Додавання з однаковими знаменниками. Складання та віднімання дробів з однаковими знаменниками. Змішані дробові числа

Змішані дроби також, як і прості дроби можна віднімати. Щоб відібрати змішані числа дробів потрібно знати кілька правил віднімання. Вивчимо ці правила на прикладах.

Віднімання змішаних дробів із однаковими знаменниками.

Розглянемо приклад з умовою, що ціле, що зменшується, і дробова частина більше відповідно віднімається цілої і дробової частини. За таких умов віднімання відбувається окремо. Цілу частину віднімаємо з цілої частини, а дробову частину з дробової .

Розглянемо приклад:

Виконайте віднімання змішаних дробів \(5\frac(3)(7)\) і \(1\frac(1)(7)\).

\(5\frac(3)(7)-1\frac(1)(7) = (5-1) + (\frac(3)(7)-\frac(1)(7)) = 4\ frac(2)(7)\)

Правильність віднімання перевіряється додаванням. Зробимо перевірку віднімання:

\(4\frac(2)(7)+1\frac(1)(7) = (4 + 1) + (\frac(2)(7) + \frac(1)(7)) = 5\ frac(3)(7)\)

Розглянемо приклад з умовою, коли дробова частина меншого, що зменшується, відповідно відповідно дробової частини віднімається. У такому разі ми займаємо одиницю у цілого в зменшуваному.

Розглянемо приклад:

Виконайте віднімання змішаних дробів \(6\frac(1)(4)\) і \(3\frac(3)(4)\).

У зменшуваного \(6\frac(1)(4)\) дробова частина менше ніж у дробової частини віднімається \(3\frac(3)(4)\). Тобто \(\frac(1)(4)< \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)

\(\begin(align)&6\frac(1)(4)-3\frac(3)(4) = (6 + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(red) (1) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(red) (\frac(4)(4)) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \frac(5)(4))-3\frac(3)(4) = \\\\ &= 5\frac(5)(4)-3\frac(3)(4) = 2\frac(2)(4) = 2\frac(1)(4)\\\\end(align)\)

Наступний приклад:

\(7\frac(8)(19)-3 = 4\frac(8)(19)\)

Віднімання змішаного дробу від цілого числа.

Приклад: \(3-1\frac(2)(5)\)

Зменшуване 3 не має дробової частини, тому відразу відібрати ми не зможемо. Займемо у цілої частини у 3 одиницю, а потім виконаємо віднімання. Одиницю ми запишемо як \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac(5)(5) = 2\frac(5)(5)\)

\(3-1\frac(2)(5)= (2 + \color(red) (1))-1\frac(2)(5) = (2 + \color(red) (\frac(5) )(5)))-1\frac(2)(5) = 2\frac(5)(5)-1\frac(2)(5) = 1\frac(3)(5)\)

Віднімання змішаних дробів із різними знаменниками.

Розглянемо приклад із умовою, якщо дробові частини зменшуваного і віднімається з різними знаменниками. Потрібно привести до спільного знаменника, а потім виконати віднімання.

Виконайте віднімання двох змішаних дробів з різними знаменниками \(2\frac(2)(3)\) і \(1\frac(1)(4)\).

Спільним знаменником буде число 12.

\(2\frac(2)(3)-1\frac(1)(4) = 2\frac(2 \times \color(red) (4))(3 \times \color(red) (4) )-1\frac(1 \times \color(red) (3))(4 \times \color(red) (3)) = 2\frac(8)(12)-1\frac(3)(12 ) = 1\frac(5)(12)\)

Питання на тему:
Як віднімати змішані дроби? Як вирішувати змішані дроби?
Відповідь: потрібно визначитися до якого типу ставитися вираз і типу виразу застосовувати алгоритм рішення. З цілої частини віднімаємо ціле, у дробової частини віднімаємо дробову частину.

Як від цілого числа відняти дріб? Як від цілого числа відібрати дріб?
Відповідь: у цілого числа потрібно зайняти одиницю та записати цю одиницю у вигляді дробу

\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac(7)(7) = 3\frac(7)(7)\),

а потім ціле відібрати від цілого, дробову частину відібрати від дробової частини. Приклад:

\(4-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (1))-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (\frac(7) )(7)))-2\frac(3)(7) = 3\frac(7)(7)-2\frac(3)(7) = 1\frac(4)(7)\)

Приклад №1:
Виконайте віднімання правильного дробу з одиниці: а) \(1-\frac(8)(33)\) б) \(1-\frac(6)(7)\)

Рішення:
а) Подаємо одиницю як дріб із знаменником 33. Отримаємо \(1 = \frac(33)(33)\)

\(1-\frac(8)(33) = \frac(33)(33)-\frac(8)(33) = \frac(25)(33)\)

б) Представимо одиницю як дріб із знаменником 7. Отримаємо \(1 = \frac(7)(7)\)

\(1-\frac(6)(7) = \frac(7)(7)-\frac(6)(7) = \frac(7-6)(7) = \frac(1)(7) \)

Приклад №2:
Виконайте віднімання змішаного дробу з цілого числа: а) \(21-10\frac(4)(5)\) б) \(2-1\frac(1)(3)\)

Рішення:
а) Займемо у цілого числа 21 одиницю і розпишемо так (21 = 20 + 1 = 20 + frac(5)(5) = 20 frac(5)(5)\)

\(21-10\frac(4)(5) = (20 + 1)-10\frac(4)(5) = (20 + \frac(5)(5))-10\frac(4)( 5) = 20\frac(5)(5)-10\frac(4)(5) = 10\frac(1)(5)\\\\)

б) Займемо у цілого числа 2 одиницю і розпишемо так (2 = 1 + 1 = 1 + frac(3)(3) = 1 frac(3)(3)\)

\(2-1\frac(1)(3) = (1 + 1)-1\frac(1)(3) = (1 + \frac(3)(3))-1\frac(1)( 3) = 1\frac(3)(3)-1\frac(1)(3) = \frac(2)(3)\\\\)

Приклад №3:
Виконайте віднімання цілого числа із змішаного дробу: а) \(15\frac(6)(17)-4\) б) \(23\frac(1)(2)-12\)

а) \(15\frac(6)(17)-4 = 11\frac(6)(17)\)

б) \(23\frac(1)(2)-12 = 11\frac(1)(2)\)

Приклад № 4:
Виконайте віднімання правильного дробу із змішаного дробу: а) \(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5)\)

\(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5) = 1\\\\)

Приклад №5:
Обчисліть \(5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8)\)

\(\begin(align)&5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8) = 5\frac(5)(16)-3\frac(3 \times \color(red) ( 2))(8 \times \color(red) (2)) = 5\frac(5)(16)-3\frac(6)(16) = (5 + \frac(5)(16))- 3\frac(6)(16) = (4 + \color(red) (1) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = \\\&= (4 + \color(red) (\frac(16)(16)) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = (4 + \color(red) (\frac(21) )(16)))-3\frac(3)(8) = 4\frac(21)(16)-3\frac(6)(16) = 1\frac(15)(16)\\\ \end(align)\)

Додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками
Додавання та віднімання дробів з різними знаменниками
Поняття про НОК
Приведення дробів до одного знаменника
Як скласти ціле число та дріб

1 Додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх чисельники, а знаменник залишити той самий, наприклад:

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити той самий, наприклад:

Щоб скласти змішані дроби, треба окремо скласти цілі частини, а потім скласти їх дробові частини, і записати результат змішаним дробом,

Якщо при складанні дробових частин вийшов неправильний дріб, виділяємо з нього цілу частину і додаємо її до цілої частини, наприклад:

2 Додавання та віднімання дробів з різними знаменниками

Щоб скласти або відняти дроби з різними знаменниками, потрібно спочатку привести їх до одного знаменника, а далі діяти, як зазначено на початку цієї статті. Загальний знаменник кількох дробів – це НОК (найменше загальне кратне). Для чисельника кожного з дробів знаходяться додаткові множники за допомогою поділу НОК на знаменник цього дробу. Ми розглянемо приклад пізніше, після того, як розберемося, що таке НОК.

3 Найменше загальне кратне (НОК)

Найменше загальне кратне двох чисел (НОК) – це найменше натуральне число, яке ділиться на обидва ці числа без залишку. Іноді НОК можна підібрати усно, але частіше, особливо під час роботи з великими числами, доводиться знаходити НОК письмово, за допомогою наступного алгоритму:

Щоб знайти НОК кількох чисел, потрібно:

Розкласти ці числа на прості множники
Взяти найбільше розкладання, і записати ці числа у вигляді твору
Виділити в інших розкладах числа, які не зустрічаються у найбільшому розкладанні (або зустрічаються в ньому менше разів), і додати їх до твору.
Перемножити всі числа у творі, це буде НОК.

Наприклад, знайдемо НОК чисел 28 та 21:

4Приведення дробів до одного знаменника

Повернемося до складання дробів із різними знаменниками.

Коли ми наводимо дроби до однакового знаменника, що дорівнює НОК обох знаменників, ми повинні помножити чисельники цих дробів на додаткові множники. Знайти їх можна, розділивши НОК на знаменник відповідного дробу, наприклад:

Таким чином, щоб привести дроби до одного показника, потрібно спочатку знайти НОК (тобто найменше число, яке ділиться на обидва знаменники) знаменників цих дробів, потім поставити додаткові множники до чисельників дробів. Знайти їх можна, розділивши спільний знаменник (НОК) на знаменник відповідного дробу. Потім потрібно помножити чисельник кожного дробу додатковий множник, а знаменником поставити НОК.

5Як скласти ціле число і дріб

Для того, щоб скласти ціле число та дріб, потрібно просто додати це число перед дробом, при цьому вийде змішаний дріб, наприклад.

Додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками
Додавання та віднімання дробів з різними знаменниками
Поняття про НОК
Приведення дробів до одного знаменника
Як скласти ціле число та дріб

1 Додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками

Приклад 1:

Приклад 2:

2 Додавання та віднімання дробів з різними знаменниками.

Щоб скласти або відняти дроби з різними знаменниками, потрібно спочатку привести їх до одного знаменника, а далі діяти, як зазначено на початку цієї статті. Загальний знаменник кількох дробів — НОК (найменше загальне кратне). Для чисельника кожного з дробів знаходяться додаткові множники за допомогою поділу НОК на знаменник цього дробу. Ми розглянемо приклад пізніше, після того, як розберемося, що таке НОК.

3 Найменше загальне кратне (НОК)

Найменше загальне кратне двох чисел (НОК) - це найменше натуральне число, яке ділиться на обидва ці числа без залишку. Іноді НОК можна підібрати усно, але частіше, особливо під час роботи з великими числами, доводиться знаходити НОК письмово, за допомогою наступного алгоритму:

Щоб знайти НОК кількох чисел, потрібно:

Розкласти ці числа на прості множники
Взяти найбільше розкладання, і записати ці числа у вигляді твору
Виділити в інших розкладах числа, які не зустрічаються у найбільшому розкладанні (або зустрічаються в ньому менше разів), і додати їх до твору.
Перемножити всі числа у творі, це буде НОК.

Наприклад, знайдемо НОК чисел 28 та 21:

4 Приведення дробів до одного знаменника

Повернемося до складання дробів із різними знаменниками.

5 Як скласти ціле число та дріб

Для того, щоб скласти ціле число і дріб, потрібно просто додати це число перед дробом, при цьому вийде змішаний дріб, наприклад:

Якщо ми складаємо ціле число та змішаний дріб, ми додаємо це число до цілої частини дробу, наприклад:

Тренажер 1

Складання та віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Ліміт часу: 0

Навігація (тільки номери завдань)

0 із 20 завдань закінчено

Інформація

У цьому вся тесті перевіряється вміння складати дроби з однаковими знаменниками. При цьому потрібно дотримуватися двох правил:

Якщо в результаті виходить неправильний дріб, потрібно перевести його в змішане число.
Якщо дріб можна скоротити, обов'язково скоротите його, інакше буде зараховано неправильну відповідь.

Ви вже проходили тест раніше. Ви не можете запустити його знову.

Тест завантажується...

Ви повинні увійти або зареєструватися, щоб почати тест.

Ви повинні закінчити наступні тести, щоб почати це:

Результати

Правильних відповідей: 0 з 20

Ваш час:

Час вийшов

Ви набрали 0 з 0 балів (0 )

З відповіддю
З позначкою про перегляд

Зверніть увагу!Перед тим як написати остаточну відповідь, подивіться, чи можна скоротити дріб, який ви отримали.

Віднімання дробів з однаковими знаменниками, приклади:

Віднімання правильного дробу з одиниці.

Якщо необхідно відняти від одиниці дріб, який є правильним , одиницю переводять до виду неправильного дробу , у неї знаменник дорівнює знаменнику дробу, що віднімається.

Приклад віднімання правильного дробу з одиниці:

Знаменник відрахованого дробу = 7 , тобто одиницю представляємо у вигляді неправильного дробу 7/7 і віднімаємо за правилом віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Віднімання правильного дробу з цілого числа.

Правила віднімання дробів -правильної з цілого числа (натурального числа):

Перекладаємо задані дроби, які містять цілу частину, неправильні. Отримуємо нормальні доданки (не важливо якщо вони з різними знаменниками), які рахуємо за правилами, наведеними вище;
Далі обчислюємо різницю дробів, які ми отримали. У результаті майже знайдемо відповідь;
Виконуємо зворотне перетворення, тобто позбавляємося від неправильного дробу - виділяємо в дроби цілу частину.

Віднімемо з цілого числа правильний дріб: подаємо натуральне число у вигляді змішаного числа. Тобто. займаємо одиницю в натуральному числі і переводимо її до виду неправильного дробу, знаменник при цьому такий же, як у дробу, що віднімається.

Приклад віднімання дробів:

У прикладі одиницю ми замінили неправильним дробом 7/7 і замість 3 записали змішане число і від дробової частини відібрали дріб.

Віднімання дробів з різними знаменниками.

Або, якщо сказати іншими словами, віднімання різних дробів.

Правило віднімання дробів із різними знаменниками.Для того, щоб зробити віднімання дробів з різними знаменниками, необхідно, для початку, привести ці дроби до найменшого загального знаменника (НОЗ), і тільки після цього зробити віднімання як з дробами з однаковими знаменниками.

Загальний знаменник кількох дробів – це НОК (найменше загальне кратне)натуральних чисел, які є знаменниками цих дробів.

Увага!Якщо в кінцевому дробі чисельник і знаменник мають спільні множники , то дріб необхідно скоротити. Неправильний дріб краще подати у вигляді змішаного дробу. Залишити результат віднімання, не скоротивши дріб, де є можливість, це незакінчене рішення прикладу!

Порядок дій при відніманні дробів з різними знаменниками.

знайти НОК для всіх знаменників;
поставити всім дробів додаткові множники;
помножити всі чисельники на додатковий множник;
отримані твори записуємо в чисельник, підписуючи під усіма дробами загальний знаменник;
зробити віднімання чисельників дробів, підписуючи під різницею загальний знаменник.

Так само проводиться додавання і віднімання дробів за наявності в чисельнику букв.

Віднімання дробів, приклади:

Віднімання змішаних дробів.

При віднімання змішаних дробів (чисел)окремо з цілої частини віднімають цілу частину, а з дробової частини віднімають дробову частину.

Перший варіант віднімання змішаних дробів.

Якщо у дробових частин однаковізнаменники і чисельник дробової частини зменшуваного (з нього віднімаємо) ≥ чисельнику дробової частини віднімається (його віднімаємо).

Наприклад:

Другий варіант віднімання змішаних дробів.

Коли у дробових частин різнізнаменники. Для початку приводимо до спільного знаменника дробові частини, а після цього виконуємо віднімання цілої частини з цілої, а дробової з дробової.

Наприклад:

Третій варіант віднімання змішаних дробів.

Дробна частина меншого дробу, що зменшується, віднімається.

Приклад:

Т.к. у дробових елементів різні знаменники, отже, як і за другому варіанті, спочатку наводимо прості дроби до спільного знаменника.

Чисельник дробової частини меншого числа чисельника дробової частини віднімається.3 < 14. Отже, займаємо одиницю з цілої частини та наводимо цю одиницю до виду неправильного дробу з однаковим знаменником та чисельником = 18.

У чисельнику від правої частини пишемо суму чисельників, далі розкриваємо дужки у чисельнику від правої частини, тобто множимо все і наводимо подібні. У знаменнику дужки не розкриваємо. У знаменниках заведено залишати твір. Отримуємо:

Наступні правила застосовуються для правильних і неправильних дробів (змішаний дріб завжди можна перевести в неправильний дріб) з однаковими знаменниками.

Правило. Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх чисельники та залишити той самий знаменник.

Наприклад:

Правило. Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу і залишити той самий знаменник.

Наприклад:

Наступні правила застосовуються для змішаних дробів із однаковими знаменниками.

Правило. Щоб скласти змішані дроби, необхідно окремо скласти їх цілі та дробові частини та записати суму цілих частин та суму дробових частин змішаним дробом.

Якщо сумарна дробова частина виявиться неправильним дробом, ті слід перевести в змішаний дріб, а виділену з неправильного дробу цілу частину додати до суми цілих частин. Остаточну суму цілої та дробової частин записати змішаним дробом.

Наприклад, скласти дроби:

Правило, Щоб відняти змішані дроби, необхідно окремо відняти їх цілі та окремо їх дробові частини та записати суму отриманих різниць змішаним дробом.

Якщо дробова частина меншого, що зменшується, дробової частини віднімається, то від цілої частини зменшуваного «позичаємо» 1, яку представляємо як дріб з тим же знаменником, що і у дробовій частині змішаних дробів, і з рівним цьому знаменнику чисельником. Позичену 1, виражену неправильним дробом з однаковими чисельником і знаменником, сумуємо з дробовою частиною зменшуваного. Після цього робимо обчислення згідно з правилом віднімання змішаних дробів.