異なる辺を持つ三角形の面積。三角形の面積 - 公式と問題解決の例

三角形は、同じ直線上にない点で接続された 3 本の直線で構成される幾何学図形です。線の接続点は三角形の頂点であり、ラテン文字 (A、B、C など) で指定されます。三角形の接続直線はセグメントと呼ばれ、通常はラテン文字でも表されます。次のタイプの三角形が区別されます。

長方形。
鈍い。
鋭角。
多用途。
等辺。
二等辺三角形。

三角形の面積を計算するための一般的な公式

長さと高さに基づく三角形の面積の公式

S= a*h/2、
ここで、a は面積を求める必要がある三角形の辺の長さ、h は底辺までの高さの長さです。

ヘロンの公式

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c)、
ここで、√は平方根、pは三角形の半周長、a、b、cは三角形の各辺の長さです。三角形の半周長は、公式 p=(a+b+c)/2 を使用して計算できます。

角度と線分の長さに基づいた三角形の面積の公式

S = (a*b*sin(α))/2、
ここで、b,c は三角形の辺の長さ、sin(α) は 2 つの辺の間の角度のサインです。

内接円の半径と3つの辺から三角形の面積を求める公式

S=p*r、
ここで、p は面積を求める必要がある三角形の半周長、r はこの三角形に内接する円の半径です。

3辺とそれに外接する円の半径に基づく三角形の面積の公式

S= (a*b*c)/4*R、
ここで、a、b、c は三角形の各辺の長さ、R は三角形に外接する円の半径です。

点のデカルト座標を使用した三角形の面積の公式

点のデカルト座標は、xOy 系の座標です。x は横座標、y は縦座標です。平面上のデカルト座標系 xOy は、点 O を共通の原点とする相互に直交する数値軸 Ox および Oy です。この平面上の点の座標が A(x1, y1)、B(x2, y2) の形式で与えられる場合、 ) と C(x3, y3 ) を計算すると、次の式を使用して三角形の面積を計算できます。これは 2 つのベクトルのベクトル積から得られます。
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2、
ここで || モジュールの略です。

直角三角形の面積の求め方

直角三角形は、1つの角が90度である三角形です。三角形はそのような角度を 1 つだけ持つことができます。

直角三角形の二辺の面積を求める公式

S= a*b/2、
ここで、a、bは脚の長さです。脚は直角に隣接する辺です。

斜辺と鋭角に基づく直角三角形の面積の公式

S = a*b*sin(α)/2、
ここで、a、b は三角形の脚、sin(α) は線分 a、b が交差する角度のサインです。

辺と対角に基づく直角三角形の面積の公式

S = a*b/2*tg(β)、
ここで、a、b は三角形の脚、tan(β) は脚 a、b を結ぶ角度の正接です。

二等辺三角形の面積の計算方法

二等辺三角形は、2 つの等しい辺を持つ三角形です。これらの面はサイドと呼ばれ、反対側はベースと呼ばれます。二等辺三角形の面積を計算するには、次のいずれかの式を使用できます。

二等辺三角形の面積を求める基本公式

S=h*c/2、
ここで、c は三角形の底辺、h は三角形の底辺までの高さです。

辺と底辺に基づく二等辺三角形の公式

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4)、
ここで、c は三角形の底辺、a は二等辺三角形の 1 つの辺のサイズです。

正三角形の面積の求め方

正三角形とは、すべての辺が等しい三角形です。正三角形の面積を計算するには、次の式を使用できます。
S = (√3*a*a)/4、
ここで、a は正三角形の辺の長さです。

上記の式を使用すると、三角形の必要な面積を計算できます。三角形の面積を計算するには、三角形の種類と計算に使用できる利用可能なデータを考慮する必要があることを覚えておくことが重要です。

インターネット上では、三角形の面積を計算する公式が 10 個以上見つかります。その多くは、三角形の辺と角度がわかっている問題で使用されます。ただし、割り当ての条件によっては、三角形の 1 つの辺と角度だけがわかっている場合や、外接円または内接円の半径ともう 1 つの特徴だけがわかっている場合など、複雑な例が多数あります。このような場合、単純な計算式は適用できません。

以下の公式は、三角形の面積を求める問題の 95% を解決します。
次に、共通領域の式について考えてみましょう。
下の図に示されている三角形について考えてみましょう

図およびその下の式では、そのすべての特性の古典的な名称が紹介されています。
a、b、c – 三角形の辺、
R – 外接円の半径、
r – 内接円の半径、
h[b],h[a],h[c] – 辺 a、b、c に従って描画される高さ。
アルファ、ベータ、ハマ – 頂点付近の角度。

三角形の面積の基本公式

1. 面積は、三角形の辺と、その辺に下がった高さの積の半分に等しくなります。数式の言語では、この定義は次のように記述できます。

したがって、辺と高さがわかっていれば、すべての生徒がその面積を見つけることができます。
ちなみに、この式から、身長間の有用な関係を 1 つ導き出すことができます。

2. 隣接する辺を通る三角形の高さが依存関係によって表されることを考慮すると、

次に、最初の面積式の後に、同じタイプの 2 番目の面積式が続きます。

公式を注意深く見てください。作業には 2 つの側面とそれらの間の角度が含まれるため、覚えやすいです。 (上の図のように) 三角形の辺と角度を正しく指定すると、2 つの辺 a、b が得られます。そして角度は3番目に接続されます(ハマ)と。

3. 三角形の角度については、次の関係が成り立ちます。

この依存関係により、計算で三角形の面積について次の式を使用できるようになります。

この依存関係の例は非常にまれですが、そのような公式があることを覚えておく必要があります。

4. 辺と隣接する 2 つの角度がわかっている場合、面積は次の式で求められます。

5. 隣り合う角の辺と余接に関する面積の公式は次のとおりです。

インデックスを再配置することで、他のパーティの依存関係を取得できます。

6. 以下の面積公式は、三角形の頂点を平面上で座標で指定する場合の問題で使用されます。この場合、面積は行列式のモジュロの半分に等しくなります。

7. ヘロンの公式三角形の既知の辺を持つ例で使用されます。
まず三角形の半周長を求めます

そして、次の式を使用して面積を決定します

または

電卓プログラムのコードでよく使用されます。

8. 三角形の高さがすべてわかっている場合、面積は次の式で求められます。

電卓で計算するのは難しいですが、MathCad、Mathematica、Maple パッケージでは、この領域は「時間 2」です。

9. 次の公式は、内接円と外接円の既知の半径を使用します。

特に、三角形の半径と辺、またはその周囲長がわかっている場合、面積は次の式に従って計算されます。

10. 外接円の辺と半径または直径が指定されている例では、面積は次の公式を使用して求められます。

11. 次の式は、三角形の辺と角度の観点から三角形の面積を決定します。

そして最後に - 特殊なケース:
直角三角形の面積脚 a と b がその積の半分に等しい

正三角形の面積の公式=

= 辺の 2 乗と 3 の根の積の 4 分の 1。

学校の幾何学のカリキュラムで覚えているかもしれませんが、三角形は、同じ直線上にない 3 つの点で接続された 3 つの線分から形成される図形です。三角形は 3 つの角を形成するため、この図形の名前が付けられました。定義は違うかもしれません。三角形は 3 つの角を持つ多角形とも呼ばれ、答えも正解になります。三角形は、等しい辺の数と図形内の角の大きさに応じて分割されます。したがって、三角形は、それぞれ二等辺三角形、正三角形、不等辺三角形、および長方形、鋭角、鈍角として区別されます。

三角形の面積を計算する公式はたくさんあります。三角形の面積を見つける方法を選択します。つまり、どの公式を使用するかはあなた次第です。ただし、三角形の面積を計算するための多くの公式で使用される表記法の一部のみに注目する価値があります。したがって、次のことを覚えておいてください。

Sは三角形の面積、

a、b、c は三角形の辺であり、

h は三角形の高さ、

Rは外接円の半径、

p は半周長です。

ここでは、幾何学コースを完全に忘れてしまった場合に役立つ基本的な表記法を示します。以下は、三角形の未知の謎の面積を計算するための最も理解しやすく複雑でないオプションです。それは難しいことではなく、家庭のニーズや子供たちを助けるために役立ちます。できるだけ簡単に三角形の面積を計算する方法を覚えてみましょう。

私たちの場合、三角形の面積は次のとおりです: S = 1/2 * 2.2 cm * 2.5 cm = 2.75 平方センチメートル。面積は平方センチメートル (sqcm) で測定されることに注意してください。

直角三角形とその面積。

直角三角形は、1 つの角が 90 度に等しい三角形です (したがって、直角と呼ばれます)。直角は 2 本の垂直線 (三角形の場合は 2 本の垂直線分) によって形成されます。直角三角形では直角は 1 つしか存在しません。なぜなら... 任意の 1 つの三角形のすべての角度の合計は 180 度に等しくなります。残りの 90 度は、70 と 20、45 と 45 など、他の 2 つの角度で分割する必要があることがわかります。したがって、重要なことは覚えています。残っているのは、直角三角形の面積を見つける方法を見つけることだけです。目の前にこのような直角三角形があり、その面積 S を見つける必要があると想像してみましょう。

1. 直角三角形の面積を求める最も簡単な方法は、次の式を使用して計算します。

この場合、直角三角形の面積は、S = 2.5 cm * 3 cm / 2 = 3.75 平方センチです。

原則として、他の方法で三角形の面積を検証する必要はなくなりました。これだけあれば便利で日常生活に役立ちます。ただし、鋭角を通して三角形の面積を測定するオプションもあります。

2. 他の計算方法の場合は、コサイン、サイン、タンジェントのテーブルが必要です。自分で判断してください。引き続き使用できる直角三角形の面積を計算するためのオプションがいくつかあります。

最初の式を使用することにしましたが、多少の汚れはありましたが (ノートに描き、古い定規と分度器を使用しました)、正しい計算が得られました。

S = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2)。次の結果が得られました: 3.6=3.7 ですが、セルのシフトを考慮すると、このニュアンスは許容できます。

二等辺三角形とその面積。

二等辺三角形の公式を計算するというタスクに直面した場合、最も簡単な方法は、三角形の面積の主な古典的な公式と考えられるものを使用することです。

しかし、まず、二等辺三角形の面積を求める前に、それがどのような図形であるかを調べてみましょう。二等辺三角形は、2つの辺が同じ長さである三角形です。これら 2 つの側面は側面と呼ばれ、3 番目の側面は底面と呼ばれます。二等辺三角形と正三角形を混同しないでください。 3 つの辺がすべて等しい正三角形。このような三角形では、角度、あるいはそのサイズに特別な傾向はありません。ただし、二等辺三角形の底辺の角度は等しいですが、等しい辺の間の角度とは異なります。したがって、最初の主要な公式はすでに知っていますが、二等辺三角形の面積を決定するための他の公式がどのようなことが知られているかを調べる必要があります。

幾何学図形の面積- この図形のサイズを示す幾何学的図形の数値特性 (この図形の閉じた輪郭によって制限される表面の一部)。領域のサイズは、その領域に含まれる正方形の単位の数で表されます。

三角形の面積の公式

三角形の辺と高さによる面積の計算式
三角形の面積三角形の一辺の長さと、この辺に描かれた高度の長さの積の半分に等しい
3辺と外接円の半径に基づく三角形の面積の公式
3辺と内接円の半径から三角形の面積を求める公式
三角形の面積三角形の半周長と内接円の半径の積に等しい。

正方形の面積の公式

正方形の辺の長さによる面積の計算式
正方形のエリア辺の長さの二乗に等しい。
対角線の長さに沿った正方形の面積の公式
正方形のエリア対角線の長さの正方形の半分に等しい。
S= 1 2
2

長方形の面積の計算式

長方形の面積

平行四辺形の面積公式

辺の長さと高さに基づく平行四辺形の面積の公式
平行四辺形の面積
2つの辺とそれらの間の角度に基づく平行四辺形の面積の公式
平行四辺形の面積は、辺の長さにそれらの間の角度の正弦を乗じた積に等しい。
a b 罪α

ひし形の面積の公式

辺の長さと高さに基づくひし形の面積の公式
ひし形の面積その辺の長さと、こちら側に下がった高さの長さの積に等しい。
辺の長さと角度に基づくひし形の面積の公式
ひし形の面積は、ひし形の辺の長さの二乗と、ひし形の辺の間の角度の正弦との積に等しい。
対角線の長さに基づいてひし形の面積を求める公式
ひし形の面積対角線の長さの積の半分に等しい。

台形面積の公式

台形に対するヘロンの公式
S が台形の面積である場合、
- 台形の底辺の長さ、
- 台形の辺の長さ、

三角形は誰もが知っている図形です。そしてそれは、その形が多種多様であるにもかかわらずです。長方形、正等辺、鋭形、二等辺、鈍形。それぞれが何らかの点で異なります。しかし、誰にとっても三角形の面積を知る必要があります。

辺の長さまたは高さを使用するすべての三角形に共通の公式

それらで採用された指定：側面 - a、b、c。 a、n in、n with の対応する辺の高さ。

1. 三角形の面積は、1/2、辺、高さを引いた積として計算されます。 S = 1/2 * a * na。他の 2 つの辺の式も同様に記述する必要があります。

2. ヘロンの公式。半周長が表示されます (全周長とは対照的に、通常は小文字 p で表されます)。半周長は次のように計算する必要があります。すべての辺を合計して 2 で割ります。半周長の公式は次のとおりです: p = (a+b+c) / 2。次に、の面積が等しくなります。図は次のようになります: S = √ (p * (p - a) * (р - в) * (р - с))。

3. 半周を使用したくない場合は、辺の長さのみを含む公式が便利です。 S = 1/4 * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c))。前のものより少し長くなりますが、半周の見つけ方を忘れた場合に役立ちます。

三角形の角度に関する一般式

式を読むために必要な表記: α、β、γ - 角度。それらはそれぞれ a、b、c の反対側にあります。

1.それによると、2つの辺とそれらの間の角度の正弦の積の半分は三角形の面積に等しい。つまり、S = 1/2 a * b * sin γ。他の 2 つの場合の式も同様の方法で記述する必要があります。

2. 三角形の面積は、1 つの辺と 3 つの既知の角度から計算できます。 S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α)。

3. 1 つの既知の辺と 2 つの隣接する角度を含む公式もあります。 S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)) のようになります。

最後の 2 つの式は最も単純なものではありません。それらを覚えるのはかなり難しいです。

内接円または外接円の半径がわかっている場合の一般式

追加の指定: r、R - 半径。 1 つ目は内接円の半径に使用されます。 2 つ目は、説明されているものです。

1. 三角形の面積を計算する最初の式は、半周長に関連しています。 S = r * r。別の書き方は、S = 1/2 r * (a + b + c) です。

2. 2 番目のケースでは、三角形のすべての辺を掛けて、外接円の半径の 4 倍で割る必要があります。リテラル表現では、S = (a * b * c) / (4R) のようになります。

3. 3 番目の状況では、側面を知らなくても行うことができますが、3 つの角度すべての値が必要になります。 S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ。

特殊な場合: 直角三角形

これは両脚の長さだけが必要なため、最も単純な状況です。それらはラテン文字の a と b で指定されます。直角三角形の面積は、それに長方形の面積を加えた半分に等しくなります。

数学的には、S = 1/2 a * b のようになります。それが一番覚えやすいです。長方形の面積の公式に似ているので、半分を示す分数のみが表示されます。

特殊な場合: 二等辺三角形

2 つの等しい辺があるため、その面積の公式の一部は多少簡略化されているように見えます。たとえば、二等辺三角形の面積を計算するヘロンの公式は次の形式になります。

S = 1/2 インチ √((a + 1/2 インチ)*(a - 1/2 インチ))。

変形させると短くなります。この場合、ヘロンの二等辺三角形の公式は次のように記述されます。

S = √(4 * a 2 - b 2) の 1/4。

辺と辺の間の角度がわかっている場合、面積の式は任意の三角形の場合よりもいくらか単純に見えます。 S = 1/2 a 2 * sin β。

特殊な場合: 正三角形

通常、問題ではその側面が知られているか、何らかの方法で知ることができます。このような三角形の面積を求める公式は次のようになります。

S = (a 2 √3) / 4。

市松模様の紙に三角形が描かれている場合の面積を求める問題

最も単純な状況は、直角三角形の足が紙の線と一致するように描かれる場合です。次に、脚に適合する細胞の数を数えるだけです。次に、それらを乗算して 2 で割ります。

三角形が鋭角または鈍角の場合は、長方形に描画する必要があります。すると、結果として得られる図には 3 つの三角形が含まれます。 1つは問題で与えられたものです。そして他の 2 つは補助的な長方形です。最後の 2 つの領域は、上記の方法を使用して決定する必要があります。次に、長方形の面積を計算し、そこから補助用に計算された面積を差し引きます。三角形の面積が決まります。

三角形のどの辺も紙の線と一致しない状況は、さらに複雑であることがわかります。次に、元の図形の頂点が側面にくるように長方形に内接する必要があります。この場合、補助直角三角形は 3 つになります。

ヘロンの公式を使用した問題の例

状態。いくつかの三角形には既知の辺があります。それらは 3、5、6 cm に相当します。その面積を調べる必要があります。

これで、上記の式を使用して三角形の面積を計算できます。平方根の下は、7、4、2、1 の 4 つの数値の積です。つまり、面積は √(4 * 14) = 2 √(14) です。

より高い精度が必要ない場合は、14 の平方根を取ることができます。これは 3.74 に等しくなります。すると面積は7.48となります。

答え。 S = 2 √14 cm 2 または 7.48 cm 2。

直角三角形の問題例

状態。直角三角形の1つの脚は2番目の脚よりも31 cm大きいです。三角形の面積が180 cm 2である場合、その長さを調べる必要があります。
解決。 2 つの方程式系を解く必要があります。 1つ目はエリアに関するものです。 2 つ目は、問題で示されている脚の比率です。
180 = 1/2 a * b;

a = b + 31。
まず、「a」の値を最初の式に代入する必要があります。つまり、180 = 1/2 (インチ + 31) * インチとなります。未知数は 1 つだけなので、解くのは簡単です。括弧を開けると、二次方程式が得られます: 2 + 31 360 = 0。これにより、「in」の 2 つの値、9 と - 40 が得られます。2 番目の数値は、辺の長さが異なるため、答えとしては適切ではありません。三角形の値を負の値にすることはできません。

2 番目の脚を計算する必要があります。結果の数値に 31 を加算すると、40 になります。これらは、問題で求められる量です。

答え。三角形の足の長さは9cmと40cmです。

三角形の面積、辺、角度から辺を求める問題

状態。ある三角形の面積は60cm2です。 2 番目の辺が 15 cm で、それらの間の角度が 30 度である場合、その辺の 1 つを計算する必要があります。

解決。一般に受け入れられている表記法に基づくと、必要な辺は「a」、既知の辺は「b」、指定された角度は「γ」です。次に、面積の式は次のように書き換えることができます。

60 = 1/2 a * 15 * sin 30°。ここで、30 度の正弦は 0.5 です。

変換後、「a」は 60 / (0.5 * 0.5 * 15) に等しいことがわかります。つまり16です。

答え。必要な辺は16cmです。

直角三角形に内接する正方形の問題

状態。一辺24cmの正方形の頂点は三角形の直角と一致します。残りの2つは横に寝ています。 3 番目は斜辺に属します。片方の足の長さは42cmです直角三角形の面積は何センチですか?

解決。 2 つの直角三角形を考えてみましょう。最初のものはタスクで指定されたものです。 2 番目のものは、元の三角形の既知の脚に基づいています。これらは共通の角度を持ち、平行線で形成されているため、似ています。

すると、足の比率は同じになります。小さい方の三角形の脚は、24 cm (正方形の一辺) と 18 cm (与えられた脚 42 cm から正方形の一辺 24 cm を引いたもの) に等しくなります。大きな三角形の対応する脚は42 cmとx cmです。三角形の面積を計算するために必要なのはこの「x」です。

18/42 = 24/x、つまり、x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm) となります。

この場合、面積は 56 と 42 を 2 で割った積、つまり 1176 cm 2 に等しくなります。

答え。必要な面積は 1176 cm 2 です。

異なる辺を持つ三角形の面積。 三角形の面積 - 公式と問題解決の例