Формула объема правильной пирамиды. Формулы объема правильной треугольной пирамиды. Примеры решения задач

Определение. Боковая грань - это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).

Определение. Боковые ребра - это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.

Определение. Высота пирамиды - это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.

Определение. Апофема - это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.

Определение. Диагональное сечение - это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.

Определение. Правильная пирамида - это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания.

Объём и площадь поверхности пирамиды

Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту:

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).

Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.

Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.

Свойства правильной пирамиды

1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.

2. Все боковые ребра равны.

3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.

4. Апофемы всех боковых граней равны.

5. Площади всех боковых граней равны.

6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.

7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.

8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.

9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n , где n - это количество углов в основании пирамиды.

Связь пирамиды со сферой

Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.

Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.

В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Связь пирамиды с конусом

Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.

Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.

Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.

Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.

Связь пирамиды с цилиндром

Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.

Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.

Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол .

Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM).

Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).

Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.

Определение. Остроугольная пирамида - это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.

Определение. Тупоугольная пирамида - это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.

Определение. Правильный тетраэдр - четырехгранник у которого все четыре грани - равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.

Определение. Прямоугольный тетраэдр называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.

Определение. Равногранный тетраэдр называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание - правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.

Определение. Ортоцентричный тетраэдр называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.

Определение. Звездная пирамида называется многогранник у которого основой является звезда.

Теорема.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту .

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольную пирамиду ОАВС с объемом V, площадью основания S и высотой h . Проведем ось ох (ОМ2 - высота), рассмотрим сечение А1 В1 С1 пирамиды плоскостью, пер­пендикулярной к оси ох и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим через х абсциссу точки М 1 пересечения этой плоскости с осью ох, а через S{ x) - площадь сечения. Выразим S(x) через S , h и х . Заметим, что треугольники А 1 В 1 С 1 и АВС подобны. В самом деле А 1 В 1 II AB, поэтому треугольник ОА 1 В 1 подобен треугольнику ОАВ. С ледовательно, А 1 В 1 : А В= ОА 1: ОА .

Прямоугольные треугольники ОА 1 В 1 и ОАВ тоже подобны (они име­ют общий острый угол с вершиной О) . Поэтому , ОА 1: ОА = О 1 М 1 : ОМ = х: h . Таким образом А 1 В 1 : А В = х: h. Аналогично доказывается, что В1 С1: ВС = х: h и А1 С1: АС = х: h. Итак, треугольник А1 В1 С1 и АВС подобны с коэффициентом подобия х: h. Следовательно, S(x) : S = (х: h) ², или S(x) = S х ²/ h ².

Применим теперь основную формулу для вычисления объемов тел при a = 0, b = h получаем

Таким образом, объем исходной пирамиды равен 1/3Sh . Теорема доказана.

Следствие:

Объем V усеченной пирамиды, высота которой равна h, а площади основания равны S и S 1 , вычисляются по формуле

h - высота пирамиды

S верх. - площадь верхнего основания

S ниж. - площадь нижнего основания

Слово «пирамида» невольно ассоциируется с величественными великанами в Египте, верно хранящими покой фараонов. Может быть поэтому пирамиду как безошибочно узнают все, даже дети.

Тем не менее, попробуем дать ей геометрическое определение. Представим на плоскости несколько точек (А1,А2,..., Ап) и еще одну (Е), не принадлежайшую ей. Так вот, если точку Е (вершину) соединить с вершинами многоугольника, образованного точками А1,А2,..., Ап (основание), получится многогранник, который и называют пирамидой. Очевидно, что вершин у многоугольника в основании пирамиды может быть сколько угодно, и в зависимости от их количества пирамиду можно назвать треугольной и четырехугольной, пятиугольной и т.д.

Если внимательно присмотреться к пирамиде, то станет ясно, почему ее определяют еще и по-другому - как геометрическую фигуру, имеющую в основании многоугольник, а в качестве боковых граней - треугольники, объединенные общей вершиной.

Поскольку пирамида - пространственная фигура, то и у нее есть такая количественная характеристика, как вычисляют по хорошо известной равного трети произведения основания пирамиды на ее высоту:

Объем пирамиды при выводе формулы первоначально рассчитывается для треугольной, взяв за основу постоянное соотношение, связывающее эту величину с объемом треугольной призмы, имеющей то же основание и высоту, которая, как оказывается, в три раза превышает этот объем.

А поскольку любая пирамида разбивается на треугольные, и ее объем не зависит от выполняемых при доказательстве построений, правомерность приведенной формулы объема - очевидна.

Особняком среди всех пирамид стоят правильные, у которых в основании лежит Что же касается , то она должна «оканчиваться» в центре основания.

В случае неправильного многоугольника в основании для вычисления площади основания потребуется:

• разбить его на треугольники и квадраты;

• подсчитать площадь каждого из них;

• сложить полученные данные.

В случае правильного многоугольника в основании пирамиды, его площадь рассчитывают по готовым формулам, поэтому объем правильной пирамиды вычисляется совсем просто.

Например, чтобы вычислить объем четырехугольной пирамиды, если она правильная, возводят длину стороны правильного четырехугольника (квадрата) в основании в квадрат и, умножив на высоту пирамиды, делят полученное произведение на три.

Объем пирамиды можно вычислить, используя и другие параметры:

• как треть произведения радиуса шара, вписанного в пирамиду, на площадь ее полной поверхности;

• как две трети произведения расстояния между двумя произвольно взятыми скрещивающимися ребрами и площади параллелограмма, который образуют середины оставшихся четырех ребер.

Объем пирамиды вычисляется просто и в случае, когда его высота совпадает с одним из боковых ребер, то есть в случае прямоугольной пирамиды.

Говоря о пирамидах, нельзя обойти вниманием также усеченные пирамиды, полученные сечением пирамиды параллельной основанию плоскостью. Их объем практически равен разности объемов целой пирамиды и отсеченной вершины.

Первым объем пирамиды, правда не совсем в его современном виде, однако равным 1/3 объема известной нам призмы, нашел Демокрит. Его метод подсчета Архимед назвал «без доказательства», поскольку Демокрит подходил к пирамиде, как к фигуре, сложенной из бесконечно тонких, подобных пластинок.

К вопросу нахождения объема пирамиды «обратилась» и векторная алгебра, используя для этого координаты ее вершин. Пирамида, построенная на тройке векторов a,b,c, равна одной шестой от модуля смешанного произведения заданных векторов.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока .

Образовательная: Вывести формулу для вычисления объема пирамиды

Развивающая: развивать у учащихся познавательный интерес к учебным дисциплинам, умение применять свои знания на практике.

Воспитательная: воспитывать внимание, аккуратность, расширять кругозор учеников.

Оборудование и материалы: компьютер, экран, проектор, презентация “Объем пирамиды”.

1. Фронтальный опрос. Слайды 2, 3

Что называется пирамидой, основанием пирамиды, ребрами, высотой, осью, апофемой. Какая пирамида называется правильной, тетраэдром, усеченной пирамидой?

Пирамида - многогранник, состоящий из плоского многоугольника , точки , не лежащей в плоскости этого многоугольника и всех отрезков , соединяющих эту точку с точками многоугольника.

Данная точка называется вершиной пирамиды, а плоский многоугольник - основанием пирамиды. Отрезки , соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются рёбрами . Высота пирамиды - перпендикуляр , опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды. Пирамида, у которой в основании лежит правильный n-угольник , а основание высоты совпадает с центром основания называется правильной n-угольной пирамидой. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая её высоту. Правильная треугольная пирамида называется тетраэдром. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания, то она отсечет пирамиду, подобную данной. Оставшаяся часть называется усеченной пирамидой.

2. Вывод формулы для вычисления объема пирамиды V=SH/3 Слайды 4, 5, 6

1. Пусть SABC – треугольная пирамида с вершиной S и основанием АВС.

2. Дополним эту пирамиду до треугольной призмы с тем же основанием и высотой.

3. Эта призма составлена из трех пирамид:

1) данной пирамиды SABC.

2) пирамиды SCC 1 B 1 .

3) и пирамиды SCBB 1 .

4. У второй и третьей пирамид равные основания СС 1 В 1 и В 1 ВС и общая высота, проведенная из вершины S к грани параллелограмма ВВ 1 С 1 С. Поэтому у них равные объемы.

5. У первой и третьей пирамид тоже равные основания SAB и BB 1 S и совпадающие высоты, проведенные из вершины С к грани параллелограмма АВВ 1 S. Поэтому у них тоже равные объемы.

Значит, все три пирамиды имеют один и тот же объем. Так как сумма этих объемов равна объему призмы, то объемы пирамид равны SH/3.

Объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

3. Закрепление нового материала. Решение упражнений.

1) Задача № 33 из учебника А.Н. Погорелова. Слайды 7, 8, 9

По стороне основания? и боковому ребру b найдите объем правильной пирамиды, в основании которой лежит:

1) треугольник,

2) четырехугольник,

3) шестиугольник.

В правильной пирамиде высота проходит через центр окружности, описанной около основания. Тогда: (Приложение)

4. Исторические сведения о пирамидах. Слайды 15, 16, 17

Первым из наших современников, кто установил ряд необычных явлений, связанных с пирамидой, был французский ученый Антуан Бови. Исследуя пирамиду Хеопса в 30-х годах двадцатого столетия, он обнаружил, что тела мелких животных, случайно попавших в царскую комнату, мумифицировались. Причину этого Бови объяснил для себя формой пирамиды и, как оказалось, не ошибся. Его труды легли в основу современных исследований, в результате которых за последние 20 лет появилось множество книг и публикаций, подтверждающих, что энергия пирамид может иметь прикладное значение.

Тайна пирамид

Некоторые исследователи утверждают, что пирамида содержит в себе огромное количество информации о строении Вселенной, Солнечной системы и человека, закодированной в ее геометрической форме, а точнее, в форме октаэдра, половину которого и представляет пирамида. Пирамида вершиной вверх символизирует жизнь, вершиной вниз – смерть, потусторонний мир. Точно так же, как составные части Звезды Давида (Маген Давид), где треугольник, устремленный вверх, символизирует восхождение к Высшему Разуму, Богу, а треугольник, опущенный своей вершиной вниз, символизирует нисхождение души на Землю, материальное существование...

Цифровое значение кода, которым зашифрована в пирамиде информация о Вселенной, число 365, выбрано не случайно. Прежде всего, это годичный жизненный цикл нашей планеты. Кроме того, число 365 состоит из трех цифр 3, 6 и 5. Что они означают? Если в Солнечной системе Солнце проходит под номером 1, Меркурий – 2, Венера – 3, Земля – 4, Марс – 5, Юпитер – 6, Сатурн – 7, Уран – 8, Нептун – 9, Плутон – 10, то 3 – это Венера, 6 – Юпитер и 5 – Марс. Следовательно, Земля особенным образом связана именно с этими планетами. Сложив числа 3, 6 и 5, получаем 14, из которых 1 – это Солнце, а 4 – Земля.

Число 14 вообще имеет глобальное значение: на нем, в частности, основано строение кистей рук человека, общее число фаланг пальцев каждой из которых тоже 14. Этот код имеет отношение и к созвездию Большой Медведицы, в которую входит наше Солнце, и в котором некогда была еще одна звезда, погубившая Фаэтон, планету, находившуюся между Марсом и Юпитером, после чего в Солнечной системе появился Плутон, и изменились характеристики остальных планет.

Многие эзотерические источники утверждают, что человечество Земли уже четыре раза переживало всемирную катастрофу. Третья лемурианская раса знала Божественную науку о Вселенной, потом эту тайную доктрину передавали только посвященным. В начале циклов и полуциклов звездного года они строили пирамиды. Они вплотную подходили к открытию кода жизни. Цивилизации Атлантиды многое удавалось, но на каком-то уровне познания их остановила очередная планетарная катастрофа, сопровождавшаяся сменой рас. Вероятно, посвященные хотели передать нам, что в пирамидах заложено знание космических законов...

Специальные устройства в виде пирамид нейтрализуют негативное электромагнитное излучение на человека от компьютера, телевизора, холодильника и других электробытовых приборов.

В одной из книг описан случай, когда пирамида, установленная в салоне автомобиля, сокращала расход топлива и снижала содержание СО в отработанных газах.

Выдержанные в пирамидах семена огородных культур имели лучшую всхожесть и урожайность. В публикациях даже рекомендовалось замачивать семена перед посевом в пирамидной воде.

Было обнаружено, что пирамиды благотворно влияют на экологическую обстановку. Устраняют патогенные зоны в квартирах, офисах и дачных участках, создавая положительную ауру.

Голландский исследователь Пауль Дикенс в своей книге приводит примеры о лечебных свойствах пирамид. Он заметил, что с их помощью можно снимать головные боли, боли в суставах, останавливать кровотечения при небольших порезах и то, что энергия пирамид стимулирует обмен веществ и укрепляет иммунитет.

В некоторых современных публикациях отмечается, что лекарства, выдержанные в пирамиде, сокращают курс лечения, а перевязочный материал, насыщаясь положительной энергетикой, способствует заживлению ран.

Косметические крема и мази улучшают свое действие.

Напитки, в том числе и спиртные, улучшают свои вкусовые качества, а вода, содержащаяся в 40-% водке становится целебной. Правда для того, чтобы зарядить положительной энергией стандартную бутылку 0,5 литра, понадобится высокая пирамида.

В одной газетной статье рассказывается о том, что если хранить ювелирные изделия под пирамидой они самоочищаются и приобретают особый блеск, а драгоценные и полудрагоценные камни аккумулируют положительную биоэнергетику и потом постепенно ее отдают.

По утверждению американских ученых, продукты питания, например крупа, мука, соль, сахар, кофе, чай, побывав в пирамиде, улучшают свои вкусовые качества, а дешевые сигареты становятся похожими на своих благородных собратьев.

Возможно, для многих это будет не актуально, но в маленькой пирамиде самозатачиваются старые бритвенные лезвия, а в большой пирамиде вода не замерзает при -40 градусах по Цельсию.

По утверждению большинства исследователей, все это является доказательством существования энергии пирамид.

За 5000 лет своего существования, пирамиды превратились в некий символ, олицетворяющий стремление человека достичь вершины знаний.

5. Подведение итогов урока.

Список используемой литературы.

1) http://schools.techno.ru

2) Погорелов А. В. Геометрия 10-11, издательство “Просвещение”.

3) Энциклопедия “Древо познания” Маршалл К.