ガウス法を使用して結合システムを解く例。 行列を解くためのガウス法。 ガウス法を使用して連立一次方程式を解く

ガウス法の定義と説明

連立一次方程式を解くためのガウス変換法 (方程式または行列から未知の変数を順次消去する方法としても知られています) は、連立代数方程式 (SLAE) を解くための古典的な方法です。 この古典的な方法は、逆行列の取得や行列のランクの決定などの問題を解決するためにも使用されます。

ガウス法を使用した変換は、線形代数方程式系に小さな (初歩的な) 連続変更を加えることで構成され、元の代数方程式系と同等の新しい三角方程式系を形成して上から下まで変数を削除します。 1つ。

定義 1

プロセス全体が上から下まで実行されるため、解のこの部分は順ガウス解と呼ばれます。

元の連立方程式を三角連立方程式に縮小した後、連立方程式のすべての変数が下から上に検索されます (つまり、最初に検索された変数は、連立方程式または行列の最後の行に正確に配置されます)。 解のこの部分は、ガウス解の逆関数としても知られています。 彼のアルゴリズムは次のとおりです。まず、方程式系または行列の底に最も近い変数が計算され、次に結果の値が上位に置き換えられ、別の変数が見つかります。

ガウス法のアルゴリズムの説明

ガウス法を使用した方程式系の一般解の一連のアクションは、SLAE に基づいて行列に順方向ストロークと逆方向ストロークを交互に適用することで構成されます。 初期連立方程式が次の形式を持つものとします。

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(件)$

ガウス法を使用して SLAE を解くには、元の連立方程式を行列の形式で記述する必要があります。

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

行列$A$は主行列と呼ばれ、順番に書かれた変数の係数を表し、$b$はその自由項の列と呼ばれます。 行列 $A$ は、自由項の列を含むバーを通して記述され、拡張行列と呼ばれます。

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(配列)$

ここで、方程式系 (または、このほうが便利なので行列) で基本的な変換を使用して、次の形式にする必要があります。

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2))。 ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)

変換された方程式 (1) の系の係数から得られる行列はステップ行列と呼ばれます。通常、ステップ行列は次のようになります。

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(配列)$

これらの行列は、次の一連のプロパティによって特徴付けられます。

1. ゼロ行はすべて非ゼロ行の後に来る
2. 番号 $k$ の行列の一部の行がゼロでない場合、同じ行列の前の行のゼロの数は、番号 $k$ のこの行よりも少なくなります。

ステップ行列を取得した後、結果の変数を残りの方程式に（最後から始めて）代入し、変数の残りの値を取得する必要があります。

ガウス法を使用する場合の基本ルールと許可される変換

この方法を使用して行列または連立方程式を簡略化する場合、基本的な変換のみを使用する必要があります。

このような変換は、意味を変えることなく行列または連立方程式に適用できる演算であると考えられます。

• いくつかの行を並べ替えると、
• 行列の 1 つの行に別の行を加算または減算する、
• ゼロに等しくない定数で文字列を乗算または除算する、
• システムを計算して単純化する過程で得られたゼロだけで構成される行は削除する必要があります。
• また、不要な比例線を削除し、その後の計算に適した係数を持つ唯一の比例線をシステムに選択する必要もあります。

すべての基本的な変換は可逆的です。

単純なガウス変換の方法を使用して線形方程式を解くときに生じる 3 つの主なケースの分析

ガウス法を使用してシステムを解く場合には、次の 3 つのケースが発生します。

1. システムに一貫性がない場合、つまり解決策がない場合
2. 連立方程式には解があり、一意の解があり、行列内のゼロ以外の行と列の数は互いに等しいです。
3. システムには、特定の数または一連の可能な解決策があり、その中の行数は列数よりも少なくなります。

一貫性のないシステムによるソリューションの結果

このオプションの場合、ガウス法を使用して行列方程式を解くと、等式を満たすことが不可能な直線が得られるのが一般的です。 したがって、少なくとも 1 つの不正確な等式が発生した場合、そのシステムに含まれる他の方程式に関係なく、結果のシステムと元のシステムには解がありません。 一貫性のない行列の例:

$\begin(配列)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(配列)$

最後の行では、$0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$ という不可能な等式が生じました。

解が 1 つだけある連立方程式

これらのシステムは、ステップ行列に縮小され、ゼロの行が削除された後、メイン行列の行と列の数が同じになります。 このようなシステムの最も単純な例を次に示します。

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

それを行列の形で書いてみましょう。

$\begin(配列)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(配列)$

2 行目の最初のセルをゼロにするには、上の行に $-2$ を掛けて行列の下の行から減算し、上の行を元の形式のままにします。その結果、次のようになります。 :

$\begin(配列)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(配列)$

この例はシステムとして記述できます。

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

下の式では、$x$ の値 $x_2 = 3 \frac(1)(3)$ が得られます。 この値を上の方程式 $x_1 – 3 \frac(1)(3)$ に代入すると、$x_1 = 1 \frac(2)(3)$ が得られます。

多くの可能な解決策を備えたシステム

このシステムは、その中の列の数よりも有効な行の数が少ないことを特徴としています (メイン行列の行が考慮されます)。

このようなシステムの変数は、基本変数と無料変数の 2 つのタイプに分類されます。 このようなシステムを変換する場合、システムに含まれる主な変数は「=」記号までの左側の領域に残し、残りの変数を等式の右側に移動する必要があります。

このようなシステムには、特定の一般的な解決策しかありません。

次の連立方程式を分析してみましょう。

$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

それを行列の形で書いてみましょう。

$\begin(配列)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(配列)$

私たちの仕事は、システムに対する一般的な解決策を見つけることです。 この行列の場合、基底変数は $y_1$ と $y_3$ になります ($y_1$ の場合は最初に来るため、$y_3$ の場合はゼロの後に位置します)。

基底変数として、行の最初にあり、ゼロに等しくない変数を正確に選択します。

残りの変数はフリーと呼ばれ、それらを通じて基本的な変数を表現する必要があります。

いわゆるリバース ストロークを使用して、システムをボトムアップで分析します。これを行うには、まずシステムの最下位行から $y_3$ を表現します。

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$。

ここで、表現された $y_3$ を系 $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ の上方程式に代入します: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

$y_1$ を自由変数 $y_2$ と $y_4$ で表現します。

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

解決策は準備ができています。

例1

ガウス法を使用してスラフを解決します。 例。 ガウス法を使用して 3 × 3 行列で与えられる連立一次方程式を解く例

$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 – 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(cases)$

システムを拡張行列の形式で書いてみましょう。

$\begin(配列)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(配列)$

ここで、利便性と実用性を高めるために、$1$ が最も外側の列の上隅に位置するように行列を変換する必要があります。

これを行うには、最初の行に、$-1$ を乗算した中央の行を追加し、中央の行自体をそのまま記述する必要があります。次のようになります。

$\begin(配列)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(配列)$

$\begin(配列)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(配列) $

先頭と最後の行に $-1$ を乗算し、最後の行と中間の行も入れ替えます。

$\begin(配列)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(配列)$

$\begin(配列)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(配列)$

そして最後の行を $3$ で割ります。

$\begin(配列)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(配列)$

元のものと同等の次の方程式系が得られます。

$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(cases)$

上の式から $x_1$ を表します。

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$。

例 2

4 × 4 行列を使用して定義されたシステムをガウス法を使用して解く例

$\begin(配列)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(配列)$。

最初に、それに続く上の行を交換して、左上隅に $1$ を取得します。

$\begin(配列)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(配列)$。

次に、一番上の行に $-2$ を掛け、2 番目と 3 番目の行を加算します。 4 行目に $-3$ を掛けた 1 行目を追加します。

$\begin(配列)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(配列)$

次に、行番号 3 に、行 2 に $4$ を乗算した値を追加し、行番号 4 には、行 2 に $-1$ を乗算した値を追加します。

$\begin(配列)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(配列)$

2 行目を $-1$ で乗算し、4 行目を $3$ で割って 3 行目を置き換えます。

$\begin(配列)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(配列)$

ここで、$-5$ を掛けた最後から 2 番目の行を最後の行に追加します。

$\begin(配列)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(配列)$

結果として得られる連立方程式を解きます。

$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(cases)$

解く必要がある線形代数方程式系が与えられているとします (系の各方程式を等式に変える未知数 xi の値を見つけます)。

線形代数方程式系では次のことができることがわかっています。

1) 解決策がない ( 非接合).
2) 無限に多くの解決策があります。
3) 解決策は 1 つだけです。

覚えているように、クラマーの法則と行列法は、システムに無限の解がある場合や一貫性がない場合には適していません。 ガウス法 – あらゆる線形方程式系の解を見つけるための最も強力で多用途のツール、 どれの あらゆる場合に私たちを答えに導きます！ メソッドのアルゴリズム自体は、3 つのケースすべてで同じように機能します。 Cramer 法や行列法では行列式の知識が必要ですが、ガウス法を適用するには四則演算の知識だけで済むため、小学生でも簡単に利用できます。

拡張行列変換 ( これはシステムの行列です - 未知数の係数と自由項の列のみで構成される行列)ガウス法における線形代数方程式系:

1) と トロキ行列 できる 並べ替えるいくつかの場所では。

2) 比例した (特殊な場合として - 同一の) 行が行列内に現れる (または存在する) 場合、次のようにする必要があります。 消去マトリックスから、1 つを除くすべての行を抽出します。

3) 変換中に行列にゼロ行が表示される場合、それも次のようにする必要があります。 消去.

4) 行列の行は次のようになります。 乗算（除算）ゼロ以外の任意の数値に設定します。

5) 行列の行に次のことができます 数値を乗算した別の文字列を追加します、ゼロとは違います。

ガウス法では、初等変換によって連立方程式の解は変わりません。

ガウス法は 2 つの段階で構成されます。

1. 「直接移動」 - 基本変換を使用して、線形代数方程式系の拡張行列を「三角形」ステップ形式にします。主対角線の下にある拡張行列の要素はゼロに等しくなります (トップダウン移動)。 たとえば、このタイプには次のようになります。

これを行うには、次の手順を実行します。

1) 線形代数方程式系の最初の方程式を考えてみましょう。x 1 の係数は K に等しいです。2 番目、3 番目などです。 次のように方程式を変換します。各方程式 (自由項を含む未知数の係数) を、各方程式に含まれる未知数の係数 x 1 で割り、K を掛けます。この後、最初の値を式から減算します。 2 番目の方程式 (未知数の係数と自由項)。 2 番目の方程式の x 1 については、係数 0 が得られます。3 番目の変換された方程式から、未知の x 1 について、最初の方程式を除くすべての方程式の係数が 0 になるまで、最初の方程式を減算します。

2) 次の方程式に進みましょう。 これを 2 番目の方程式とし、x 2 の係数を M に等しいものとします。上で説明したように、すべての「下位」方程式を進めます。 したがって、未知数 x 2 の「下」では、すべての方程式にゼロが存在します。

3) 次の方程式に進み、最後の未知数と変換された自由項が残るまで同様に続きます。

1. ガウス法の「逆の動き」は、線形代数方程式系の解を求めることです (「ボトムアップ」の動き)。

最後の「下位」方程式から、1 つの最初の解、つまり未知の x n が得られます。 これを行うには、初等方程式 A * x n = B を解きます。上記の例では、x 3 = 4 です。見つかった値を「上の」次の方程式に代入し、次の未知数に関して解きます。 たとえば、x 2 – 4 = 1、つまり x 2 = 5。未知の部分がすべて見つかるまでこれを繰り返します。

一部の著者がアドバイスしているように、ガウス法を使用して連立一次方程式を解いてみましょう。

システムの拡張行列を書き留めて、基本的な変換を使用して、それを段階的な形式にします。

左上の「ステップ」に注目します。 そこに 1 つあるはずです。 問題は、最初の列にユニットがまったくないため、行を再配置しても何も解決しないことです。 このような場合は、基本変換を使用してユニットを編成する必要があります。 これは通常、いくつかの方法で実行できます。 これをやってみましょう:
1ステップ 。 最初の行に 2 行目を追加し、-1 を掛けます。 つまり、2 行目に -1 を心の中で乗算し、1 行目と 2 行目を加算しましたが、2 行目は変更しませんでした。

左上に「マイナス 1」が表示されていますが、これは非常に適切です。 +1 を取得したい人は誰でも、最初の行に -1 を掛ける (符号を変更する) という追加のアクションを実行できます。

ステップ2 。 1 行目に 5 を乗じたものが 2 行目に追加され、1 行目に 3 を乗算して 3 行目に追加されました。

ステップ3 。 最初の行には -1 が掛けられていますが、これは原則として美しさのためです。 3 行目の符号も変更され 2 位に移動したため、2 番目の「ステップ」で必要なユニットが揃いました。

ステップ4 。 3 行目は 2 行目に追加され、2 が乗算されます。

ステップ5 。 3行目は3で割られています。

計算上のエラー (まれにタイプミス) を示す兆候は、最終的には「悪い」ことになります。 つまり、以下の (0 0 11 |23) のような結果が得られ、それに応じて 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 が得られた場合、高い確率で初等段階でエラーが発生したと言えます。変化。

逆に、例の設計では、システム自体は書き換えられないことがよくありますが、方程式は「指定された行列から直接取得」されます。 逆の動きは下から上に向かって機能することを思い出してください。 この例では、結果はギフトになりました。

× 3 = 1
× 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1、したがって x 1 + 3 – 1 = 1、x 1 = –1

答え:x 1 = –1、x 2 = 3、x 3 = 1。

提案されたアルゴリズムを使用して同じシステムを解いてみましょう。 得ます

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

2 番目の方程式を 5 で除算し、3 番目の方程式を 3 で除算すると、次のようになります。

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

2 番目と 3 番目の方程式に 4 を掛けると、次のようになります。

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

2 番目と 3 番目の式から最初の式を減算すると、次のようになります。

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

3 番目の方程式を 0.64 で割ります。

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

3 番目の式に 0.4 を掛けます。

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

3 番目の方程式から 2 番目を減算すると、「段階的」拡張行列が得られます。

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

したがって、計算中に誤差が蓄積されるため、x 3 = 0.96、つまり約 1 が得られます。

x 2 = 3 および x 1 = –1。

この方法で解くと、計算で混乱することはなくなり、計算ミスはあるものの、結果が得られます。

線形代数方程式系を解くこの方法はプログラムが簡単で、実際には (経済的および技術的な計算において) 非整数係数を扱わなければならないため、未知数の係数の特定の特徴は考慮されません。

成功を祈っています！ クラスでお会いしましょう！ 家庭教師。

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解く必要がある線形代数方程式系が与えられているとします (系の各方程式を等式に変える未知数 xi の値を見つけます)。

線形代数方程式系では次のことができることがわかっています。

1) 解決策がない ( 非接合).
2) 無限に多くの解決策があります。
3) 解決策は 1 つだけです。

覚えているように、クラマーの法則と行列法は、システムに無限の解がある場合や一貫性がない場合には適していません。 ガウス法 – あらゆる線形方程式系の解を見つけるための最も強力で多用途のツール、 どれの あらゆる場合に私たちを答えに導きます！ メソッドのアルゴリズム自体は、3 つのケースすべてで同じように機能します。 Cramer 法や行列法では行列式の知識が必要ですが、ガウス法を適用するには四則演算の知識だけで済むため、小学生でも簡単に利用できます。

拡張行列変換 ( これはシステムの行列です - 未知数の係数と自由項の列のみで構成される行列)ガウス法における線形代数方程式系:

1) と トロキ行列 できる 並べ替えるいくつかの場所では。

2) 比例した (特殊な場合として - 同一の) 行が行列内に現れる (または存在する) 場合、次のようにする必要があります。 消去マトリックスから、1 つを除くすべての行を抽出します。

3) 変換中に行列にゼロ行が表示される場合、それも次のようにする必要があります。 消去.

4) 行列の行は次のようになります。 乗算（除算）ゼロ以外の任意の数値に設定します。

5) 行列の行に次のことができます 数値を乗算した別の文字列を追加します、ゼロとは違います。

ガウス法では、初等変換によって連立方程式の解は変わりません。

ガウス法は 2 つの段階で構成されます。

1. 「直接移動」 - 基本変換を使用して、線形代数方程式系の拡張行列を「三角形」ステップ形式にします。主対角線の下にある拡張行列の要素はゼロに等しくなります (トップダウン移動)。 たとえば、このタイプには次のようになります。

これを行うには、次の手順を実行します。

1) 線形代数方程式系の最初の方程式を考えてみましょう。x 1 の係数は K に等しいです。2 番目、3 番目などです。 次のように方程式を変換します。各方程式 (自由項を含む未知数の係数) を、各方程式に含まれる未知数の係数 x 1 で割り、K を掛けます。この後、最初の値を式から減算します。 2 番目の方程式 (未知数の係数と自由項)。 2 番目の方程式の x 1 については、係数 0 が得られます。3 番目の変換された方程式から、未知の x 1 について、最初の方程式を除くすべての方程式の係数が 0 になるまで、最初の方程式を減算します。

2) 次の方程式に進みましょう。 これを 2 番目の方程式とし、x 2 の係数を M に等しいものとします。上で説明したように、すべての「下位」方程式を進めます。 したがって、未知数 x 2 の「下」では、すべての方程式にゼロが存在します。

3) 次の方程式に進み、最後の未知数と変換された自由項が残るまで同様に続きます。

1. ガウス法の「逆の動き」は、線形代数方程式系の解を求めることです (「ボトムアップ」の動き)。

最後の「下位」方程式から、1 つの最初の解、つまり未知の x n が得られます。 これを行うには、初等方程式 A * x n = B を解きます。上記の例では、x 3 = 4 です。見つかった値を「上の」次の方程式に代入し、次の未知数に関して解きます。 たとえば、x 2 – 4 = 1、つまり x 2 = 5。未知の部分がすべて見つかるまでこれを繰り返します。

一部の著者がアドバイスしているように、ガウス法を使用して連立一次方程式を解いてみましょう。

システムの拡張行列を書き留めて、基本的な変換を使用して、それを段階的な形式にします。

左上の「ステップ」に注目します。 そこに 1 つあるはずです。 問題は、最初の列にユニットがまったくないため、行を再配置しても何も解決しないことです。 このような場合は、基本変換を使用してユニットを編成する必要があります。 これは通常、いくつかの方法で実行できます。 これをやってみましょう:
1ステップ 。 最初の行に 2 行目を追加し、-1 を掛けます。 つまり、2 行目に -1 を心の中で乗算し、1 行目と 2 行目を加算しましたが、2 行目は変更しませんでした。

左上に「マイナス 1」が表示されていますが、これは非常に適切です。 +1 を取得したい人は誰でも、最初の行に -1 を掛ける (符号を変更する) という追加のアクションを実行できます。

ステップ2 。 1 行目に 5 を乗じたものが 2 行目に追加され、1 行目に 3 を乗算して 3 行目に追加されました。

ステップ3 。 最初の行には -1 が掛けられていますが、これは原則として美しさのためです。 3 行目の符号も変更され 2 位に移動したため、2 番目の「ステップ」で必要なユニットが揃いました。

ステップ4 。 3 行目は 2 行目に追加され、2 が乗算されます。

ステップ5 。 3行目は3で割られています。

計算上のエラー (まれにタイプミス) を示す兆候は、最終的には「悪い」ことになります。 つまり、以下の (0 0 11 |23) のような結果が得られ、それに応じて 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 が得られた場合、高い確率で初等段階でエラーが発生したと言えます。変化。

逆に、例の設計では、システム自体は書き換えられないことがよくありますが、方程式は「指定された行列から直接取得」されます。 逆の動きは下から上に向かって機能することを思い出してください。 この例では、結果はギフトになりました。

× 3 = 1
× 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1、したがって x 1 + 3 – 1 = 1、x 1 = –1

答え:x 1 = –1、x 2 = 3、x 3 = 1。

提案されたアルゴリズムを使用して同じシステムを解いてみましょう。 得ます

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

2 番目の方程式を 5 で除算し、3 番目の方程式を 3 で除算すると、次のようになります。

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

2 番目と 3 番目の方程式に 4 を掛けると、次のようになります。

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

2 番目と 3 番目の式から最初の式を減算すると、次のようになります。

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

3 番目の方程式を 0.64 で割ります。

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

3 番目の式に 0.4 を掛けます。

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

3 番目の方程式から 2 番目を減算すると、「段階的」拡張行列が得られます。

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

したがって、計算中に誤差が蓄積されるため、x 3 = 0.96、つまり約 1 が得られます。

x 2 = 3 および x 1 = –1。

この方法で解くと、計算で混乱することはなくなり、計算ミスはあるものの、結果が得られます。

線形代数方程式系を解くこの方法はプログラムが簡単で、実際には (経済的および技術的な計算において) 非整数係数を扱わなければならないため、未知数の係数の特定の特徴は考慮されません。

成功を祈っています！ クラスでお会いしましょう！ 家庭教師のドミトリー・アイストラハノフ。

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ガウス法の本質は、(1) を三角行列を含むシステムに変換し、そこからすべての未知数の値を順番に (逆に) 取得することです。 計算スキームの 1 つを考えてみましょう。 この回路を単分周回路と呼びます。 それでは、この図を見てみましょう。 a 11 ≠0 (先頭要素) が最初の方程式を 11 で割るとします。 得ます
(2)
方程式 (2) を使用すると、システムの残りの方程式から未知数 x 1 を簡単に取り除くことができます (これを行うには、x 1 に対応する係数を事前に乗算した、各方程式から方程式 (2) を減算するだけで十分です)。つまり、最初のステップで次のようになります。
.
言い換えれば、ステップ 1 では、2 番目から始まる後続の行の各要素は、元の要素と、最初の列と最初の (変換された) 行への「射影」の積との差に等しくなります。
これに続いて、最初の方程式をそのままにして、最初のステップで得られた系の残りの方程式に対して同様の変換を実行します。その中から先頭の要素を持つ方程式を選択し、その助けを借りて、残りの方程式から x 2 を除外します。方程式を計算します (ステップ 2)。
n ステップの後、(1) の代わりに同等のシステムが得られます。
(3)
したがって、最初の段階で三角形システム (3) が得られます。 この段階は前進ストロークと呼ばれます。
第 2 段階 (逆) では、(3) から順に値 x n、x n -1、...、x 1 を求めます。
結果として得られる解を x 0 と表すことにします。 すると、差 ε=b-A x 0 残留物と呼ばれる.
ε=0 の場合、見つかった解 x 0 は正しいことになります。

ガウス法を使用した計算は、次の 2 段階で実行されます。

1. 最初の段階はフォワード方式と呼ばれます。 最初の段階では、元のシステムが三角形の形式に変換されます。
2. 第 2 段階はリバースストロークと呼ばれます。 第 2 段階では、元の三角形システムと同等の三角形システムを解きます。

ガウス法の目的

ガウス法の種類

1. 古典的なガウス法。
2. ガウス法の修正。 ガウス法の修正の 1 つは、主要素を選択するスキームです。 主要素を選択するガウス法の特徴は、k 番目のステップで先頭の要素が k 番目の列の最大の要素になるように方程式を再配置することです。
3. ジョルダノ・ガウス法。

ガウス法を使用した解法の例
システムを解いてみましょう:

計算を簡単にするために、行を入れ替えてみましょう。

2行目に(2)を掛けてみましょう。 2行目に3行目を追加

2行目を(-1)倍します。 1行目に2行目を追加

1行目からx 3を表現します。
2行目からx 2を表します。
3 行目から x 1 を表します。

Jordano-Gauss 法を使用したソリューションの例
Jordano-Gauss 法を使用して同じ SLAE を解いてみましょう。

マトリックスの主対角線上にある分解要素 RE を順番に選択します。
解決要素は (1) と同じです。



NE = SE - (A*B)/RE
RE - 要素 (1) を分解します。A および B - 要素 STE と RE で長方形を形成する行列要素です。
各要素の計算を表の形式で示します。

×1	×2	×3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

×1	×2	×3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

×1	×2	×3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

ガウス法の実装

ガウス法の使用

ゲーム理論におけるガウス法の応用

微分方程式を解く際のガウス法の応用

線形計画法におけるジョルダノ・ガウス法の応用

偉大な数学者であるカール・フリードリヒ・ガウスは、哲学と数学のどちらを選択するか長い間迷っていました。 おそらく、まさにこの考え方こそが、彼が世界科学においてこれほど顕著な「遺産」を生み出すことを可能にしたのでしょう。 特に「ガウス法」を創設することで……

ほぼ 4 年間、このサイトの記事は主に哲学の観点、つまり子供たちの心に持ち込まれる（誤解の）原則の観点から学校教育を扱ってきました。 より具体的な例や方法を説明する時期が来ています...これはまさに、見慣れた、わかりにくい、そして複雑なものへのアプローチであると私は信じています。 重要生活の分野でより良い結果が得られます。

私たち人間は、どれだけ話しても理解できないように設計されています。 抽象的な思考、 しかし 理解 いつも例を通して起こる。 例がなければ、原理を理解することは不可能です...山の麓から斜面全体を歩く以外に山の頂上に到達することが不可能であるのと同じです。

学校も同様：今のところ 生きた物語私たちが本能的にそれを子供たちに理解を教える場所だと考え続けるだけでは十分ではありません。

たとえば、ガウス法を教える...

小学校5年生のガウス法

すぐに予約します。ガウス法は、たとえば、 連立一次方程式。 これからお話しするのは５年生の話です。 これ 始めましたを理解すると、より「高度なオプション」を理解するのがはるかに簡単になります。 この記事で話しているのは、 ガウスの級数の和を求める方法（方法）

これは、モスクワの体育館の5年生に通う私の末の息子が学校から持ってきた例です。

ガウス法の学校デモンストレーション

数学教師はインタラクティブ ホワイトボード (現代の教授法) を使用して、小さなガウスによる「方法の創造」の歴史のプレゼンテーションを子供たちに見せました。

学校の先生は小さなカールを鞭で打った（時代遅れの方法で、最近の学校では使われていない）。

1 から 100 までの数字を順番に加算する代わりに、その合計を求めます 気づいた等差数列の端から等間隔にある数値のペアは合計すると同じ数になります。 たとえば、100 と 1、99 と 2 などです。そのようなペアの数を数えると、小さなガウスは、教師が提案した問題をほぼ瞬時に解決しました。 そのために彼は驚いた大衆の前で処刑された。 他の人が考えるのをやめさせるためです。

小さなガウスは何をしましたか? 発展した 数の感覚? 気づいたいくつかの機能一定のステップ (等差数列) を持つ数列。 そして それがまさにそれです後に彼は偉大な科学者となり、 気づくことができる、持っている 感覚、理解する本能.

これが数学が価値のある理由です。 見る能力一般、特に - 抽象的な思考。 したがって、ほとんどの親や雇用主は、 本能的に数学は重要な学問だと考える ...

「それなら、数学を学ぶ必要があります。そうすることで頭が整理されます。
M.V.ロモノーソフ」。

しかし、将来の天才を棒で鞭打った人々の追随者たちは、その方法を逆のものに変えました。 私の上司は 35 年前にこう言いました。「問題はすでに学べています。」 あるいは、昨日私の末息子がガウスの手法についてこう言ったように、「もしかしたら、これを大きな科学にする価値はないかもしれませんね?」

「科学者」の創造性の結果は、現在の学校数学のレベル、その教育のレベル、そして大多数による「科学の女王」の理解に現れています。

ただし、続けましょう...

小学校5年生におけるガウス法の説明方法

モスクワの体育館で数学教師がビレンキンに従ってガウス法を説明したが、課題は複雑になった。

等差数列の差 (ステップ) が 1 ではなく、別の数だったらどうなるでしょうか? たとえば、20。

彼が5年生に出した問題は次のとおりです。

20+40+60+80+ ... +460+480+500

ギムナジウム法について知る前に、学校の先生や数学の家庭教師はどのようにしているのか、インターネットを見てみましょう。

ガウス法：解説その１

YOUTUBE チャンネルの有名な家庭教師は次のような理由を述べています。

「1から100までの数字を次のように書きましょう。

最初に 1 から 50 までの一連の数字があり、厳密にはその下に 50 から 100 までの一連の数字が続きますが、順序は逆です。」

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

「注意してください: 上の行と下の行の数値の各ペアの合計は同じで、101 になります! ペアの数を数えてみましょう。50 で、1 つのペアの合計にペアの数を掛けます! 出来上がり:答えは準備できています！」

「理解できなくても、先生は説明中に怒らないでください！」と三回繰り返しました。 「9年生になったらこの方法を採用します！」

ガウス法：解説その２

あまり知られていない別の講師（閲覧数から判断すると）は、より科学的なアプローチを採用しており、順番に完了する必要がある 5 つのポイントからなる解決アルゴリズムを提供しています。

初心者のために説明すると、5 は伝統的に魔法だと考えられているフィボナッチ数の 1 つです。 たとえば、5 ステップの方法は常に 6 ステップの方法よりも科学的です。 ...そして、これは偶然ではありません。おそらく、著者はフィボナッチ理論の隠れた支持者です。

等差数列を考えると: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

ガウス法を使用して系列内の数値の合計を求めるアルゴリズム:

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

同時に覚えておく必要があるのは、 プラスワンルール : 結果の商に 1 を加算する必要があります。そうしないと、実際のペアの数より 1 少ない結果が得られます: 42 + 1 = 43。

これは、4 から 256 までの等差数列の合計に 6 の差が必要です。

ガウス法: モスクワの体育館での 5 年生の説明

級数の合計を求める問題を解決する方法は次のとおりです。

20+40+60+ ... +460+480+500

モスクワの体育館の5年生にあるビレンキンの教科書（息子によると）。

プレゼンテーションを見せた後、数学教師はガウス法を使用したいくつかの例を示し、クラスに 20 ずつ増分する一連の数値の合計を求める課題を与えました。

これには次のことが必要でした。

ご覧のとおり、これはよりコンパクトで効果的な手法です。数字の 3 もフィボナッチ数列のメンバーです。

ガウス法の学校版についての私のコメント

偉大な数学者は、自分の「方法」が追随者によってどのような形に変えられるかを予見していたら、間違いなく哲学を選択しただろう ドイツ語教師、カールを棒で鞭打った。 彼は象徴主義、弁証法のスパイラル、そして「教師」たちの終わりのない愚かさを見ただろう。 誤解の代数を使って生きた数学的思考の調和を測ろうとしている ....

ところで：知っていましたか？ 私たちの教育システムは 18 世紀から 19 世紀のドイツの学校に根ざしているのでしょうか?

しかし、ガウスは数学を選びました。

彼の手法の本質とは何でしょうか？

で 単純化。 で 観察することと把握することシンプルな数字のパターン。 で 学校の無味乾燥な算数を 面白くてエキサイティングなアクティビティ 、高コストの精神活動をブロックするのではなく、継続したいという脳内の欲求を活性化します。

ガウスの「方法の修正」のいずれかを使用して、ほぼ等差数列の数の合計を計算することは可能ですか? 即座に? 「アルゴリズム」によれば、小さなカールはお尻をたたくことを避け、数学に嫌悪感を抱き、創造的な衝動を芽のうちに抑制することが保証されている。

なぜ家庭教師は 5 年生にこの方法について「誤解を恐れないように」と執拗にアドバイスし、「そのような」問題は 9 年生までに解けるように説得したのでしょうか。 心理的に無知な行為. 注目すべき良い動きだった： "またね すでに5年生ならできます 4年で解ける問題を解いてみよう！ あなたはなんて素晴らしい人なんだろう！」

ガウス法を使用するには、クラス 3 のレベルで十分です、普通の子供はすでに2〜3桁の数の足し算、掛け算、割り算を知っています。 問題は、数学は言うに及ばず、最も単純なことを通常の人間の言語で説明することが「常識から外れている」大人の教師の無力によって起こります... 彼らは人々に数学に興味を持たせることができず、「有能。"

あるいは、息子がコメントしたように、「そこから大きな科学を生み出すこと」です。

ガウス法、私の説明

妻と私は、この「方法」を子供に学校に行く前から説明したようです...

複雑さや質問と答えのゲームではなくシンプルさ

「ほら、ここに 1 から 100 までの数字があります。何が見えますか?」

重要なのは、子供が正確に何を見ているかではありません。 コツは彼に見てもらうことです。

「どうやってそれらを組み合わせることができますか？」 息子は、そのような質問は「同じように」尋ねられるものではなく、質問を「どういうわけか、いつもとは違う方法で」見る必要があることに気づきました。

子供がすぐに解決策を理解するかどうかは問題ではありませんが、その可能性は低いです。 重要なのは、彼が 見ることを恐れなくなった、または私が言うように、「タスクを移動した」。 これは理解への旅の始まりです

「たとえば、5 と 6 を足すのと、5 と 95 を足すのはどちらが簡単ですか?」 誘導的な質問...しかし、どんなトレーニングも結局のところ、その人が受け入れられる方法で「答え」に人を「導く」ことに帰着します。

この段階で、計算を「節約」する方法についてすでに推測が生じている可能性があります。

私たちがやったのは、「正面的で直線的な」数え方だけが可能な方法ではないということを示唆することだけでした。 子どもがこれを理解すれば、後からそのような方法をさらにたくさん思いつくでしょう。 面白いから！！！そして、彼は数学の「誤解」を確実に避け、数学に嫌悪感を抱くことはありません。 彼が勝利を収めました！

もし 子供が発見された合計が 100 になる数字のペアを追加するのは簡単なことです。 「差分１の等差数列」- 子供にとってはかなり退屈で面白くないこと - 突然 彼のために人生を見つけた . 混沌から秩序が生まれ、これが常に熱狂を引き起こします。 そうやって私たちは作られている!

答えるべき質問: なぜ子供が洞察を得た後、この場合には機能的にも役に立たないドライなアルゴリズムのフレームワークに再び追い込まれる必要があるのでしょうか?!

なぜ愚かな書き換えを強制するのでしょうか？ノートに連続番号を書き込むと、有能な人でも理解する機会が一度も与えられないのでしょうか？ もちろん統計的なことですが、大衆教育は「統計」を対象としています...

ゼロはどこへ行ったのでしょうか？

それでも、足して 100 になる数字のほうが、足して 101 になる数字よりもはるかに受け入れられやすいのです...

「ガウス流派メソッド」では、まさに次のことが要求されます。 無意識に折りたたむ数列の中心から等距離にある数字のペア、 何があっても.

見てみたらどうですか？

それでも、ゼロは2000年以上前の人類の最大の発明です。 そして数学教師たちは彼を無視し続けている。

1 から始まる一連の数値を 0 から始まる一連の数値に変換する方がはるかに簡単です。合計は変わりませんね。 「教科書で考える」のをやめて、調べ始める必要があります。そして、合計が 101 のペアは、合計が 100 のペアに完全に置き換えられることがわかります。

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

「プラス１ルール」をどう廃止するか？

実は、そんなルールがあることを初めて聞いたのは、YouTubeの講師の方でした…。

シリーズのメンバー数を決定する必要がある場合はどうすればよいですか?

シーケンスを見てみましょう:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

完全に疲れたら、より簡単な行に移ります。

1, 2, 3, 4, 5

そして私は次のように考えました: 5 から 1 を引くと 4 になりますが、私は完全にクリアです なるほど 5つの数字！ したがって、1 つ追加する必要があります。 小学校で培われた数の感覚は、Google にその系列のメンバー (10 の 100 乗) が丸ごと存在するとしても、パターンは同じままであることを示唆しています。

一体どういうルールなのでしょうか？...

では、数年後には額と後頭部の間の空間がすべて埋まり、思考を停止することになるのでしょうか？ どうやって生活の糧を得るのか？ 結局のところ、私たちはデジタル経済の時代に互角に移行しつつあります。

ガウスの学校法について詳しくは、「なぜここから科学を作るのか?...」をご覧ください。

息子のノートのスクリーンショットを投稿したのは無駄ではありませんでした...

「授業で何があったの？」

「それで、私はすぐに数えて手を挙げましたが、彼女は尋ねませんでした。それで、他の人が数えている間、私は時間を無駄にしないようにロシア語で宿題を始めました。そして、他の人が書き終えたとき、（？） ??)、彼女は私を理事会に呼び出し、私は答えを言いました。」

「そうです、どうやって解いたのか見せてください」と先生は言いました。 私はそれを見せました。 彼女は言いました、「違います、私が示したように数えなければなりません！」

「彼女が私に悪い点を付けなかったのは良かったです。そして、彼女は私に彼らなりの方法で「解決策」を書かせました。なぜこれを大きな科学にするのですか？

数学教師の主な犯罪

それから間もなく あの事件カール ガウスは、学校の数学教師に対して強い尊敬の念を抱きました。 でももし彼がその方法を知っていたら その先生の信者 手法の本質を歪めることになる...彼は憤慨して叫び、世界知的所有権機関 WIPO を通じて、学校の教科書での彼の良い名前の使用禁止を達成するでしょう!...

何で 学校のアプローチの主な間違い? それとも、私が言ったように、学校の数学教師が子供たちに対して犯した犯罪なのでしょうか？

誤解のアルゴリズム

大多数が考え方を知らない学校の方法論者は何をしているのでしょうか?

彼らはメソッドとアルゴリズムを作成します (参照)。 これ 教師を批判（「すべては～に従って行われている」）から守り、子供たちを理解から守る防衛反応。 したがって、教師を批判したいという欲求からです！（官僚的な「知恵」の二次派生、問題に対する科学的アプローチ）。 意味を理解していない人は、学校制度の愚かさではなく、むしろ自分の誤解を責めるでしょう。

これが実際に起こることです。親は子供たちを責め、教師は...「数学が理解できない」子供たちに同じことをします。

あなたは賢いですか？

小さなカールは何をしましたか?

定型的なタスクに対するまったく型破りなアプローチ。 これが彼のアプローチの本質です。 これ 学校で教えるべき主なことは教科書ではなく自分の頭で考えることだ。 もちろん、使用できる楽器コンポーネントもあります... よりシンプルで効率的なカウント方法.

Vilenkin によるガウス法

学校ではガウスの方法は次のように教えられます。

何、 系列の要素の数が奇数の場合、息子に課せられた問題のように？

この場合の「落とし穴」は、 シリーズの中に「追加の」番号が見つかるはずですそしてそれをペアの合計に加えます。 この例では、この数値は 260 です.

検出方法は? すべての数字のペアをノートにコピーします。(これが、教師がガウス法を使って「創造性」を教えようとする愚かな仕事を子供たちにやらせた理由です...そしてこれが、そのような「方法」が大規模なデータ系列には事実上適用できない理由です。ガウス法ではありません。)

学校生活にちょっとした創造性を…

息子は違う行動をとりました。

(20 + 500, 40 + 480 ...).

0+500, 20+480, 40+460 ...

難しくないですよね？

しかし、実際にはさらに簡単になり、残りの時間を「数えながら」ロシア語でのリモートセンシングに 2 ～ 3 分を割くことができます。 さらに、この方法のステップ数は 5 のままであり、このアプローチが非科学的であると批判されることはありません。

明らかに、このアプローチは、メソッドのスタイルにおいて、よりシンプルで、より速く、より普遍的です。 しかし…先生は褒めてくれなかっただけでなく、「正しい方法で」書き直すよう強制しました（スクリーンショットを参照）。 それは、彼女が根底にある創造的な衝動と数学を理解する能力を必死に押し殺そうとしたことです！ どうやら、後で彼女を家庭教師として雇うためだった...彼女は間違った人を攻撃した...

私が長くて退屈に説明したことはすべて、普通の子供なら最長でも 30 分で説明できます。 例とともに。

そして彼がそれを決して忘れないような方法で。

そしてそうなるだろう 理解への一歩...数学者だけではありません。

認めてください。これまでの人生でガウス法を使って足し算をしたことが何回ありますか? そして私は決してそうではありませんでした！

しかし 理解する本能学校で数学的手法を学ぶ過程で発展する（または消滅する）...ああ!.これは本当にかけがえのないものです!

特に、党と政府の厳格な指導の下で私たちが静かに突入したユニバーサルデジタル化の時代においては。

先生を擁護するために一言…

このような教育スタイルに対するすべての責任を学校教師だけに負わせるのは不公平であり、間違っています。 システムは有効です。

いくつかの教師たちは何が起こっているのか不条理を理解していますが、どうすればよいでしょうか？ 教育法、連邦州教育基準、方法、授業計画...すべてが「準拠して、それに基づいて」行われ、すべてが文書化されなければなりません。 脇に下がって、解雇されるために列に並んでいた。 偽善者にはならないようにしましょう。モスクワの教師の給料はとても良いです...もし解雇されたら、どこに行くのですか?...

そこでこのサイトは 教育のことではない。 彼は約 個人の教育、群衆から抜け出す唯一の方法 Z世代 ...