Матричные уравнения обратная матрица. Нахождение обратной матрицы: три алгоритма и примеры

Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц.

Пусть A - квадратная матрица порядка n . Матрица A^{-1} , удовлетворяющая вместе с заданной матрицей A равенствам:

A^{-1}\cdot A=A\cdot A^{-1}=E,

Из определения следует, что если обратная матрица A^{-1} существует, то она квадратная того же порядка, что и A . Однако не для всякой квадратной матрицы существует обратная. Если определитель матрицы A равен нулю (\det{A}=0) , то для нее не существует обратной. В самом деле, применяя теорему об определителе произведения матриц для единичной матрицы E=A^{-1}A получаем противоречие

\det{E}=\det(A^{-1}\cdot A)=\det{A^{-1}}\det{A}=\det{A^{-1}}\cdot0=0

Теорема 4.1 о существовании и единственности обратной матрицы. Квадратная матрица A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix} , определитель которой отличен от нуля, имеет обратную матрицу и притом только одну:

A^{-1}=\frac{1}{\det{A}}\cdot\! \begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{1n}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn} \end{pmatrix}= \frac{1}{\det{A}}\cdot A^{+},

где A^{+} - матрица, транспонированная для матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы A .

Матрица A^{+} называется присоединенной матрицей по отношению к матрице A .

В самом деле, матрица \frac{1}{\det{A}}\,A^{+} существует при условии \det{A}\ne0 . Надо показать, что она обратная к A , т.е. удовлетворяет двум условиям:

\begin{aligned}\mathsf{1)}&~A\cdot\!\left(\frac{1}{\det{A}}\cdot A^{+}\right)=E;\\ \mathsf{2)}&~ \!\left(\frac{1}{\det{A}}\cdot A^{+}\right)\!\cdot A=E.\end{aligned}

Докажем первое равенство. Согласно п.4 замечаний 2.3, из свойств определителя следует, что AA^{+}=\det{A}\cdot E . Поэтому

A\cdot\!\left(\frac{1}{\det{A}}\cdot A^{+}\right)= \frac{1}{\det{A}}\cdot AA^{+}= \frac{1}{\det{A}}\cdot \det{A}\cdot E=E,

что и требовалось показать. Аналогично доказывается второе равенство. Следовательно, при условии \det{A}\ne0 матрица A имеет обратную

A^{-1}=\frac{1}{\det{A}}\cdot A^{+}.

Единственность обратной матрицы докажем от противного. Пусть кроме матрицы A^{-1} существует еще одна обратная матрица B\,(B\ne A^{-1}) такая, что AB=E . Умножая обе части этого равенства слева на матрицу A^{-1} , получаем \underbrace{A^{-1}AB}_{E}=A^{-1}E . Отсюда B=A^{-1} , что противоречит предположению B\ne A^{-1} . Следовательно, обратная матрица единственная.

Замечания 4.1

1. Из определения следует, что матрицы A и A^{-1} перестановочны.

2. Матрица, обратная к невырожденной диагональной, является тоже диагональной:

\Bigl[\operatorname{diag}(a_{11},a_{22},\ldots,a_{nn})\Bigr]^{-1}= \operatorname{diag}\!\left(\frac{1}{a_{11}},\,\frac{1}{a_{22}},\,\ldots,\,\frac{1}{a_{nn}}\right)\!.

3. Матрица, обратная к невырожденной нижней (верхней) треугольной, является нижней (верхней) треугольной.

4. Элементарные матрицы имеют обратные, которые также являются элементарными (см. п.1 замечаний 1.11).

Свойства обратной матрицы

Операция обращения матрицы обладает следующими свойствами:

\begin{aligned}\bold{1.}&~~ (A^{-1})^{-1}=A\,;\\ \bold{2.}&~~ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\,;\\ \bold{3.}&~~ (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\,;\\ \bold{4.}&~~ \det{A^{-1}}=\frac{1}{\det{A}}\,;\\ \bold{5.}&~~ E^{-1}=E\,. \end{aligned}

Докажем свойство 2: если произведение AB невырожденных квадратных матриц одного и того же порядка имеет обратную матрицу, то (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} .

Действительно, определитель произведения матриц AB не равен нулю, так как

\det(A\cdot B)=\det{A}\cdot\det{B} , где \det{A}\ne0,~\det{B}\ne0

Следовательно, обратная матрица (AB)^{-1} существует и единственна. Покажем по определению, что матрица B^{-1}A^{-1} является обратной по отношению к матрице AB . Действительно.

Нахождение обратной матрицы.

В этой статье разберемся с понятием обратной матрицы, ее свойствами и способами нахождения. Подробно остановимся на решении примеров, в которых требуется построить обратную матрицу для заданной.

Навигация по странице.

Обратная матрица - определение.

Нахождение обратной матрицы с помощью матрицы из алгебраических дополнений.

Свойства обратной матрицы.

Нахождение обратной матрицы методом Гаусса-Жордана.

Нахождение элементов обратной матрицы с помощью решения соответствующих систем линейных алгебраических уравнений.

Обратная матрица - определение.

Понятие обратной матрицы вводится лишь для квадратных матриц, определитель которых отличен от нуля, то есть для невырожденных квадратных матриц.

Определение.

Матрица называется обратной для матрицы , определитель которой отличен от нуля , если справедливы равенства , где E – единичная матрица порядка n на n .

Нахождение обратной матрицы с помощью матрицы из алгебраических дополнений.

Как же находить обратную матрицу для данной?

Во-первых, нам потребуются понятия транспонированной матрицы , минора матрицы и алгебраического дополнения элемента матрицы.

Определение.

Минор k-ого порядка матрицы A порядка m на n – это определитель матрицы порядка k на k , которая получается из элементов матрицы А , находящихся в выбранныхk строках и k столбцах. (k не превосходит наименьшего из чисел m или n ).

Минор (n-1)-ого порядка, который составляется из элементов всех строк, кроме i-ой , и всех столбцов, кроме j-ого , квадратной матрицы А порядка n на n обозначим как .

Иными словами, минор получается из квадратной матрицы А порядка n на n вычеркиванием элементов i-ой строки и j-ого столбца.

Для примера запишем, минор 2-ого порядка, который получаетсся из матрицы выбором элементов ее второй, третьей строк и первого, третьего столбцов . Также покажем минор, который получается из матрицы вычеркиванием второй строки и третьего столбца . Проиллюстрируем построение этих миноров: и .

Определение.

Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы называют минор (n-1)-ого порядка, который получается из матрицы А , вычеркиванием элементов ее i-ой строки и j-ого столбца, умноженный на .

Алгебраическое дополнение элемента обозначается как . Таким обрзом, .

Например, для матрицы алгебраическое дополнение элемента есть .

Во-вторых, нам пригодятся два свойства определителя, которые мы разобрали в разделевычисление определителя матрицы :

На основании этих свойств определителя, определения операции умножения матрицы на число и понятия обратной матрицы справедливо равенство , где - транспонированная матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения .

Матрица действительно является обратной для матрицы А , так как выполняются равенства . Покажем это

Составим алгоритм нахождения обратной матрицы с использованием равенства .

Разберем алгоритм нахождения обратной матрицы на примере.

Пример.

Дана матрица . Найдите обратную матрицу.

Решение.

Вычислим определитель матрицы А , разложив его по элементам третьего столбца:

Определитель отличен от нуля, так что матрица А обратима.

Найдем матрицу из алгебраических дополнений:

Поэтому

Выполним транспонирование матрицы из алгебраических дополнений:

Теперь находим обратную матрицу как :

Проверяем полученный результат:

Равенства выполняются, следовательно, обратная матрица найдена верно.

Свойства обратной матрицы.

Понятие обратной матрицы, равенство , определения операций над матрицами и свойства определителя матрицы позволяют обосновать следующие свойства обратной матрицы :

Нахождение элементов обратной матрицы с помощью решения соответствующих систем линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим еще один способ нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы А порядка n на n .

Этот метод основан на решении n систем линейных неоднородных алгебраических уравнений с n неизвестными. Неизвестными переменными в этих системах уравнений являются элементы обратной матрицы.

Идея очень проста. Обозначим обратную матрицу как X , то есть, . Так как по определению обратной матрицы , то

Приравнивая соответствующие элементы по столбцам, получим n систем линейных уравнений

Решаем их любым способом и из найденных значений составляем обратную матрицу.

Разберем этот метод на примере.

Пример.

Дана матрица . Найдите обратную матрицу.

Решение.

Примем . Равенство дает нам три системы линейных неоднородных алгебраических уравнений:

Не будем расписывать решение этих систем, при необходимости обращайтесь к разделурешение систем линейных алгебраических уравнений .

Из первой системы уравнений имеем , из второй - , из третьей - . Следовательно, искомая обратная матрица имеет вид . Рекомендуем сделать проверку, чтобы убедиться в правильности результата.

Подведем итог.

Мы рассмотрели понятие обратной матрицы, ее свойства и три метода ее нахождения.

Пример решений методом обратной матрицы

Задание 1. Решить СЛАУ методом обратной матрицы. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4

Начало формы

Конец формы

Решение . Запишем матрицу в виде: Вектор B: B T = (1,2,3,4) Главный определитель Минор для (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2)+4 (3 2-6 2) = -3 Минор для (2,1): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Минор для (3,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Минор для (4,1): = 3 (3 2-6 2)-5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Определитель минора ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Транспонированная матрица Алгебраические дополнения ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6)-3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2-2 6)-3 (3 2-2 5)+1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4-7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1-2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 (3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4)-5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 (7 3-6 4)-3 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4,3 = -2 (5 3-3 4)-3 (3 3-3 4)+3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Обратная матрица Вектор результатов X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0.33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0.33 x 4 = 1

см. также решений СЛАУ методом обратной матрицы online. Для этого введите свои данные и получите решение с подробными комментариями.

Задание 2 . Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы. Сделать проверку полученного решения. Решение :xml :xls

Пример 2 . Записать систему уравнений в матричной форме и решить с помощью обратной матрицы. Решение :xml :xls

Пример . Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: 1) найти ее решение с помощью формул Крамера ; 2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления. Методические рекомендации . После решения методом Крамера, найдите кнопку "Решение методом обратной матрицы для исходных данных". Вы получите соответствующее решение. Таким образом, данные вновь заполнять не придется. Решение . Обозначим через А - матрицу коэффициентов при неизвестных; X - матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:

Вектор B: B T =(4,-3,-3) С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B. Если матрица А - невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А -1 . Умножив обе части уравнения на А -1 , получим: А -1 *А*Х = А -1 *B, А -1 *А=Е. Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений . Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А -1 . Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля. Найдем главный определитель. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Итак, определитель 14 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения. Пусть имеем невырожденную матрицу А:

Вычисляем алгебраические дополнения.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 =-1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Проверка . -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc :xml :xls Ответ: -1,1,2.

Обратная матрица

Обратной матрицей называется матрица, которая при умножении как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу.
Обозначим обратную матрицу к матрице А через , тогда согласно определению получим:

где Е – единичная матрица.
Квадратная матрица называется неособенной (невырожденной ), если ее определитель не равен нулю. В противном случае она называется особенной (вырожденной ) или сингулярной .

Имеет место теорема: всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу.

Операция нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы. Рассмотрим алгоритм обращения матрицы. Пусть дана неособенная матрица n -го порядка:

где Δ = det A ≠ 0.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы n -го порядка А называется взятый с определенным знаком определитель матрицы (n –1)-го порядка, полученной вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца матрицы А :

Составим так называемую присоединенную матрицу:

где– алгебраические дополнения соответствующих элементовматрицы А .
Заметим, что алгебраические дополнения элементов строк матрицы А размещаются в соответствующих столбцах матрицы Ã , то есть одновременно производится транспонирование матрицы.
Разделив все элементы матрицы Ã на Δ – величину определителя матрицы А , получим в результате обратную матрицу:

Отметим ряд особых свойств обратной матрицы:
1) для данной матрицы А ее обратная матрица является единственной;
2) если существует обратная матрица , то правая обратная и левая обратная матрицы совпадают с ней;
3) особенная (вырожденная) квадратная матрица не имеет обратной матрицы.

Основные свойства обратной матрицы:
1) определитель обратной матрицы и определитель исходной матрицы являются обратными величинами;
2) обратная матрица произведения квадратных матриц равна произведениюобратных матриц сомножителей, взятому в обратном порядке:

3) транспонированная обратная матрица равна обратной матрице от данной транспонированной матрицы:

П р и м е р. Вычислить матрицу, обратную данной.

Матрица $A^{-1}$ называется обратной по отношению к квадратной матрице $A$, если выполнено условие $A^{-1}\cdot A=A\cdot A^{-1}=E$, где $E$ – единичная матрица, порядок которой равен порядку матрицы $A$.

Невырожденная матрица – матрица, определитель которой не равен нулю. Соответственно, вырожденная матрица – та, у которой равен нулю определитель.

Обратная матрица $A^{-1}$ существует тогда и только тогда, когда матрица $A$ – невырожденная. Если обратная матрица $A^{-1}$ существует, то она единственная.

Есть несколько способов нахождения обратной матрицы, и мы рассмотрим два из них. На этой странице будет рассмотрен метод присоединённой матрицы, который полагается стандартным в большинстве курсов высшей математики. Второй способ нахождения обратной матрицы (метод элементарных преобразований), который предполагает использование метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана, рассмотрен во второй части .

Метод присоединённой (союзной) матрицы

Пусть задана матрица $A_{n\times n}$. Для того, чтобы найти обратную матрицу $A^{-1}$, требуется осуществить три шага:

1. Найти определитель матрицы $A$ и убедиться, что $\Delta A\neq 0$, т.е. что матрица А – невырожденная.
2. Составить алгебраические дополнения $A_{ij}$ каждого элемента матрицы $A$ и записать матрицу $A_{n\times n}^{*}=\left(A_{ij} \right)$ из найденных алгебраических дополнений.
3. Записать обратную матрицу с учетом формулы $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{*}}^T$.

Матрицу ${A^{*}}^T$ часто именуют присоединённой (взаимной, союзной) к матрице $A$.

Если решение происходит вручную, то первый способ хорош лишь для матриц сравнительно небольших порядков: второго (), третьего (), четвертого (). Чтобы найти обратную матрицу для матрицы высшего порядка, используются иные методы. Например, метод Гаусса, который рассмотрен во второй части .

Пример №1

Найти матрицу, обратную к матрице $A=\left(\begin{array} {cccc} 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & -1 & -9 & 0 \end{array} \right)$.

Так как все элементы четвёртого столбца равны нулю, то $\Delta A=0$ (т.е. матрица $A$ является вырожденной). Так как $\Delta A=0$, то обратной матрицы к матрице $A$ не существует.

Пример №2

Найти матрицу, обратную к матрице $A=\left(\begin{array} {cc} -5 & 7 \\ 9 & 8 \end{array}\right)$.

Используем метод присоединённой матрицы. Сначала найдем определитель заданной матрицы $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin{array} {cc} -5 & 7\\ 9 & 8 \end{array}\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Так как $\Delta A \neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения

\begin{aligned} & A_{11}=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_{12}=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_{21}=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_{22}=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end{aligned}

Составляем матрицу из алгебраических дополнений: $A^{*}=\left(\begin{array} {cc} 8 & -9\\ -7 & -5 \end{array}\right)$.

Транспонируем полученную матрицу: ${A^{*}}^T=\left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right)$ (полученная матрица часто именуется присоединённой или союзной матрицей к матрице $A$). Используя формулу $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{*}}^T$, имеем:

$$ A^{-1}=\frac{1}{-103}\cdot \left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right) $$

Итак, обратная матрица найдена: $A^{-1}=\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$. Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^{-1}\cdot A=E$ или $A\cdot A^{-1}=E$. Проверим выполнение равенства $A^{-1}\cdot A=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^{-1}$ не в форме $\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$, а в виде $-\frac{1}{103}\cdot \left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right)$:

Ответ : $A^{-1}=\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$.

Пример №3

Найти обратную матрицу для матрицы $A=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end{array} \right)$.

Начнём с вычисления определителя матрицы $A$. Итак, определитель матрицы $A$ таков:

$$ \Delta A=\left| \begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end{array} \right| = 18-36+56-12=26. $$

Так как $\Delta A\neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения каждого элемента заданной матрицы:

Составляем матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем её:

$$ A^*=\left(\begin{array} {ccc} 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end{array} \right); \; {A^*}^T=\left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right) $$

Используя формулу $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{*}}^T$, получим:

$$ A^{-1}=\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right) $$

Итак, $A^{-1}=\left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$. Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^{-1}\cdot A=E$ или $A\cdot A^{-1}=E$. Проверим выполнение равенства $A\cdot A^{-1}=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^{-1}$ не в форме $\left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$, а в виде $\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right)$:

Проверка пройдена успешно, обратная матрица $A^{-1}$ найдена верно.

Ответ : $A^{-1}=\left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$.

Пример №4

Найти матрицу, обратную матрице $A=\left(\begin{array} {cccc} 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end{array} \right)$.

Для матрицы четвёртого порядка нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений несколько затруднительно. Однако такие примеры в контрольных работах встречаются.

Чтобы найти обратную матрицу, для начала нужно вычислить определитель матрицы $A$. Лучше всего в данной ситуации это сделать с помощью разложения определителя по строке (столбцу) . Выбираем любую строку или столбец и находим алгебраические дополнения каждого элемента избранной строки или столбца.

Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е - единичная матрица n -го порядка. Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц.

Назначение сервиса . С помощью данного сервиса в онлайн режиме можно найти алгебраические дополнения , транспонированную матрицу A T , союзную матрицу и обратную матрицу. Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word и в формате Excel (т.е. имеется возможность проверить решение). см. пример оформления .

Инструкция . Для получения решения необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполните матрицу A .

См. также Обратная матрица методом Жордано-Гаусса

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1. Нахождение транспонированной матрицы A T .
2. Определение алгебраических дополнений. Заменяют каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением.
3. Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент полученной матрицы делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.

1. Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
2. Вычисление определителя матрицы A . Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе - обратной матрицы не существует.
3. Определение алгебраических дополнений.
4. Заполнение союзной (взаимной, присоединённой) матрицы C .
5. Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент присоединённой матрицы C делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
6. Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.

Пример №1 . Запишем матрицу в виде:

Другой алгоритм нахождения обратной матрицы

1. Находим определитель данной квадратной матрицы A .
2. Находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A .
3. Записываем алгебраические дополнения элементов строк в столбцы (транспонирование).
4. Делим каждый элемент полученной матрицы на определитель матрицы A .

Особый случай : Обратной, по отношению к единичной матрице E , является единичная матрица E .