jednostavnije nego za proizvoljan trokut ako su poznate stranice i ugao između njih. S \u003d ½ a 2 * sin β.

Poseban slučaj: jednakostranični trokut

Obično se u problemima oko njega strana zna ili se nekako može prepoznati. Tada je formula za pronalaženje površine takvog trokuta sljedeća:

S = (a 2 √3) / 4.

Zadaci za pronalaženje površine ako je trokut prikazan na kariranom papiru

Najjednostavnija situacija je kada je pravougaoni trokut nacrtan tako da mu se kraci poklapaju s linijama papira. Zatim samo trebate izbrojati broj ćelija koje staju u noge. Zatim ih pomnožite i podijelite sa dva.

Kada je trokut oštar ili tupougao, mora se nacrtati u pravougaonik. Tada će u rezultirajućoj figuri biti 3 trokuta. Jedan je onaj koji je dat u zadatku. A druga dva su pomoćna i pravougaona. Područja posljednja dva moraju se odrediti gore opisanom metodom. Zatim izračunajte površinu pravokutnika i oduzmite od njega one izračunate za pomoćne. Određuje se površina trokuta.

Mnogo je teža situacija u kojoj se nijedna stranica trokuta ne poklapa sa linijama papira. Zatim se mora upisati u pravougaonik tako da vrhovi originalne figure leže na njegovim stranama. U ovom slučaju biće tri pomoćna pravougla trougla.

Primjer problema na Heronovoj formuli

Stanje. Neki trougao ima stranice. One su jednake 3, 5 i 6 cm.Morate znati njegovu površinu.

Sada možete izračunati površinu trokuta koristeći gornju formulu. Pod kvadratnim korijenom nalazi se proizvod četiri broja: 7, 4, 2 i 1. To jest, površina je √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Ako vam nije potrebna veća preciznost, onda možete uzeti kvadratni korijen od 14. To je 3,74. Tada će površina biti jednaka 7,48.

Odgovori. S \u003d 2 √14 cm 2 ili 7,48 cm 2.

Primjer zadatka s pravokutnim trouglom

Stanje. Jedna kateta pravokutnog trokuta je 31 cm duža od druge. Potrebno je saznati njihove dužine ako je površina trokuta 180 cm 2.
Rješenje. Morate riješiti sistem od dvije jednačine. Prvi se odnosi na područje. Drugi je omjer nogu koji je dat u zadatku.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
Prvo, vrijednost "a" mora biti zamijenjena u prvu jednačinu. Ispada: 180 \u003d ½ (in + 31) * in. Ima samo jednu nepoznatu količinu, pa je lako riješiti. Nakon otvaranja zagrada dobija se kvadratna jednadžba: u 2 + 31 in - 360 \u003d 0. Daje dvije vrijednosti za "in": 9 i - 40. Drugi broj nije prikladan kao odgovor , budući da dužina stranice trokuta ne može biti negativna vrijednost.

Ostaje izračunati drugi krak: rezultirajućem broju dodajte 31. Ispada 40. To su količine koje se traže u zadatku.

Odgovori. Kraci trougla su 9 i 40 cm.

Zadatak pronalaženja stranice kroz površinu, stranicu i ugao trougla

Stanje. Površina nekog trougla je 60 cm2. Potrebno je izračunati jednu od njegovih stranica ako je druga strana 15 cm, a ugao između njih 30º.

Rješenje. Na osnovu prihvaćenih oznaka, željena strana je „a“, poznata „b“, dati ugao je „γ“. Tada se formula površine može prepisati na sljedeći način:

60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. Ovdje je sinus od 30 stepeni 0,5.

Nakon transformacije, "a" se ispostavi da je jednako 60 / (0,5 * 0,5 * 15). To je 16.

Odgovori. Željena strana je 16 cm.

Problem kvadrata upisanog u pravokutni trokut

Stanje. Vrh kvadrata sa stranicom od 24 cm poklapa se sa pravim uglom trokuta. Druga dvojica leže na nogama. Treći pripada hipotenuzi. Dužina jedne od kateta je 42 cm. Kolika je površina pravokutnog trokuta?

Rješenje. Razmotrimo dva pravougla trougla. Prvi je naveden u zadatku. Drugi je baziran na poznatoj kraci originalnog trougla. Oni su slični jer imaju zajednički ugao i formiraju ih paralelne linije.

Tada su omjeri njihovih nogu jednaki. Kateti manjeg trougla su 24 cm (strana kvadrata) i 18 cm (data je kateta 42 cm minus stranica kvadrata 24 cm). Odgovarajuće noge velikog trokuta su 42 cm i x cm. To je "x" koji je potreban da bi se izračunala površina trokuta.

18/42 \u003d 24 / x, odnosno x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

Tada je površina jednaka proizvodu 56 i 42, podijeljenom sa dva, odnosno 1176 cm 2.

Odgovori. Željena površina je 1176 cm 2.