Найбільша діагональ правильної шестикутної призми, що має довжину d, становить бічним ребром призми кут α. Визначте обсяг призми. Все, що потрібно знати про призм (2019)

У трикутнику B E B1 :

• B B1 = h
• B E = 2 ⋅ a- тому що E O = O B = a
• ∠ E B B1 = 90 ∘ - за властивостями правильної прязми

Таким чином, виходить, що трикутник B E B1 прямокутний. За властивостями прямокутного трикутника

E B1 = B B2 1 + B E2 − − − − − − − − − − √ = h2 + 4 ⋅ a2 − − − − − − − − √

Якщо h = a, то тоді

E B1 = 5 √ ⋅ a

Після аналогічних міркувань отримуємо, що F C1 = A D1 = B E1 = C F1 = D A1 = h2 + 4 ⋅ a2 − − − − − − − − √ .

Знаходимо O F1

У трикутнику F O F1 :

• F F1 = h
• F O = a
• ∠ O F F1 = 90 ∘ - за властивостями правильної призми

Таким чином, виходить, що трикутник F O F1 прямокутний. За властивостями прямокутного трикутника

O F1 = F F2 1 + O F2 − − − − − − − − − − √ = h2 + a2 − − − − − − √

Якщо h = a, то тоді

Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.

Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час прийти до спільну думкупро сутність парадоксів науковому співтовариству поки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.

З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.

Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахіллес біжить із постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".

Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:

За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.

Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.

Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.

Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.

У цій апорії логічний парадоксдолається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точокпростору в один момент часу, але за ними не можна визначити факт руху (звісно, ​​ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, то це на те, що дві точки в часі та дві точки в просторі – це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.

середа, 4 липня 2018 р.

Дуже добре відмінності між безліччю та мультимножиною описані у Вікіпедії. Дивимося.

Як бачите, "у множині не може бути двох ідентичних елементів", але якщо ідентичні елементи у множині є, така множина називається "мультимножина". Подібну логіку абсурду розумним істотам не зрозуміти ніколи. Це рівень папуг, що говорять, і дресованих мавп, у яких розум відсутній від слова "зовсім". Математики виступають у ролі звичайних дресирувальників, проповідуючи нам свої абсурдні ідеї.

Колись інженери, які збудували міст, під час випробувань мосту перебували у човні під мостом. Якщо міст обрушувався, бездарний інженер гинув під уламками свого творіння. Якщо міст витримував навантаження, талановитий інженер будував інші мости.

Як би математики не ховалися за фразою "чур, я в будиночку", точніше "математика вивчає абстрактні поняття", є одна пуповина, яка нерозривно пов'язує їх із реальністю. Цією пуповиною є гроші. Застосуємо математичну теоріюмножин до самих математиків.

Ми дуже добре вчили математику і зараз сидимо у касі, видаємо зарплатню. Ось приходить до нас математик по свої гроші. Відраховуємо йому всю суму та розкладаємо у себе на столі на різні стопки, в які складаємо купюри однієї гідності. Потім беремо з кожної стопки по одній купюрі та вручаємо математику його "математичну безліч зарплати". Пояснюємо математику, що решта купюр він отримає тільки тоді, коли доведе, що безліч без однакових елементів не дорівнює безлічі з однаковими елементами. Ось тут почнеться найцікавіше.

Насамперед спрацює логіка депутатів: "до інших це застосовувати можна, до мене - низьзя!". Далі почнуться запевнення нас у тому, що на купюрах однакової гідності є різні номери купюр, а отже, їх не можна вважати однаковими елементами. Добре, відраховуємо зарплату монетами – на монетах немає номерів. Тут математик почне судомно згадувати фізику: на різних монетах є різна кількість бруду, кристалічна структура та розташування атомів у кожної монети унікально.

А тепер у мене самий цікаве питання: де проходить та грань, за якою елементи мультимножини перетворюються на елементи множини і навпаки? Такої межі не існує – все вирішують шамани, наука тут і близько не валялася.

Ось дивіться. Ми відбираємо футбольні стадіони із однаковою площею поля. Площа полів однакова – значить у нас вийшло мультимножина. Але якщо розглядати назви цих стадіонів - у нас виходить безліч, адже назви різні. Як бачите, той самий набір елементів одночасно є і безліччю, і мультимножиною. Як правильно? А ось тут математик-шаман-шуллер дістає з рукава козирний туз і починає нам розповідати або про множину, або про мультимножину. У будь-якому разі він переконає нас у своїй правоті.

Щоб зрозуміти, як сучасні шамани оперують теорією множин, прив'язуючи її до реальності, достатньо відповісти на одне питання: чим елементи однієї множини відрізняються від елементів іншої множини? Я вам покажу, без усяких "мислиме як єдине ціле" чи "не мислиме як єдине ціле".

неділя, 18 березня 2018 р.

Сума цифр числа - це танець шаманів з бубном, який до математики жодного стосунку не має. Так, на уроках математики нас вчать знаходити суму цифр числа та користуватися нею, але на те вони й шамани, щоб навчати нащадків своїм навичкам та премудростям, інакше шамани просто вимруть.

Вам потрібні докази? Відкрийте Вікіпедію та спробуйте знайти сторінку "Сума цифр числа". Її немає. Немає в математиці формули, якою можна знайти суму цифр будь-якого числа. Адже цифри – це графічні символи, За допомогою яких ми записуємо числа і мовою математики завдання звучить так: "Знайти суму графічних символів, що зображують будь-яке число". Математики це завдання вирішити що неспроможні, тоді як шамани - елементарно.

Давайте розберемося, що як ми робимо у тому, щоб знайти суму цифр заданого числа. Тож нехай у нас є число 12345. Що потрібно зробити для того, щоб знайти суму цифр цього числа? Розглянемо всі кроки по порядку.

1. Записуємо число на папірці. Що ми зробили? Ми перетворили число на графічний символ числа. Це не математична дія.

2. Розрізаємо одну отриману картинку на кілька картинок, що містять окремі цифри. Розрізання картинки - це математична дія.

3. Перетворюємо окремі графічні символи на числа. Це не математична дія.

4. Складаємо отримані числа. Це вже математика.

Сума цифр числа 12345 дорівнює 15. Ось такі ось "курси крою та шиття" від шаманів застосовують математики. Але це ще не все.

З погляду математики немає значення, у якій системі числення ми записуємо число. Так от, у різних системах числення сума цифр одного і того ж числа буде різною. У математиці система числення вказується як нижнього індексу праворуч від числа. З великим числом 12345 я не хочу голову морочити, розглянемо число 26 статті про . Запишемо це число у двійковій, вісімковій, десятковій та шістнадцятковій системах числення. Ми не розглядатимемо кожен крок під мікроскопом, це ми вже зробили. Подивимося результат.

Як бачите, у різних системах числення сума цифр одного й того ж числа виходить різною. Подібний результат до математики жодного стосунку не має. Це все одно, що при визначенні площі прямокутника в метрах і сантиметрах ви отримували б різні результати.

Нуль у всіх системах числення виглядає однаково і суми цифр немає. Це ще один аргумент на користь того, що . Питання математикам: як у математиці позначається те, що є числом? Що для математиків нічого, крім чисел, не існує? Для шаманів я можу таке припустити, але для вчених – ні. Реальність складається не лише з чисел.

Отриманий результат слід як доказ те, що системи числення є одиницями виміру чисел. Адже ми не можемо порівнювати числа з різними одиницямивимірювання. Якщо одні й самі дії з різними одиницями виміру однієї й тієї величини призводять до різним результатампісля їх порівняння, отже, це не має нічого спільного з математикою.

Що таке справжня математика? Це коли результат математичної діїне залежить від величини числа, що застосовується одиниці виміру і від того, хто цю дію виконує.

Ой! А це хіба не жіночий туалет?
- Дівчино! Це лабораторія з вивчення індефільної святості душ під час вознесіння на небеса! Німб зверху і стрілка вгору. Який ще туалет?

Жіночий... Німб зверху та стрілочка вниз – це чоловічий.

Якщо у вас перед очима кілька разів на день мелькає ось такий витвір дизайнерського мистецтва,

Тоді не дивно, що у своєму автомобілі ви раптом виявляєте дивний значок:

Особисто я роблю над собою зусилля, щоб в людині, яка кавала (одна картинка), побачити мінус чотири градуси (композиція з декількох картинок: знак мінус, цифра чотири, позначення градусів). І я не вважаю цю дівчину дурницею, яка не знає фізики. Просто вона має дугою стереотип сприйняття графічних образів. І математики нас цього постійно навчають. Ось приклад.

1А - це не "мінус чотири градуси" або "один а". Це "какая людина" або число "двадцять шість" у шістнадцятковій системі числення. Ті люди, які постійно працюють у цій системі числення, автоматично сприймають цифру та букву як один графічний символ.

На сайті вже було розглянуто деякі типи завдань із стереометрії, які входять до єдиного банку завдань іспиту з математики.Наприклад, завдання про .

Призма називається правильною, якщо її бічні перпендикулярні основам і в основах лежить правильний багатокутник. Тобто правильна призма – це пряма призма, яка має в основі правильний багатокутник.

Правильна шестикутна призма – в основі правильний шестикутник, бічні грані – прямокутники.

У цій статті для вас завдання вирішення призми, в основі якої лежить правильний шестикутник. Особливостей та складнощів у рішенні немає жодних.У чому суть? Дано правильну шестикутну призму, потрібно обчислити відстань між двома вершинами або знайти заданий кут. Завдання насправді прості, у результаті рішення зводиться до знаходження елемента прямокутному трикутнику.

Використовується теорема Піфагора та . Необхідне знання визначень тригонометричних функційу прямокутному трикутнику.

Обов'язково перегляньте інформацію про правильний шестикутник в .Ще вам знадобиться навичка вилучення їх великої кількості. Можете на вирішення багатогранників, там теж обчислювали відстань між вершинами та кути.

Що є правильним шестикутником?

Відомо, що у правильному шестикутнику сторони рівні. Крім цього, кути між сторонами теж рівні.

*Протилежні сторони паралельні.

Додаткова інформація

Радіус кола описаного біля правильного шестикутника дорівнює його стороні. *Це підтверджується дуже просто: якщо ми поєднаємо протилежні вершини шестикутника, то отримаємо шість рівних рівносторонніх трикутників. Чому рівносторонні?

У кожного трикутника кут при його вершині, що лежить в центрі, дорівнює 60 0 (360: 6 = 60). Так як у трикутника дві сторони мають загальну вершину в центрі рівні (це радіуси описаного кола), то кожен кут при підставі такого рівнобедреного трикутника так само дорівнює 60 градусів.

Тобто правильний шестикутник, образно кажучи, складається з шести рівних рівносторонніх трикутників.

Який корисний для вирішення завдань факт ще слід зазначити? Кут при вершині шестикутника (кут між його сусідніми сторонами) дорівнює 120 градусів.

*Умисно не торкнулися формул правильного N-кутника. Дані формули ми докладно розглянемо у майбутньому, тут вони просто непотрібні.

Розглянемо завдання:

272533. У правильній шестикутній призмі ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 усі ребра дорівнюють 48. Знайдіть відстань між точками A та E 1 .

Розглянемо прямокутний трикутник AA 1 E 1 . За теоремою Піфагора:

*Кут між сторонами правильного шестикутника дорівнює 120 градусів.

Відрізок АЕ 1 є гіпотенузою, АА 1 та А 1 Е 1 катети. Ребро АА 1 нам відомо. Катет А 1 Е 1 ми можемо знайти використовуючи використовуючи .

Теорема: Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

Отже

За теоремою Піфагора:

Відповідь: 96

*Зверніть увагу, що 48 зводити в квадрат зовсім не обов'язково.

У правильній шестикутній призмі ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 усі ребра дорівнюють 35. Знайдіть відстань між точками B та E.

Сказано, що всі ребра дорівнюють 35, тобто сторона шестикутника, що лежить у підставі, дорівнює 35. А так само, як уже сказано, радіус описаного біля нього кола дорівнює цьому ж числу.

Таким чином,

Відповідь: 70

273353. У правильній шестикутній призмі ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 усі ребра дорівнюють сороку корінням з п'яти. Знайдіть відстань між точками Bта E 1 .

Розглянемо прямокутний трикутник BB 1 E 1 . За теоремою Піфагора:

Відрізок B 1 E 1 дорівнює двом радіусам описаного біля правильного шестикутника кола, а його радіус дорівнює стороні шестикутника, тобто

Таким чином,

Відповідь: 200

273683. У правильній шестикутній призмі ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 усі ребра дорівнюють 45. Знайдіть тангенс кута AD 1 D.

Розглянемо прямокутний трикутник ADD 1 , у якому ADдорівнює діаметру кола, описаного навколо основи. Відомо, що радіус кола, описаного навколо правильного шестикутника, дорівнює його стороні.

Таким чином,

Відповідь: 2

У правильній шестикутній призмі ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 усі ребра дорівнюють 23. Знайдіть кут DAB. Відповідь дайте у градусах.

Розглянемо правильний шестикутник:

У ньому кути між сторонами дорівнюють 120°. Значить,

Сама довжина ребра немає значення, на величину кута вона впливає.

Відповідь: 60

У правильній шестикутній призмі ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 усі ребра дорівнюють 10. Знайдіть кут AC 1 C. Дайте відповідь у градусах.

Розглянемо прямокутний трикутник AC 1 C:

Знайдемо AC. У правильному шестикутнику кути між його сторонами дорівнюють 120 градусам, тоді за теоремою косінусів для трикутникаАВС:

Таким чином,

Отже, кут AC 1 C дорівнює 60 градусів.

Відповідь: 60

274453. У правильній шестикутній призмі ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 усі ребра дорівнюють 10. Знайдіть кут AC 1 C. Дайте відповідь у градусах.

Різні призми не схожі один на одного. У той же час вони мають багато спільного. Щоб знайти площу підстави призми, потрібно розібратися в тому, який вигляд має.

Загальна теорія

Призмою є будь-який багатогранник, бічні сторони якого мають вигляд паралелограма. При цьому в її підставі може бути будь-який багатогранник - від трикутника до n-кутника. Причому підстави призми завжди дорівнюють один одному. Що не стосується бічних граней - вони можуть істотно відрізнятися за розмірами.

При вирішенні завдань зустрічається не тільки площа підстави призми. Може знадобитися знання бічної поверхні, тобто всіх граней, які не є підставами. Повною поверхнеювже буде об'єднання всіх граней, що становлять призму.

Іноді у завданнях фігурує висота. Вона є перпендикуляром до основ. Діагоналлю багатогранника є відрізок, який попарно з'єднує дві будь-які вершини, що не належать одній грані.

Слід зазначити, що площа основи прямої призми або похилої не залежить від кута між ними та бічними гранями. Якщо вони однакові фігури у верхній і нижній гранях, їх площі будуть рівними.

Трикутна призма

Вона має в основі фігуру, що має три вершини, тобто трикутник. Він, як відомо, буває різним. Якщо досить згадати, що його площа визначається половиною твору катетів.

Математичний запис виглядає так: S = ½ ав.

Щоб дізнатися площу основи в загальному вигляді, стануть у нагоді формули: Герона і та, в якій береться половина сторони на висоту, проведену до неї.

Перша формула має бути записана так: S = √(р(р-а)(р-в)(р-с)). У цьому записі є напівпериметр (р), тобто сума трьох сторін, розділена на дві.

Друга: S = ½ н а * а.

Якщо потрібно дізнатися площу основи трикутної призми, Що є правильною, то трикутник виявляється рівностороннім. Для нього існує своя формула: S = ¼ а 2 * √3.

Чотирикутна призма

Її основою є будь-який із відомих чотирикутників. Це може бути прямокутник або квадрат, паралелепіпед або ромб. У кожному разі для того, щоб обчислити площу підстави призми, буде потрібна своя формула.

Якщо основа — прямокутник, його площа визначається так: S = ав, де а, в — сторони прямокутника.

Коли йдетьсяпро чотирикутну призму, площа підстави правильної призми обчислюється за формулою для квадрата. Тому що саме він виявляється лежачим у основі. S = а2.

У разі коли основа — це паралелепіпед, знадобиться така рівність: S = а * н а. Буває таке, що дано сторону паралелепіпеда та один із кутів. Тоді для обчислення висоти потрібно скористатися додатковою формулою: н а = в * sin А. Причому кут А прилягає до сторони "в", а висота н а протилежна до цього куту.

Якщо підставі призми лежить ромб, то визначення його площі буде необхідна та сама формула, що у паралелограма (оскільки є його окремим випадком). Але можна скористатися і такою: S = ½ d 1 d 2 . Тут d 1 і d 2 – дві діагоналі ромба.

Правильна п'ятикутна призма

Цей випадок передбачає розбиття багатокутника на трикутники, площі яких простіше дізнатися. Хоча буває, що фігури можуть бути з іншою кількістю вершин.

Оскільки основа призми — правильний п'ятикутник, він може бути розділений п'ять рівносторонніх трикутників. Тоді площа підстави призми дорівнює площі одного такого трикутника (формулу можна переглянути вище), помноженою на п'ять.

Правильна шестикутна призма

За принципом, описаним для п'ятикутної призми, вдається розбити шестикутник основи на 6 рівносторонніх трикутників. Формула площі підстави такої призми подібна до попередньої. Тільки у ній слід множити на шість.

Виглядатиме формула таким чином: S = 3/2 а 2 * √3.

Завдання

№ 1. Дана правильна пряма Її діагональ дорівнює 22 см, висота багатогранника - 14 см. Обчислити площу основи призми та всієї поверхні.

Рішення.Підставою призми є квадрат, але його сторона не відома. Знайти її значення можна з діагоналі квадрата (х), яка пов'язана з діагоналлю призми (d) та її висотою (н). х 2 = d 2 - н 2. З іншого боку, цей відрізок «х» є гіпотенузою в трикутнику, катети якого дорівнюють стороні квадрата. Тобто х2 = а2+а2. Отже виходить, що а 2 = (d 2 - н 2)/2.

Підставити замість d число 22, а "н" замінити його значенням - 14, то виходить, що сторона квадрата дорівнює 12 см. Тепер просто дізнатися площу основи: 12 * 12 = 144 см 2 .

Щоб дізнатися площу всієї поверхні, потрібно скласти подвоєне значення площі основи та чотиристоронню бічну. Останню легко знайти за формулою для прямокутника: перемножити висоту багатогранника та бік основи. Тобто 14 і 12, це число дорівнюватиме 168 см 2 . Загальна площаповерхні призми виявляється 960 см 2 .

Відповідь.Площа основи призми дорівнює 144 см 2 . Всієї поверхні - 960 см 2 .

№ 2. Дана В основі лежить трикутник зі стороною 6 см. При цьому діагональ бічної грані становить 10 см. Обчислити площі: основи та бічній поверхні.

Рішення.Оскільки призма правильна, її основою є рівносторонній трикутник. Тому його площа виявляється дорівнює 6 квадраті, помноженому на ¼ і на корінь квадратний з 3. Просте обчислення призводить до результату: 9√3 см 2 . Це площа однієї підстави призми.

Всі бічні грані однакові і є прямокутниками зі сторонами 6 і 10 см. Щоб обчислити їх площі, достатньо перемножити ці числа. Потім помножити їх на три, бо бічних граней призми саме стільки. Тоді площа бічної поверхні виявляється раною 180 см 2 .

Відповідь.Площа: підстави - 9√3 см 2 , бічної поверхні призми - 180 см 2 .