Практика построения сетевого графика. Сетевая модель

Любая последовательность работ сетевого графика, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы, называется путем .

Путь сетевого графика, в котором начальная точка совпадает с исходным событием, а конечная - с завершающим событием, называется полным.

Путь от исходного события до любого взятого предшествует данному событию. Предшествующий событию путь, имеющий наибольшую длину, называется максимальным предшествующим . Он обозначается L 1 (i), а его продолжительность t.

Путь, соединяющий любое взятое событие с завершающим, называется последующим путем. Такой путь с наибольшей длиной называется максимально последующим и обозначается L 2 (i), а его продолжительность t.

Полный путь, имеющий наибольшую длину, называется критическим . Пути, отличные от критического, называются ненапряженными . Они имеют резервы времени.

Работы критического пути выделяются жирными линиями или двойными. Продолжительность критического пути считается главным параметром графика.

Рассмотрим алгоритм определения критического пути на сетевом графике, использующий алгоритм метода динамического программирования.

Упорядочим вершины графика по рангам и пронумеруем их с конца к началу. Это позволит совместить номера рангов с этапами попятного движения при отыскании условно-оптимальных управлений на последнем, двух последних и т.д. этапах. Нахождение критического пути разберем на примере сетевого графика, изображенного на рис. 10.7.

Согласно принципу оптимальности Беллмана , оптимальное управление на каждом этапе определяется целью управления и состоянием на начало этапа. Состояние системы - это события, лежащие на рангах. Для совершения конечного события Х 16 необходимо совершение предшествующих событий. Возможные состояния системы на начало последнего этапа работ - совершение событий Х 14 и Х 15. В кружках у точек Х 14 и Х 15 поставим максимальную продолжительность работ на последнем этапе: Х 14 5 , Х 15 7 . Найдем максимальную продолжительность работ на двух последних этапах. Состояние системы на начало предпоследнего этапа обусловлено событием Х 13. Максимальная продолжительность пути, ведущая из Х 13 к Х 16 равна .

Следовательно, в кружке у события Х 13 нужно поставить число 14 и т.д. Проводя этапы от конца к началу, узнаем длину критического пути t кр =96. Чтобы найти сам критический путь, процесс вычислений пройдем от начального события Х 1 к конечному Х 16 . Число 96 на первом этапе (от начала) мы получили, прибавив 16 к числу 80. Следовательно, критический путь на этом этапе будет равен (Х 1 , Х 3). Число 80 = 16 + 64. Следовательно, критический путь на втором этапе проходит через работу (Х 3 , Х 4) и т.д. На графике он выделен жирной линией:

X 1 - X 3 - X 4 - X 7 - X 8 - X 10 - X 11 - X 12 - X 13 - X 15 - X 16 .

Ранние и поздние сроки свершения событий. Резерв времени событий

Все пути, отличные по продолжительности от критического, располагают резервами времени. Разность между длиной критического пути и любого некритического называется полным резервом времени данного некритического пути и обозначается : .

Ранним сроком свершения события называется самый ранний момент времени, к которому завершаются все предшествующие этому событию работы, т.е. определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего событию , т.е.:

или

Чтобы найти ранний срок совершения события j , нужно знать критический путь ориентированного подграфа, состоящего из множества путей, предшествующих данному событию j . Ранний срок исходного события равен нулю: t p (1)=0.

Поздним сроком совершения события называется самый поздний момент времени, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для завершения всех работ, следующих за этим событием. Самый поздний из допустимых сроков свершения события в сумме с продолжительностью выполнения всех последующих работ должен не превышать длины критического пути. Поздний срок свершения события вычисляется как разность между продолжительностью критического пути и продолжительностью максимального из последующих за событием путей :

Для событий, лежащих на критическом пути, ранний и поздний сроки свершения этих событий совпадают .

Разность между поздним и ранним сроками свершения события составляет резерв времени события : . Интервал называется интервалом свободы события . Резерв времени события показывает максимально допустимое время, на которое можно отодвинуть момент его свершения, не увеличивая критический путь.

Так как сумма определяет продолжительность пути максимальной длины, проходящего через это событие, то , т.е. резерв времени любого события равен полному резерву времени максимального пути, проходящего через это событие .

При расчете временных параметров вручную удобно пользоваться четырехсекторным способом. При этом способе кружок сетевого графика, обозначающий событие, делится на четыре сектора. В верхнем секторе ставится номер события; в левом - наиболее раннее из возможных время свершения события (); в правом - наиболее позднее из допустимых время свершения события ; в нижнем секторе - резерв времени данного события : .

Для вычисления раннего срока свершения событий: , применяем формулу , рассматривая события в порядке возрастания номеров, от начального к завершающему, по входящим в это событие работам.

Поздний срок свершения событий вычисляем по формуле , начиная с конечного события, для которого ( - номер конечного события), по выходящим из него работам.

Критические события имеют резерв времени равный нулю. Они и определяют критические работы и критический путь.

Пример 10.2 . Пусть задан сетевой график, изображенный на рис. 10.8.

Решение. Вычислим ранние сроки свершения событий :

Итак, завершающее событие может произойти лишь на 14-ый день от начала выполнения проекта. Это максимальное время, за которое могут быть выполнены все работы проекта. Оно определяется самым длинным путем. Ранний срок свершения работы 6 =14 совпадает с критическим временем кр - суммарной продолжительностью работ, лежащих на критическом пути. Теперь можно выделить работы, принадлежащие критическому пути, возвращаясь от завершающего события к исходному. Из двух работ, входящих в событие 6 , , длина критического пути определила работы (5, 6), так как ( 5 + 56)=14. Поэтому работа (5, 6) - критическая и т.д. Работы (1, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6) определили критический путь: кр = (1-3-4-5-6).

Вычислим теперь поздние сроки свершения событий . Положим . Воспользуемся методом динамического программирования. Все расчеты будем вести от завершающего события к начальному событию. Поздние сроки свершения событий равны:

Так как после события 5 для завершения проекта нужно выполнить работу (5, 6) длительностью 3 дня. Из события 4 выходят две работы, поэтому:

Резерв времени для события 2 равен: . Резервы остальных событий равны нулю, так как эти события критические.

Ранние и поздние сроки начала и окончания работ. Определение резервов времени работ. Полный резерв времени работ.

Событие, непосредственно предшествующее данной работе, будем называть начальным и обозначать , а событие, непосредственно следующее за ней, - конечным и обозначать . Тогда любую работу будем обозначать . Зная сроки свершения событий, можно определить временные параметры работ.

Ранний срок начала работы равен раннему сроку свершения события : .

Ранний срок окончания работы равен сумме раннего срока свершения начального события и продолжительности этой работы: или .

Поздний срок окончания работы совпадает с поздним сроком свершения ее конечного события : .

Поздний срок начала работы равен разности между поздним сроком свершения ее конечного события и величиной этой работы:

Поскольку сроки выполнения работ находятся в границах, определяемых и , то они могут иметь разного вида резервы времени.

Полный резерв времени работы - это максимальное время, необходимое для выполнения любой работы без превышения критического пути. Он вычисляется как разность между поздним сроком свершения конечного события и ранним сроком времени для выполнения самой работы: . Так как , то .

Таким образом, полный резерв времени работы - это максимальное время, на которое можно увеличить ее продолжительность, не изменяя продолжительности критического пути. Все некритические работы имеют полный резерв времени отличный от нуля.

Свободный резерв времени работы - это запас времени, которым можно располагать при выполнении данной работы при условии, что начальное и конечное ее события наступят в свои ранние сроки: .

Построение сетевого графика предусматривает использование четырех элементов, включаемых в график: работа, событие, ожидание и зависимость. Кодирование элементов сетевого графика производятся с помощью арабских цифр. При этом кодом работы (зависимости) будут номера начального и конечного по отношению к ней событий. Используются обозначения, приведенные на рис. 5.

Ниже приводятся фрагменты сетевых графиков выполнения работ нулевого цикла на двух и трех захватках.

отрывка монтаж гидро- обратная котлована фундаментов изоляция засыпка

I захватка

II захватка

Рис. 4.1. Фрагмент сетевого графика выполнения работ на двух захватках

отрывка монтаж гидро- обратная

котлована фунд-тов изоляция засыпка

Рис. 4.2. Фрагмент сетевого графика выполнения работ на трех захватках

После построения сетевого графика и нумерации его событий производится расчет параметров одним из ручных методов (табличным или секторным). При расчете сетевого графика определяются следующие параметры: раннее начало(t рн i , j) и раннее окончание(t ро i , j) работы; позднее начало (t n н i , j) и позднее окончание (t n о i , j) работы; общий (R i , j) и частный (r i , j) резервы времени.

3.2. Расчет сетевого графика табличным методом

Расчет табличным методом производится в 5 этапов (см. рис. 7 и табл. 3):

I этап - заполнение 1, 2, 3 граф с сетевого графика;

II этап - расчет ранних сроков, начиная от исходного события к завершающему и используя следующие взаимосвязи между расчетными параметрами: t рн исх =0; t рн i , j =max t po k , i ; t po i , j = t рн i , j +t i , j ;

III этап - расчет поздних сроков, начиная от завершающего события сетевого графика и используя следующие взаимосвязи: t п o зав = max t po зав;

t п o i , j =min t пн j , k ; t пн i , j = t п o i , j - t i , j ;

IV этап - расчет общих (полных) резервов времени на основе известных расчетных формул: R i , j = t пн i , j - t рн i , j или R i , j = t по i , j - t ро i , j ;

V этап - расчет частных (свободных) резервов времени на основе следующей зависимости: r i , j = t рн j , k - t ро i , j .

Рис. 7 – Пример сетевого графика с расчетом табличным методом

Таблица 3

Расчет сетевого графика табличным методом

3.3 Расчет сетевого графика секторным методом

Для расчета сетевого графика секторным методом каждое событие его делится на четыре сектора, в которые вносятся следующие данные:

Рис. 8. График выполнения работ наземного цикла

Расчет производится в 5 этапов (см. рис. 9):

I - нумерация событий графика;

II - расчет ранних начал и заполнение левого и нижнего сектора;

III - расчет поздних окончаний и заполнение правого сектора;

IV - расчет общих (полных) резервов времени работ и заполнение левого прямоугольника под каждой работой;

V этап -расчет частных (свободных) резервов времени и заполнение правого прямоугольника под каждой работой.

Для расчета резервов времени используются производные от ранее известных формул. Например (см. рис. 9): общий (полный) резерв времени:

R i , j = t по ij - t i , j – t рн i , j , для зависимости 4-5: 12-0-9=3; для работы 4-7: 28-8-9=11.

Частный (свободный) резерв времени: r i , j = t рн j , k - t i , j - t рн i , j , для работы 1-3: 8-0-2=6; для работы 2-6: 9-8-1=0.

13.01.99 14.01.99

Рис 4.5. Пример ручного расчета сетевого графика секторным методом

3.4. Оптимизация сетевого графика и привязка к календарю

Оптимизация сетевого графика по времени предусматривает сокращение величины критического пути на определенную (заданную) величину дней. Для этого работы, находящиеся на критическом пути (выделенные на рис. 4.3 и подчеркнутые в табл. 6), должны быть выстроены в порядке возрастания цены сокращения. Ценой сокращения (Ц c i , j) считается величина численности работников, приходящихся на один день продолжительности работы сетевого графика, и определяемая по формуле

Для графика, приведенного на рис. 4.3, цена сокращения работ соответственно равна: Ц с 1-2 = 0,5; Ц с 2-3 = 2; Ц с 3-5 = 0,5; Ц с 5-7 = = 1,5. Следовательно, сокращение продолжительности работ критического пути можно выполнить в следующем порядке: 1-2, 3-5, 5-7, 2-3. Сократить продолжительность критического пути на заданную величину можно за счет одной или нескольких работ с одновременным добавлением численности рабочих до предельного рекомендуемого количества, приведенного по видам работ в табл. 3, исходя из условия, что t i , j * n i , j = const. Например, полученную расчетом величину критического пути сетевого графика, приведенного на рис. 4.3 (Т кр = 31 день), требуется сократить на 6 дней, т.к. продолжительность выполнения данного количества работ установлена 25 дней.

Предпочтение отдаем работе 1-2, но сократить ее можно только на 5 дней, т.к. предельное количество рабочих в бригаде дано 10 человек (12*6=72 чел-дня, 72:10=7,2 дня, 12-7,2=4,8 ~ 5 дней). Еще один день будем снимать с работы 3-5, имеющей такую же цену сокращения, но меньшую по отношению к работе 1-2 расчетную продолжительность (8*4=32 чел-дня, 32:7=4,6 ~ 5 дней). \

После изменения исходных расчетных параметров работ критического пути (см. рис. 4.3 над работами 1-2 и 3-5) величина критического пути будет равна установленной продолжительности (25 дней), но график потребует пересчета.

РАЗДАТОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Задание 1. Определить продолжительность работ, построить линейный календарный график поточного выполнения работ и эпюру загруз­ки трудовых ресурсов.

Задание 2.Рассчитать ритмы работы звеньев монтажников и каменщиков и построить циклограмму ритмичного потока при сооружении наземной части 6-ти этажного каркасно-кирпичного здания. Проверить, не превышает ли общее время выполнения работ на этаже 10 дней.

Задание 3.Рассчитать параметры неритмичного потока матричным методом и построить циклограмму выполнения работ на объекте

Задание 4. Составить сетевой график для поточного выполнения работ "нулевого цикла", рассчитать его табличным методом и привязать к календарю по раннему началу, исходя из заданной даты начала строительства объекта:

Задание 5. Построить фрагмент сетевого графика, рассчитать секторным методом и сократить критический путь на заданную величину.

Список литературы

1. Дикман Л.Г. Организация строительного производства: Учебник для строительных вузов - М.: Издательство АСВ. 2002. - 512 с.

2. Организация и планирование строительного производства /Под ред. д-ра техн. наук проф. А.К. Шрейбера. - М: Высшая школа. 1987.

3. Расчет и оптимизация сетевых графиков строительства/В.А. Побожий, СИ. Павленко, В.Я. Целлермаер. - М: Издательство АСВ, 2001. - 240 с.

4. СНиП 3.01.01 - 85 Организация строительного производства - М.: Стройиздат, 1981.

1. Методические указания по организации проведения практических занятий

2. Основные теоретические положения поточной организации работ 3

2.1.Расчет и построение линейного календарного графика 3

2.2.Расчет параметров и построение циклограммы ритмичного потока 4

2.3.Расчет параметров и построение циклограммы неритмичного потока 6

3. Построение и расчет сетевых графиков 8

3.1.Методы построения сетевых графиков 12

3.2.Расчет сетевого графика табличным метолом 12

3.3.Расчет сетевого графика секторным методом 13

3.4.Оптимизация сетевого графика и привязка к календарю 14

4. Раздаточный материал 15
Список литературы

Представим себе ситуацию развития проекта капитального строительства на производственном предприятии. Проект успешно инициирован и полным ходом идут работы по его планированию. Сформирована и утверждена , план по вехам принят. Разработан первичный вариант календарного плана. Поскольку задача оказалась достаточно масштабной, куратор принял решение о разработке еще и сетевой модели. Расчет сетевого графика в прикладном аспекте его исполнения является предметом настоящей статьи.

Перед стартом моделирования

Методологический базис сетевого проектного планирования представлен на нашем сайте несколькими статьями. Я лишь сошлюсь на две из них. Это материалы, посвященные в целом и непосредственно . Если в ходе повествования у вас будут возникать вопросы, просмотрите ранее представленные осмысления, основная суть методологии в них изложена. В настоящей статье мы рассмотрим небольшой пример локальной части комплекса строительно-монтажных работ в рамках значительной проектной реализации. Расчеты и моделирование будем выполнять методом «вершина-работа» и классическим табличным способом («вершина-событие») с применением МКР (метода критического пути).

Построение сетевого графика мы начнем на основе первой итерации календарного плана, выполненного в форме диаграммы Ганта. Для целей наглядности предлагаю не учитывать отношения предшествования и максимально упростить последовательность действий. Хотя на практике такое бывает редко, представим в нашем примере, что операции выстроены в последовательность вида «окончание-начало». Ниже вашему вниманию представляются две таблицы: выписка из списка работ проекта (фрагмент из 15-ти операций) и список параметров сетевой модели, необходимый для представления формул.

Пример фрагмента списка операций инвестиционного проекта

Список параметров сетевой модели, подлежащих расчету

Пусть вас не пугает обилие элементов. Построение сетевой модели и расчет параметров достаточно просто выполнить. Важно тщательно подготовиться, иметь под рукой иерархическую структуру работ, линейный график Ганта – в общем, все, что дает возможность определиться с последовательностью и взаимосвязями действий. Еще в первые разы выполнения графика я рекомендую иметь перед собой формулы расчета требуемых значений. Они представлены ниже.

Формулы расчета параметров сетевого графика

Что нам потребуется определить в ходе построения графика?

1. Раннее начало текущей работы, в которую входят несколько связей от предыдущих операций. Выбираем максимальное значение из всех ранних окончаний предыдущих операций.
2. Позднее окончание текущего действия, из которого выходят несколько связей. Выбираем минимальное значение из всех поздних начал последующих действий.
3. Последовательность работ, формирующих критический путь. У этих действий раннее и позднее начала равны, как и раннее и позднее окончание соответственно. Резерв такой операции равен 0.
4. Полные и частные резервы.
5. Коэффициенты напряженности работ. Логику формул резервов и коэффициента напряженности работы мы рассмотрим в специальном разделе.

Последовательность действий по моделированию

Шаг первый

Построение сетевого графика начинаем путем размещения прямоугольников задач последовательно слева-направо, применяя правила, описанные в предыдущих статьях. При выполнении моделирования методом «вершина-работа» основным элементом диаграммы выступает семисегментный прямоугольник, в составе которого отражены параметры начала, окончания, длительности, резерва времени и наименования или номера операций. Схема представления ее параметров показана далее.

Схема изображения работы на сетевом графике

Результат первого этапа построения сетевого графика

В соответствии с логикой последовательности операций с помощью специализированной программы, MS Visio или любого редактора размещаем образы работ в заданном выше формате. В первую очередь заполняем наименования выполняемых действий, их номера и длительность. Рассчитываем раннее начало и раннее окончание с учетом формулы раннего начала текущего действия в условиях нескольких входящих связей. И так проходим до завершающей фрагмент операции. При этом, в нашем примере проекта тем же графиком Ганта не предусмотрены исходящие связи от операций 11, 12, 13 и 14. «Подвешивать» их на сетевой модели недопустимо, поэтому мы добавляем фиктивные связи к конечной работе фрагмента, выделенные на рисунке синим цветом.

Шаг второй

Находим критический путь. Как известно, это путь, имеющий самую большую продолжительность действий, которые в него входят. Просматривая модель, мы выбираем связи между работами, имеющими максимальные значения раннего окончания действий. Намеченный критический путь выделяем стрелочками красного цвета. Полученный результат представлен на промежуточной схеме далее.

Схема сетевого графика с выделенным критическим путем

Шаг третий

Заполняем значения позднего окончания, позднего начала и полного резерва работ. Для выполнения расчета переходим к конечной работе и берем ее за последнюю операцию критического пути. Это означает, что поздние значения окончания и начала идентичны ранним, и от последней операции фрагмента мы начинаем двигаться в обратную сторону, заполняя нижнюю строку схематического представления действия. Модель выполнения расчета показана ниже на схеме.

Схема расчета поздних начал и окончаний вне критического пути

Итоговый вид сетевого графика

Шаг четвертый

Четвертым шагом алгоритма сетевого моделирования и расчетов выполняется вычисление резервов и коэффициента напряженности. Первым делом имеет смысл обратить внимание на полные резервы путей некритических направлений (R). Они определяются путем вычитания из продолжительности критического пути временной длительности каждого из этих путей, пронумерованных на схеме итогового сетевого графика.

• R пути под номером 1 = 120 – 101 = 19;
• R пути под номером 2 = 120 – 84 = 36;
• R пути под номером 3 = 120 – 104 = 16;
• R пути под номером 4 = 120 – 115 = 5;
• R пути под номером 5 = 120 – 118 = 2;
• R пути под номером 6 = 120 – 115 = 5.

Дополнительные расчеты модели

Выполнение расчета общего резерва текущей операции производится путем вычитания из значения позднего начала раннего начала или из позднего окончания раннего окончания (см. схему расчета выше). Общий (полный) резерв показывает нам возможность начала текущей работы позже или увеличения продолжительности на длительность резерва. Но нужно понимать, что пользоваться полным резервом следует с большой осторожностью, потому что работы, стоящие от текущего события дальше остальных, могут оказаться без запаса времени.

Помимо полных резервов в сетевом моделировании оперируют также и частными или свободными резервами, которые представляют собой разницу между ранним началом последующей работы и ранним окончанием текущей. Частный резерв показывает, есть ли возможность сдвинуть ранее начало операции вперед без ущерба для начала следующей процедуры и всему графику в целом. Следует помнить, что сумма всех частных резервных значений тождественна полному значению резерва для рассматриваемого пути.

Главной задачей выполнения вычислений различных параметров является оптимизация сетевого графика и оценка вероятности выполнения проекта в срок. Одним из таких параметров является коэффициент напряженности, который показывает нам уровень сложности реализовать работу в намеченный срок. Формула коэффициента представлена выше в составе всех расчетных выражений, применяемых для анализа сетевого графика.

Коэффициент напряженности определяется как разница между единицей и частного от деления полного резерва времени работы на разницу длительности критического пути и особого расчетного значения. Это значение включает ряд отрезков критического пути, совпадающих с максимально возможным путем, к которому может быть отнесена текущая операция (i-j). Далее помещен расчет частных резервов и коэффициентов напряженности работ для нашего примера.

Таблица расчета частных резервов и коэффициента напряженности

Коэффициент напряженности варьируется от 0 до 1,0. Значение 1,0 устанавливается для работ, находящихся на критическом пути. Чем ближе значение некритической операции к 1,0, тем труднее удержаться в плановых сроках ее реализации. После того, как значения коэффициента по всем действиям графика посчитаны, операции, в зависимости от уровня этого параметра, могут быть отнесены к категории:

• критической зоны (Кн более 0,8);
• подкретической зоны (Кн более или равно 0,6, но менее или равно 0,8);
• резервной зоны (Кн менее 0,6).

Оптимизация сетевой модели, нацеленная на сокращение общей продолжительности проекта, как правило, обеспечивается следующими мероприятиями.

1. Перераспределение ресурсов в пользу наиболее напряженных процедур.
2. Снижение трудоемкости операций, расположенных на критическом пути.
3. Распараллеливание работ критического пути.
4. Переработка структуры сети и состава операций.

Использование табличного метода

Общепризнанные ПП календарного планирования (MS Project, Primavera Suretrack, OpenPlan и т.п.) способны вычислять ключевые параметры сетевой модели проекта. Мы же в настоящем разделе табличным методом выполним настройку подобного расчета обычными средствами MS Excel. Для этого возьмем наш пример фрагмента проектных операций проекта в области СМР. Расположим основные параметры сетевого графика в столбах электронной таблицы.

Модель расчета параметров сетевого графика табличным способом

Преимуществом выполнения расчетов табличным способом является возможность простой автоматизации вычислений и избежание массы ошибок, связанных с человеческим фактором. Красным цветом будем выделять номера операций, располагающихся на критическом пути, а синим цветом отметим расчетные позиции частных резервов, превышающих нулевое значение. Разберем пошагово расчет параметров сетевого графика по основным позициям.

1. Ранние начала операций, следующих за текущей работой . Алгоритм расчета настраиваем на выбор максимального значения из раннего времени окончания нескольких альтернативных предыдущих действий. Взять, например, операцию под номером 13. Ей предшествуют работы 6, 7, 8. Из трех ранних окончаний (71, 76, 74 соответственно) нам нужно выбрать максимальное значение – 76 и проставить его в качестве раннего начала операции 13.
2. Критический путь . Выполняя процедуру расчета по пункту 1 алгоритма, мы доходим до конца фрагмента, найдя значение продолжительности критического пути, которая в нашем примере составила 120 дней. Значения наибольших ранних окончаний среди альтернативных действий обозначают операции, лежащие на критическом пути. Отмечаем эти операции красным цветом.
3. Поздние окончания операций, предшествующих текущей работе . Начиная с концевой работы начинаем движение в обратную сторону от действий с большими номерами к операциям с меньшими. При этом из нескольких альтернатив исходящих работ выбираем наименьшее знание позднего начала. Поздние начала вычисляем как разницу между выбранными значениями поздних окончаний и продолжительности операций.
4. Резервы операций . Вычисляем полные (общие) резервы как разницу между поздними началами и ранними началами либо между поздними окончаниями и ранними окончаниями. Значения частных (свободных) резервов получаем в результате вычитания из числа раннего начала следующей операции раннего окончания текущей.

Мы рассмотрели практические механизмы составления сетевого графика и расчета основных параметров временной продолжительности проекта. Таким образом, вплотную приблизились к исследованию возможностей анализа, проводимого с целью оптимизации сетевой модели и формирования непосредственно плана действий по улучшению ее качества. Настоящая тема занимает немного места в комплексе знаний проект-менеджера и не так уж и сложна для восприятия. Во всяком случае, каждый РМ обязан уметь воспроизводить визуализацию графика и выполнять сопутствующие расчеты на хорошем профессиональном уровне.

Практическое занятие №2

Параметры сетевой модели

1. Порядок сетевого планирования

1. Установление полного перечня работ, которые необходимо выполнить при планировании комплекса работ.

2. Составление топологии сети - четкой последовательности и взаимосвязей всех работ и построение сетевого графика.

3. Оценка продолжительности выполнения отдельных работ.

4. Расчет параметров сетевого графика.

5. Анализ и оптимизация сетевого графика.

6. Управление ходом работ по сетевому графику.

Параметры сетевой модели

В системах СПУ применяются различные типы сетевых моделей, отличающиеся составом информации о комплексе работ.

Встречаются модели с детерминированной и вероятностной структурой сети, с детерминированными и вероятностными оценками продолжительности работ сети. При выборе модели руководителю проекта приходится принимать компромиссное решение: с одной стороны, сетевая модель должна быть простой, а с другой – адекватной объекту.

Широкое применение получила сетевая модель ПДВ (простейшая детерминированная временная), которая характеризуется следующими тремя моментами:

а) имеется сеть с единственным исходным и единственным завершающим событием;

б) продолжительности всех работ t ij известны, однозначно определены (вспомните из математики: детерминант – определитель) и указаны на графике (обычно в днях, в зарубежной практике – чаще в неделях);

в) задан момент начала выполнения комплекса Т 0 , а также задается (но не обязательно) директивный срок Т дир наступления завершающего события.

Рассмотрим временные параметры этой модели.

По известным продолжительностям работ легко определить продолжительность каждого пути – t(L) . Продолжительность любого пути равна сумме продолжительностей работ, его составляющих:

Для пояснения обратимся к рис.1. На графике над стрелками указаны продолжительности работ в днях (напомним, что продолжительность фиктивной работы равна нулю).

Найдем на графике полные пути и определим их продолжительность (по номерам событий):

L 1 1 – 2 – 5 – 7 – 8 t(L 1) = 14 дн.

L 2 1 – 2 – 4 – 5 – 7 – 8 t(L 2) = 12 дн.

L 3 1 – 3 – 4 – 5 – 7 – 8 t(L 3) = 13 дн.

L 4 1 – 3 – 6 – 7 – 8 t(L 4) = 16 дн.

Всегда найдется путь, имеющий наибольшую продолжительность, он называется критическим – L кр . Его продолжительность получила особое обозначение:

t(L кр) = Т кр.

Понятие критического пути является центральным понятием в системе СПУ. Значение L кр , во-первых, состоит в том, что он является самым длинным путем в сети и, таким образом, является единственным путем, который определяет полную продолжительность процесса. Поэтому, если мы хотим определить полную продолжительность процесса, нужно определить Т кр , а определять для этой цели все остальные t(L) не имеет смысла. Во-вторых, если мы хотим сократить продолжительность процесса, нужно прежде всего сокращать продолжительность работ, принадлежащих L кр . Таким образом, логика сетевого планирования приводит нас к необходимости находить в сетях критические пути и определять их продолжительность.

На графике рис. 1 путь L 4 имеет наибольшую продолжительность, равную 16 дням, и потому является критическим. Обычно критический путь на графиках выделяется (цветными, двойными, жирными и т.п. стрелками).

Обратим внимание, что в сети может быть несколько критических путей (с точки зрения использования ресурсов – чем больше критических путей в графике, тем лучше).

Обычно к L кр принадлежит 10-15 % работ. Чем сложнее сеть, тем таких работ меньше (считается, что в сети средней сложности количество работ в 1,7 раза превышает количество событий).

Другие полные пути рассматриваемого сетевого графика могут либо полностью проходить вне критического пути (L 1 и L 2 ), либо частично с ним совпадать (L 3 ). Эти пути называются ненапряженными : на участках, не совпадающих с критической последовательностью работ, они имеют резервы времени. Задержка в наступлении событий, лежащих на этих участках, до определенного момента не влияет на срок завершения всего комплекса.

Из ненапряженных путей наибольшее внимание привлекают наименее напряженные и подкритические. Подкритические пути имеют продолжительность, близкую к Т кр (отличаются от Т кр на определенную величину, устанавливаемую руководителем проекта). Эти пути могут стать критическими в результате задержки выполнения их работ или в результате сокращения продолжительности работ, лежащих на критическом пути, и, следовательно, являются потенциально опасными с точки зрения соблюдения сроков завершения проекта.

Например, при увеличении времени выполнения работы 2-5 (рис. 1) на 2 дня это приведет к тому, что t(L 1) = 16 дн. = Т кр . Тогда L 1 тоже станет критическим и будет определять срок выполнения всего комплекса.

Наименее напряженные пути могут рассматриваться с точки зрения возможности использования ресурсов (рабочей силы, оборудования, денежных средств). Возможное удлинение этих путей, вызванное переброской ресурсов, до определенных пределов не опасно для сроков проекта.

Работы, принадлежащие критическому и подкритическим путям, составляют критическую зону комплекса (15-20 % всех работ).

Зная продолжительность всех работ, можно также определить сроки наступления всех событий сети. Для каждого события определяют ранний и поздний сроки его наступления.

Ранний срок наступления события – это минимальный из возможных моментов его наступления, когда будут выполнены все работы, предшествующие данному событию. Он определяется максимальной из продолжительностей всех путей, предшествующих данному событию:

где - путь, предшествующий данному событию i ;

Поясним это на примере рис. 1. Событию 5 предшествуют три пути: 1-2-5 с продолжительностью 7 дн., 1-2-4-5 с продолжительностью 5 дн. и 1-3-4-5 с продолжительностью 6 дн. Событие 5 не может наступить ранее 7 дней, т.к. только в течение этого периода будут выполнены все предшествующие ему работы 2-4, 3-4 и 2-5.

Легко увидеть, что для события 3 ранний срок его наступления = 4 дн., т.к. ему предшествует только один путь 1-2, состоящий из одной работы.

Поздний срок наступления события - это максимальный из допустимых моментов его наступления, при котором еще не изменяется общий срок выполнения всего комплекса. Поздний срок определяется разностью между Т кр и наибольшей из продолжительностей путей, следующих за событием i :

(3)

где - путь, следующий за событием i ;

Максимальный из этих путей.

Продолжим рассмотрение рис. 1. За событием 5 следует только один путь 5-7-8 продолжительностью 7 дней. Следовательно,

16 – 7 = 9 дн.

За событием 3 следуют два пути: 3-4-5-7-8 с продолжительностью 9 дн. и 3-6-7-8 с продолжительностью 12 дн. Следовательно, = 16 – 12 = 4 дн., т.е. событие 3 не может наступить позже 4 дней от начала работ, иначе это скажется на изменении срока всего комплекса.

Так как по определению критического пути

, (4)

то для всех событий, принадлежащих критическому пути, справедливо равенство:

В справедливости этого мы уже убедились из рассмотренного примера для события 3. Оно лежит на критическом пути, поэтому

Зная сроки наступления событий, можно для каждой работы сети определить сроки ее начала и окончания, выявив тем самым возможности смещения сроков. Применительно к каждой работе рассматриваются четыре срока:

Ранний срок начала работы ; (6)

Ранний срок окончания работы ; (7)

Поздний срок начала работы ; (8)

Поздний срок окончания работы . (9)

С учетом равенства (5) для событий, лежащих на критическом пути, можно сделать вывод, что у работ критического пути ранние и поздние сроки начала или окончания совпадают:

Следующим важным параметром является резерв времени – применительно к пути, событию и работе.

Критический путь является самым продолжительным в сети. Разность между продолжительностью критического пути Т кр и продолжительностью любого другого пути t(L) называется резервом времени пути L и обозначается :

(11)

Чем короче путь L , чем больше он по времени не совпадает с критическим, тем у него больше резерв времени. Физический смысл этого параметра таков: резерв времени пути показывает, на сколько в сумме могут быть увеличены продолжительности работ, принадлежащих пути L , чтобы при этом не изменился общий срок выполнения всего комплекса работ.

Так, L 1 (см. рис. 1) не совпадает с критическим на участке сети между 1 и 7 событиями. Его продолжительность, как было показано выше, составляет 14 дней, и, следовательно, резерв равен двум дням. Только двумя днями располагают руководители всех трех работ при непредвиденной задержке в их выполнении.

Все события, не лежащие на критическом пути, обладают резервом времени, который определяется как разность между поздним и ранним сроками его наступления:

Резерв времени события показывает, на какой предельно допустимый срок можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения всего комплекса работ. При большей задержке критический путь переместится на максимальный из путей, проходящих через данное событие i .

Так, для события 5 (рис.1) = 9 – 7 = 2 дн. При задержке этого события на 2 и более дней критический путь переместится на максимальный путь L 1 , проходящий через событие 5.

События, лежащие на критическом пути, имеют нулевой резерв времени , в том числе исходное и завершающее события.

Для работ сетевой модели определяются два резерва времени: полный и свободный.

Полный резерв времени работы - это резерв максимального из путей, проходящих через работу i,j

, (13)

где - поздний срок наступления конечного события этой работы;

Ранний срок наступления начального события этой работы;

Продолжительность выполнения работы.

Физический смысл этого параметра таков: этот резерв показывает, на сколько можно задержать начало или увеличить продолжительность отдельной работы, не изменяя директивного (или раннего, если директивный не задан) срока наступления завершающего события. В последнем случае (если директивный срок не задан) – не изменяя Т кр .

Обратим внимание на следующий важный момент: полный резерв принадлежит не одной работе, а всем путям, которые проходят через данную работу. Поэтому использование его полностью на одной из работ пути L аннулирует полные резервы времени всех работ , принадлежащих этому пути.

Например, = 2 дн. (см. рис.1), т.к. он определяется резервом пути L 1 . Если использовать его полностью на работе 5-7, то другие работы этого пути (1-2, 2-5) останутся без резервов времени.

Полные резервы времени принимают минимальное значение у работ, лежащих на критическом пути. Это свойство является необходимым и достаточным условием принадлежности работы критическому пути и используется для его нахождения при расчете сети. Минимальное значение полного резерва равно нулю, если Т дир не задан или превышает момент начала работ Т 0 на величину Т кр . В общем случае оно равно разности (Т кр - Т дир ).

Свободный резерв времени работы представляет собой максимальное время, на которое можно задержать начало или увеличить продолжительность работы i,j при условии, что все события сети наступают в свои ранние сроки:

. (14)

Свободный резерв образуется не у всех работ, а только у работ, непосредственно принадлежащих событиям, через которые проходят пути с различной продолжительностью. Это надо понимать так: если событию предшествует одна работа (например, работа 1-2 на рис.1), то для нее свободный резерв равен нулю по определению ( = 0), в других случаях – 0.

Свободный резерв является частью полного, и потому чаще на практике применяется другая формула:

где – резерв конечного события работы i,j .

Свободный резерв показывает, какая часть полного резерва времени работы может быть использована для увеличения ее продолжительности при условии, что это не вызовет изменения раннего срока наступления ее конечного события. Свободный резерв является независимым резервом, т.е. использование его на одной из работ не изменяет величины свободных резервов времени остальных работ сети. Используя свободный резерв времени, ответственный исполнитель может маневрировать в его пределах временем начала данной работы, ее окончания или ее продолжительностью, не затрагивая интересов других руководителей работ.

Практическое занятие №3

Расчет параметров сетевых графиков.

«Графический» способ

Для расчета параметров сетевых графиков предложен ряд способов:

а) непосредственно на самом графике (так называемый «графический» способ);

б) табличный способ;

в) матричный способ;

г) на основе машинных алгоритмов.

В средних и крупных комплексах такую работу выполняют специально выделенные работники, входящие в службу СПУ. В настоящее время на многих предприятиях и в организациях имеются стандартные и собственной разработки программы расчета параметров сети на ЭВМ.

«Графический» способ

Расчет параметров и запись результатов осуществляются на самом графике. Для этого сетевой график, желательно не имеющий пересечений, вычерчивается в укрупненном масштабе: диаметр кружков, изображающих на графике события, равен 15-25 мм. Кружки делятся на 4 сектора.

«Ключ» к чтению такого графика показан на рис. 2: в нижних секторах будем изображать номер события; в левых секторах – ранние сроки наступления событий; в правых – поздние сроки наступления событий; в верхних – резервы времени событий; в квадратных скобках под стрелкой – полный и свободный резерв каждой работы; над стрелкой – продолжительность работы.

Вначале график перечерчивается в укрупненном масштабе (рис. 4). Напомним, что продолжительность фиктивной работы равна нулю. И еще: не имеет значения, в какой сектор кружка направлена стрелка.

Параметры графика рассчитываются в следующем порядке.

1. Определение раннего срока наступления каждого события .

Для исходного события 1 имеем = 0 и это указывается в левом секторе. Для остальных событий в соответствии с формулой (2).

Это означает, что если в событие входит одна стрелка (например, событие 2), то к раннему сроку наступления предыдущего события 1 прибавляется продолжительность работы 1-2, а результат записывается в левом секторе события 2.

В событие 3 входит две работы: 1-3 и 2-3. Поэтому вначале получаем два значения: 0 + 4 = 4 и 2 + 7 = 9. Большее значение (9 дней) является ранним сроком наступления события 3, что и отмечается в его левом секторе.

Поскольку завершающее событие всегда лежит на критическом пути, можно сказать, что = = 19 дней. Через какие работы и события пройдет критический путь, мы не знаем, но его продолжительность уже определена при расчете первого параметра сети.

2. Определение поздних сроков наступления событий .

Расчет ведется от завершающего события (с конца графика) в строго обратном порядке. Поскольку у событий, лежащих на критическом пути, ранние и поздние сроки совпадают, то для завершающего события = = 19 дней, что и отмечено в правом секторе (рис. 5).

Для остальных событий в соответствии с формулой (3) можно записать . Для события 5 имеем = 19 – 4 = 15 дней, для события 6 = 19 – 2 = 17 дней, для события 4 = 15 – 0 = = 15 дней.

В эти события, идя с конца графика, можно попасть только одним путем, поэтому нет необходимости определять минимальное значение, как, например, для события 3. Из него выходят работы 3-4 и 3-6, поэтому вначале получаем два значения: 15 – 6 = 9 и 17 – 3 = 14. Меньшее значение (9 дней) является поздним сроком наступления события 3, что и отмечено в его правом секторе.

3. Определение резервов времени событий .

Расчет можно вести или с начала графика, или с его конца. Для любого события . Это значит, что для каждого события из значения его правого сектора надо вычесть значение левого сектора, а результат поставить в его верхний сектор (рис. 6).

4. Нахождение критического пути на графике, т.е. находятся события и работы, лежащие на критическом пути.

Процедуру можно осуществлять с начала или конца графика.

а) Необходимое условие принадлежности события критическому пути: , т.е. отыскивают последовательно события с нулевыми резервами времени.

б) Если из события с нулевым резервом выходит несколько работ, имеющих нулевой резерв конечного события, то проверяется достаточное условие принадлежности работы критическому пути:

5. Определение полного резерва времени работы .

Находим полные резервы только для работ, не лежащих на критических путях и не являющихся фиктивными, по формуле (13) . Результат записывается в квадратных скобках под стрелкой или рядом с ней. Так, для работы 1-3 полный резерв времени равен 9 – 4 – 0 = 5 дней, для работы 2-5 имеем 15 – 6 – 2 = 7 дней и т.д.

Напомним, что если у работы , то она обязательно лежит на критическом пути (это для самопроверки).

6. Определение свободного резерва времени работы .

Свободный резерв времени является частью полного, поэтому его определяют у тех же работ, не лежащих на критическом пути и не являющихся фиктивными, по формуле (15) . Расчет по этой формуле проще, чем по формуле (14), т.к. к этому времени полные резервы работ и резервы событий уже рассчитаны. Так, для расчета надо взять значение полного резерва работы 2-5 (7 дней) и вычесть из него резерв конечного события этой работы (0 дней), результат указать под стрелкой и закрыть квадратную скобку. Аналогично быстро рассчитываются свободные резервы других работ.

Практические советы:

б) для ускорения процесса расчета параметров этап 6 целесообразно совмещать с этапом 5, т.к. в сложных сетях каждый раз отыскивать на графике одну и ту же работу затруднительно.

Практическое занятие №4

Расчетные параметры СГ:

i - j – код данной работы;

i – код начального события данной работы;

j – код конечного события данной работы;

h – i - код работ, предшествующих данной работе;

h – код событий, предшествующих начальному событию данной работы;

j - k – код работ, последующих за конечным событием данной работы;

k – код событий, последующих конечному событию данной работы;

L – путь;

L кр – критический путь;

t L – продолжительность пути;

T L кр – продолжительность критического пути и критический срок;

t i - j – продолжительность работы;

T р.н i - j –раннее начало работы;

T р.о i - j –раннее окончание работы;

T i p – ранний срок свершения события I ;

T п.н i - j – позднее начало работы i - j ;

T п.о i - j – позднее окончание работы i - j ;

T n j – поздний срок свершения события j ;

R i - j – общий (полный) резерв времени работы i - j ;

r i - j – частный (свободный) резерв времени работы i - j ;

Общая схема кодирования работ и события показана на рис.3.18.

Рис. 3.18. Общая схема кодирования работ и событий

Расчет сетевого графика аналитическим путем. Расчет времен­ных параметров СГ может выполняться по работам или по событиям, как это будет показано ниже.

Рис. 3.19. Сетевой график

Расчет ранних сроков. Ранние сро­ки начала и окончания работ и свершения событий СГ рассчитывают, начиная от ис­ходного события последовательно по всем путям СГ прямым ходом расчета. В резуль­тате этого расчета кроме ранних сроков ус­танавливают также общую продолжитель­ность работы по графику в целом и по от­дельным его участкам (рис. 3.19).

Расчет по работам. Раннее начало работы T р.н i - j – самое раннее из возможных время начала работы - определяют продолжительностью самого длинного пути от исходного события до начального события данной работы:

T р . н i-j =max t h-i (3.1)

Например, для работы 6-8 (рис. 3.19) раннее начало:

Так как продолжительность наибольшего пути 1-2, 2-5, 5-6 состав­ляет 16, то работу 6-8 можно начать на 17-й день. Раннее окончание работы T р.о i - j – время окончания работы (она нача­та в самый ранний из возможных сроков) – определяют суммой раннего начала и продолжительности данной работы:

T р . о i-j = T р . н i-j + t h-i . (3.2)

Например, для работы 6-8 раннее окончание:

T р.о 6-8 = T р.н 6-8 + t 6-8 =16+6=22.

Расчет по событиям. Ранний срок свершения начального собы­тия Т p i определяют максимальной величиной суммы ранних сроков свершения предшествующих событий и продолжительности работ, вхо­дящих в данное событие:

T p i = max { T p h + t h -1 }. (3.3)

Например,

Естественно, что расчет раннего срока свершения конечного со­ бытия работы выполняют по той же формуле.

Расчет поздних сроков. Расчет поздних сроков окончания и начала работ сетевого графика и свершения событий производят после того, как определены все ранние сроки и общая продолжительность. Расчет ведут обратным ходом от завершающего события к исходному последовательно по всем путям СГ.

Расчет по работам. Позднее окончание работы – самый поздний из допустимых сроков окончания работы, при котором не увеличивается общая продолжительность работ сетевого графика.

Позднее окончание рассматриваемой работы равно минимально­му из сроков поздних начал последующих работ:

T п . о i- j = minT п . н . j-k (3.4)

Определение позднего начала через позднее окончание основано на том, что расчет ведут от завершающего события, у которого ранние и поздние сроки совпадают, т. е. T р k = T n k . , поэтому, рассчитав ранние сроки работ, мы установили тем самым и поздний срок завершающего события:

T п.о j - k = T кр = max T p .о j - k . (3.5)

Например, для работы 2-5 позднее окончание:

Позднее начало работы T п.н i - j – самый поздний из допустимых сро ков начала работы, при котором не увеличивается общая продолжитель­ ность работ. Позднее начало работы равно разности между величинами ее позднего окончания и продолжительности:

T п.н 2-5 = T п. o i - j – t i - j . (3.6)

Например, для работы 2-5 позднее начало:

T п.н 2-5 = T 2-5 – t 2-5 =15 – 12 = 3.

Расчет по событиям. Поздний срок Т n j свершения события j опре­ деляется минимальной величиной из значений разности поздних сроков свершения конечных событий k и продолжительности работ, выходящих из данного события j :

T n i = min {T n k – t j-k }. (3.7)

Например, для события 5:

Сопоставление ранних и поздних сроков работ и событий по­зволяет рассчитать резерв времени, критический путь и провести анализ параметров графика.

Если ранние и поздние характеристики работ совпадают, то ра­ боты лежат на критическом пути. Критическими являются те события, на которых совпадают ранние и поздние сроки свершений.

Для критических работ соблюдаются следующие условия:

ранние и поздние сроки начала работы и соответственно их окончания равны, т. е.

T р.н i - j = T п.н. i - j = T н i - j ; T р.о. i - j = T п.о. i - j = T o i - j (3.8)

или при расчете по событиям ранние и поздние сроки свершения событий, ограничивающих данную работу, соответственно равны, т. е.

T р i = T п i ; T р j = T п j ; (3.9)

2) разность между возможными сроками окончания и начала работы равна ее продолжительности, т. е.

T o i-j – T H i-j = t i-j , (3.10)

или разность между сроками свершения конечного и начально­го событий равна продолжительности данной работы, т. е.

T j – T i = T i - j (3.11)

Например, для критической работы 3-7 первое условие T p.н 3-7 = T п.н 3-7 =10 , а также T p.о 3-7 = T п.о 3-7 =15 соблюдено. Второе условие:

Общий (полный) и частный резервы времени для работ критиче­ ского пути равны нулю. Для остальных работ определяют различные ви­ды резервов времени.

Общий (полный) резерв времени работы – это максимальное вре­ мя, за которое можно задержать начало работы или увеличить ее про­ должительность без изменения общего срока строительства. Величина Ri - j определяется разностью поздних и ранних сроков начала или окон­чания работы:

R i - j = T п.н i - j - T p.н i - j = T п.о i - j - T p.о i - j , (3.12)

R i - j = T п.о i - j - T p.н i - j – t i - j . (3.13)

Например, общий резерв времени для работы 4-6 составляет

или то же самое по событиям:

R i-j = T n j – T р i – t i-j ,

R 4-6 = T n 6 – T p 4 – t 4-6 = 19 – 2 - 4 = 13 (3.14)

Частный (свободный) резерв времени работы r i - j – максимальное количество времени, на которое можно перенести начало работы или увеличить ее продолжительность без изменения раннего начала последующих работ. Оно имеет место, когда в событие входят две работы и больше, и определяется разностью значений раннего начала последующей работы и раннего окончания данной работы.

Например, для работы 4-6 частный резерв

r i - j = T p .н j - k – T p . o i - j ,

r 4-6 = T p .н 6-8 - T p . o 4-6 = 16 – 6 = 10 , (3.15)

или в терминах событий

r i-j =T p j – T p i – t i-j (3.16)

Например, частный резерв времени для той же работы 4-6 составляет

R 4-6 = T p 6 - T p 6 – t 4-6 = 16 - 2 – 4 = 10.

Расчет сети непосредственно на графике. Расчет непосредствен­но на графике является самым простым и быстрым из ручных способов. При этом способе расчета строгое соблюдение правила кодирования со­бытий не обязательно. Для записи результатов расчета принимают одну из форм, показанных на рис. 3.20.

Рис. 3.20. Варианты формы записи результатов расчета: а – по секторам; б – в виде дроби; 1 – раннее начало работы Б; 2 – позднее окончание работы А

Расчет на сети требует проведения только чисто механических операций без обращения к формулам (рис. 3.21). Порядок расчета:

1. У исходного события под чертой (в знаменателе) ставят нуль.

2. Для каждого следующего события в знаменателе записы­вают число, равное сумме значения раннего срока свершения предыдущего события и продолжительности работы. Так, для события 2 записывают 2 (0+2=2), для со­бытия 4 – 8 (2+6=8) и т. д.

3. Если в событие входит две работы или больше, то рассчитывают значение каждой из них, записывая над стрелкой, но в знаменатель переносят только максимальное значение из всех полученных. Например, в событие 5 входят работы 2-5 и 2-3 (через зависимость). Первый путь дает значение 2+3=5, второй – 2 + 5=7. Принимают максимальное 7 и записывают в знаменатель. В событие 11 входит четыре работы, из них записывают максимальное значение 39.

4. В завершающем событии значение, записанное в знаменатель, определяющее длину критического пути, переносят над чертой (в числитель) (рис. 3.22).

5. Значение числителей определяют, ведя расчет от завершающего события к исходному, вычитая из значения поздних сроков свершения конечного события продолжительность предшествующих им работ. В отличие от расчета ранних сроков (знаменатель), если из события выходят две работы или более, принимают не максимальное, а минимальное значение. Например, из события 7 выходят две работы со значе­ниями 17 и 32; принимают минимальное 17.

6. Критический путь проходит через события, в которых значе­ния в числителе и знаменателе совпадают. Полный и частный резерв времени для работ критического пути равен нулю. На рис. 3.23 дан сетевой график с расчетными параметрами и показан критический путь.

7. Общий резерв времени для любой работы определяют вычитанием из значения числителя (конечного события данной работы) суммы значений знаменателя (начального события данной работы) и ее продолжительности. Так, для работы 9-10 полный резерв равен 34 (числитель конечного события) - 21 (знаменатель начального события) - 4 (продолжительность работы) = 9. Резерв времени события равен разности значений числителя и знаменателя. Соответственно для события 10 полный резерв равен 34 (числитель) - 25 (знаменатель) =9.

8. Частный резерв для любой работы определяют вычитанием из значения знаменателя конечного события данной работы суммы значений знаменателя начального события и продол­жительности данной работы. Для работы 4-8 частный резерв равен 17- (8+8) = 1.

Рис. 3.21. Расчет ранних начал работ сетевого графика

Рис. 3.22. Расчет поздних окончаний работ сетевого графика

Рис. 3.23. Сетевой график

Расчет сетевого графика табличным методом. При расчете СГ события кодируются в порядке возрастания (табл. 3). Сверху вниз за­полняют три первые колонки. По порядку номеров рассматривают каждое событие. Из первого события выходит работа 1-2, записывают ее код в гр. 2, продолжительность, равную 2, – в гр. 3, а так как предшествующих ей работ нет, в гр. 1 ставим прочерк.

Из события 2 выходят три работы: 2-3 с продолжительностью 5 дн; 2-4 с продолжительностью 6 дн; 2-5 с продолжительностью 3 дн. Записы­вают коды работ и их продолжительность в гр. 2 и 3, затем рассматривают работы, входящие в событие 2. Такой оказывается работа 1-2, так как только эта работа в гр. 2 оканчивается цифрой 2. Начальным событием этой работы является событие 1. Номер 1 записывают в гр. 1 для всех трех работ и т. д. Зависимость вносят в таблицу с нулевой продолжительностью (3-5, 7-8).

Если работа имеет несколько предшествующих событий, то записывают все их коды. Работе 5-7 предшествуют работы 2-5 и 3-5, имеющие начальные события 2 и 3, их коды 2 и 3 записывают в гр. 1.

В гр. 4, 5 записывают расчет ранних параметров работы – раннее начало и раннее окончание. Расчет ведут от исходного события до завер­шающего. Для простых событий, в которые входит только одна работа, раннее начало этой работы равно раннему окончанию предшествующей работы. Раннее окончание работы равно сумме ее раннего начала плюс продолжительность данной работы, т. е. данные гр. 4 плюс данные гр. 3 заносят в гр. 5.

Раннее начало исходной работы 1 -2 равно 0 (гр. 4); раннее оконча­ние работы 1-2 равно 2(0+2). Работе 2-3 предшествует работа 1-2, для ко­торой раннее окончание равно 2 (гр. 5). А так как раннее окончание пред­шествующей работы равно раннему началу последующей, число 2 запи­сывают в гр. 4 рассматриваемой работы 2-3. Прибавив к 2 продолжитель­ность работы 5 записывают в гр. 5 число 7.

Таблица 3.

Расчет параметров сетевого графика

Ранние начала работ 2-4 и 2-5 также равны 2, так как им предшествует то же самое событие 2. В гр. 4 против кода этих работ записывают 2, а в гр. 5 заносят соответственно 8(2+6) и 5(2+3). Работам 3-5 и 3-6 также предшествует только одна работа 2 -3 с цифрой 7 в гр. 5. Переносят 7 в гр.4 и т. д.

При рассмотрении сложного события, т. е. когда ему предшествуют две работы и более, раннее начало последующей работы будет равно наибольшему значению их ранних окончаний предшествующих работ. В настоящей таблице работы 5-7, 7-8, 7-11 и 8-9 имеют по две предшест­вующие работы (см. гр. 1). Например, работе 5-7 предшествуют работы 2-5 и 3-5 с начальными событиями 2 и 3.

Так как ранние характеристики работ, в том числе и работ 2-5 и 3-5, рассчитаны, остается только сравнить их величины. Раннее окончание работы 2-5 равно 5, а работы 3-5 равно 7. Большее из этих чисел 7 перено­сим в гр. 4 строки работы 5-7, после чего определяют раннее окончание этой работы: 7+5=12.

В гр. 6, 7 записывают расчеты поздних параметров работ – позднее начало и позднее окончание. Расчет ведут в обратном порядке, т. е. от завершающих работ до исходной снизу вверх. Для простого события, из которого выходит только одна работа, позднее окончание предшествующей работы равно позднему началу рассматриваемой работы. Позднее начало данной работы равно разности между ее поздним окончанием и продолжительностью.

Для сложного события, из которого выходит несколько работ, позднее окончание предшествующих работ равно меньшему из поздних начал рассматриваемых работ. Так, для завершающей работы 10-11, как и для других работ, оканчивающихся завершающим событием сети (событие 11), позднее окончание работ равно наибольшей величине из всех ранних окончаний работ, т. е. работе 9-11 (гр. 5). Это число записывают в гр. 7 работ 10-11 и 9-11. Из гр. 7 вычитают продолжительность работы (гр. 3) и получают позднее начало для работы (гр. 6) 10-11, равное 39-5=34, и для работы 9-11, равное 39-18=21.

Работа 9-10 кончается событием 10; таким событием начинается работа 10-11, ее значение 34 из гр. 5 переносят в гр. 7 нашей работы. Вы­чтя из гр. 7 значение гр. 3, записывают в гр. 6 число 30. В этом же порядке продолжают расчет снизу вверх. При расчете сложных событий отличие заключается в необходимости выбора минимального значения из несколь­ких возможных. Позднее начало исходной работы должно быть равно ну­лю.

Гр. 8 – общий резерв времени определяют как разность между значениями гр. 6 и 4 или гр. 7 и 5. Так, для работы 1-2 полный резерв R| 1-2 =0(0-0=0) или 2-2=0; для работы 2-4 R 2 - 4 = 1(3-2=1) или 9-8=1 и т. д. до конца.

В гр. 9 записывают частный резерв времени, который определяют как разность между ранним началом последующей работы по гр. 4 и ран­ним окончанием данной работы по гр. 5.

Работы, не имеющие общего резерва, естественно, не имеют и ча­стного резерва, поэтому в гр. 9 ставят 0 всюду, где 0 имеется в гр. 8. Пер­вой работой, имеющей резерв, будет работа 2-4. Для определения раннего начала последующей работы надо найти в гр. 2 любую работу, начинаю­щуюся с последней цифры кода нашей работы, т. е. с цифры 4. Такой бу­дет работа 4-8, имеющая по гр. 4 раннее начало 8. Раннее окончание на­шей работы по гр. 5 тоже равно 8, значит, частный резерв равен

r 2-4 = t p.н 4-8 – t p.o 2-4 = 8-8=0.

Последующей по отношению к работе 2-5 будет работа 5-7 со зна­чением раннего начала 7. Раннее окончание работы 2-5 равно 5. Отсюда частный резерв r 2-5 = 7-5 = 2.

Гр. 10 – критический путь при табличном методе расчета лежит на работах, общий резерв времени которых равен 0. Отмечаем знаком "+" работы, лежащие на критическом пути. К таким работам относятся все, имеющие 0 в гр. 8. На графике критический путь должен представлять со­бой непрерывную последовательность работ от начального события до конечного.

Анализируя таблицу, мы получаем сведения о длине критического пути, ранних и поздних началах и окончаниях каждой из работ, общих и частных резервах времени.