Равномерно разпределение на сегмента. Равномерно разпределение на вероятностите

Функцията на разпределение в този случай, съгласно (5.7), ще приеме формата:

където: m е математическото очакване, s е стандартното отклонение.

Нормалното разпределение се нарича още гаусово на името на немския математик Гаус. Фактът, че една случайна променлива има нормално разпределение с параметри: m,, се означава по следния начин: N (m, s), където: m =a =M ;

Доста често във формулите математическото очакване се означава с а . Ако една случайна променлива е разпределена по закона N(0,1), тогава тя се нарича нормализирана или стандартизирана нормална стойност. Функцията на разпределение за него има формата:

Графиката на плътността на нормалното разпределение, която се нарича нормална крива или крива на Гаус, е показана на фиг. 5.4.

Ориз. 5.4. Нормална плътност на разпределение

На пример се разглежда определянето на числените характеристики на случайна променлива по нейната плътност.

Пример 6.

Непрекъсната случайна променлива се дава от плътността на разпределение: .

Определете вида на разпределението, намерете математическото очакване M(X) и дисперсията D(X).

Сравнявайки дадената плътност на разпределение с (5.16), можем да заключим, че е даден нормалният закон на разпределение с m =4. Следователно, математическо очакване M(X)=4, дисперсия D(X)=9.

Стандартно отклонение s=3.

Функцията на Лаплас, която има формата:

е свързано с функцията на нормалното разпределение (5.17) чрез връзката:

F 0 (x) \u003d F (x) + 0,5.

Функцията на Лаплас е странна.

Ф(-x)=-Ф(x).

Стойностите на функцията на Лаплас Ф(х) са таблични и взети от таблицата според стойността на x (вижте Приложение 1).

Нормалното разпределение на непрекъсната случайна променлива играе важна роля в теорията на вероятностите и в описанието на реалността, то е широко разпространено в случайните природни явления. На практика много често има случайни величини, които се формират именно в резултат на сумирането на много случайни членове. По-специално, анализът на грешките при измерване показва, че те са сбор от различни видове грешки. Практиката показва, че вероятностното разпределение на грешките при измерване е близко до нормалния закон.

С помощта на функцията на Лаплас могат да се решават задачи за изчисляване на вероятността за попадане в даден интервал и дадено отклонение на нормална случайна променлива.

Както бе споменато по-рано, примери за вероятностни разпределения непрекъсната случайна променлива X са:

• равномерно вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива;
• експоненциално вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива;
• нормална дистрибуция вероятности на непрекъсната случайна променлива.

Нека дадем концепцията за равномерни и експоненциални закони на разпределение, вероятностни формули и числени характеристики на разглежданите функции.

Индекс	Закон за случайно разпределение	Експоненциалният закон на разпределение
Определение	Униформа се нарича вероятностното разпределение на непрекъсната случайна променлива X, чиято плътност остава постоянна на интервала и има формата	Експоненциален (експоненциален) се нарича вероятностното разпределение на непрекъсната случайна променлива X, което се описва от плътност, имаща формата
		където λ е постоянна положителна стойност
разпределителна функция
Вероятност удряне на интервала
Очаквана стойност
дисперсия
Стандартно отклонение

Примери за решаване на задачи по темата "Равномерни и експоненциални закони на разпределение"

Задача 1.

Автобусите се движат стриктно по разписание. Интервал на движение 7 мин. Намерете: (а) вероятността пътник, идващ на спирка, да чака следващия автобус по-малко от две минути; б) вероятността пътник, който се приближава до спирката, да чака следващия автобус поне три минути; в) математическото очакване и стандартното отклонение на случайната величина X - времето за изчакване на пътника.

Решение. 1. По условието на задачата непрекъсната случайна променлива X=(време на изчакване на пътника) равномерно разпределен между пристигането на два автобуса. Дължината на интервала на разпределение на случайната величина X е равна на b-a=7, където a=0, b=7.

2. Времето за изчакване ще бъде по-малко от две минути, ако произволната стойност X попада в интервала (5;7). Вероятността за попадане в даден интервал се намира по формулата: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. Времето за изчакване ще бъде най-малко три минути (т.е. от три до седем минути), ако произволната стойност X попада в интервала (0; 4). Вероятността за попадане в даден интервал се намира по формулата: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. Математическото очакване на непрекъсната, равномерно разпределена случайна величина X - времето за чакане на пътника, намираме по формулата: M(X)=(a+b)/2. M (X) \u003d (0 + 7) / 2 \u003d 7/2 \u003d 3,5.

5. Стандартното отклонение на непрекъсната, равномерно разпределена случайна величина X - времето за чакане на пътника, намираме по формулата: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2,02.

Задача 2.

Експоненциалното разпределение е дадено за x ≥ 0 чрез плътността f(x) = 5e – 5x. Необходимо е: а) да се напише израз за функцията на разпределение; б) намерете вероятността в резултат на теста X да попадне в интервала (1; 4); в) намерете вероятността в резултат на теста X ≥ 2; г) изчислете M(X), D(X), σ(X).

Решение. 1. Тъй като по условие, експоненциално разпределение , то от формулата за плътността на разпределение на вероятностите на случайната променлива X получаваме λ = 5. Тогава функцията на разпределение ще изглежда така:

2. Вероятността в резултат на теста X да попадне в интервала (1; 4) ще се намери по формулата:
P(a< X < b) = e −λa − e −λb .
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. Вероятността в резултат на теста X ≥ 2 да бъде намерена по формулата: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Намираме за експоненциалното разпределение:

• математическо очакване по формулата M(X) =1/λ = 1/5 = 0,2;
• дисперсия по формулата D (X) \u003d 1 / λ 2 \u003d 1/25 \u003d 0,04;
• стандартно отклонение по формулата σ(X) = 1/λ = 1/5 = 1,2.

С помощта на които се моделират множество реални процеси. И най-честият пример е разписанието на градския транспорт. Да предположим автобус (тролейбус/трамвай)върви на интервали от 10 минути и в произволен момент спираш. Каква е вероятността автобусът да пристигне след 1 минута? Очевидно 1/10. А вероятността да изчакате 4-5 минути? също. Каква е вероятността автобусът да чака повече от 9 минути? Една десета!

Помислете за някои краенинтервал, нека за определеност ще бъде отсечка. Ако произволна стойностима постоянен плътност на вероятносттавърху даден сегмент и нулева плътност извън него, тогава казваме, че е разпределен равномерно. В този случай функцията на плътност ще бъде строго дефинирана:

Наистина, ако дължината на сегмента (виж чертежа)е , тогава стойността неизбежно е равна - за да се получи единицата площ на правоъгълника и беше спазено известна собственост:


Нека го проверим формално:
, х.т.п. От вероятностна гледна точка това означава, че случайната променлива надеждноще вземе една от стойностите на сегмента ..., ех, бавно ставам скучен старец =)

Същността на еднаквостта е, че без значение каква вътрешна празнина фиксирана дължинане сме разглеждали (запомнете минутите на "автобуса")- вероятността една случайна променлива да приеме стойност от този интервал ще бъде същата. На чертежа съм засенчил три такива вероятности - още веднъж обръщам внимание на факта, че те се определят от площите, а не функционални стойности!

Помислете за типична задача:

Пример 1

Непрекъсната случайна променлива се дава от нейната плътност на разпределение:

Намерете константата , изчислете и съставете функцията на разпределение. Изграждане на диаграми. намирам

С други думи, всичко, за което можете да мечтаете :)

Решение: тъй като на интервала (терминален интервал) , тогава случайната променлива има равномерно разпределение и стойността на "ce" може да бъде намерена чрез директната формула . Но е по-добре по общ начин - като използвате свойство:

… защо е по-добре? Без повече въпроси ;)

Така че функцията на плътността е:

Нека направим трика. Стойности невъзможен , поради което в долната част се поставят удебелени точки:


Като бърза проверка, нека изчислим площта на правоъгълника:
, х.т.п.

Да намерим очаквана стойност, и вероятно вече се досещате на какво е равно. Спомнете си "10-минутния" автобус: ако на случаен принципспрете за много, много дни, спасете ме тогава средно аритметичнотрябва да изчакате 5 минути.

Да, точно така - очакването трябва да е точно в средата на интервала "събитие":
, както се очаква.

Изчисляваме дисперсията по формула . И тук имате нужда от око и око, когато изчислявате интеграла:

Поради това, дисперсия:

Да композираме разпределителна функция . Нищо ново тук:

1) ако , тогава и ;

2) ако , тогава и:

3) и накрая, at , Ето защо:

Като резултат:

Нека изпълним чертежа:


На интервала "на живо" функцията за разпределение расте линейнои това е друг знак, че имаме равномерно разпределена случайна променлива. Е, все пак, в крайна сметка производна линейна функция- е константа.

Необходимата вероятност може да се изчисли по два начина, като се използва намерената функция на разпределение:

или използвайки определен интеграл на плътността:

На който му харесва.

И тук можете да пишете отговор: ,
, се изграждат графики по решението.

... "възможно е", защото обикновено не наказват за липсата му. Обикновено ;)

Има специални формули за изчисляване и равномерна случайна променлива, които предлагам да изведете сами:

Пример 2

Непрекъсната случайна променлива, дефинирана от плътност .

Изчислете математическото очакване и дисперсията. Опростете резултатите (формули за съкратено умножениеда помогна).

Удобно е да използвате получените формули за проверка, по-специално проверете проблема, който току-що решихте, като замените конкретните стойности на „a“ и „b“ в тях. Кратко решение в долната част на страницата.

И в края на урока ще анализираме няколко „текстови“ задачи:

Пример 3

Делението на скалата на измервателния уред е 0,2. Показанията на инструмента се закръглят до най-близкото цяло деление. Ако приемем, че грешките при закръгляване са равномерно разпределени, намерете вероятността по време на следващото измерване тя да не надвишава 0,04.

За по-добро разбиране решенияпредставете си, че това е някакво механично устройство със стрелка, например везни със стойност на деление 0,2 кг и трябва да претеглим прасе в джоба. Но не за да разберете дебелината му - сега ще е важно КЪДЕ ще спре стрелката между две съседни деления.

Помислете за случайна променлива - разстояниестрелките на разстояние най-близоляво разделение. Или от най-близкия десен, няма значение.

Нека съставим функцията за плътност на вероятността:

1) Тъй като разстоянието не може да бъде отрицателно, тогава на интервала . Логично.

2) От условието следва, че стрелката на везните с еднакво вероятноможе да спре навсякъде между разделите * , включително самите деления и следователно на интервала :

* Това е съществено условие. Така например при претегляне на парчета памучна вата или килограмови опаковки сол ще се наблюдава равномерност на много по-тесни интервали.

3) И тъй като разстоянието от НАЙ-БЛИЗКОТО ляво деление не може да бъде повече от 0,2, тогава for също е нула.

Поради това:

Трябва да се отбележи, че никой не ни попита за функцията на плътността и аз дадох нейната пълна конструкция изключително в когнитивни вериги. Когато завършите задачата, достатъчно е да запишете само 2-ри параграф.

Сега нека отговорим на въпроса за проблема. Кога грешката при закръгляване до най-близкото деление не надвишава 0,04? Това ще се случи, когато стрелката спре на не повече от 0,04 от лявото деление на дясно илине по-далеч от 0,04 от дясното деление наляво. На чертежа защриховах съответните области:

Остава да намерим тези зони с помощта на интеграли. По принцип те могат да се изчислят и „по училищен начин“ (като площите на правоъгълниците), но простотата не винаги намира разбиране;)

от теорема за добавяне за вероятностите от несъвместими събития:

- вероятността грешката при закръгляване да не надвишава 0,04 (40 грама за нашия пример)

Лесно се вижда, че максималната възможна грешка при закръгляване е 0,1 (100 грама) и следователно вероятността грешката при закръгляване да не надвишава 0,1е равно на едно.

Отговор: 0,4

В други източници на информация има алтернативни обяснения / дизайн на тази задача и аз избрах опцията, която ми се стори най-разбираема. Специално вниманиетрябва да обърнете внимание на факта, че в условието можем да говорим за грешки НЕ на закръгляване, а за случаенгрешки при измерване, които обикновено са (но не винаги), разпределени над нормален закон. Поради това, Само една дума може да промени мнението ви!Бъдете нащрек и разберете смисъла.

И щом всичко върви в кръг, краката ни водят до същата автобусна спирка:

Пример 4

Автобусите по определен маршрут се движат строго по разписание и с интервал от 7 минути. Съставете функция от плътността на случайна променлива - времето за изчакване на следващия автобус от пътник, произволно приближил се до спирката. Намерете вероятността той да чака автобуса не повече от три минути. Намерете функцията на разпределение и обяснете смисловото й значение.

Разпределението се счита за равномерно, ако всички стойности на случайна променлива (в района на нейното съществуване, например в интервала) са еднакво вероятни. Функцията на разпределение за такава случайна променлива има формата:

Плътност на разпределение:

1

Ориз. Графики на функцията на разпределение (вляво) и плътност на разпределение (вдясно).

Равномерно разпределение – понятие и видове. Класификация и особености на категория "Равномерно разпределение" 2017, 2018г.

Този въпрос отдавна е проучен в детайли и най-широко използван е методът на полярните координати, предложен от Джордж Бокс, Мервин Мюлер и Джордж Марсалия през 1958 г. Този метод ви позволява да получите двойка независими нормално разпределени случайни променливи със средна стойност 0 и дисперсия 1, както следва:

Където Z 0 и Z 1 са желаните стойности, s \u003d u 2 + v 2 и u и v са случайни променливи, равномерно разпределени в сегмента (-1, 1), избрани по такъв начин, че условието 0 да е изпълнено< s < 1.
Мнозина използват тези формули, без дори да мислят, а много дори не подозират за тяхното съществуване, тъй като използват готови реализации. Но има хора, които имат въпроси: „Откъде идва тази формула? И защо получавате двойка стойности наведнъж? По-нататък ще се опитам да дам ясен отговор на тези въпроси.

Като начало нека ви напомня какво представляват плътността на вероятността, функцията на разпределение на случайна променлива и обратната функция. Да предположим, че има някаква случайна променлива, чието разпределение е дадено от функцията на плътност f(x), която има следния вид:

Това означава, че вероятността стойността на тази случайна променлива да бъде в интервала (A, B) е равна на площта на защрихованата област. И като следствие, площта на цялата защрихована област трябва да бъде равна на единица, тъй като във всеки случай стойността на случайната променлива ще попадне в областта на функцията f.
Функцията на разпределение на случайна променлива е интеграл от функцията на плътността. И в този случай приблизителната му форма ще бъде следната:

Тук значението е, че стойността на случайната променлива ще бъде по-малка от A с вероятност B. И в резултат на това функцията никога не намалява и нейните стойности лежат в интервала.

Обратната функция е функция, която връща аргумента на оригиналната функция, ако й подадете стойността на оригиналната функция. Например за функцията x 2 обратната ще бъде функцията за извличане на корен, за sin (x) тя е arcsin (x) и т.н.

Тъй като повечето генератори на псевдослучайни числа дават само равномерно разпределение на изхода, често се налага да го преобразувате в някакъв друг. В този случай, към нормален Гаус:

В основата на всички методи за трансформиране на равномерно разпределение във всяко друго разпределение е методът на обратната трансформация. Работи по следния начин. Намира се функция, която е обратна на функцията на търсеното разпределение, и към нея като аргумент се предава случайна променлива, равномерно разпределена в сегмента (0, 1). На изхода получаваме стойност с необходимото разпределение. За по-голяма яснота ето следната снимка.

По този начин еднакъв сегмент се размазва в съответствие с новото разпределение, като се проектира върху друга ос чрез обратна функция. Но проблемът е, че интегралът на плътността на разпределението на Гаус не е лесен за изчисляване, така че горните учени трябваше да мамят.

Има разпределение хи-квадрат (разпределение на Пиърсън), което е разпределението на сумата от квадратите на k независими нормални случайни променливи. А в случая, когато k = 2, това разпределение е експоненциално.

Това означава, че ако точка в правоъгълна координатна система има произволни X и Y координати, разпределени нормално, тогава след преобразуването на тези координати в полярната система (r, θ), квадратът на радиуса (разстоянието от началото до точката) ще се разпределят експоненциално, тъй като квадратът на радиуса е сумата от квадратите на координатите (според закона на Питагор). Плътността на разпределение на такива точки в равнината ще изглежда така:

Тъй като е еднакъв във всички посоки, ъгълът θ ще има равномерно разпределение в диапазона от 0 до 2π. Обратното също е вярно: ако посочите точка в полярната координатна система, като използвате две независими случайни променливи (ъгълът, разпределен равномерно и радиусът, разпределен експоненциално), тогава правоъгълните координати на тази точка ще бъдат независими нормални случайни променливи. И експоненциалното разпределение от равномерното разпределение вече е много по-лесно да се получи, като се използва същия метод на обратна трансформация. Това е същността на полярния метод на Бокс-Мюлер.
Сега да вземем формулите.

(1)

За да се получат r и θ, е необходимо да се генерират две случайни променливи, равномерно разпределени в сегмента (0, 1) (да ги наречем u и v), разпределението на една от които (да кажем v) трябва да се преобразува в експоненциално до получи радиуса. Функцията на експоненциалното разпределение изглежда така:

Неговата обратна функция:

Тъй като равномерното разпределение е симетрично, трансформацията ще работи по подобен начин с функцията

От формулата за разпределение хи-квадрат следва, че λ = 0,5. Заменяме λ, v в тази функция и получаваме квадрата на радиуса, а след това и самия радиус:

Получаваме ъгъла, като разтегнем единичния сегмент до 2π:

Сега заместваме r и θ във формули (1) и получаваме:

(2)

Тези формули са готови за употреба. X и Y ще бъдат независими и нормално разпределени с дисперсия 1 и средна стойност 0. За да получите разпределение с други характеристики, е достатъчно да умножите резултата от функцията по стандартното отклонение и да добавите средната стойност.
Но е възможно да се отървем от тригонометричните функции, като посочим ъгъла не директно, а индиректно чрез правоъгълните координати на произволна точка в кръг. След това чрез тези координати ще бъде възможно да се изчисли дължината на радиус вектора и след това да се намерят косинусът и синусът, като се разделят съответно x и y на него. Как и защо работи?
Избираме произволна точка от равномерно разпределени в кръга с единичен радиус и обозначаваме квадрата на дължината на радиус вектора на тази точка с буквата s:

Изборът се прави чрез присвояване на произволни x и y правоъгълни координати, равномерно разпределени в интервала (-1, 1), и изхвърляне на точки, които не принадлежат на окръжността, както и централната точка, в която е ъгълът на радиус вектора не е дефиниран. Тоест условието 0< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:

Получаваме формулите, както в началото на статията. Недостатъкът на този метод е отхвърлянето на точки, които не са включени в кръга. Тоест, използвайки само 78,5% от генерираните случайни променливи. При по-старите компютри липсата на тригонометрични функции все още беше голямо предимство. Сега, когато една инструкция на процесора едновременно изчислява синус и косинус за миг, мисля, че тези методи все още могат да се конкурират.

Лично аз имам още два въпроса:

• Защо стойността на s е равномерно разпределена?
• Защо сумата от квадратите на две нормални случайни променливи е експоненциално разпределена?

Ако подобна трансформация се направи за нормална случайна променлива, тогава функцията на плътността на нейния квадрат ще се окаже подобна на хипербола. А събирането на два квадрата от нормални случайни променливи вече е много по-сложен процес, свързан с двойното интегриране. А това, че резултатът ще е експоненциално разпределение, лично на мен ми остава да го проверя с практически метод или да го приема като аксиома. А за тези, които се интересуват, предлагам да се запознаете с темата по-отблизо, като черпите знания от тези книги:

• Wentzel E.S. Теория на вероятностите
• Кнут Д.Е. Изкуството на програмирането, том 2

В заключение ще дам пример за внедряване на нормално разпределен генератор на случайни числа в JavaScript:

Функция Gauss() ( var ready = false; var second = 0.0; this.next = function(mean, dev) ( mean = mean == undefined ? 0.0: mean; dev = dev == undefined ? 1.0: dev; if ( this.ready) ( this.ready = false; return this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. random() - 1.0; s = u * u + v * v; ) while (s > 1.0 || s == 0.0); var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(s) / s); this.second = r * u; this.ready = true; return r * v * dev + mean; ) ); ) g = new Gauss(); // създаване на обект a = g.next(); // генерирайте двойка стойности и вземете първата b = g.next(); // получаваме второто c = g.next(); // генерирайте двойка стойности отново и вземете първата
Параметрите средно (математическо очакване) и dev (стандартно отклонение) не са задължителни. Обръщам внимание на факта, че логаритъма е естествен.