Finden Sie eine allgemeine Lösung für das System algebraischer Gleichungen. Homogene Systeme linearer algebraischer Gleichungen

Das Lösen linearer algebraischer Gleichungssysteme (SLAEs) ist zweifellos das wichtigste Thema in einem Kurs über lineare Algebra. Bei einer Vielzahl von Problemen aus allen Bereichen der Mathematik geht es um die Lösung linearer Gleichungssysteme. Diese Faktoren erklären den Grund für diesen Artikel. Das Material des Artikels ist so ausgewählt und strukturiert, dass Sie es mit seiner Hilfe tun können

• Wählen Sie die optimale Methode zur Lösung Ihres Systems linearer algebraischer Gleichungen.
• die Theorie der gewählten Methode studieren,
• Lösen Sie Ihr lineares Gleichungssystem, indem Sie detaillierte Lösungen typischer Beispiele und Probleme berücksichtigen.

Kurze Beschreibung des Artikelmaterials.

Zunächst geben wir alle notwendigen Definitionen, Konzepte und führen Notationen ein.

Als nächstes betrachten wir Methoden zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme, bei denen die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl unbekannter Variablen ist und die eine eindeutige Lösung haben. Erstens konzentrieren wir uns auf die Cramer-Methode, zweitens zeigen wir die Matrixmethode zur Lösung solcher Gleichungssysteme und drittens analysieren wir die Gauß-Methode (die Methode der sequentiellen Eliminierung unbekannter Variablen). Um die Theorie zu festigen, werden wir auf jeden Fall mehrere SLAEs auf unterschiedliche Weise lösen.

Danach werden wir mit der Lösung von Systemen linearer algebraischer Gleichungen allgemeiner Form fortfahren, bei denen die Anzahl der Gleichungen nicht mit der Anzahl der unbekannten Variablen übereinstimmt oder die Hauptmatrix des Systems singulär ist. Formulieren wir das Kronecker-Capelli-Theorem, das es uns ermöglicht, die Kompatibilität von SLAEs festzustellen. Analysieren wir die Lösung von Systemen (sofern sie kompatibel sind) mithilfe des Konzepts einer Basis-Minor-Matrix. Wir werden auch die Gauß-Methode betrachten und die Lösungen der Beispiele ausführlich beschreiben.

Wir werden uns auf jeden Fall mit der Struktur der allgemeinen Lösung homogener und inhomogener Systeme linearer algebraischer Gleichungen befassen. Geben wir das Konzept eines fundamentalen Lösungssystems und zeigen wir, wie die allgemeine Lösung eines SLAE unter Verwendung der Vektoren des fundamentalen Lösungssystems geschrieben wird. Zum besseren Verständnis schauen wir uns einige Beispiele an.

Abschließend betrachten wir Gleichungssysteme, die auf lineare reduziert werden können, sowie verschiedene Probleme, bei deren Lösung SLAEs entstehen.

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Definitionen, Konzepte, Bezeichnungen.

Wir betrachten Systeme von p linearen algebraischen Gleichungen mit n unbekannten Variablen (p kann gleich n sein) der Form

Unbekannte Variablen, - Koeffizienten (einige reelle oder komplexe Zahlen), - freie Terme (auch reelle oder komplexe Zahlen).

Diese Form der Aufzeichnung wird SLAE genannt Koordinate.

IN Matrixform Das Schreiben dieses Gleichungssystems hat die Form:
Wo - die Hauptmatrix des Systems, - eine Spaltenmatrix unbekannter Variablen, - eine Spaltenmatrix freier Terme.

Wenn wir der Matrix A als (n+1)-te Spalte eine Matrixspalte freier Terme hinzufügen, erhalten wir die sogenannte erweiterte Matrix Systeme linearer Gleichungen. Typischerweise wird eine erweiterte Matrix mit dem Buchstaben T bezeichnet und die Spalte mit den freien Begriffen wird durch eine vertikale Linie von den übrigen Spalten getrennt, d. h.

Lösen eines Systems linearer algebraischer Gleichungen bezeichnet eine Menge von Werten unbekannter Variablen, die alle Gleichungen des Systems in Identitäten umwandelt. Auch die Matrixgleichung für gegebene Werte der unbekannten Variablen wird zu einer Identität.

Wenn ein Gleichungssystem mindestens eine Lösung hat, heißt es gemeinsam.

Wenn ein Gleichungssystem keine Lösungen hat, heißt es unvereinbar.

Wenn ein SLAE eine eindeutige Lösung hat, wird es aufgerufen bestimmt; wenn es mehr als eine Lösung gibt, dann – unsicher.

Wenn die freien Terme aller Gleichungen des Systems gleich Null sind , dann wird das System aufgerufen homogen, sonst - heterogen.

Lösung elementarer Systeme linearer algebraischer Gleichungen.

Wenn die Anzahl der Gleichungen eines Systems gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist und die Determinante seiner Hauptmatrix ungleich Null ist, werden solche SLAEs aufgerufen elementar. Solche Gleichungssysteme haben eine eindeutige Lösung, und im Fall eines homogenen Systems sind alle unbekannten Variablen gleich Null.

Wir haben in der High School begonnen, solche SLAEs zu studieren. Als wir sie lösten, nahmen wir eine Gleichung, drückten eine unbekannte Variable durch andere aus und setzten sie in die übrigen Gleichungen ein, dann nahmen wir die nächste Gleichung, drückten die nächste unbekannte Variable aus und setzten sie in andere Gleichungen ein und so weiter. Oder sie verwendeten die Additionsmethode, das heißt, sie fügten zwei oder mehr Gleichungen hinzu, um einige unbekannte Variablen zu eliminieren. Wir werden nicht näher auf diese Methoden eingehen, da es sich im Wesentlichen um Modifikationen der Gauß-Methode handelt.

Die wichtigsten Methoden zur Lösung elementarer linearer Gleichungssysteme sind die Cramer-Methode, die Matrixmethode und die Gauß-Methode. Sortieren wir sie.

Lösen linearer Gleichungssysteme mit der Cramer-Methode.

Angenommen, wir müssen ein System linearer algebraischer Gleichungen lösen

in dem die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist und die Determinante der Hauptmatrix des Systems von Null verschieden ist, also .

Sei die Determinante der Hauptmatrix des Systems und - Determinanten von Matrizen, die aus A durch Ersetzung gewonnen werden 1., 2., …, n Spalte bzw. zur Spalte der freien Mitglieder:

Mit dieser Notation werden unbekannte Variablen mit den Formeln der Cramer-Methode berechnet als . Auf diese Weise wird die Lösung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen mit der Methode von Cramer gefunden.

Beispiel.

Cramers Methode .

Lösung.

Die Hauptmatrix des Systems hat die Form . Berechnen wir seine Determinante (siehe ggf. den Artikel):

Da die Determinante der Hauptmatrix des Systems ungleich Null ist, verfügt das System über eine einzigartige Lösung, die mit der Cramer-Methode gefunden werden kann.

Lassen Sie uns die notwendigen Determinanten zusammenstellen und berechnen (Wir erhalten die Determinante, indem wir die erste Spalte in Matrix A durch eine Spalte mit freien Termen ersetzen, die Determinante, indem wir die zweite Spalte durch eine Spalte mit freien Termen ersetzen und indem wir die dritte Spalte der Matrix A durch eine Spalte mit freien Termen ersetzen.) :

Unbekannte Variablen mithilfe von Formeln finden :

Antwort:

Der Hauptnachteil der Methode von Cramer (wenn man ihn überhaupt als Nachteil bezeichnen kann) ist die Komplexität der Berechnung von Determinanten, wenn die Anzahl der Gleichungen im System mehr als drei beträgt.

Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen mit der Matrixmethode (unter Verwendung einer inversen Matrix).

Es sei ein System linearer algebraischer Gleichungen in Matrixform gegeben, wobei die Matrix A die Dimension n mal n hat und ihre Determinante ungleich Null ist.

Da Matrix A invertierbar ist, liegt eine inverse Matrix vor. Wenn wir beide Seiten der Gleichheit mit links multiplizieren, erhalten wir eine Formel zum Finden einer Matrixspalte unbekannter Variablen. Auf diese Weise haben wir mithilfe der Matrixmethode eine Lösung für ein System linearer algebraischer Gleichungen erhalten.

Beispiel.

Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem Matrixmethode.

Lösung.

Schreiben wir das Gleichungssystem in Matrixform um:

Als

dann kann der SLAE mit der Matrixmethode gelöst werden. Mit der inversen Matrix kann die Lösung dieses Systems gefunden werden als .

Konstruieren wir eine inverse Matrix unter Verwendung einer Matrix aus algebraischen Additionen von Elementen der Matrix A (siehe ggf. den Artikel):

Es bleibt die Matrix unbekannter Variablen durch Multiplikation der inversen Matrix zu berechnen zu einer Matrixspalte freier Mitglieder (siehe ggf. den Artikel):

Antwort:

oder in einer anderen Notation x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Das Hauptproblem beim Finden von Lösungen für Systeme linearer algebraischer Gleichungen mithilfe der Matrixmethode ist die Komplexität des Findens der inversen Matrix, insbesondere für quadratische Matrizen mit einer höheren Ordnung als der dritten Ordnung.

Lösen linearer Gleichungssysteme mit der Gauß-Methode.

Angenommen, wir müssen eine Lösung für ein System aus n linearen Gleichungen mit n unbekannten Variablen finden
deren Determinante von Null verschieden ist.

Die Essenz der Gauß-Methode besteht darin, unbekannte Variablen nacheinander zu eliminieren: Zuerst wird x 1 aus allen Gleichungen des Systems ausgeschlossen, beginnend mit der zweiten, dann wird x 2 aus allen Gleichungen ausgeschlossen, beginnend mit der dritten usw., bis nur noch die unbekannte Variable x n übrig bleibt in der letzten Gleichung. Dieser Prozess der Transformation von Systemgleichungen zur sequentiellen Eliminierung unbekannter Variablen wird aufgerufen direkte Gaußsche Methode. Nach Abschluss des Vorwärtshubs der Gaußschen Methode wird x n aus der letzten Gleichung ermittelt, unter Verwendung dieses Werts aus der vorletzten Gleichung wird x n-1 berechnet und so weiter wird x 1 aus der ersten Gleichung ermittelt. Der Prozess der Berechnung unbekannter Variablen beim Übergang von der letzten Gleichung des Systems zur ersten wird aufgerufen Umkehrung der Gaußschen Methode.

Beschreiben wir kurz den Algorithmus zur Eliminierung unbekannter Variablen.

Wir gehen davon aus, dass wir dies immer erreichen können, indem wir die Gleichungen des Systems neu ordnen. Eliminieren wir die unbekannte Variable x 1 aus allen Gleichungen des Systems, beginnend mit der zweiten. Dazu addieren wir zur zweiten Gleichung des Systems die erste, multipliziert mit , zur dritten Gleichung addieren wir die erste, multipliziert mit usw., zur n-ten Gleichung addieren wir die erste, multipliziert mit . Das Gleichungssystem wird nach solchen Transformationen die Form annehmen

wo und .

Wir wären zum gleichen Ergebnis gekommen, wenn wir x 1 durch andere unbekannte Variablen in der ersten Gleichung des Systems ausgedrückt und den resultierenden Ausdruck in alle anderen Gleichungen eingesetzt hätten. Somit wird die Variable x 1 ab der zweiten aus allen Gleichungen ausgeschlossen.

Als nächstes gehen wir ähnlich vor, allerdings nur mit einem Teil des resultierenden Systems, der in der Abbildung markiert ist

Dazu addieren wir zur dritten Gleichung des Systems die zweite, multipliziert mit , zur vierten Gleichung addieren wir die zweite, multipliziert mit usw., zur n-ten Gleichung addieren wir die zweite, multipliziert mit . Das Gleichungssystem wird nach solchen Transformationen die Form annehmen

wo und . Somit wird die Variable x 2 ab der dritten aus allen Gleichungen ausgeschlossen.

Als nächstes eliminieren wir die Unbekannte x 3, während wir mit dem in der Abbildung markierten Teil des Systems ähnlich vorgehen

Also setzen wir die direkte Weiterentwicklung der Gaußschen Methode fort, bis das System die Form annimmt

Von diesem Moment an beginnen wir mit der Umkehrung der Gaußschen Methode: Wir berechnen x n aus der letzten Gleichung als , unter Verwendung des erhaltenen Werts von x n ermitteln wir x n-1 aus der vorletzten Gleichung und so weiter ermitteln wir x 1 aus der ersten Gleichung .

Beispiel.

Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem Gauß-Methode.

Lösung.

Lassen Sie uns die unbekannte Variable x 1 aus der zweiten und dritten Gleichung des Systems ausschließen. Dazu addieren wir auf beiden Seiten der zweiten und dritten Gleichung die entsprechenden Teile der ersten Gleichung, multipliziert mit bzw. mit:

Jetzt eliminieren wir x 2 aus der dritten Gleichung, indem wir zu ihrer linken und rechten Seite die linke und rechte Seite der zweiten Gleichung addieren, multipliziert mit:

Damit ist der Vorwärtshub der Gauß-Methode abgeschlossen; wir beginnen mit dem Rückwärtshub.

Aus der letzten Gleichung des resultierenden Gleichungssystems finden wir x 3:

Aus der zweiten Gleichung erhalten wir .

Aus der ersten Gleichung ermitteln wir die verbleibende unbekannte Variable und vervollständigen damit die Umkehrung der Gauß-Methode.

Antwort:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen allgemeiner Form.

Im Allgemeinen stimmt die Anzahl der Gleichungen des Systems p nicht mit der Anzahl der unbekannten Variablen n überein:

Solche SLAEs haben möglicherweise keine Lösungen, eine einzige Lösung oder unendlich viele Lösungen. Diese Aussage gilt auch für Gleichungssysteme, deren Hauptmatrix quadratisch und singulär ist.

Kronecker-Capelli-Theorem.

Bevor eine Lösung für ein lineares Gleichungssystem gefunden werden kann, muss dessen Kompatibilität festgestellt werden. Die Antwort auf die Frage, wann SLAE kompatibel und wann inkonsistent ist, lautet: Kronecker-Capelli-Theorem:
Damit ein System von p Gleichungen mit n Unbekannten (p kann gleich n sein) konsistent ist, ist es notwendig und ausreichend, dass der Rang der Hauptmatrix des Systems gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist , Rang(A)=Rang(T).

Betrachten wir als Beispiel die Anwendung des Kronecker-Capelli-Theorems zur Bestimmung der Kompatibilität eines linearen Gleichungssystems.

Beispiel.

Finden Sie heraus, ob das System linearer Gleichungen hat Lösungen.

Lösung.

. Lassen Sie uns die Methode der Grenzüberschreitung von Minderjährigen anwenden. Moll zweiter Ordnung verschieden von Null. Schauen wir uns die angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung an:

Da alle angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung gleich Null sind, ist der Rang der Hauptmatrix gleich zwei.

Im Gegenzug der Rang der erweiterten Matrix ist gleich drei, da das Moll dritter Ordnung ist

verschieden von Null.

Auf diese Weise, Rang(A) können wir daher unter Verwendung des Kronecker-Capelli-Theorems schlussfolgern, dass das ursprüngliche System linearer Gleichungen inkonsistent ist.

Antwort:

Das System hat keine Lösungen.

Wir haben also gelernt, die Inkonsistenz eines Systems mithilfe des Kronecker-Capelli-Theorems festzustellen.

Aber wie findet man eine Lösung für ein SLAE, wenn dessen Kompatibilität festgestellt ist?

Dazu benötigen wir das Konzept einer Basis-Minor-Matrix und einen Satz über den Rang einer Matrix.

Der Minor der höchsten Ordnung der Matrix A, der von Null verschieden ist, wird aufgerufen Basic.

Aus der Definition einer Basis Minor folgt, dass ihre Ordnung gleich dem Rang der Matrix ist. Für eine Nicht-Null-Matrix A kann es mehrere Basis-Minor-Matrix geben; es gibt immer eine Basis-Minor-Matrix.

Betrachten Sie zum Beispiel die Matrix .

Alle Minderjährigen dritter Ordnung dieser Matrix sind gleich Null, da die Elemente der dritten Zeile dieser Matrix die Summe der entsprechenden Elemente der ersten und zweiten Zeile sind.

Die folgenden Minderjährigen zweiter Ordnung sind einfach, da sie ungleich Null sind

Minderjährige sind nicht grundlegend, da sie gleich Null sind.

Matrixrangsatz.

Wenn der Rang einer Matrix der Ordnung p mal n gleich r ist, werden alle Zeilen- (und Spalten-) Elemente der Matrix, die nicht die gewählte Basis-Minor bilden, linear durch die entsprechenden bildenden Zeilen- (und Spalten-) Elemente ausgedrückt das Basis-Moll.

Was sagt uns der Matrixrangsatz?

Wenn wir gemäß dem Kronecker-Capelli-Theorem die Kompatibilität des Systems festgestellt haben, wählen wir eine beliebige Basisminor der Hauptmatrix des Systems (ihre Ordnung ist gleich r) und schließen alle Gleichungen, die dies tun, aus dem System aus nicht das gewählte Basis-Moll bilden. Der auf diese Weise erhaltene SLAE entspricht dem ursprünglichen, da die verworfenen Gleichungen immer noch redundant sind (gemäß dem Matrixrangsatz handelt es sich um eine Linearkombination der verbleibenden Gleichungen).

Infolgedessen sind nach dem Verwerfen unnötiger Gleichungen des Systems zwei Fälle möglich.

Wenn die Anzahl der Gleichungen r im resultierenden System gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist, dann ist es eindeutig und die einzige Lösung kann mit der Cramer-Methode, der Matrixmethode oder der Gauß-Methode gefunden werden.

Beispiel.

.

Lösung.

Rang der Hauptmatrix des Systems ist gleich zwei, da das Moll zweiter Ordnung ist verschieden von Null. Erweiterter Matrixrang ist ebenfalls gleich zwei, da das einzige Moll dritter Ordnung Null ist

und der oben betrachtete Moll zweiter Ordnung ist von Null verschieden. Basierend auf dem Kronecker-Capelli-Theorem können wir die Kompatibilität des ursprünglichen Systems linearer Gleichungen behaupten, da Rang(A)=Rang(T)=2.

Als Basis-Moll nehmen wir . Sie wird durch die Koeffizienten der ersten und zweiten Gleichung gebildet:


Die dritte Gleichung des Systems ist nicht an der Bildung der Basis Minor beteiligt, daher schließen wir sie basierend auf dem Satz über den Rang der Matrix aus dem System aus:


Auf diese Weise haben wir ein elementares System linearer algebraischer Gleichungen erhalten. Lösen wir es mit der Cramer-Methode:


Antwort:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Wenn die Anzahl der Gleichungen r im resultierenden SLAE kleiner ist als die Anzahl der unbekannten Variablen n, dann belassen wir auf der linken Seite der Gleichungen die Terme, die die Basis bilden, und übertragen die verbleibenden Terme auf die rechte Seite der Gleichung Gleichungen des Systems mit umgekehrtem Vorzeichen.

Die auf der linken Seite der Gleichungen verbleibenden unbekannten Variablen (r davon) werden aufgerufen hauptsächlich.

Es werden unbekannte Variablen (es gibt n - r Stücke) aufgerufen, die auf der rechten Seite liegen frei.

Nun glauben wir, dass freie unbekannte Variablen beliebige Werte annehmen können, während die r wichtigsten unbekannten Variablen auf einzigartige Weise durch freie unbekannte Variablen ausgedrückt werden. Ihr Ausdruck kann durch Lösen des resultierenden SLAE mithilfe der Cramer-Methode, der Matrixmethode oder der Gauß-Methode ermittelt werden.

Schauen wir es uns anhand eines Beispiels an.

Beispiel.

Lösen Sie ein System linearer algebraischer Gleichungen .

Lösung.

Lassen Sie uns den Rang der Hauptmatrix des Systems ermitteln durch die Methode der Grenzüberschreitung von Minderjährigen. Nehmen wir a 1 1 = 1 als Moll erster Ordnung ungleich Null. Beginnen wir mit der Suche nach einem Moll zweiter Ordnung ungleich Null, das an dieses Moll grenzt:


Auf diese Weise haben wir ein Moll zweiter Ordnung ungleich Null gefunden. Beginnen wir mit der Suche nach einem ungleich Null angrenzenden Moll dritter Ordnung:


Somit beträgt der Rang der Hauptmatrix drei. Der Rang der erweiterten Matrix ist ebenfalls gleich drei, das heißt, das System ist konsistent.

Als Basis nehmen wir das gefundene Nicht-Null-Moll dritter Ordnung.

Der Übersichtlichkeit halber zeigen wir die Elemente, die das Basis-Moll bilden:


Wir belassen die in der Basis Minor beteiligten Terme auf der linken Seite der Systemgleichungen und übertragen den Rest mit entgegengesetzten Vorzeichen auf die rechten Seiten:


Geben wir den freien unbekannten Variablen x 2 und x 5 beliebige Werte, das heißt, wir akzeptieren , wo sind beliebige Zahlen. In diesem Fall nimmt das SLAE das Formular an


Lösen wir das resultierende Elementarsystem linearer algebraischer Gleichungen mit der Cramer-Methode:


Somit, .

Vergessen Sie in Ihrer Antwort nicht, freie unbekannte Variablen anzugeben.

Antwort:

Wo sind beliebige Zahlen?

Zusammenfassen.

Um ein System allgemeiner linearer algebraischer Gleichungen zu lösen, bestimmen wir zunächst seine Kompatibilität mithilfe des Kronecker-Capelli-Theorems. Wenn der Rang der Hauptmatrix nicht dem Rang der erweiterten Matrix entspricht, schließen wir daraus, dass das System inkompatibel ist.

Wenn der Rang der Hauptmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist, wählen wir eine Basis-Minor aus und verwerfen die Gleichungen des Systems, die nicht an der Bildung der ausgewählten Basis-Minor beteiligt sind.

Wenn die Ordnung der Basis Minor gleich der Anzahl unbekannter Variablen ist, dann hat das SLAE eine eindeutige Lösung, die mit jeder uns bekannten Methode gefunden werden kann.

Wenn die Ordnung der Basis kleiner ist als die Anzahl der unbekannten Variablen, dann belassen wir auf der linken Seite des Gleichungssystems die Terme mit den wichtigsten unbekannten Variablen, übertragen die restlichen Terme auf die rechten Seiten und geben beliebige Werte an die freien unbekannten Variablen. Aus dem resultierenden linearen Gleichungssystem ermitteln wir die wichtigsten unbekannten Variablen mithilfe der Cramer-Methode, der Matrixmethode oder der Gauß-Methode.

Gauß-Methode zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme allgemeiner Form.

Mit der Gauß-Methode lassen sich Systeme linearer algebraischer Gleichungen jeglicher Art lösen, ohne sie vorher auf Konsistenz zu prüfen. Der Prozess der sequentiellen Eliminierung unbekannter Variablen ermöglicht es, Rückschlüsse sowohl auf die Kompatibilität als auch auf die Inkompatibilität des SLAE zu ziehen und, falls eine Lösung existiert, diese zu finden.

Aus rechnerischer Sicht ist die Gaußsche Methode vorzuziehen.

Eine ausführliche Beschreibung und analysierte Beispiele finden Sie im Artikel Gauß-Methode zur Lösung von Systemen allgemeiner linearer algebraischer Gleichungen.

Schreiben einer allgemeinen Lösung für homogene und inhomogene lineare algebraische Systeme unter Verwendung von Vektoren des fundamentalen Lösungssystems.

In diesem Abschnitt werden wir über gleichzeitige homogene und inhomogene Systeme linearer algebraischer Gleichungen sprechen, die unendlich viele Lösungen haben.

Befassen wir uns zunächst mit homogenen Systemen.

Grundlegendes Lösungssystem Ein homogenes System p linearer algebraischer Gleichungen mit n unbekannten Variablen ist eine Sammlung von (n – r) linear unabhängigen Lösungen dieses Systems, wobei r die Ordnung der Basisminor der Hauptmatrix des Systems ist.

Wenn wir linear unabhängige Lösungen eines homogenen SLAE als X (1) , X (2) , …, X (n-r) bezeichnen (X (1) , durch 1) , dann wird die allgemeine Lösung dieses homogenen Systems als lineare Kombination von Vektoren des fundamentalen Lösungssystems mit beliebigen konstanten Koeffizienten C 1, C 2, ..., C (n-r) dargestellt, d. h. .

Was bedeutet der Begriff allgemeine Lösung eines homogenen Systems linearer algebraischer Gleichungen (Oroslau)?

Die Bedeutung ist einfach: Die Formel gibt alle möglichen Lösungen des ursprünglichen SLAE an, mit anderen Worten, unter Verwendung einer beliebigen Menge von Werten beliebiger Konstanten C 1, C 2, ..., C (n-r) werden wir die Formel verwenden Erhalten Sie eine der Lösungen des ursprünglichen homogenen SLAE.

Wenn wir also ein grundlegendes Lösungssystem finden, können wir alle Lösungen dieses homogenen SLAE als definieren.

Lassen Sie uns den Prozess der Konstruktion eines grundlegenden Lösungssystems für ein homogenes SLAE zeigen.

Wir wählen die Basis Minor des ursprünglichen linearen Gleichungssystems aus, schließen alle anderen Gleichungen aus dem System aus und übertragen alle Terme, die freie unbekannte Variablen enthalten, mit entgegengesetzten Vorzeichen auf die rechten Seiten der Systemgleichungen. Geben wir den freien unbekannten Variablen die Werte 1,0,0,...,0 und berechnen wir die Hauptunbekannten, indem wir das resultierende elementare System linearer Gleichungen auf beliebige Weise lösen, beispielsweise mit der Cramer-Methode. Dies führt zu X (1) – der ersten Lösung des Fundamentalsystems. Wenn wir den freien Unbekannten die Werte 0,1,0,0,…,0 geben und die Hauptunbekannten berechnen, erhalten wir X (2) . Usw. Wenn wir den freien unbekannten Variablen die Werte 0,0,…,0,1 zuweisen und die Hauptunbekannten berechnen, erhalten wir X (n-r) . Auf diese Weise wird ein grundlegendes Lösungssystem für ein homogenes SLAE konstruiert und seine allgemeine Lösung kann in der Form geschrieben werden.

Für inhomogene Systeme linearer algebraischer Gleichungen wird die allgemeine Lösung in der Form dargestellt, wobei die allgemeine Lösung des entsprechenden homogenen Systems und die besondere Lösung des ursprünglichen inhomogenen SLAE sind, die wir erhalten, indem wir den freien Unbekannten die Werte geben ​0,0,...,0 und Berechnen der Werte der Hauptunbekannten.

Schauen wir uns Beispiele an.

Beispiel.

Finden Sie das grundlegende Lösungssystem und die allgemeine Lösung eines homogenen Systems linearer algebraischer Gleichungen .

Lösung.

Der Rang der Hauptmatrix homogener linearer Gleichungssysteme ist immer gleich dem Rang der erweiterten Matrix. Lassen Sie uns den Rang der Hauptmatrix mithilfe der Methode der angrenzenden Nebenmatrix ermitteln. Als Nicht-Null-Minor erster Ordnung nehmen wir das Element a 1 1 = 9 der Hauptmatrix des Systems. Suchen wir das angrenzende Moll zweiter Ordnung ungleich Null:

Es wurde ein von Null verschiedenes Moll zweiter Ordnung gefunden. Gehen wir die angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung auf der Suche nach einem Nicht-Null-Wert durch:

Alle angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung sind gleich Null, daher ist der Rang der Haupt- und erweiterten Matrix gleich zwei. Lass uns nehmen . Der Klarheit halber notieren wir uns die Elemente des Systems, aus denen es besteht:

Die dritte Gleichung des ursprünglichen SLAE ist nicht an der Bildung der Basis Minor beteiligt und kann daher ausgeschlossen werden:

Wir belassen die Terme mit den Hauptunbekannten auf der rechten Seite der Gleichungen und übertragen die Terme mit freien Unbekannten auf die rechte Seite:

Konstruieren wir ein grundlegendes Lösungssystem für das ursprüngliche homogene System linearer Gleichungen. Das grundlegende Lösungssystem dieses SLAE besteht aus zwei Lösungen, da das ursprüngliche SLAE vier unbekannte Variablen enthält und die Ordnung seiner Basis-Minor-Variablen gleich zwei ist. Um X (1) zu finden, geben wir den freien unbekannten Variablen die Werte x 2 = 1, x 4 = 0, dann finden wir die wichtigsten Unbekannten aus dem Gleichungssystem
.

Ein homogenes System ist immer konsistent und hat eine triviale Lösung
. Damit eine nichttriviale Lösung existiert, ist der Rang der Matrix erforderlich war kleiner als die Anzahl der Unbekannten:

.

Grundlegendes Lösungssystem homogenes System
Nennen Sie ein Lösungssystem in Form von Spaltenvektoren
, die der kanonischen Basis entsprechen, d.h. Basis, in der beliebige Konstanten
werden abwechselnd gleich eins gesetzt, während der Rest auf null gesetzt wird.

Dann hat die allgemeine Lösung des homogenen Systems die Form:

Wo
- beliebige Konstanten. Mit anderen Worten: Die Gesamtlösung ist eine Linearkombination des fundamentalen Lösungssystems.

So können aus der allgemeinen Lösung Basislösungen gewonnen werden, wenn man den freien Unbekannten nacheinander den Wert Eins gibt und alle anderen gleich Null setzt.

Beispiel. Lassen Sie uns eine Lösung für das System finden

Nehmen wir an, dann erhalten wir eine Lösung in der Form:

Konstruieren wir nun ein grundlegendes Lösungssystem:

.

Die allgemeine Lösung wird wie folgt geschrieben:

Lösungen eines Systems homogener linearer Gleichungen haben die folgenden Eigenschaften:

Mit anderen Worten: Jede lineare Kombination von Lösungen zu einem homogenen System ist wiederum eine Lösung.

Lösen linearer Gleichungssysteme mit der Gauß-Methode

Die Lösung linearer Gleichungssysteme interessiert Mathematiker seit mehreren Jahrhunderten. Die ersten Ergebnisse wurden im 18. Jahrhundert erzielt. Im Jahr 1750 veröffentlichte G. Kramer (1704–1752) seine Arbeiten über die Determinanten quadratischer Matrizen und schlug einen Algorithmus zum Ermitteln der inversen Matrix vor. Im Jahr 1809 beschrieb Gauß eine neue Lösungsmethode, die sogenannte Eliminationsmethode.

Die Gauß-Methode oder die Methode der sequentiellen Eliminierung von Unbekannten besteht darin, dass ein Gleichungssystem mithilfe elementarer Transformationen auf ein äquivalentes System in Stufenform (oder Dreiecksform) reduziert wird. Solche Systeme ermöglichen es, alle Unbekannten in einer bestimmten Reihenfolge nacheinander zu finden.

Nehmen wir an, dass im System (1)
(was immer möglich ist).

(1)

Multiplizieren Sie die erste Gleichung einzeln mit der sogenannten passende Zahlen

Wenn wir das Ergebnis der Multiplikation mit den entsprechenden Gleichungen des Systems addieren, erhalten wir ein äquivalentes System, in dem es in allen Gleichungen außer der ersten keine Unbekannten gibt X 1

(2)

Lassen Sie uns nun die zweite Gleichung des Systems (2) mit geeigneten Zahlen multiplizieren und davon ausgehen

,

und indem wir es mit den niedrigeren addieren, eliminieren wir die Variable aus allen Gleichungen, beginnend mit der dritten.

Fortsetzung dieses Prozesses, danach
Schritt erhalten wir:

(3)

Wenn mindestens eine der Zahlen
ungleich Null ist, dann ist die entsprechende Gleichheit widersprüchlich und System (1) ist inkonsistent. Umgekehrt gilt für jedes gemeinsame Zahlensystem
sind gleich Null. Nummer ist nichts anderes als der Rang der Matrix des Systems (1).

Der Übergang vom System (1) nach (3) heißt geradeaus Gauß-Methode und Finden der Unbekannten aus (3) – im Rückwärtsgang .

Kommentar : Es ist bequemer, Transformationen nicht mit den Gleichungen selbst, sondern mit der erweiterten Matrix des Systems (1) durchzuführen.

Beispiel. Lassen Sie uns eine Lösung für das System finden

.

Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems:

.

Fügen wir den ersten zu den Zeilen 2,3,4 hinzu, multipliziert mit (-2), (-3), (-2):

.

Lassen Sie uns die Zeilen 2 und 3 vertauschen und dann in der resultierenden Matrix Zeile 2 zu Zeile 4 addieren, multipliziert mit :

.

Addiere zu Zeile 4 Zeile 3 multipliziert mit
:

.

Es ist klar, dass
Daher ist das System konsistent. Aus dem resultierenden Gleichungssystem

Wir finden die Lösung durch umgekehrte Substitution:

,
,
,
.

Beispiel 2. Finden Sie eine Lösung für das System:

.

Es ist offensichtlich, dass das System inkonsistent ist, weil
, A
.

Vorteile der Gauß-Methode :

Weniger arbeitsintensiv als die Methode von Cramer.

Stellt eindeutig die Kompatibilität des Systems fest und ermöglicht die Lösungsfindung.

Ermöglicht die Bestimmung des Rangs beliebiger Matrizen.

Um zu verstehen, was es ist grundlegendes Entscheidungssystem Sie können sich ein Video-Tutorial zum gleichen Beispiel ansehen, indem Sie auf klicken. Kommen wir nun zur eigentlichen Beschreibung aller notwendigen Arbeiten. Dies wird Ihnen helfen, den Kern dieses Problems genauer zu verstehen.

Wie findet man das grundlegende Lösungssystem einer linearen Gleichung?

Nehmen wir als Beispiel das folgende lineare Gleichungssystem:

Finden wir die Lösung für dieses lineare Gleichungssystem. Zunächst einmal wir Sie müssen die Koeffizientenmatrix des Systems aufschreiben.

Lassen Sie uns diese Matrix in eine dreieckige umwandeln. Wir schreiben die erste Zeile ohne Änderungen um. Und alle Elemente, die unter $a_(11)$ liegen, müssen zu Nullen gemacht werden. Um anstelle des Elements $a_(21)$ eine Null zu erzeugen, müssen Sie die erste von der zweiten Zeile subtrahieren und die Differenz in die zweite Zeile schreiben. Um anstelle des Elements $a_(31)$ eine Null zu erzeugen, müssen Sie die erste von der dritten Zeile subtrahieren und die Differenz in die dritte Zeile schreiben. Um anstelle des Elements $a_(41)$ eine Null zu erzeugen, müssen Sie den ersten Wert multipliziert mit 2 von der vierten Zeile subtrahieren und die Differenz in die vierte Zeile schreiben. Um anstelle des Elements $a_(31)$ eine Null zu erzeugen, müssen Sie den ersten Wert multipliziert mit 2 von der fünften Zeile subtrahieren und die Differenz in die fünfte Zeile schreiben.

Wir schreiben die erste und zweite Zeile ohne Änderungen neu. Und alle Elemente, die unter $a_(22)$ liegen, müssen zu Nullen gemacht werden. Um eine Null anstelle des Elements $a_(32)$ zu erzeugen, müssen Sie die zweite Eins multipliziert mit 2 von der dritten Zeile subtrahieren und die Differenz in die dritte Zeile schreiben. Um anstelle des Elements $a_(42)$ eine Null zu erzeugen, müssen Sie die Sekunde multipliziert mit 2 von der vierten Zeile subtrahieren und die Differenz in die vierte Zeile schreiben. Um anstelle des Elements $a_(52)$ eine Null zu erzeugen, müssen Sie die Sekunde multipliziert mit 3 von der fünften Zeile subtrahieren und die Differenz in die fünfte Zeile schreiben.

Wir sehen das Die letzten drei Zeilen sind gleich Wenn Sie also die Terz von der Quarte und der Quinte subtrahieren, werden sie zu Null.

Nach dieser Matrix Schreiben Sie ein neues Gleichungssystem.

Wir sehen, dass wir nur drei linear unabhängige Gleichungen und fünf Unbekannte haben, sodass das grundlegende Lösungssystem aus zwei Vektoren besteht. Also wir Wir müssen die letzten beiden Unbekannten nach rechts verschieben.

Jetzt beginnen wir, die Unbekannten auf der linken Seite durch diejenigen auf der rechten Seite auszudrücken. Wir beginnen mit der letzten Gleichung, zuerst drücken wir $x_3$ aus, dann setzen wir das resultierende Ergebnis in die zweite Gleichung ein und drücken $x_2$ aus, und dann in die erste Gleichung und hier drücken wir $x_1$ aus. Daher haben wir alle Unbekannten auf der linken Seite durch die Unbekannten auf der rechten Seite ausgedrückt.

Dann können wir anstelle von $x_4$ und $x_5$ beliebige Zahlen ersetzen und $x_1$, $x_2$ und $x_3$ finden. Jede fünf dieser Zahlen wird die Wurzeln unseres ursprünglichen Gleichungssystems sein. Um die Vektoren zu finden, die enthalten sind FSR Wir müssen 1 anstelle von $x_4$ und 0 anstelle von $x_5$ ersetzen, $x_1$, $x_2$ und $x_3$ finden und dann umgekehrt $x_4=0$ und $x_5=1$.

Zweck des Dienstes. Der Online-Rechner soll eine nicht triviale und grundlegende Lösung für das SLAE finden. Die resultierende Lösung wird in einer Word-Datei gespeichert (siehe Beispiellösung).

Anweisungen. Matrixdimension auswählen:

Eigenschaften von Systemen linearer homogener Gleichungen

Satz. Ein System im Fall m=n hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn die Determinante dieses Systems gleich Null ist.

Satz. Jede lineare Kombination von Lösungen für ein System ist auch eine Lösung für dieses System.
Definition. Die Menge der Lösungen eines Systems linearer homogener Gleichungen heißt grundlegendes Lösungssystem, wenn diese Menge aus linear unabhängigen Lösungen besteht und jede Lösung des Systems eine Linearkombination dieser Lösungen ist.

Satz. Ist der Rang r der Systemmatrix kleiner als die Anzahl n der Unbekannten, dann existiert ein fundamentales Lösungssystem bestehend aus (n-r) Lösungen.

Algorithmus zur Lösung linearer homogener Gleichungssysteme

1. Ermitteln des Rangs der Matrix.
2. Wir wählen das grundlegende Nebenfach. Wir unterscheiden abhängige (Basis-) und freie Unbekannte.
3. Wir streichen diejenigen Gleichungen des Systems durch, deren Koeffizienten nicht in der Basis-Minor enthalten sind, da sie Folgen der anderen sind (nach dem Satz über die Basis-Minor).
4. Wir verschieben die Terme der Gleichungen, die freie Unbekannte enthalten, auf die rechte Seite. Als Ergebnis erhalten wir ein System von r Gleichungen mit r Unbekannten, äquivalent zu der gegebenen Gleichung, deren Determinante ungleich Null ist.
5. Wir lösen das resultierende System, indem wir Unbekannte eliminieren. Wir finden Beziehungen, die abhängige Variablen durch freie Variablen ausdrücken.
6. Wenn der Rang der Matrix nicht gleich der Anzahl der Variablen ist, dann finden wir die Grundlösung des Systems.
7. Im Fall rang = n haben wir eine triviale Lösung.

Beispiel. Finden Sie die Basis des Vektorsystems (a 1, a 2,...,a m), ordnen Sie die Vektoren basierend auf der Basis ein und drücken Sie sie aus. Wenn a 1 =(0,0,1,-1) und 2 =(1,1,2,0) und 3 =(1,1,1,1) und 4 =(3,2,1 ,4) und 5 =(2,1,0,3).
Schreiben wir die Hauptmatrix des Systems auf:

Gegebene Matrizen

Finden Sie: 1) aA - bB,

Lösung: 1) Wir finden es sequentiell, indem wir die Regeln der Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl und der Addition von Matrizen verwenden.

2. Finden Sie A*B, wenn

Lösung: Wir verwenden die Matrixmultiplikationsregel

Antwort:

3. Finden Sie für eine gegebene Matrix den Nebenwert M 31 und berechnen Sie die Determinante.

Lösung: Minor M 31 ist die Determinante der Matrix, die aus A erhalten wird

nach dem Durchstreichen von Zeile 3 und Spalte 1. Wir finden

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Lassen Sie uns Matrix A transformieren, ohne ihre Determinante zu ändern (machen wir Nullen in Zeile 1).

Jetzt berechnen wir die Determinante der Matrix A, indem wir entlang Zeile 1 zerlegen

Antwort: M 31 = 0, detA = 0

Lösen Sie mit der Gauß-Methode und der Cramer-Methode.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

Lösung: Lass uns das Prüfen

Sie können die Methode von Cramer verwenden

Lösung des Systems: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Wenden wir die Gaußsche Methode an.

Reduzieren wir die erweiterte Matrix des Systems auf Dreiecksform.

Um die Berechnung zu vereinfachen, vertauschen wir die Zeilen:

Multiplizieren Sie die 2. Zeile mit (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) und zum 3. hinzufügen:

Multiplizieren Sie die 1. Zeile mit (k = -2 / 2 = -1 ) und zum 2. hinzufügen:

Nun kann das ursprüngliche System wie folgt geschrieben werden:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

Ab der 2. Zeile drücken wir aus

Ab der 1. Zeile drücken wir aus

Die Lösung ist dieselbe.

Antwort: (2; -5; 3)

Finden Sie die allgemeine Lösung des Systems und des FSR

13x 1 – 4x 2 – x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Lösung: Wenden wir die Gaußsche Methode an. Reduzieren wir die erweiterte Matrix des Systems auf Dreiecksform.

Multiplizieren Sie die 1. Zeile mit (-11). Lassen Sie uns die 2. Zeile mit (13) multiplizieren. Fügen wir die 2. Zeile zur 1. hinzu:

Multiplizieren Sie die 2. Zeile mit (-5). Lassen Sie uns die 3. Zeile mit (11) multiplizieren. Fügen wir die 3. Zeile zur 2. hinzu:

Multiplizieren Sie die 3. Zeile mit (-7). Lassen Sie uns die 4. Zeile mit (5) multiplizieren. Fügen wir die 4. Zeile zur 3. hinzu:

Die zweite Gleichung ist eine lineare Kombination der anderen

Lassen Sie uns den Rang der Matrix ermitteln.

Das ausgewählte Nebenelement hat die höchste Ordnung (möglicher Nebenelemente) und ist ungleich Null (es ist gleich dem Produkt der Elemente auf der umgekehrten Diagonale), daher ist rang(A) = 2.

Dieses Nebenfach ist grundlegend. Es enthält Koeffizienten für die Unbekannten x 1 , x 2 , was bedeutet, dass die Unbekannten x 1 , x 2 abhängig (grundlegend) und x 3 , x 4 , x 5 frei sind.

Das System mit den Koeffizienten dieser Matrix entspricht dem Originalsystem und hat die Form:

18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Mit der Methode der Eliminierung von Unbekannten finden wir gemeinsame Entscheidung:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1 / 3 x 3

Wir finden ein grundlegendes Lösungssystem (FSD), das aus (n-r) Lösungen besteht. In unserem Fall ist n=5, r=2, daher besteht das grundlegende Lösungssystem aus 3 Lösungen, und diese Lösungen müssen linear unabhängig sein.

Damit die Zeilen linear unabhängig sind, ist es notwendig und ausreichend, dass der Rang der aus Zeilenelementen zusammengesetzten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen ist, also 3.

Es reicht aus, den freien Unbekannten x 3 , x 4 , x 5 Werte aus den Geraden der Determinante 3. Ordnung ungleich Null zu geben und x 1 , x 2 zu berechnen.

Die einfachste Determinante ungleich Null ist die Identitätsmatrix.

Aber es ist bequemer, es hierher zu nehmen

Mit der allgemeinen Lösung finden wir:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

I Entscheidung des FSR: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

II FSR-Lösung: (0; -6; 0; 6;0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

III Entscheidung des FSR: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)

6. Gegeben: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Finden Sie: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

Lösung: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Antwort: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 – 0,3i