Приклади розкладання багаточленів на множники. Складні випадки розкладання багаточленів на множники
Що робити, якщо в процесі вирішення завдання з ЄДІ або на вступному іспиті з математики ви отримали багаточлен, який не вдається розкласти на множники стандартними методами, якими ви навчилися у школі? У цій статті репетитор з математики розповість про один ефективний спосіб, вивчення якого знаходиться за рамками шкільної програми, але за допомогою якого розкласти багаточлен на множники не складе особливих труднощів. Дочитайте цю статтю до кінця та перегляньте прикладений відеоурок. Знання, які ви отримаєте, допоможуть вам на іспиті.
Розкладання многочлена на множники методом розподілу
З того випадку, якщо ви отримали багаточлен більше другого ступеня і змогли вгадати значення змінної, коли цей багаточлен стає рівним нулю (наприклад, це значення дорівнює ), знайте! Цей многочлен можна розділити на .
Наприклад, легко бачити, що многочлен четвертого ступеня звертається в нуль при . Значить його без залишку можна розділити на , отримавши при цьому багаточлен третього ступеня (менше на одиницю). Тобто подати у вигляді:
де A, B, Cі D- Деякі числа. Розкриємо дужки:
Оскільки коефіцієнти при однакових ступенях мають бути однакові, то отримуємо:
Отже, отримали:
Ідемо далі. Достатньо перебрати кілька невеликих цілих чисел, що побачити, що багаточлен третього ступеня знову поділяється на . При цьому виходить багаточлена другого ступеня (менше на одиницю). Тоді переходимо до нового запису:
де E, Fі G- Деякі числа. Знову розкриваємо дужки і приходимо до наступного виразу:
Знову з умови рівності коефіцієнтів при однакових ступенях отримуємо:
Тоді отримуємо:
Тобто вихідний многочлен може бути розкладений на множники так:
У принципі, за бажання, використовуючи формулу різниця квадратів, результат можна уявити також у такому вигляді:
Ось такий простий та ефективний спосіб розкладання багаточленів на множники. Запам'ятайте його, він може вам стати в нагоді на іспиті або олімпіаді з математики. Перевірте, чи ви навчилися користуватися цим методом. Спробуйте вирішити наступне завдання самостійно.
Розкладіть багаточлен на множники:
Свої відповіді пишіть у коментарях.
Матеріал підготував, Сергій Валерійович
Багаточлен є виразом, що складається з суми одночленів. Останні є твором константи (числа) та кореня (або коріння) виразу в ступені k. У такому разі говорять про багаточлен ступеня k. Розкладання многочлена передбачає трансформацію висловлювання, коли він на зміну доданків приходять множники. Розглянемо основні способи проведення такого роду перетворення.
Метод розкладання багаточлена шляхом виділення загального множника
Цей метод ґрунтується на закономірностях розподільчого закону. Так, mn+mk=m*(n+k).
- Приклад:розкладіть 7y 2 + 2uy та 2m 3 – 12m 2 + 4lm.
7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),
2m 3 - 12m 2 + 4lm = 2m (m 2 - 6m + 2l).
Однак, множник, присутній обов'язково в кожному багаточлен може знайтися не завжди, тому даний спосіб не є універсальним.
Метод розкладання многочлена з урахуванням формул скороченого множення
Формули скороченого множення справедливі для многочлена будь-якого ступеня. У загальному вигляді вираз-перетворення виглядає так:
u k - l k = (u - l) (u k-1 + u k-2 * l + u k-3 * l 2 + … u * l k-2 + l k-1), де k є представником натуральних чисел .
Найчастіше практично застосовуються формули для многочленів другого і третього порядків:
u 2 - l 2 = (u - l) (u + l),
u 3 - l 3 = (u - l) (u 2 + ul + l 2),
u 3 + l 3 = (u + l) (u 2 - ul + l 2).
- Приклад:розкладіть 25p 2 – 144b 2 та 64m 3 – 8l 3 .
25p 2 - 144b 2 = (5p - 12b) (5p + 12b),
64m 3 – 8l 3 = (4m) 3 – (2l) 3 = (4m – 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m – 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2 ).
Метод розкладання багаточлена – угруповання доданків виразу
Цей метод певним чином перегукується з технікою виведення загального множника, але має деякі відмінності. Зокрема, перед тим, як виділяти загальний множник, слід угруповання одночленів. В основі групування лежать правила поєднаного та переміщувального законів.
Всі одночлени, представлені у виразі розбиваються на групи, у кожній з яких виноситься загальне значення таке, що другий множник буде однаковим у всіх групах. У загальному вигляді подібний спосіб розкладання можна подати у вигляді виразу:
pl+ks+kl+ps=(pl+ps)+(ks+kl)⇒pl+ks+kl+ps=p(l+s)+k(l+s),
pl + ks + kl + s = (p + k) (l + s).
- Приклад:розкладіть 14mn + 16ln - 49m - 56l.
14mn + 16ln - 49m - 56l = (14mn - 49m) + (16ln - 56l) = 7m * (2n - 7) + 8l * (2n - 7) = (7m + 8l) (2n - 7).
Метод розкладання багаточлена – формування повного квадрата
Даний спосіб є одним з найбільш ефективних під час розкладання багаточлена. На початковому етапі необхідно визначити одночлени, які можна згорнути в квадрат різниці або суми. Для цього використовується одне із співвідношень:
(p - b) 2 = p 2 - 2pb + b 2
- Приклад:розкладіть вираз u 4 + 4u 2 – 1.
Виділимо серед його одночленів доданки, які утворюють повний квадрат: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =
= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 4 - 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 5.
Завершує перетворення, використовуючи правила скороченого множення: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).
Т.о. u 4 + 4u 2 – 1 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).
На цьому уроці ми згадаємо всі раніше вивчені методи розкладання многочлена на множники і розглянемо приклади їх застосування, крім того, вивчимо новий метод - метод виділення повного квадрата і навчимося застосовувати його під час вирішення різних завдань.
Тема:Розкладання багаточленів на множники
Урок:Розкладання многочленів на множники. Метод виділення повного квадрата. Комбінація методів
Нагадаємо основні методи розкладання багаточлена на множники, які були вивчені раніше:
Метод винесення загального множника за дужки, тобто такого множника, який є присутнім у всіх членах многочлена. Розглянемо приклад:
Нагадаємо, що одночлен є добутком ступенів і чисел. У прикладі в обох членах є деякі спільні, однакові елементи.
Отже, винесемо спільний множник за дужки:
;
Нагадаємо, що перемноживши винесений множник на дужку можна перевірити правильність винесення.
Метод угруповання. Не завжди в многочлен можна винести загальний множник. У такому разі потрібно його члени розбити на групи таким чином, щоб у кожній групі можна було винести загальний множник і постаратися розбити так, щоб після винесення множників у групах з'явився загальний множник у всього виразу, і можна було б продовжити розкладання. Розглянемо приклад:
Згрупуємо перший член з четвертим, другий з п'ятим, і третій відповідно з шостим:
Винесемо спільні множники у групах:
У виразу з'явився загальний множник. Винесемо його:
Застосування формул скороченого множення. Розглянемо приклад:
;
Розпишемо вираз докладно:
Вочевидь, що маємо формула квадрата різниці, оскільки є сума квадратів двох виразів і з неї віднімається їх подвоєне твір. Згорнемо за формулою:
Сьогодні ми вивчимо ще один спосіб – метод виділення повного квадрата. Він базується на формулах квадрата суми та квадрата різниці. Нагадаємо їх:
Формула квадрата суми (різниці);
Особливість цих формул у тому, що в них є квадрати двох виразів та їх подвоєний твір. Розглянемо приклад:
Розпишемо вираз:
Отже, перший вираз це , а друге .
Для того, щоб скласти формулу квадрата суми чи різниці, не вистачає подвоєного твору виразів. Його потрібно додати і відібрати:
Згорнемо повний квадрат суми:
Перетворимо отриманий вираз:
Застосуємо формулу різниці квадратів, нагадаємо, що різниця квадратів двох виразів є добуток і суми на їх різницю:
Отже, даний метод полягає, перш за все, у тому, що потрібно виявити вирази a та b, які стоять у квадраті, тобто визначити, квадрати яких виразів стоять у даному прикладі. Після цього потрібно перевірити наявність подвоєного твору і якщо його немає, то додати і відібрати його, від цього сенс прикладу не зміниться, але багаточлен можна буде розкласти на множники, використовуючи формули квадрата суми або різниці та різниці квадратів, якщо є така можливість.
Перейдемо до вирішення прикладів.
Приклад 1 – розкласти на множники:
Знайдемо вирази, які стоять у квадраті:
Запишемо, яким має бути їх подвоєний твір:
Додамо та заберемо подвоєний твір:
Згорнемо повний квадрат суми і наведемо такі:
Розпишемо за формулою різниці квадратів:
Приклад 2 - розв'язати рівняння:
;
У лівій частині рівняння стоїть тричлен. Потрібно розкласти його на множники. Використовуємо формулу квадрата різниці:
У нас є квадрат першого виразу і подвоєний твір, не вистачає квадрата другого виразу, додамо і заберемо його:
Згорнемо повний квадрат і наведемо подібні члени:
Застосуємо формулу різниці квадратів:
Отже, маємо рівняння 
Ми знаємо, що добуток дорівнює нулю тільки якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Складемо на цій підставі рівняння:
Розв'яжемо перше рівняння:
Розв'яжемо друге рівняння:
Відповідь: або
;
Поступаємо аналогічно до попереднього прикладу - виділяємо квадрат різниці.
Для того щоб розкласти на множники, необхідно спрощувати вирази. Це потрібно для того, щоб можна було надалі скоротити. Розкладання многочлена має сенс тоді, коли його ступінь не нижче другого. Багаточлен із першим ступенем називають лінійним.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Стаття розкриє всі поняття розкладання, теоретичні основи та способи розкладу багаточлена на множники.
Теорія
Теорема 1Коли будь-який многочлен зі ступенем n мають вигляд P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 представляють у вигляді твори з постійним множником зі старшим ступенем a n і n лінійних множників (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , тоді P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , де x i, i = 1, 2, …, n - це і є коріння многочлена.
Теорема призначена для коренів комплексного типу x i, i = 1, 2, …, n та для комплексних коефіцієнтів a k, k = 0, 1, 2, …, n. Це і є основою будь-якого розкладання.
Коли коефіцієнти виду a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n є дійсними числами, тоді комплексне коріння, яке зустрічатиметься парами. Наприклад, коріння x 1 і x 2 відносяться до многочлена виду P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 вважаються комплексно сполученим, тоді інше коріння є дійсним, звідси отримуємо, що багаточлен набуде вигляду P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, де x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2).
Зауваження
Коріння многочлена може повторюватися. Розглянемо доказ теореми алгебри, наслідки з теореми Безу.
Основна теорема алгебри
Теорема 2Будь-який многочлен зі ступенем n має щонайменше один корінь.
Теорема Безу
Після того, як зробили поділ многочлена виду P n x = n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 на (x - s) тоді одержуємо залишок, який дорівнює многочлену в точці s тоді отримаємо
P n x = an x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) де Q n - 1 (x) є многочленом зі ступенем n - 1 .
Слідство з теореми Безу
Коли корінь многочлена P n (x) вважається s тоді P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x). Дане слідство є достатнім за умови вживання для опису рішення.
Розкладання на множники квадратного тричлена
Квадратний тричлен виду a x 2 + b x + c можна розкласти на лінійні множники. тоді отримаємо, що a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) де x 1 і x 2 - це коріння (комплексні або дійсні).
Звідси видно, що розкладання зводиться до розв'язання квадратного рівняння згодом.
Приклад 1
Зробити розкладання квадратного тричлена на множники.
Рішення
Необхідно знайти коріння рівняння 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Для цього необхідно знайти значення дискримінанта за формулою, тоді отримаємо D = (-5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9 . Звідси маємо, що
x 1 = 5 - 9 2 · 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 · 4 = 1
Звідси отримуємо, що 4 x 2 – 5 x + 1 = 4 x – 1 4 x – 1 .
Для перевірки потрібно розкрити дужки. Тоді отримаємо вираз виду:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Після перевірки приходимо до вихідного виразу. Тобто можна дійти невтішного висновку, що розкладання виконано правильно.
Приклад 2
Розкласти на множники квадратний тричлен виду 3 x 2 - 7 x - 11 .
Рішення
Отримаємо, що необхідно обчислити квадратне рівняння виду, що вийшло 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 .
Щоб знайти коріння, потрібно визначити значення дискримінанта. Отримаємо, що
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (-7) 2 - 4 · 3 · (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 · 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 · 3 = 7 - 181 6
Звідси отримуємо, що 3 x 2 – 7 x – 11 = 3 x – 7 + 181 6 x – 7 – 181 6 .
Приклад 3
Зробити розкладання многочлена 2 x 2 + 1 на множники.
Рішення
Тепер потрібно вирішити квадратне рівняння 2 x 2 + 1 = 0 та знайти його коріння. Отримаємо, що
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 · i x 2 = - 1 2 = - 1 2 · i
Це коріння називають комплексно сполученим, отже саме розкладання можна зобразити як 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i .
Приклад 4
Зробити розкладання квадратного тричлена x 2 + 1 3 x + 1 .
Рішення
Для початку необхідно вирішити квадратне рівняння виду x 2 + 1 3 x + 1 = 0 і знайти його коріння.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 · 1 · 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 · 1 = - 1 3 + 35 3 · i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i
Отримавши коріння, запишемо
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 · i x - - 1 6 - 35 6 · i = = x + 1 6 - 35 6 · i x + 1 6 + 35 6 · i
Зауваження
Якщо значення дискримінанта негативне, то багаточлени залишаться багаточленами другого порядку. Звідси випливає, що розкладати їх не будемо на лінійні множники.
Способи розкладання на множники багаточлена ступеня вище за другий
Під час розкладання передбачається універсальний метод. Більшість випадків грунтується на слідстві з теореми Безу. Для цього необхідно підбирати значення кореня x 1 і знизити його ступінь за допомогою поділу на многочлена на 1 поділом на (x - x 1). Отриманий многочлен потребує знаходження кореня x 2 причому процес пошуку циклічний до тих пір, поки не отримаємо повне розкладання.
Якщо корінь не знайшли, застосовуються інші способи розкладання на множники: угруповання, додаткові доданки. Ця тема вважає рішення рівнянь із вищими ступенями та цілими коефіцієнтами.
Винесення загального множника за дужки
Розглянемо випадок, коли вільний член дорівнює нулю, тоді вид многочлена стає як P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x.
Видно, що корінь такого багаточлена дорівнюватиме x 1 = 0 , тоді можна уявити багаточлен у вигляді виразу P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Цей спосіб вважається винесенням загального множника за дужки.
Приклад 5
Виконати розкладання багаточлена третього ступеня 4 x 3 + 8 x 2 – x на множники.
Рішення
Бачимо, що x 1 = 0 - це корінь заданого многочлена, тоді можна зробити винесення х за дужки всього виразу. Отримуємо:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Переходимо до знаходження коріння квадратного тричлена 4 x 2 + 8 x - 1 . Знайдемо дискримінант та коріння:
D = 8 2 - 4 · 4 · (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 · 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 · 4 = - 1 - 5 2
Тоді випливає, що
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Спочатку приймемо за розгляд спосіб розкладання, що містить цілі коефіцієнти виду P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 де коефіцієнта при старшому ступені дорівнює 1 .
Коли многочлен має ціле коріння, тоді його вважають дільниками вільного члена.
Приклад 6
Зробити розкладання виразу f(x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 .
Рішення
Розглянемо, чи є ціле коріння. Необхідно виписати дільники числа -18. Отримаємо, що ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Звідси випливає, що цей многочлен має ціле коріння. Можна перевірити за схемою Горнера. Вона дуже зручна і дозволяє швидко отримати коефіцієнти розкладання багаточлена:
Звідси випливає, що х = 2 і х = - 3 – це коріння вихідного многочлена, який можна як твір виду:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Переходимо до розкладання квадратного тричлена виду x2+2x+3.
Оскільки дискримінант отримуємо негативний, отже, дійсних коренів немає.
Відповідь: f(x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Зауваження
Допускається використання підбором кореня та розподіл багаточлена на багаточлен замість схеми Горнера. Перейдемо до розгляду розкладання многочлена, що містить цілі коефіцієнти виду P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 , старший з яких дорівнює одиниці.
Цей випадок має місце для дробово-раціональних дробів.
Приклад 7
Зробити розкладання на множники f(x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Рішення
Необхідно виконати заміну змінної y = 2 x слід переходити до многочлена з коефіцієнтами рівними 1 при старшому ступені. Необхідно почати з множення виразу на 4 . Отримуємо, що
4 f (x) = 2 3 · x 3 + 19 · 2 2 · x 2 + 82 · 2 · x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Коли функція виду g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, що вийшла, має цілі корені, тоді їх знаходження серед дільників вільного члена. Запис набуде вигляду:
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60
Перейдемо до обчислення функції g (y) у цих точках для того, щоб отримати в результаті нуль. Отримуємо, що
g(1) = 1 3 + 19 · 1 2 + 82 · 1 + 60 = 162 g (-1) = (-1) 3 + 19 · (-1) 2 + 82 · (-1) + 60 = - 4 g (2) = 2 3 + 19 · 2 2 + 82 · 2 + 60 = 308 g (-2) = (-2) 3 + 19 · (-2) 2 + 82 · (-2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 · 3 2 + 82 · 3 + 60 = 504 g (-3) = (-3) 3 + 19 · (-3) 2 + 82 · (-3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 · 5 2 + 82 · 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 · (- 5) 2 + 82 · (- 5) + 60
Отримуємо, що у = - 5 – це корінь рівняння виду y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, отже, x = y 2 = - 5 2 – це корінь вихідної функції.
Приклад 8
Необхідно зробити поділ стовпчиком 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 на x + 5 2 .
Рішення
Запишемо та отримаємо:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Перевірка дільників займе багато часу, тому вигідніше розкласти на множники отриманого квадратного тричлена виду x 2 + 7 x + 3 . Прирівнювання до нуля і знаходимо дискримінант.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 · 1 · 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Звідси випливає, що
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Штучні прийоми при розкладанні багаточлена на множники
Раціональне коріння не властиве всім багаточленам. Для цього необхідно користуватися спеціальними способами для знаходження множників. Але не всі багаточлени можна розкласти або подати у вигляді твору.
Спосіб угруповання
Бувають випадки, коли можна згруповувати складові багаточлена для знаходження загального множника та винесення його за дужки.
Приклад 9
Зробити розкладання многочлена x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 на множники.
Рішення
Тому що коефіцієнти - цілі числа, тоді коріння імовірно теж можуть бути цілими. Для перевірки візьмемо значення 1 , - 1 , 2 і - 2 у тому, щоб обчислити значення многочлена у цих точках. Отримуємо, що
1 4 + 4 · 1 3 - 1 2 - 8 · 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (-1) 4 + 4 · (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 · (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 · 2 3 - 2 2 - 8 · 2 - 2 = 26 ≠ 0 (-2) 4 + 4 · (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 · (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Звідси видно, що коріння немає, необхідно використовувати інший спосіб розкладання та розв'язання.
Необхідно провести угруповання:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Після угруповання вихідного многочлена необхідно подати його як добуток двох квадратних тричленів. Для цього нам знадобиться розкласти на множники. отримуємо, що
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 · 1 · 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 · 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 · 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Зауваження
Простота угруповання не говорить про те, що вибрати доданки досить легко. Певного способу рішення немає, тому необхідно користуватися спеціальними теоремами і правилами.
Приклад 10
Зробити розкладання на множники багаточленів x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .
Рішення
Заданий многочлен немає цілого коріння. Слід провести угруповання доданків. Отримуємо, що
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Після розкладання на множники отримаємо, що
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Використання формул скороченого множення та бінома Ньютона для розкладання багаточлена на множники
Зовнішній вигляд часто не завжди дає зрозуміти, яким способом необхідно скористатися при розкладанні. Після того, як були зроблені перетворення, можна побудувати рядок, що складається з трикутника Паскаля, інакше їх називають біном Ньютона.
Приклад 11
Зробити розкладання многочлена x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 на множники.
Рішення
Необхідно виконати перетворення виразу на вигляд
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
На послідовність коефіцієнтів суми в дужках вказує вираз x + 14.
Отже, маємо x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .
Після застосування різниці квадратів, отримаємо
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Розглянемо вираз, що знаходиться у другій дужці. Зрозуміло, що там коней немає, тож слід застосувати формулу різниці квадратів ще раз. Отримуємо вираз виду
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Приклад 12
Розкласти на множники x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Рішення
Займемося перетворенням виразу. Отримуємо, що
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 · 2 · x 2 + 3 · 2 2 · x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Необхідно застосувати формулу скороченого множення різниці кубів. Отримуємо:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Спосіб заміни змінної при розкладанні многочлена на множники
При заміні змінної виробляється зниження ступеня і розкладання многочлена на множники.
Приклад 13
Зробити розкладання на множники многочлена виду x 6 + 5 x 3 + 6 .
Рішення
За умовою видно, що необхідно здійснити заміну y = x 3 . Отримуємо:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Коріння отриманого квадратного рівняння дорівнює y = - 2 і y = - 3 тоді
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Потрібно застосувати формулу скороченого множення суми кубів. Отримаємо вирази виду:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Тобто отримали потрібне розкладання.
Розглянуті вище випадки допоможуть у розгляді та розкладі багаточлена на множники різними способами.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Розкладання многочленів на множники – це тотожне перетворення, у результаті якого многочлен перетворюється на твір кількох співмножників – багаточленів чи одночленів.
Існує кілька способів розкладання багаточленів на множники.
Спосіб 1. Винесення загального множника за дужку.
Це перетворення ґрунтується на розподільчому законі множення: ac + bc = c(a + b). Суть перетворення полягає в тому, щоб виділити у двох компонентах, що розглядаються, загальний множник і «винести» його за дужки.
Розкладемо на множники многочленів 28х3 – 35х4.
Рішення.
1. Знаходимо у елементів 28х3 і 35х4 спільний дільник. Для 28 та 35 це буде 7; для х 3 та х 4 – х 3 . Іншими словами, наш спільний множник 7х3.
2. Кожен із елементів подаємо у вигляді твору множників, один з яких
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х.
3. Виносимо за дужки загальний множник
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х = 7х 3 (4 – 5х).
Спосіб 2. Використання формул скороченого множення. "Майстерність" володінням цим способом полягає в тому, щоб помітити у виразі одну з формул скороченого множення.
Розкладемо на множники многочлен х 6 – 1.
Рішення.
1. До цього виразу ми можемо застосувати формулу різниці квадратів. І тому представимо х 6 як (х 3) 2 , а 1 як 1 2 , тобто. 1. Вираз набуде вигляду:
(х 3) 2 - 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 - 1).
2. До отриманого виразу ми можемо застосувати формулу суми та різниці кубів:
(х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).
Отже,
х 6 – 1 = (х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2+х+1).
Спосіб 3. Угруповання. Спосіб угруповання полягає в об'єднанні компонентів многочлена таким чином, щоб над ними було легко здійснювати дії (складання, віднімання, винесення загального множника).
Розкладемо на множники многочленів х 3 – 3х 2 + 5х – 15.
Рішення.
1. Згрупуємо компоненти таким чином: 1-ий з 2-им, а 3-ий з 4-им
(Х 3 - 3х 2) + (5х - 15).
2. У виразі винесемо загальні множники за дужки: х 2 в першому випадку і 5 - в другому.
(х 3 - 3х 2) + (5х - 15) = х 2 (х - 3) + 5 (х - 3).
3. Виносимо за дужки загальний множник х – 3 та отримуємо:
х 2 (х - 3) + 5 (х - 3) = (х - 3) (х 2 + 5).
Отже,
х 3 – 3х 2 + 5х – 15 = (х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3) ∙ (х 2 + 5) ).
Закріпимо матеріал.
Розкласти на множники многочленів a 2 – 7ab + 12b 2 .
Рішення.
1. Представимо одночлен 7ab як суми 3ab + 4ab. Вираз набуде вигляду:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 . 
Розкриємо дужки та отримаємо:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .
2. Згрупуємо компоненти многочлена таким чином: 1-ий з 2-им і 3-ий з 4-им. Отримаємо:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).
3. Винесемо за дужки спільні множники:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = а(а – 3b) – 4b(а – 3b).
4. Винесемо за дужки загальний множник (а – 3b):
а(а – 3b) – 4b(а – 3b) = (а – 3 b) ∙ (а – 4b).
Отже,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= а (а - 3b) - 4b (а - 3b) =
= (а – 3b) ∙ (а – 4b).
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
