Логарифмічні нерівності з різними підставами є прикладами розв'язання. Все про логарифмічні нерівності. Розбір прикладів

Вступ

Логарифми були придумані для прискорення та спрощення обчислень. Ідея логарифму, т. е. ідея висловлювати числа як ступеня однієї й тієї ж підстави, належить Михайлу Штифелю. Але за часів Штифеля математика була настільки розвинена і ідея логарифму не знайшла свого розвитку. Логарифми були винайдені пізніше одночасно і незалежно один від одного шотландським ученим Джоном Непером (1550-1617) і швейцарцем Іобст Бюрги (1552-1632) Першим опублікував роботу Непер в 1614г. під назвою "Опис дивовижної таблиці логарифмів", теорія логарифмів Непера була дана в досить повному обсязі, спосіб обчислення логарифмів дано найбільш простий, тому заслуги Непера у винаході логарифмів більше, ніж у Бюрги. Бюргі працював над таблицями одночасно з Непером, але довгий час тримав їх у секреті та опублікував лише у 1620р. Ідеєю логарифму Непер опанував около1594г. хоча таблиці опублікував через 20 років. Спочатку він називав свої логарифми "штучними числами" і вже потім запропонував ці "штучні числа" називати одним словом "логарифм", який у перекладі з грецької- "співвіднесені числа", взяті одне з арифметичної прогресії, а інше зі спеціально підібраної до неї геометричної прогресу. Перші таблиці російською були видані в1703г. за участю чудового педагога 18 ст. Л. Ф. Магницького. У розвитку теорії логарифмів велике значення мали роботи петербурзького академіка Леонарда Ейлера. Він першим став розглядати логарифмування як дію, зворотне зведенню в ступінь, він увів у вживання терміни «основа логарифму» і «мантіса» Брігс склав таблиці логарифмів з основою 10. . Тому десяткові логарифми іноді називають бригсовими. Термін «характеристика» запровадив Брігс.

У ті далекі часи, коли мудреці вперше почали замислюватися про рівність, що містять невідомі величини, напевно, ще не було ні монет, ні гаманців. Зате були купи, а також горщики, кошики, які чудово підходили на роль схованок-сховищ, що вміщають невідому кількість предметів. У стародавніх математичних завданнях Межиріччя, Індії, Китаю, Греції невідомі величини виражали кількість павичів у саду, кількість бугаїв у стаді, сукупність речей, що враховуються при розподілі майна. Добре навчені науці рахунки переписувачі, чиновники та посвячені в таємні знання жерці досить успішно справлялися з такими завданнями.

Джерела, що дійшли до нас, свідчать, що древні вчені володіли якимись загальними прийомами вирішення завдань з невідомими величинами. Однак в жодному папірусі, в жодній глиняній табличці не дано опису цих прийомів. Автори лише зрідка постачали свої числові викладки скупими коментарями типу: "Дивись!", "Роби так!", "Ти правильно знайшов". У цьому сенсі винятком є "Арифметика" грецького математика Діофанта Олександрійського (III ст.) - Збір завдань на складання рівнянь із систематичним викладом їх рішень.

Однак першим керівництвом з вирішення завдань, що набуло широкої популярності, стала праця багдадського вченого IX ст. Мухаммеда бен Муси аль-Хорезмі. Слово "аль-джебр" з арабської назви цього трактату - "Кітаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга про відновлення і протиставлення") - згодом перетворилося на добре знайоме всім слово "алгебра", а сам твір аль-Хорезмі послужив відправною точкою у становленні науки про розв'язання рівнянь.

Логарифмічні рівняння та нерівності

1. Логарифмічні рівняння

Рівняння, що містить невідоме під знаком логарифму або на його підставі, називається логарифмічним рівнянням.

Найпростішим логарифмічним рівнянням є рівняння виду

log a x = b . (1)

Твердження 1. Якщо a > 0, a≠ 1, рівняння (1) за будь-якого дійсного bмає єдине рішення x = a b .

Приклад 1. Розв'язати рівняння:

a) log 2 x= 3; b) log 3 x= -1, c)

Рішення. Використовуючи затвердження 1, отримаємо a) x= 2 3 або x= 8; b) x= 3 -1 або x= 1/3; c)

або x = 1.

Наведемо основні властивості логарифму.

Р1. Основна логарифмічна тотожність:

де a > 0, a≠ 1 та b > 0.

Р2. Логарифм добутку позитивних співмножників дорівнює сумі логарифмів цих співмножників:

log a N 1 · N 2 = log a N 1+log a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Зауваження. Якщо N 1 · N 2 > 0, тоді властивість P2 набуде вигляду

log a N 1 · N 2 = log a |N 1 | + log a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

Р3. Логарифм приватного двох позитивних чисел дорівнює різниці логарифмів ділимого та дільника

(a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Зауваження. Якщо

, (що рівносильно N 1 N 2 > 0) тоді властивість P3 набуде вигляду

(a > 0, a ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Логарифм ступеня позитивного числа дорівнює добутку показника ступеня логарифм цього числа:

log a N k = k log a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Зауваження. Якщо k- парне число ( k = 2s), то

log a N 2s = 2s log a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Формула переходу до іншої основи:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

зокрема, якщо N = b, отримаємо

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Використовуючи властивості P4 та P5, легко отримати наступні властивості

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4)

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

і, якщо (5) c- парне число ( c = 2n), має місце

(b > 0, a ≠ 0, |a | ≠ 1). (6)

Перерахуємо основні властивості логарифмічної функції f (x) = log a x :

1. Область визначення логарифмічної функції є множиною позитивних чисел.

2. Область значень логарифмічної функції – безліч дійсних чисел.

3. При a> 1 логарифмічна функція строго зростає (0< x 1 < x 2 log a x 1 < loga x 2), а при 0< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 log a x 1 > log a x 2).

4. log a 1 = 0 та log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Якщо a> 1, то логарифмічна функція негативна при x(0;1) і позитивна при x(1;+∞), а якщо 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) і негативна при x (1;+∞).

6. Якщо a> 1, то логарифмічна функція опукла вгору, і якщо a(0;1) - опукла вниз.

Наступні твердження (див., наприклад,) використовуються при вирішенні логарифмічних рівнянь.

Серед усього різноманіття логарифмічних нерівностей окремо вивчають нерівності зі змінною основою. Вони вирішуються за спеціальною формулою, яку чомусь рідко розповідають у школі:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) · (k (x) - 1) ∨ 0

Замість галки «∨» можна поставити будь-який знак нерівності: більше чи менше. Головне, щоб у обох нерівностях знаки були однаковими.

Так ми позбавляємося логарифмів і зводимо завдання до раціональної нерівності. Останнє вирішується набагато простіше, але при відкиданні логарифмів може виникнути зайве коріння. Щоб їх відсікти, достатньо знайти область допустимих значень. Якщо ви забули ОДЗ логарифму, настійно рекомендую повторити – див. «Що таке логарифм».

Все, що пов'язане з областю допустимих значень, треба виписати та вирішити окремо:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Ці чотири нерівності становлять систему і мають виконуватися одночасно. Коли область допустимих значень знайдено, залишається перетнути її з розв'язанням раціональної нерівності - і відповідь готова.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

Для початку випишемо ОДЗ логарифму:

Перші дві нерівності виконуються автоматично, а останню доведеться розписати. Оскільки квадрат числа дорівнює нулю і тоді, коли саме число дорівнює нулю, маємо:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Виходить, що ОДЗ логарифму - усі числа, крім нуля: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Тепер вирішуємо основну нерівність:

Виконуємо перехід від логарифмічної нерівності до раціональної. У вихідній нерівності стоїть знак «менше», отже, отримана нерівність теж має бути зі знаком «менше». Маємо:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) · x 2< 0;
(3 − x ) · (3 + x ) · x 2< 0.

Нулі цього виразу: x = 3; x = -3; x = 0. Причому x = 0 - корінь другої кратності, отже, при переході через нього знак функції не змінюється. Маємо:

Отримуємо x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ця множина повністю міститься в ОДЗ логарифму, отже це і є відповідь.

Перетворення логарифмічних нерівностей

Часто вихідна нерівність відрізняється від наведеного вище. Це легко виправити за стандартними правилами роботи з логарифмами – див. «Основні властивості логарифмів». А саме:

Будь-яке число представимо у вигляді логарифму із заданою основою;
Суму та різницю логарифмів з однаковими підставами можна замінити одним логарифмом.

Окремо хочу нагадати про область допустимих значень. Оскільки у вихідній нерівності може бути кілька логарифмів, потрібно знайти ОДЗ кожного з них. Таким чином, загальна схема розв'язання логарифмічних нерівностей така:

Знайти ОДЗ кожного логарифму, що входить у нерівність;
Звести нерівність до стандартного за формулами додавання та віднімання логарифмів;
Вирішити отриману нерівність за схемою, наведеною вище.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

Знайдемо область визначення (ОДЗ) першого логарифму:

Вирішуємо методом інтервалів. Знаходимо нулі чисельника:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Потім – нулі знаменника:

x − 1 = 0;
x = 1.

Відзначаємо нулі та знаки на координатній стрілі:

Отримуємо x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). У другого логарифму ОДЗ буде так само. Не вірите – можете перевірити. Тепер перетворимо другий логарифм так, щоб у основі стояла двійка:

Як бачите, трійки в основі та перед логарифмом скоротилися. Отримали два логарифми з однаковою основою. Складаємо їх:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Набули стандартної логарифмічної нерівності. Позбавляємося логарифмів за формулою. Оскільки у вихідній нерівності стоїть знак «менше», отриманий раціональний вираз теж має бути меншим за нуль. Маємо:

(f (x) - g (x)) · (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Отримали дві множини:

ОДЗ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
Кандидат відповідь: x ∈ (−1; 3).

Залишилося перетнути ці множини - отримаємо справжню відповідь:

Нас цікавить перетин множин, тому обираємо інтервали, зафарбовані на обох стрілах. Отримуємо x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - усі точки виколоти.

Вам здається, що до ЄДІ є ще час, і ви встигнете підготуватися? Можливо, це й так. Але в будь-якому випадку, чим раніше школяр починає підготовку, тим успішніше він складає іспити. Сьогодні ми вирішили присвятити статтю логарифмічним нерівностям. Це одне із завдань, а значить, можливість отримати додатковий бал.

Ви знаєте, що таке логарифм(log)? Ми дуже сподіваємося, що так. Але навіть якщо ви не маєте відповіді на це питання, це не проблема. Зрозуміти, що таке логарифм, дуже просто.

Чому саме 4? У такий ступінь потрібно звести число 3, щоб вийшло 81. Коли ви зрозуміли принцип, можна приступати і складніших обчислень.

Нерівності ви проходили ще кілька років тому. І з того часу вони постійно зустрічаються вам у математиці. Якщо у вас є проблеми з розв'язанням нерівностей, ознайомтеся з відповідним розділом.
Тепер, коли ми познайомилися з поняттями окремо, перейдемо до їхнього розгляду загалом.

Найпростіша логарифмічна нерівність.

Найпростіші логарифмічні нерівності не обмежуються цим прикладом, є ще три лише з іншими знаками. Для чого це потрібно? Щоб повніше зрозуміти, як вирішувати нерівність із логарифмами. Тепер наведемо більш застосовний приклад, все ще досить простий, складні логарифмічні нерівності залишимо потім.

Як це вирішити? Все починається з ОДЗ. Про нього варто знати більше, якщо хочеться завжди легко вирішувати будь-яку нерівність.

Що таке ОДЗ? ОДЗ для логарифмічних нерівностей

Абревіатура розшифровується як область допустимих значень. У завданнях для ЄДІ часто спливає це формулювання. ОДЗ стане вам у нагоді не тільки у випадку логарифмічних нерівностей.

Подивіться ще раз на наведений вище приклад. Ми розглядатимемо ОДЗ, виходячи з нього, щоб ви зрозуміли принцип, і вирішення логарифмічних нерівностей не викликало питань. З визначення логарифму випливає, що 2х+4 має бути більше нуля. У нашому випадку це означає таке.

Це число за визначенням має бути позитивним. Вирішіть нерівність, подану вище. Це можна зробити навіть усно, тут явно, що X не може бути меншим за 2. Вирішення нерівності і буде визначенням області допустимих значень.
Тепер перейдемо до вирішення найпростішої логарифмічної нерівності.

Відкидаємо з обох частин нерівності самі логарифми. Що в результаті залишається? Просте нерівність.

Вирішити його нескладно. X має бути більше -0,5. Тепер поєднуємо два отримані значення системи. Таким чином,

Це і буде область допустимих значень для логарифмічної нерівності, що розглядається.

Навіщо взагалі потрібне ОДЗ? Це можливість відсіяти невірні та неможливі відповіді. Якщо відповідь не входить у область допустимих значень, отже, відповідь просто немає сенсу. Це варто запам'ятати надовго, тому що в ЄДІ часто трапляється необхідність пошуку ОДЗ, і стосується вона не лише логарифмічних нерівностей.

Алгоритм розв'язання логарифмічної нерівності

Рішення складається з кількох етапів. По-перше, необхідно знайти область допустимих значень. В ОДЗ буде два значення, це ми розглянули вище. Далі потрібно вирішити саму нерівність. Методи вирішення бувають такими:

метод заміни множників;
декомпозиції;
метод раціоналізації.

Залежно від ситуації варто застосовувати один із перерахованих вище методів. Перейдемо безпосередньо до рішення. Розкриємо найпопулярніший метод, який підходить для вирішення завдань ЄДІ практично у всіх випадках. Далі ми розглянемо спосіб декомпозиції. Він може допомогти, якщо трапилася особливо «хитромудра» нерівність. Отже, алгоритм розв'язання логарифмічної нерівності.

Приклади рішення :

Ми не дарма взяли саме таку нерівність! Зверніть увагу на основу. Запам'ятайте: якщо воно більше одиниці, знак залишається незмінним при знаходженні області допустимих значень; інакше потрібно змінити знак нерівності.

В результаті ми отримуємо нерівність:

Тепер наводимо ліву частину до виду рівняння, що дорівнює нулю. Замість знака "менше" ставимо "рівно", вирішуємо рівняння. Таким чином ми знайдемо ОДЗ. Сподіваємось, що з вирішенням такого простого рівняння у вас не буде проблем. Відповіді -4 та -2. Це ще не все. Потрібно відобразити ці точки на графіці, розставити "+" та "-". Що для цього потрібно зробити? Підставити у вираз числа з інтервалів. Де значення позитивні, там ставимо "+".

Відповідь: не може бути більше -4 і менше -2.

Ми знайшли область допустимих значень тільки для лівої частини, тепер потрібно знайти область допустимих значень правої частини. Це значно легше. Відповідь: -2. Перетинаємо обидві отримані області.

І тільки тепер починаємо вирішувати саму нерівність.

Спростимо його наскільки можливо, щоб вирішувати було легше.

Знову застосовуємо метод інтервалів у рішенні. Опустимо викладки, з ним уже й так усе зрозуміло за попереднім прикладом. Відповідь.

Але цей метод підходить, якщо логарифмічна нерівність має однакові підстави.

Вирішення логарифмічних рівнянь і нерівностей з різними підставами передбачає початкове приведення до однієї основи. Далі застосовуйте описаний вище метод. Але є й складніший випадок. Розглянемо один із найскладніших видів логарифмічних нерівностей.

Логарифмічні нерівності зі змінною основою

Як вирішувати нерівності з такими характеристиками? Так, і такі можуть зустрітися у ЄДІ. Вирішення нерівностей нижченаведеним способом теж корисно позначиться на вашому освітньому процесі. Розберемося у питанні докладним чином. Відкинемо теорію, перейдемо одразу до практики. Щоб вирішувати логарифмічні нерівності, достатньо одного разу ознайомитись із прикладом.

Щоб вирішити логарифмічну нерівність представленого виду, необхідно привести праву частину до логарифму з тією самою підставою. Принцип нагадує рівносильні переходи. У результаті нерівність виглядатиме так.

Власне, залишається створити систему нерівностей без логарифмів. Використовуючи метод раціоналізації, переходимо до рівносильної системи нерівностей. Ви зрозумієте і саме правило, коли підставите відповідні значення та простежите їх зміни. У системі будуть такі нерівності.

Скориставшись методом раціоналізації при розв'язанні нерівностей потрібно пам'ятати таке: з підстави необхідно відняти одиницю, х за визначенням логарифму з обох частин нерівності віднімається (праве з лівого), два вирази перемножуються і виставляються під вихідним знаком по відношенню до нуля.

Подальше рішення здійснюється методом інтервалів, тут усе просто. Вам важливо зрозуміти відмінності у методах вирішення, тоді все почне легко виходити.

У логарифмічних нерівностях багато аспектів. Найпростіші їх вирішувати досить легко. Як зробити так, щоб вирішувати кожну з них без проблем? Усі відповіді ви вже отримали у цій статті. Тепер попереду на вас чекає тривала практика. Постійно практикуйтеся у вирішенні найрізноманітніших завдань у рамках іспиту та зможете отримати найвищий бал. Успіхів вам у вашій непростій справі!

До здачі ЄДІ з математики залишається дедалі менше часу. Обстановка загострюється, нерви у школярів, батьків, вчителів та репетиторів натягуються все сильніше. Зняти нервову напругу вам допоможуть щоденні поглиблені заняття з математики. Адже ніщо, як відомо, так не заряджає позитивом і не допомагає при складанні іспитів як впевненість у своїх силах і знаннях. Сьогодні репетитор з математики розповість вам про розв'язання систем логарифмічних та показових нерівностей, завдань, які традиційно викликають труднощі у багатьох сучасних старшокласників.

Для того, щоб навчитися вирішувати завдання C3 з ЄДІ з математики як репетитор з математики, рекомендую вам звернути увагу на наступні важливі моменти.

1. Перш ніж розпочати вирішення систем логарифмічних і показових нерівностей, необхідно навчитися вирішувати кожен із цих типів нерівностей окремо. Зокрема, розібратися з тим, як знаходиться область допустимих значень, проводяться рівносильні перетворення логарифмічних та показових виразів. Деякі пов'язані з цим таємниці ви можете осягнути, вивчивши статті « » та « ».

2. При цьому необхідно усвідомлювати, що розв'язання системи нерівностей не завжди зводиться до вирішення окремо кожної нерівності та перетину отриманих проміжків. Іноді, знаючи рішення однієї нерівності системи, рішення другої значно спрощується. Як репетитор з математики, який займається підготовкою школярів до складання випускних іспитів у форматі ЄДІ, розкрию в цій статті пару пов'язаних із цим секретів.

3. Необхідно чітко усвідомити для себе різницю між перетином та об'єднанням множин. Це одне з найважливіших математичних знань, яке досвідчений репетитор намагається дати своєму учневі вже з перших занять. Наочне уявлення про перетин та об'єднання множин дають так звані «кола Ейлера».

Перетином множин називається безліч, якому належать лише ті елементи, які є у кожної з цих множин.

перетином

Зображення перетину множин за допомогою «кіл Ейлера»

Пояснення на пальцях.У Діани в сумочці знаходиться «множина», що складається з ( ручки, олівець, лінійки, зошити, гребінці). У Аліси в сумочці знаходиться «множина», що складається з ( записник, олівець, дзеркальця, зошити, котлети по-київськи). Перетином цих двох "множин" буде "множина", що складається з ( олівець, зошити), оскільки обидва ці «елементи» є і в Діани, і в Аліси.

Важливо запам'ятати! Якщо рішенням нерівності є проміжок, а рішенням нерівності є проміжок, то рішенням систем:

є проміжок тобто перетин вихідних проміжків. Тут і далі підмається на увазі будь-який із знаків title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="17" width="93" style="vertical-align: -4px;">!} а під - Йому протилежний знак.

Об'єднанням множин називається безліч, що складається з усіх елементів вихідних множин.

Іншими словами, якщо дані дві множини і то їх об'єднанням буде безліч наступного виду:

Зображення об'єднання множин за допомогою «кіл Ейлера»

Пояснення на пальцях.Об'єднанням "множин", взятих у попередньому прикладі буде "множина", що складається з ( ручки, олівець, лінійки, зошити, гребінці, записник, дзеркальця, котлети по-київськи), оскільки воно складається з усіх елементів вихідних «множин». Одне уточнення, яке може виявитися не зайвим. Безліч не можемістити у собі однакових елементів.

Важливо запам'ятати! Якщо рішенням нерівності є проміжок, а рішенням нерівності є проміжок, то рішенням сукупності:

є проміжок тобто об'єднання вихідних проміжків.

Перейдемо безпосередньо до прикладів.

приклад 1.Розв'яжіть систему нерівностей:

Розв'язання задачі C3.

1. Вирішуємо спершу першу нерівність. Використовуючи заміну переходимо до нерівності:

2. Вирішуємо тепер другу нерівність. Область його допустимих значень визначається нерівністю:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

В області допустимих значень з урахуванням того, що основа логарифму title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="52" style="vertical-align: -4px;"> переходим к равносильному неравенству:!}

Виключаючи рішення, що не входять до області допустимих значень, отримуємо проміжок

3. Відповіддю до системінерівностей буде перетин

Отримані проміжки на числовій прямій. Рішення - їх перетин

приклад 2.Розв'яжіть систему нерівностей:

Розв'язання задачі C3.

1. Вирішуємо спершу першу нерівність. Помножуємо обидві частини на title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="55" style="vertical-align: 0px;"> и делаем замену в результате чего приходим к неравенству:!}

Переходимо до зворотної підстановки:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Графічне зображення отриманих інтервалів. Рішення системи - їх перетин

приклад 3.Розв'яжіть систему нерівностей:

Розв'язання задачі C3.

1. Вирішуємо спершу першу нерівність. Помножуємо обидві його частини на title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="61" style="vertical-align: -4px;"> после чего получаем неравенство:!}

Використовуючи підстановку переходимо до наступної нерівності:

Переходимо до зворотної підстановки:

2. Вирішуємо тепер другу нерівність. Визначимо спочатку область допустимих значень цієї нерівності:

ql-right-eqno">

Звертаємо увагу, що

Тоді з урахуванням області допустимих значень отримуємо:

3. Знаходимо загальне розв'язання нерівностей. Порівняння отриманих ірраціональних значень вузлових точок – завдання в даному прикладі аж ніяк не тривіальне. Зробити це можна так. Бо

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

то та остаточна відповідь до системи має вигляд:

приклад 4.Розв'яжіть систему нерівностей:

Розв'язання задачі С3.

1. Вирішимо спершу другу нерівність:

2. Перша нерівність вихідної системи є логарифмічним нерівністю зі змінною основою. Зручний спосіб розв'язання подібних нерівностей описаний у статті «Складні логарифмічні нерівності», в основі якої лежить проста формула:

Замість знака може бути підставлений будь-який знак нерівності, головне, щоб він був той самий в обох випадках. Використання цієї формули значно полегшує розв'язання нерівності:

Визначимо тепер область допустимих значень цієї нерівності. Вона задається наступною системою:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Легко бачити, що одночасно цей проміжок буде і вирішенням нашої нерівності.

3. Остаточною відповіддю вихідної системинерівностей буде перетин отриманих проміжків, тобто

Приклад 5.Розв'яжіть систему нерівностей:

Рішення завдання C3.

1. Вирішуємо спершу першу нерівність. Використовуємо підстановку Переходимо до наступної квадратної нерівності:

2. Вирішуємо тепер другу нерівність. Область його допустимих значень визначається системою:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Ця нерівність дорівнює наступній змішаній системі:

В області допустимих значень, тобто при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="53" style="vertical-align: -4px;"> используя равносильные преобразования переходим к следующей смешанной системе:!}

З урахуванням області допустимих значень отримуємо:

3. Остаточним рішенням вихідної системиє

Розв'язання задачі C3.

1. Вирішуємо спершу першу нерівність. Рівносильними перетвореннями наводимо його до вигляду:

2. Вирішуємо тепер другу нерівність. Область його допустимих значень визначається проміжком: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="68" style="vertical-align: 0px;"> Используя замену переменной переходим к следующему квадратичному неравенству:!}

Ця відповідь цілком належить до області допустимих значень нерівності.

3. Перетином отриманих у попередніх пунктах проміжків отримуємо остаточну відповідь до системи нерівностей:

Сьогодні ми з вами вирішували системи логарифмічних та показових нерівностей. Завдання подібного роду пропонувалися в пробних варіантах ЄДІ з математики протягом усього навчального року, що йде. Однак, як репетитор з математики, який має досвід підготовки до ЄДІ, можу сказати, що це зовсім не означає, що аналогічні завдання будуть у реальних варіантах ЄДІ з математики у червні.

Дозволю собі висловити одну застереження, адресовану насамперед репетиторам та шкільним вчителям, які займаються підготовкою старшокласників до здачі ЄДІ з математики. Дуже небезпечно готувати школярів до іспиту строго за заданими темами, адже в цьому випадку виникає ризик повністю «завалити» його навіть за незначної зміни раніше заявленого формату завдань. Математичне освіту має бути повним. Шановні колеги, будь ласка, не уподібнюйте роботам своїх учнів так званим «натягуванням» на вирішення певного типу завдань. Адже немає нічого гіршого від формалізації мислення людини.

Всім удачі та творчих успіхів!

Сергій Валерійович