Спрощення логічних виразів. Перетворення виразів. Детальна теорія (2019)

Літерний вираз (або вираз зі змінними) - це математичний вираз, який складається з чисел, літер та знаків математичних операцій. Наприклад, такий вираз є буквеним:

a + b + 4

За допомогою літерних виразів можна записувати закони, формули, рівняння та функції. Вміння маніпулювати літерними виразами - запорука гарного знання алгебри та вищої математики.

Будь-яке серйозне завдання з математики зводиться до розв'язання рівнянь. А щоб уміти розв'язувати рівняння, треба вміти працювати з літерними виразами.

Щоб працювати з літерними виразами, потрібно добре вивчити базову арифметику: додавання, віднімання, множення, поділ, основні закони математики, дроби, дії з дробами, пропорції. І не просто вивчити, а зрозуміти досконало.

Зміст уроку

Змінні

Літери, які містяться в буквених виразах називаються змінними. Наприклад, у виразі a+b+4змінними є букви aі b. Якщо замість цих змінних підставити будь-які числа, то літерний вираз a+b+4звернеться до числового виразу, значення якого можна буде знайти.

Числа, які підставляють замість змінних називають значеннями змінних. Наприклад, змінимо значення змінних aі b. Для зміни значень використовується знак рівності

a = 2, b = 3

Ми змінили значення змінних aі b. Змінною aнадали значення 2 , змінною bнадали значення 3 . В результаті буквене вираз a+b+4звертається у звичайне числове вираз 2+3+4 значення якого можна знайти:

2 + 3 + 4 = 9

Коли відбувається множення змінних, вони записуються разом. Наприклад, запис abозначає те саме, що і запис a×b. Якщо підставити замість змінних aі bчисла 2 і 3 , то ми отримаємо 6

2 × 3 = 6

Також можна записати множення числа на вираз у дужках. Наприклад, замість a×(b + c)можна записати a(b + c). Застосувавши розподільчий закон множення, отримаємо a(b + c)=ab+ac.

Коефіцієнти

У літерних виразах часто можна зустріти запис, в якому число та змінна записані разом, наприклад 3a. Насправді, це короткий запис множення числа 3 на змінну aі цей запис виглядає як 3 × a .

Іншими словами, вираз 3aє твором числа 3 та змінної a. Число 3 у цьому творі називають коефіцієнтом. Цей коефіцієнт показує у скільки разів буде збільшено змінну a. Цей вираз можна прочитати як « aтричі» або «тричі а", або" збільшити значення змінної aвтричі», але найчастіше читається як «три a«

Наприклад, якщо змінна aдорівнює 5 , то значення виразу 3aдорівнюватиме 15.

3 × 5 = 15

Говорячи простою мовою, коефіцієнт це число, яке стоїть перед буквою (перед змінною).

Букв може бути кілька, наприклад 5abc. Тут коефіцієнтом є число 5 . Цей коефіцієнт показує, що добуток змінних abcзбільшується вп'ятеро. Цей вираз можна прочитати як « abcп'ять разів» або «збільшити значення виразу abcу п'ять разів», або «п'ять abc«.

Якщо замість змінних abcпідставити числа 2, 3 і 4, то значення виразу 5abcбуде одно 120

5×2×3×4 = 120

Можна уявити, як спочатку перемножилися числа 2, 3 і 4, і отримане значення збільшилося в п'ять разів:

Знак коефіцієнта належить лише коефіцієнту, і належить до змінним.

Розглянемо вираз −6b. Мінус, що стоїть перед коефіцієнтом 6 , відноситься тільки до коефіцієнта 6 , і не відноситься до змінної b. Розуміння цього факту дозволить не помилятися у майбутньому зі знаками.

Знайдемо значення виразу −6bпри b = 3.

−6b −6×b. Для наочності запишемо вираз −6bу розгорнутому вигляді та підставимо значення змінної b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

приклад 2.Знайти значення виразу −6bпри b = −5

Запишемо вираз −6bу розгорнутому вигляді

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

приклад 3.Знайти значення виразу −5a + bпри a = 3і b = 2

−5a + bце коротка форма запису від −5 × a + bтому для наочності запишемо вираз −5×a+bу розгорнутому вигляді та підставимо значення змінних aі b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Іноді літери записані без коефіцієнта, наприклад aабо ab. У цьому випадку коефіцієнтом є одиниця:

але одиницю за традицією не записують, тому просто пишуть aабо ab

Якщо перед літерою стоїть мінус, то коефіцієнтом є число −1 . Наприклад, вираз −aнасправді виглядає як −1a. Це твір мінус одиниці та змінної a.Воно вийшло так:

−1 × a = −1a

Тут криється невелика каверза. У виразі −aмінус, що стоїть перед змінною aнасправді належить до «невидимої одиниці», а не до змінної a. Тому під час вирішення завдань слід бути уважним.

Наприклад, якщо дано вираз −aі нас просять знайти його значення при a = 2, то в школі ми підставляли двійку замість змінної aі отримували відповідь −2 , не особливо зациклюючись на тому, як це виходило. Насправді відбувалося збільшення мінус одиниці на позитивне число 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Якщо дано вираз −aі потрібно знайти його значення при a = −2, то ми підставляємо −2 замість змінної a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Щоб не допускати помилок, спочатку невидимі одиниці можна записувати явно.

приклад 4.Знайти значення виразу abcпри a=2 , b=3і c=4

Вираз abc 1×a×b×c.Для наочності запишемо вираз abc a, bі c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Приклад 5.Знайти значення виразу abcпри a=−2 , b=−3і c=−4

Запишемо вираз abcу розгорнутому вигляді і підставимо значення змінних a, bі c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Приклад 6.Знайти значення виразу − abcпри a=3 , b=5 та c=7

Вираз − abcце коротка форма запису від −1×a×b×c.Для наочності запишемо вираз − abcу розгорнутому вигляді і підставимо значення змінних a, bі c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Приклад 7.Знайти значення виразу − abcпри a=−2 , b=−4 та c=−3

Запишемо вираз − abcу розгорнутому вигляді:

−abc = −1 × a × b × c

Підставимо значення змінних a , bі c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Як визначити коефіцієнт

Іноді потрібно вирішити завдання, у якому потрібно визначити коефіцієнт вираження. У принципі, це завдання дуже просте. Достатньо вміти правильно множити числа.

Щоб визначити коефіцієнт у виразі, потрібно окремо перемножити числа, що входять до цього виразу, та окремо перемножити літери. Чисельний співмножник, що вийшов, і буде коефіцієнтом.

приклад 1. 7m×5a×(−3)×n

Вираз складається з кількох співмножників. Це можна чітко побачити, якщо записати вираз у розгорнутому вигляді. Тобто твори 7mі 5aзаписати у вигляді 7×mі 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Застосуємо поєднаний закон множення, який дозволяє перемножувати співмножники у будь-якому порядку. А саме, окремо перемножимо числа та окремо перемножимо букви (змінні):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Коефіцієнт дорівнює −105 . Після завершення літерну частину бажано розташувати в алфавітному порядку:

−105amn

приклад 2.Визначити коефіцієнт у виразі: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Коефіцієнт дорівнює 6.

приклад 3.Визначити коефіцієнт у виразі:

Перемножимо окремо числа та літери:

Коефіцієнт дорівнює -1. Зверніть увагу, що одиниця не записана, оскільки коефіцієнт 1 прийнято не записувати.

Ці здавалося б найпростіші завдання можуть зіграти з нами дуже злий жарт. Часто з'ясовується, що знак коефіцієнта поставлено неправильно: або пропущено мінус або навпаки поставлено дарма. Щоб уникнути цих прикру помилок, повинна бути вивчена на хорошому рівні.

Доданки в буквених виразах

При додаванні кількох чисел виходить сума цих чисел. Числа, які складають називають доданками. Доданків може бути кілька, наприклад:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Коли вираз складається із доданків, обчислювати його набагато простіше, оскільки складати легше, ніж віднімати. Але у виразі може бути не тільки додавання, але й віднімання, наприклад:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

У цьому виразі числа 3 і 5 є віднімаються, а не доданками. Але нам нічого не заважає, замінити віднімання додаванням. Тоді ми знову отримаємо вираз, що складається з доданків:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Не має значення, що числа −3 і −5 тепер зі знаком мінуса. Головне, що всі числа в даному виразі пов'язані знаком додавання, тобто вираз є сумою.

Обидва вирази 1 + 2 − 3 + 4 − 5 і 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) рівні одному й тому значенню - мінус одиниці

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Таким чином, значення виразу не постраждає від того, що ми десь замінимо віднімання додаванням.

Замінювати віднімання додаванням можна і в буквених виразах. Наприклад, розглянемо такий вираз:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

За будь-яких змінних змін a, b, c, dі sвирази 7a + 6b − 3c + 2d − 4s і 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) будуть рівні одному й тому самому значенню.

Ви повинні бути готові до того, що вчитель у школі або викладач в інституті може називати доданками навіть ті числа (або змінні), які не є ними.

Наприклад, якщо на дошці буде записано різницю a − b, то вчитель не буде говорити, що a- це зменшуване, а b- Віднімається. Обидві змінні він назве одним загальним словом. доданки. А все тому, що вираз виду a − bматематик бачить як суму a + (−b). У такому разі вираз стає сумою, а змінні aі (−b)стають доданками.

Подібні доданки

Подібні доданки— це доданки, які мають однакову літерну частину. Наприклад, розглянемо вираз 7a + 6b + 2a. доданки 7aі 2aмають однакову буквену частину - змінну a. Значить доданки 7aі 2aє подібними.

Зазвичай подібні доданки складають, щоб спростити вираз або вирішити якесь рівняння. Цю операцію називають приведенням подібних доданків.

Щоб навести подібні доданки, потрібно скласти коефіцієнти цих доданків, і отриманий результат помножити на загальну літерну частину.

Наприклад наведемо подібні доданки у виразі 3a + 4a + 5a. У цьому випадку подібними є всі доданки. Складемо їх коефіцієнти і результат помножимо на загальну літерну частину - на змінну a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Подібні доданки зазвичай наводять в думці і результат записують відразу:

3a + 4a + 5a = 12a

Також, можна міркувати так:

Було 3 змінні a до них додали ще 4 змінні a і ще 5 змінних a. У результаті отримали 12 змінних a

Розглянемо кілька прикладів для приведення подібних доданків. Враховуючи, що дана тема дуже важлива, спочатку записуватимемо докладно кожну дрібницю. Незважаючи на те, що тут все дуже просто, більшість людей припускаються безлічі помилок. Здебільшого через неуважність, а не через незнання.

приклад 1. 3a + 2a + 6a + 8 a

Складемо коефіцієнти в даному виразі та отриманий результат помножимо на загальну буквену частину:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

Конструкцію (3+2+6+8)×aможна не записувати, тому одразу запишемо відповідь

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

приклад 2.Навести подібні доданки у виразі 2a + a

Другий доданок aзаписано без коефіцієнта, але насправді перед ним стоїть коефіцієнт 1 , який ми не бачимо через те, що його не записують. Отже, вираз виглядає так:

2a + 1a

Тепер наведемо подібні доданки. Тобто складемо коефіцієнти і результат помножимо на загальну буквену частину:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Запишемо рішення коротше:

2a + a = 3a

2a+a, можна міркувати і по-іншому:

приклад 3.Навести подібні доданки у виразі 2a − a

Замінимо віднімання додаванням:

2a + (−a)

Другий доданок (−a)записано без коефіцієнта, але насправді воно виглядає як (−1a).Коефіцієнт −1 знову ж таки невидимий через те, що його не записують. Отже, вираз виглядає так:

2a + (−1a)

Тепер наведемо подібні доданки. Складемо коефіцієнти і результат помножимо на загальну літерну частину:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Зазвичай записують коротше:

2a − a = a

Наводячи подібні доданки у виразі 2a−aможна міркувати і по-іншому:

Було 2 змінні a, відняли одну змінну a, в результаті залишилася одна єдина змінна a

приклад 4.Навести подібні доданки у виразі 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Тепер наведемо подібні доданки. Складемо коефіцієнти і результат помножимо на загальну буквену частину

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Запишемо рішення коротше:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Зустрічаються вирази, які містять кілька різних груп подібних доданків. Наприклад, 3a + 3b + 7a + 2b. Для таких виразів справедливі самі правила, як і інших, саме складання коефіцієнтів і множення отриманого результату загальну буквенную часть. Але щоб не допустити помилок, зручно різні групи доданків підкреслити різними лініями.

Наприклад, у виразі 3a + 3b + 7a + 2bті доданки, які містять змінну a, можна підкреслити однією лінією, а ті доданки, які містять змінну b, можна підкреслити двома лініями:

Тепер можна навести подібні доданки. Тобто скласти коефіцієнти та отриманий результат помножити на загальну літерну частину. Зробити це потрібно для обох груп доданків: для доданків, що містять змінну aі для доданків, що містять змінну b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Знову ж таки повторимося, вираз нескладний, і подібні доданки можна приводити в думці:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Приклад 5.Навести подібні доданки у виразі 5a − 6a −7b + b

Замінимо віднімання додавання там, де це можна:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Підкреслимо подібні доданки різними лініями. Доданки, що містять змінні aпідкреслимо однією лінією, а складові зміст змінні b, підкреслимо двома лініями:

Тепер можна навести подібні доданки. Тобто скласти коефіцієнти та отриманий результат помножити на загальну буквену частину:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Якщо виразі містяться звичайні числа без буквених співмножників, всі вони складаються окремо.

Приклад 6.Навести подібні доданки у виразі 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Замінимо віднімання додаванням там, де це можна:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Наведемо подібні доданки. Числа −5 і 7 не мають буквених співмножників, але вони є подібними доданками - їх необхідно просто скласти. А доданок 2bзалишиться без змін, оскільки воно єдине в даному виразі, що має буквений співмножник b,і його нема з чим складати:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Запишемо рішення коротше:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Доданки можна впорядковувати, щоб ті доданки, які мають однакову літерну частину, розташовувалися в одній частині виразу.

Приклад 7.Навести подібні доданки у виразі 5t+2x+3x+5t+x

Оскільки вираз є сумою з кількох доданків, це дозволяє нам обчислювати їх у будь-якому порядку. Тому доданки, що містять змінну t, можна записати на початку виразу, а доданки, що містять змінну xв кінці виразу:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Тепер можна навести такі складові:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Запишемо рішення коротше:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Сума протилежних чисел дорівнює нулю. Це правило працює і для буквених виразів. Якщо у виразі зустрінуться однакові доданки, але з протилежними знаками, то їх можна позбутися на етапі приведення подібних доданків. Іншими словами, просто викреслити їх з виразу, оскільки їхня сума дорівнює нулю.

Приклад 8.Навести подібні доданки у виразі 3t − 4t − 3t + 2t

Замінимо віднімання додаванням там, де це можна:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

доданки 3tі (−3t)є протилежними. Сума протилежних доданків дорівнює нулю. Якщо вилучити цей нуль з виразу, то значення виразу не зміниться, тому ми його і приберемо. А приберемо ми його звичайним викреслюванням доданків 3tі (−3t)

У результаті у нас залишиться вираз (−4t) + 2t. У цьому виразі можна навести подібні доданки та отримати остаточну відповідь:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Запишемо рішення коротше:

Спрощення виразів

«спростіть вираз» і далі наводиться вираз, який потрібно спростити. Спростити вираззначить зробити його простіше та коротше.

Насправді ми займалися спрощенням виразів, коли скорочували дроби. Після скорочення дріб ставав коротшим і простіше для сприйняття.

Розглянемо такий приклад. Спростити вираз.

Це завдання буквально можна зрозуміти так: "Застосуйте до цього виразу будь-які допустимі дії, але зробіть його простіше" .

В даному випадку можна здійснити скорочення дробу, а саме розділити чисельник і знаменник дробу на 2:

Що ще можна зробити? Можна обчислити отриманий дріб. Тоді ми отримаємо десятковий дріб 0,5

У результаті дріб спростився до 0,5.

Перше питання, яке потрібно собі ставити при вирішенні подібних завдань, має бути "А що можна зробити?" . Тому що є дії, які можна робити, і є дії, які робити не можна.

Ще один важливий момент, про який потрібно пам'ятати, полягає в тому, що значення вираз не має змінитись після спрощення виразу. Повернемося до виразу. Даний вираз є поділ, який можна виконати. Виконавши цей поділ, ми отримуємо значення даного виразу, яке дорівнює 0,5

Але ми спростили вираз і отримали новий спрощений вираз. Значення нового спрощеного виразу, як і раніше, дорівнює 0,5

Але вираз ми теж спробували спростити, обчисливши його. У результаті отримали остаточну відповідь 0,5.

Таким чином, як би ми не спрощували вираз, значення одержуваних виразів, як і раніше, дорівнює 0,5. Отже спрощення виконувалося правильно кожному етапі. Саме цього потрібно прагнути при спрощенні висловів — значення висловлювання має постраждати від наших дій.

Часто потрібно спрощувати буквені вирази. Їх справедливі самі правила спрощення, як і числових выражений. Можна виконувати будь-які допустимі дії, аби не змінилося значення виразу.

Розглянемо кілька прикладів.

приклад 1.Спростити вираз 5,21s × t × 2,5

Щоб спростити цей вираз, можна окремо перемножити числа та окремо перемножити букви. Це завдання дуже схоже на те, що ми розглядали, коли вчилися визначати коефіцієнт:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Таким чином, вираз 5,21s × t × 2,5спростилося до 13,025st.

приклад 2.Спростити вираз −0,4 × (−6,3b) × 2

Другий твір (−6,3b)можна перевести у зрозумілий нам вигляд, саме записати як ( −6,3)×b ,потім окремо перемножити числа та окремо перемножити літери:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Таким чином, вираз −0,4 × (−6,3b) × 2 спростилося до 5,04b

приклад 3.Спростити вираз

Розпишемо цей вираз докладніше, щоб добре побачити, де числа, а де букви:

Тепер окремо перемножимо числа та окремо перемножимо літери:

Таким чином, вираз спростилося до −abc.Дане рішення можна записати коротше:

При спрощенні виразів дроби можна скорочувати в процесі рішення, а не в самому кінці, як ми це робили зі звичайними дробами. Наприклад, якщо в ході рішення ми натрапимо на вираз виду, то зовсім необов'язково обчислювати чисельник і знаменник і робити щось на зразок цього:

Дроб можна скоротити, вибираючи по множнику в чисельнику і в знаменнику і скорочувати ці множники на їхній найбільший спільний дільник. Іншими словами, використовувати , в якій ми не розписуємо докладно, на що був розділений чисельник і знаменник.

Наприклад, в чисельнику множник 12 і в знаменнику множник 4 можна скоротити на 4.

Тепер можна перемножити маленькі множники. В даному випадку їх небагато і можна перемножити в думці:

Згодом можна виявити, що вирішуючи те чи інше завдання, вирази починають «товстіти», тому бажано привчитися до швидких обчислень. Те, що можна обчислити в умі, потрібно обчислювати в умі. Те, що можна скоротити, потрібно швидко скорочувати.

приклад 4.Спростити вираз

Таким чином, вираз спростилося до

Приклад 5.Спростити вираз

Перемножимо окремо числа та окремо букви:

Таким чином, вираз спростилося до mn.

Приклад 6.Спростити вираз

Запишемо цей вираз докладніше, щоб добре побачити, де числа, а де букви:

Тепер окремо перемножимо числа та окремо букви. Для зручності обчислень десятковий дріб −6,4 та змішане число можна перевести у звичайні дроби:

Таким чином, вираз спростилося до

Рішення для цього прикладу можна записати значно коротше. Виглядатиме воно наступним чином:

Приклад 7.Спростити вираз

Перемножимо окремо числа та окремо букви. Для зручності обчислення змішане число та десяткові дроби 0,1 та 0,6 можна перевести у звичайні дроби:

Таким чином, вираз спростилося до abcd. Якщо пропустити подробиці, то це рішення можна записати значно коротше:

Зверніть увагу на те, як скоротився дріб. Нові множники, які утворюються внаслідок скорочення попередніх множників, теж допускається скорочувати.

Тепер поговоримо про те, що робити не можна. При спрощенні виразів категорично не можна перемножувати числа і букви, якщо вираз є сумою, а чи не твором.

Наприклад, якщо потрібно спростити вираз 5a + 4b, то не можна записувати так:

Це рівнозначно тому, що якби нас попросили скласти два числа, а ми їх перемножували б замість того, щоб складати.

При підстановці будь-яких значень змінних aі bвираз 5a +4bзвертається у звичайне числове вираз. Припустимо, що змінні aі bмають такі значення:

a = 2, b = 3

Тоді значення виразу дорівнюватиме 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Спочатку виконується множення, а потім отримані результати складають. А якби ми спробували спростити цей вираз, перемноживши числа та літери, то вийшло б таке:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Виходить зовсім інше значення виразу. У першому випадку вийшло 22 , у другому випадку 120 . Це означає, що спрощення виразу 5a + 4bбуло виконано неправильно.

Після спрощення виразу, його значення не повинно змінюватися при одних і тих же змінних змін. Якщо при підстановці в початковий вираз будь-яких значень змінних виходить одне значення, то після спрощення виразу має виходити те саме значення, що й до спрощення.

З виразом 5a + 4bнасправді нічого робити не можна. Воно не спрощується.

Якщо у виразі містяться подібні доданки, їх можна скласти, якщо нашою метою є спрощення висловлювання.

Приклад 8.Спростити вираз 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

або коротше: 0,3a - 0,4a + a = 0,9a

Таким чином, вираз 0,3a−0,4a+aспростилося до 0,9a

Приклад 9.Спростити вираз −7,5a − 2,5b + 4a

Щоб спростити цей вираз можна навести такі складові:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

або коротше −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

доданок (−2,5b)залишилося без змін, оскільки його не було з чим складати.

приклад 10.Спростити вираз

Щоб спростити цей вираз можна навести такі складові:

Коефіцієнт був зручності обчислення.

Таким чином, вираз спростилося до

Приклад 11.Спростити вираз

Щоб спростити цей вираз можна навести такі складові:

Таким чином, вираз спростилося до .

У цьому прикладі доцільніше було б скласти перший і останній коефіцієнт насамперед. У цьому випадку ми б отримали коротке рішення. Виглядало воно буде так:

Приклад 12Спростити вираз

Щоб спростити цей вираз можна навести такі складові:

Таким чином, вираз спростилося до .

Доданок залишився без зміни, оскільки його не було з чим складати.

Це рішення можна записати значно коротше. Виглядатиме воно наступним чином:

У короткому рішенні пропущено етапи заміни віднімання додаванням та докладний запис, як дроби приводилися до спільного знаменника.

Ще одна відмінність полягає в тому, що у докладному рішенні відповідь виглядає як , а короткому як . Насправді, це один і той самий вираз. Відмінність у тому, що в першому випадку віднімання замінено додаванням, оскільки на початку коли ми записували рішення в докладному вигляді, ми скрізь де можна замінили віднімання додаванням, і ця заміна збереглася і для відповіді.

Тотожності. Тотожно рівні вирази

Після того, як ми спростили будь-який вираз, він стає простішим і коротшим. Щоб перевірити, чи правильно спрощено вираз, достатньо підставити будь-які значення змінних спочатку у попередній вираз, який потрібно спростити, а потім у новий, який спростили. Якщо значення обох висловлюваннях буде однаковим, то вираз спрощено правильно.

Розглянемо найпростіший приклад. Нехай потрібно спростити вираз 2a × 7b. Щоб спростити цей вираз, можна окремо перемножити числа та літери:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Перевіримо чи ми спростили вираз. Для цього підставимо будь-які значення змінних aі bспочатку в перший вираз, який потрібно спростити, а потім у другий, який спростили.

Нехай значення змінних a , bбудуть наступними:

a = 4, b = 5

Підставимо їх у перший вираз 2a × 7b

Тепер підставимо ті ж значення змінних у вираз, що вийшло внаслідок спрощення 2a×7b, А саме у вираз 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Бачимо, що за a=4і b=5значення першого виразу 2a×7bта значення другого виразу 14abрівні

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Те саме станеться і для будь-яких інших значень. Наприклад, нехай a=1і b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 × 1 × 2 = 28

Таким чином, при будь-яких значеннях змінних виразів 2a×7bі 14abрівні тому самому значенню. Такі вирази називають тотожно рівними.

Робимо висновок, що між виразами 2a×7bі 14abможна поставити знак рівності, оскільки вони рівні тому самому значенню.

2a × 7b = 14ab

Рівністю називають будь-який вираз, який з'єднаний знаком рівності (=).

А рівність виду 2a×7b = 14abназивають тотожністю.

Тотожністю називають рівність, яка вірна за будь-яких значень змінних.

Інші приклади тотожностей:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Так, закони математики, які ми вивчали, є тотожністю.

Вірні числові рівності також є тотожностями. Наприклад:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Вирішуючи складне завдання, щоб полегшити собі обчислення, складне вираз замінюють більш просте вираз, тотожно рівне попередньому. Таку заміну називають тотожним перетворенням виразуабо просто перетворенням виразу.

Наприклад, ми спростили вираз 2a × 7b, і отримали більш простий вираз 14ab. Це спрощення можна називати тотожним перетворенням.

Часто можна зустріти завдання, у якому сказано «доведіть, що рівність є тотожністю» і далі наводиться рівність, яку потрібно довести. Зазвичай ця рівність складається з двох частин: лівої та правої частини рівності. Наше завдання полягає в тому, щоб виконати тотожні перетворення з однієї з частин рівності та отримати іншу частину. Або виконати тотожні перетворення з обома частинами рівності і зробити так, щоб в обох частинах рівності виявилися однакові вирази.

Наприклад, доведемо, що рівність 0,5a × 5b = 2,5abє тотожністю.

Спростимо ліву частину цієї рівності. Для цього перемножимо числа та літери окремо:

0,5×5×a×b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

В результаті невеликого тотожного перетворення, ліва частина рівності стала рівна правій частині рівності. Отже ми довели, що рівність 0,5a × 5b = 2,5abє тотожністю.

З тотожних перетворень ми навчилися складати, віднімати, множити і ділити числа, скорочувати дроби, наводити подібні доданки, і навіть спрощувати деякі висловлювання.

Але це далеко не всі тотожні перетворення, які існують у математиці. Тотожних перетворень набагато більше. У майбутньому ми ще не раз у цьому переконаємось.

Завдання для самостійного вирішення:

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

Розділ 5 ВИРАЗИ ТА РІВНЯННЯ

У розділі дізнаєтесь:

ü про висловлювання та їх спрощення;

ü які властивості рівностей;

ü як розв'язувати рівняння на основі властивостей рівностей;

ü які види задач вирішуються за допомогою рівнянь; що таке перпендикулярні прямі та як їх будувати;

ü які прямі називаються паралельними та як їх будувати;

ü що таке координатна площина;

ü як визначити координати точки на площині;

ü що таке графік залежності між величинами та як його побудувати;

ü як застосувати вивчений матеріал на практиці

§ 30. ВИРАЗИ ТА ЇХ СПРОЩЕННЯ

Ви вже знаєте, що таке літерні вирази та вмієте їх спрощувати за допомогою законів складання та множення. Наприклад, 2а ∙ (-4 b) = -8 ab . В отриманому виразі число -8 називають коефіцієнтом виразу.

Чи має вираз cd коефіцієнт? Так. Він дорівнює 1, оскільки cd - 1 ∙ cd.

Згадаймо, що перетворення виразу з дужками у вираз без дужок називають розкриттям дужок. Наприклад: 5 (2х + 4) = 10х + 20.

Зворотна дія в цьому прикладі – це винесення загального множника за дужки.

Доданки, що містять однакові буквені множники, називають подібними доданками. За допомогою винесення загального множника за дужки зводять такі складові:

5х + y + 4 - 2х + 6 y - 9 =

= (5х - 2х) + (y + 6 y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =

B х+ 7у – 5.

Правила розкриття дужок

1. Якщо перед дужками стоїть знак «+», то при розкритті дужок знаки доданків у дужках зберігають;

2. Якщо перед дужками стоїть знак "-", то при розкритті дужок знаки доданків у дужках змінюються на протилежні.

Завдання 1 . Спростіть вираз:

1) 4х + (-7х + 5);

2) 15 y -(-8 + 7 y).

Рішення. 1. Перед дужками стоїть знак «+», тому при розкритті дужок знаки всіх доданків зберігаються:

4х + (-7х + 5) = 4х - 7х + 5 = -3х + 5.

2. Перед дужками стоїть знак «-», тому під час розкриття дужок: знаки всіх доданків змінюються на протилежні:

15 - (- 8 + 7у) = 15у + 8 - 7у = 8у +8.

Для розкриття дужок використовують розподільну властивість множення: а( b + c) = ab + Ас. Якщо а > 0, то знаки доданків b і з не змінюють. Якщо а< 0, то знаки слагаемых b і змінюють на протилежні.

Завдання 2. Спростіть вираз:

1) 2(6 y -8) + 7 y;

2)-5(2-5х) + 12.

Рішення. 1. Множник 2 перед дужками є позитивним, тому при розкритті дужок знаки всіх доданків зберігаємо: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y = 19 y -16.

2. Множник -5 перед дужками є негативним, тому при розкритті дужок знаки всіх доданків міняємо на протилежні:

5 (2 - 5х) + 12 = -10 + 25х +12 = 2 + 25х.

Дізнайтесь більше

1. Слово «сума» походить від латинського summa що означає «підсумок», «загальна кількість».

2. Слово «плюс» походить від латинського plus , що означає "більше", а слово "мінус" - від латинського minus, що означає «менше». Знаки «+» і «-» використовують для позначення дій складання та віднімання. Ці знаки ввів чеський учений Й. Відман у 1489 р. у книзі «Швидкий та приємний рахунок для всіх торговців»(Рис. 138).

Мал. 138

Згадайте головне

1. Які доданки називають подібними? Як зводять подібні доданки?

2. Як розкривають дужки, перед якими стоїть знак "+"?

3. Як розкривають дужки, перед якими стоїть знак "-"?

4. Як розкривають дужки, перед якими стоїть позитивний множник?

5. Як розкривають дужки, перед якими стоїть негативний множник?

1374". Назвіть коефіцієнт виразу:

1) 12 а; 3)-5,6 ху;

2) 4 6; 4)-с.

1375". Назвіть доданки, які відрізняються лише коефіцієнтом:

1) 10а + 76-26 + а; 3) 5 n + 5 m -4 n + 4;

2) bc -4 d - bc + 4 d; 4) 5х + 4у-х + у.

Як називаються такі доданки?

1376". Чи є подібними доданки у виразі:

1) 11а + 10а; 3) 6 n + 15 n; 5) 25р – 10р + 15р;

2) 14с-12; 4) 12 m + m; 6) 8 k +10 k - n?

1377". Чи потрібно міняти знаки доданків у дужках, розкриваючи дужки у виразі:

1) 4 + (а + 3 b); 2)-c + (5-d); 3) 16-(5 m -8 n)?

1378 °. Спростіть вираз і підкресліть коефіцієнт:

1379 °. Спростіть вираз і підкресліть коефіцієнт:

1380 °. Зведіть такі складові:

1) 4а – По + 6а – 2а; 4) 10 – 4 d - 12 + 4 d;

2) 4 b - 5 b + 4 + 5 b; 5) 5а - 12 b - 7а + 5 b;

3)-7 = + 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381 °. Зведіть такі складові:

1) 6а – 5а + 8а -7а; 3) 5с + 4-2с-3с;

2) 9 b +12-8-46; 4) -7 n + 8 m - 13 n - 3 m.

1382 °. Винесіть загальний множник за дужки:

1) 1,2 а +1,2 b; 3) -3 n - 1,8 m; 5)-5 p + 2,5 k -0,5 t;

2) 0,5 с + 5 d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6)-8р - 10 k - 6 t.

1383 °. Винесіть загальний множник за дужки:

1) 6а-12 b; 3)-1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 с + 1 4 d; А) 3р - 0,9 k + 2,7 t.

1384 °. Розкрийте дужки та зведіть подібні доданки;

1) 5+ (4а-4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5с);

2) 17х-(4х-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 – 4) – (46 + 2); 6) 7(-5х + у) - (-2у + 4х) + (х - 3у).

1385 °. Розкрийте дужки і зведіть такі доданки:

1) 10а + (4 – 4а); 3) (з - 5 d) - (-d + 5с);

2) -(46-10) + (4-56); 4)-(5 n + m) + (-4 n + 8 m)-(2 m -5 n).

1386 °. Розкрийте дужки та знайдіть значення виразу:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387 °. Розкрийте дужки та знайдіть значення виразу:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388 °. Розкрийте дужки:

1) 0,5 ∙ (а + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-с ∙ (2,7-1,2 d ); 5)3 ∙ (-1,5 р + до - 0,2 t);

3) 1,6 ∙ (2 n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2а).

1389 °. Розкрийте дужки:

1) 2,2 ∙ (х-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );

2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4) 6-(-р + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Спростіть вираз:

1391. Спростіть вираз:

1392. Зведіть такі доданки:

1393. Зведіть такі складові:

1394. Спростіть вираз:

1) 2,8 - (0,5 а + 4) - 2,5 ∙ (2а - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, by) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n ) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m ) ∙ 2.

1395. Спростіть вираз:

1396. Знайдіть значення виразу;

1) 4-(0,2 а-3)-(5,8 а-16), якщо а = -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), якщо = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Знайдіть значення виразу:

1) -4∙(я-2) + 2∙(6x - 1), якщо х =-0,25;

1398 *. Знайдіть помилку у вирішенні:

1) 5-(а-2,4)-7 ∙ (-а+ 1,2) = 5а - 12-7а + 8,4 = -2а-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 а - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 а) = -9,2 а + 46 + 4,26 - 14,7 а = -5,5 а + 8,26.

1399 *. Розкрийте дужки та спростіть вираз:

1) 2аb - 3(6(4а - 1) - 6(6 - 10а)) + 76;

1400*. Розставте дужки так, щоб здобути правильну рівність:

1) а-6-а + 6 = 2а; 2) a -2 b -2 a + b = 3 a -3 b.

1401*. Доведіть, що для будь-яких чисел а та b якщо а > b , то виконується рівність:

1) (а + b) + (а-b) = 2а; 2) (а + b) - (a - b) = 2 b.

Чи буде правильною ця рівність, якщо: а) а< b; б) а = 6?

1402*. Доведіть, що для будь-якого натурального числа а середнє арифметичне попереднього та наступного за ним чисел дорівнює числу а.

ЗАСТОСУВАЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

1403. Для приготування фруктового десерту для трьох осіб потрібно: 2 яблука, 1 апельсин, 2 банани та 1 ківі. Як скласти літерний вираз для визначення кількості фруктів, необхідних для приготування десерту для гостей? Допоможіть Маріну ці підрахувати, скільки фруктів потрібно купити, якщо до неї в гості прийдуть: 1) 5 друзів; 2) 8 друзів.

1404. Складіть літерний вираз для визначення часу, необхідного для виконання домашнього завдання з математики, якщо:

1) на розв'язання задач витрачено а мін; 2) спрощення виразів у 2 рази більше, ніж рішення завдань. Скільки часу виконував домашнє завдання Василько, якщо на вирішення завдань він витратив 15 хв?

1405. Обід у шкільній їдальні складається з салату, борщу, голубців та компоту. Вартість салату складає 20%, борщу – 30%, голубців – 45%, компоту – 5% загальної вартості всього обіду. Складіть вираз для знаходження вартості обіду у шкільній їдальні. Скільки коштує обід, якщо ціна салату – 2 грн?

ЗАВДАННЯ НА ПОВТОРЕННЯ

1406. Розв'яжіть рівняння:

1407. На морозиво Таня витратилавсіх наявних грошей, а на цукерки -решти. Скільки грошей залишилось у Тані,

якщо цукерки коштують 12 грн?

Зауваження 1

Логічну функцію можна записати за допомогою логічного виразу, а потім можна перейти до логічної схеми. Спрощувати логічні висловлювання треба для того, щоб отримати якомога простішу (а значить, і дешевшу) логічну схему. По суті, логічна функція, логічний вираз і логічна схема - це три різні мови, що розповідають про одну сутність.

Для спрощення логічних виразів використовують закони алгебри логіки.

Якісь перетворення схожі на перетворення формул у класичній алгебрі (винесення загального множника за дужки, використання переміщувального та поєднаного законів тощо), а інші перетворення засновані на властивостях, які операції класичної алгебри не мають (використання розподільчого закону для кон'юнкції, законів поглинання, склеювання, правил де Моргана та ін.).

Закони алгебри логіки формулюються для базових логічних операцій - "НЕ" - інверсія (заперечення), "І" - кон'юнкція (логічне множення) та "АБО" - диз'юнкція (логічне додавання).

Закон подвійного заперечення означає, що операція “НЕ” оборотна: якщо застосувати її двічі, то результаті логічне значення не зміниться.

Закон виключеного третього говорить, що будь-яке логічне вираз або істинно, або хибно (“третього не дано”). Тому якщо $A=1$, то $\bar(A)=0$ (і навпаки), отже, кон'юнкція цих величин завжди дорівнює нулю, а диз'юнкція дорівнює одиниці.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Спростимо цю формулу:

Малюнок 3.

Звідси випливає, що $ A = 0 $, $ B = 1 $, $ C = 1 $, $ D = 1 $.

Відповідь:у шахи грають учні $B$, $C$ і $D$, а учень $A$ не грає.

При спрощенні логічних виразів можна виконувати таку послідовність дій:

Замінити всі “небазові” операції (еквівалентність, імплікацію, що виключає АБО та інших.) з їхньої висловлювання через базові операції інверсію, кон'юнкцію і диз'юнкцію.
Розкрити інверсії складних виразів за правилами де Моргана в такий спосіб, щоб операції заперечення залишилися лише в окремих змінних.
Потім спростити вираз, використовуючи розкриття дужок, винесення загальних множників за дужки та інші алгебри закони логіки.

Приклад 2

Тут послідовно використано правило де Моргана, розподільчий закон, закон виключеного третього, переміщувальний закон, закон повторення, знову переміщувальний закон та закон поглинання.

Зауваження 1

Для спрощення логічних виразів використовують закони алгебри логіки.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Спростимо цю формулу:

Малюнок 3.

Звідси випливає, що $ A = 0 $, $ B = 1 $, $ C = 1 $, $ D = 1 $.

Відповідь:у шахи грають учні $B$, $C$ і $D$, а учень $A$ не грає.

При спрощенні логічних виразів можна виконувати таку послідовність дій:

Замінити всі “небазові” операції (еквівалентність, імплікацію, що виключає АБО та інших.) з їхньої висловлювання через базові операції інверсію, кон'юнкцію і диз'юнкцію.
Розкрити інверсії складних виразів за правилами де Моргана в такий спосіб, щоб операції заперечення залишилися лише в окремих змінних.
Потім спростити вираз, використовуючи розкриття дужок, винесення загальних множників за дужки та інші алгебри закони логіки.

Приклад 2

§ 1 Поняття спрощення буквеного виразу

У цьому занятті познайомимося з поняттям «подібні доданки» і на прикладах навчимося виконувати приведення подібних доданків, спрощуючи таким чином буквені вирази.

З'ясуємо сенс поняття «спрощення». Слово «спрощення» утворене від слова «спростити». Спростити означає зробити простим, простіше. Отже, спростити літерне вираз - це зробити його коротшим, з мінімальною кількістю дій.

Розглянемо вираз 9х + 4х. Це буквене вираз, що є сумою. Доданки тут представлені у вигляді творів числа та літери. Числовий множник таких доданків називається коефіцієнтом. У цьому виразі коефіцієнтами будуть числа 9 і 4. Зверніть увагу, множник, представлений буквою - однаковий в обох складових цієї суми.

Згадаймо розподільчий закон множення:

Щоб помножити суму на число, можна помножити на це число кожне доданок і одержані твори скласти.

Загалом записується так: (а + b) ∙ с = ac + bc.

Цей закон виконується в обидві сторони ac + bc = (а + b) ∙ с

Застосуємо його до нашого буквеного виразу: сума творів 9х і 4х дорівнює добутку, перший множник якого дорівнює сумі 9 і 4, другий множник - х.

9 + 4 = 13, виходить 13х.

9х + 4х = (9 + 4) х = 13х.

Замість трьох дій у виразі залишилася одна дія – множення. Отже, ми зробили наше літерне вираз простіше, тобто. спростили його.

§ 2 Приведення подібних доданків

Доданки 9х і 4х відрізняються лише своїми коефіцієнтами - такі доданки називають подібними. Літерна частина у подібних доданків однакова. До подібних доданків відносяться також числа та рівні доданки.

Наприклад, у виразі 9а + 12 - 15 подібними доданками будуть числа 12 і -15, а в сумі твори 12 і 6а, числа 14 і твори 12 і 6а (12 ∙ 6а + 14 + 12 ∙ 6а) подібними будуть рівні доданки, подані творами 12 та 6а.

Важливо відзначити, що доданки, у яких рівні коефіцієнти, а буквені множники різні, подібними не є, хоча до них корисно іноді застосувати розподільчий закон множення, наприклад, сума творів 5х і 5у дорівнює добутку 5 і суми х і у

5х + 5y = 5 (x + y).

Спростимо вираз -9а + 15а - 4 + 10.

Подібними доданками у разі є доданки -9а і 15а, оскільки вони відрізняються лише своїми коефіцієнтами. Літерний множник у них однаковий, також подібними є доданки -4 і 10, оскільки є числами. Складаємо подібні доданки:

9а + 15а - 4 + 10

9а + 15а = 6а;

Отримуємо: 6а+6.

Спрощуючи вираз, ми знаходили суми подібних доданків, в математиці це називають приведенням подібних доданків.

Якщо приведення подібних доданків викликає складне становище, можна придумати до них слова і складати предмети.

Наприклад, розглянемо вираз:

На кожну букву беремо свій предмет: b-яблуко, груша, тоді вийде: 2 яблука мінус 5 груш плюс 8 груш.

Чи можемо з яблук відняти груші? Звісно, ні. А ось до мінус 5 груш додати 8 груш можемо.

Наведемо подібні доданки -5 груш + 8 груш. У подібних доданків буквена частина однакова, тому при приведенні подібних доданків достатньо виконати додавання коефіцієнтів і до результату дописати буквену частину:

(-5 + 8) груш – вийде 3 груші.

Повертаючись до нашого буквеного виразу, маємо -5 с + 8 с = 3 с. Таким чином, після приведення подібних доданків отримаємо вираз 2b + 3с.

Отже, на цьому занятті Ви познайомилися з поняттям «подібні доданки» та навчилися спрощувати буквені вирази шляхом приведення подібних доданків.

Список використаної литературы:

Математика. 6 клас: поурочні плани до підручника І.І. Зубарєвої, А.Г. Мордковича// автор-упорядник Л.А. Топілін. Мнемозин 2009.
Математика. 6 клас: підручник для учнів загальноосвітніх закладів. І.І.Зубарєва, А.Г. - М.: Мнемозіна, 2013.
Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх установ/Г.В. Дорофєєв, І.Ф. Шаригін, С.Б. Суворова та ін/за редакцією Г.В. Дорофєєва, І.Ф. Шаригіна; Рос.акад.наук, Рос.акад.освіти. М.: "Освіта", 2010.
Математика. 6 клас: навч.для загальноосвітніх установ/Н.Я. Віленкін, В.І. Жохов, А.С. Чесноков, С.І. Шварцбурд. - М.: Мнемозіна, 2013.
Математика. 6 кл.: Підручник / Г.К. Муравін, О.В. Муравіні. - М.: Дрофа, 2014.

Використані зображення: