トピック 1 数学的解析の導関数。数学的分析。微分の基本ルール

これに基づいて、最も単純な導関数を検討し、微分の法則と導関数を見つけるためのいくつかの技術的テクニックについても理解しました。したがって、関数の導関数が苦手な場合、またはこの記事のいくつかの点が完全に明確ではない場合は、まず上記のレッスンを読んでください。真剣な気分になってください。内容は単純ではありませんが、それでも簡単かつ明確に提示するように努めます。

実際には、複素関数の導関数を非常に頻繁に処理する必要があります。導関数を見つけるタスクが与えられた場合は、ほぼ常にと言っていいほどです。

複素関数を微分するための規則 (その 5) の表を見てみましょう。

それを理解しましょう。まずはエントリーに注目してみましょう。ここには、とという 2 つの関数があり、比喩的に言えば、関数は関数内にネストされています。このタイプの関数 (ある関数が別の関数内にネストされている場合) は、複合関数と呼ばれます。

関数を呼び出します 外部関数、および関数 – 内部 (またはネストされた) 関数.

！これらの定義は理論的なものではないため、割り当ての最終設計には含めるべきではありません。「外部機能」「内部」機能というくだけた表現を使用しているのは、内容を理解しやすくするためだけです。

状況を明確にするために、次の点を考慮してください。

例1

関数の導関数を求める

サインの下には文字「X」だけではなく式全体があるため、表からすぐに導関数を見つけることはできません。また、最初の 4 つのルールをここに適用することは不可能であることにも気付きます。違いがあるように見えますが、実際にはサインを「バラバラに引き裂く」ことはできないということです。

この例では、関数が複素関数であり、多項式が内部関数 (埋め込み) と外部関数であることは、私の説明からすでに直感的に明らかです。

最初のステップ複素関数の導関数を求めるときに行う必要があるのは、 どの機能が内部でどの機能が外部であるかを理解する.

単純な例の場合、正弦の下に多項式が埋め込まれていることが明らかです。しかし、すべてが明らかでない場合はどうなるでしょうか? どの機能が外部でどの機能が内部であるかを正確に判断するにはどうすればよいでしょうか? これを行うには、次のテクニックを使用することをお勧めします。これは頭の中で、または下書きで行うことができます。

式の値を計算するために電卓を使用する必要があると想像してみましょう (1 ではなく、任意の数値を使用できます)。

最初に何を計算しますか? 初めに次のアクションを実行する必要があります: したがって、多項式は内部関数になります。

第二にを見つける必要があるため、sine – は外部関数になります。

私たちの後完売内部関数と外部関数を使用して、複素関数の微分規則を適用します。 .

決め始めましょう。レッスンから 導関数を見つけるにはどうすればよいですか?導関数に対する解決策の設計は常に次のように始まることを覚えています。式を括弧で囲み、右上にストロークを置きます。

初めに外部関数の導関数 (正弦) を見つけ、初等関数の導関数の表を見て、次のことに注目します。 「x」を複雑な式に置き換えると、すべての表の数式も適用できます。、この場合：

内部関数に注意してください変わっていない、私たちはそれに触れていない.

まあ、それは非常に明白です

式を適用した結果最終的な形式では次のようになります。

定数因数は通常、式の先頭に置かれます。

誤解があれば、答えを紙に書いて、もう一度解説を読みましょう。

例 2

関数の導関数を求める

例 3

関数の導関数を求める

いつものように、次のように書き留めます。

どこに外部関数があり、どこに内部関数があるかを調べてみましょう。これを行うには、(頭の中で、または草案で) での式の値を計算しようとします。まず何をすべきでしょうか? まず最初に、基数が何に等しいかを計算する必要があります。したがって、多項式は内部関数です。

そして、そのときのみ累乗が実行されるため、べき乗関数は外部関数になります。

式によると , まず、外部関数の導関数 (この場合は次数) を見つける必要があります。表内で必要な式を探します。もう一度繰り返します: 表形式の数式は「X」だけでなく、複雑な式にも有効です。。したがって、複素関数を微分するためのルールを適用した結果は、次：

外側の関数の導関数を取得しても、内側の関数は変化しないことをもう一度強調します。

ここで残っているのは、内部関数の非常に単純な導関数を見つけて、結果を少し調整することだけです。

例 4

関数の導関数を求める

これはあなた自身で解決するための例です (答えはレッスンの最後にあります)。

複素関数の導関数についての理解を強化するために、コメントなしで例を示します。外部関数と内部関数がどこにあるのか、なぜこの方法でタスクが解決されるのかを説明し、自分で理解してみてください。

例5

a) 関数の導関数を求めます。

b) 関数の導関数を求める

例6

関数の導関数を求める

ここにはルートがあり、ルートを区別するには、それを力として表現する必要があります。したがって、まず関数を微分に適した形式にします。

関数を分析すると、3 つの項の和が内部関数であり、べき乗が外部関数であるという結論に達します。複素関数の微分の法則を適用します :

ここでも次数を根号 (ルート) として表し、内部関数の導関数に対して、合計を微分するための単純なルールを適用します。

準備ができて。式を括弧内の共通の分母にまとめて、すべてを 1 つの分数として書き留めることもできます。もちろんそれは美しいことですが、面倒な長い導関数を取得する場合は、これを行わない方がよいでしょう (混乱しやすく、不要な間違いを犯しやすく、教師がチェックするのが不便になります)。

例 7

関数の導関数を求める

これはあなた自身で解決するための例です (答えはレッスンの最後にあります)。

興味深いのは、複素関数を微分するためのルールの代わりに、商を微分するためのルールを使用できる場合があるということです。、しかし、そのような解決策は異常な倒錯のように見えるでしょう。典型的な例を次に示します。

例8

関数の導関数を求める

ここで商の微分規則を使用できます。、しかし、複素関数の微分の法則を通じて導関数を見つける方がはるかに有益です。

微分用の関数を準備します。微分符号からマイナスを移動し、分子にコサインを加算します。

コサインは内部関数であり、べき乗は外部関数です。
私たちのルールを使ってみましょう :

内部関数の導関数を求め、コサインをリセットして元に戻します。

準備ができて。検討した例では、標識を混同しないことが重要です。ちなみに、法則を使って解いてみてください、答えは一致する必要があります。

例9

関数の導関数を求める

これはあなた自身で解決するための例です (答えはレッスンの最後にあります)。

これまで、複雑な関数内にネストが 1 つだけあるケースを見てきました。実際のタスクでは、入れ子人形のように、1 つの関数がもう 1 つの関数の内側にあり、一度に 3 つ、さらには 4 ～ 5 つの関数が入れ子になっている派生関数をよく見かけます。

例 10

関数の導関数を求める

この機能の付属品を理解しましょう。実験値を用いて式を計算してみましょう。どうやって電卓を頼りにするのでしょうか？

まず、を見つける必要があります。これは、逆正弦が最も深い埋め込みであることを意味します。

この 1 の逆正弦を 2 乗する必要があります。

そして最後に、7 の累乗を行います。

つまり、この例では 3 つの異なる関数と 2 つの埋め込みがあり、最も内側の関数は逆正弦関数、最も外側の関数は指数関数です。

決め始めましょう

ルールに従ってまず、外部関数の導関数を取得する必要があります。導関数の表を見て、指数関数の導関数を見つけます。唯一の違いは、「x」の代わりに複雑な式があることですが、これはこの式の妥当性を否定するものではありません。複素関数の微分規則を適用した結果次。

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「数理解析の基本概念」

1. トピックの科学的および方法論的な実証:

微分と微分の概念は、数学的解析の基本概念の 1 つです。導関数の計算は、物理学や数学の多くの問題 (速度、加速度、圧力などを求める) を解くときに必要です。特に導関数の概念の重要性は、関数の導関数が引数が変化したときのこの関数の変化率を特徴付けるという事実によって決まります。

微分を使用すると、近似計算を実行したり、誤差を推定したりすることができます。

関数の導関数と微分を見つける方法とその応用が、微分積分の主なタスクを構成します。導関数の概念の必要性は、移動速度を計算し、曲線の接線の角度を求める問題の定式化に関連して生じます。逆の問題も可能です。速度を使用して移動距離を決定し、接線角度の正接を使用して対応する関数を見つけます。この逆問題は、不定積分の概念につながります。

定積分の概念は、多くの実際的な問題、特に平面図形の面積の計算、可変力によって行われる仕事の計算、関数の平均値の計算などの問題で使用されます。

さまざまな物理的、化学的、生物学的プロセスや現象を数学的に記述する場合、研究対象の量だけでなく、これらの量のさまざまな次数の導関数も含む方程式がよく使用されます。たとえば、細菌の繁殖の法則の最も単純なバージョンによれば、繁殖率は特定の時点での細菌の数に比例します。この量が N(t) で示される場合、導関数の物理的意味に従って、細菌の繁殖率は N(t) の導関数となり、前述の法則に基づいて、関係 N を書くことができます。 "(t)=k∙N、ここで k>0 - 比例係数。結果として得られる方程式には、未知の関数 N(t) だけでなく、その 1 次導関数も含まれるため、代数的ではありません。

2. 簡単な理論:

1. デリバティブの概念につながる問題

1. 質点の速度 v を求める問題。ある質点を直線運動させます。ある瞬間に t 1 ポイントは所定の位置にあります M 1. ある瞬間に t 2 所定の位置にある M 2 . 間隔を表しましょう M 1 、M 2 を通して ΔS; t 2 –t 1 =Δt。この値を平均移動速度と呼びます。ある位置の点の瞬間速度を求めるには M 1 必要 Δtゼロに向かって突っ走る。数学的にこれは次のことを意味します

, (1)

したがって、質点の瞬間速度を求めるには、関数の増加率の限界を計算する必要があります。 ΔS引数 Δt の増分に、 Δt→0。

2. 関数のグラフの接線の傾きを求める問題.

図1

ある関数のグラフを考えてみましょう y=f(x)。傾斜角とは何ですか？
点に描かれた接線 M 1 ? 時点で M 1 関数のグラフに接線を引いてみましょう。グラフ上の任意の点を選択 M 2 そして正割を描きます。軸に対して傾いていますおお斜めに α 1 。考えてみましょう ΔM 1 M 2 答え:

, (2)

ポイントなら M 1 修正して指摘する M 2 に近づける M 1 、次に正割 M 1 M 2 点で関数のグラフに接します M 1 そして次のように書くことができます:

, (3)

したがって、引数の増分がゼロになる傾向がある場合は、関数の増分と引数の増分との比率の制限を計算する必要があります。

与えられた点 x における関数 y=f(x) の増分 Δy と引数 Δx の増分 Δx の比率の制限 0 Δx はゼロに近づく傾向があるため、指定された点における関数の導関数と呼ばれます。

微分表記: y"、f"(x)、 。定義上

, (4)

ここで、Δx=х 2 -х 1 は引数の増分 (引数のその後の 2 つの非常に近い値の差)、Δy=y 2 -y 1 は関数の増分 (値間の差) です。引数のこれらの値に対応する関数の）。

与えられた関数の導関数を求めることをその関数と呼びます。 差別化。主要な初等関数の微分は、既製の公式 (表を参照) を使用するだけでなく、 ルール:

代数和の導関数 関数は、次の関数の導関数の合計に等しくなります。

(あなた+ υ )"= あなた" + υ "

2. 2 つの関数の積の導関数は、2 番目の関数の積と、1 番目と 1 番目の関数の導関数、および 2 番目の関数の導関数の積の合計に等しくなります。

(う・υ )「=う」υ +あなたυ "

3. 商の導関数 2 つの関数は分数に等しく、分子は分母と分子の導関数の積と分子と分母の導関数の積の差であり、分母は分母の 2 乗です。

導関数の物理的意味. (4) と (1) の比較から、質点の直線運動の瞬間速度は、その座標の時間依存性の導関数に等しいことがわかります。

関数の導関数の一般的な意味は、それが特徴づけることです。 関数の変化率（速度）引数の特定の変更に対して。物理的、化学的、その他のプロセスの速度、たとえば身体の冷却速度、化学反応の速度、細菌の繁殖速度なども導関数を使用して表現されます。

導関数の幾何学的意味。関数のグラフに引かれた接線の傾きの角度の正接の値を数学では「接線の値」といいます。 接線角度係数。

ある点における微分可能関数のグラフに描かれた接線の角係数は、この点における関数の導関数と数値的に等しくなります。

このステートメントは次のように呼ばれます 導関数の幾何学的な意味。

導関数とその計算方法の知識がなければ、数学の物理的な問題や例を解くことはまったく不可能です。微分は数学的解析において最も重要な概念の 1 つです。今日の記事はこの基本的なトピックに特化することにしました。導関数とは何ですか、その物理的および幾何学的意味は何ですか、関数の導関数を計算する方法は何ですか? これらすべての質問は 1 つにまとめることができます。導関数をどのように理解するかということです。

導関数の幾何学的および物理的意味

機能を持たせよう f(x) 、一定の間隔で指定 (a、b) 。点 x と x0 はこの区間に属します。 x が変化すると、関数自体が変化します。引数の変更 - その値の違い x-x0 。この違いは次のように書かれます デルタX これは引数インクリメントと呼ばれます。関数の変更または増分は、2 点における関数の値の差です。導関数の定義: