Probleme mit komplexen Zahlen lösen

BUNDESAGENTUR FÜR BILDUNG

STAATLICHE BILDUNGSEINRICHTUNG

Höhere Berufsausbildung

„STAATLICHE PÄDAGOGISCHE UNIVERSITÄT WORONESCH“

ABTEILUNG FÜR AGLEBRA UND GEOMETRIE

Komplexe Zahlen

(ausgewählte Aufgaben)

ABSCHLUSSQUALITÄTSARBEIT

Fachgebiet 050201.65 Mathematik

(mit Zusatzfach 050202.65 Informatik)

Abgeschlossen von: Student im 5. Jahr

physikalisch und mathematisch

Fakultät

Wissenschaftlicher Betreuer:

WORONESCH – 2008

1. Einleitung………………………………………………………………..…

2. Komplexe Zahlen (ausgewählte Probleme)

2.1. Komplexe Zahlen in algebraischer Form….……...……….….

2.2. Geometrische Interpretation komplexer Zahlen…………..…

2.3. Trigonometrische Form komplexer Zahlen

2.4. Anwendung der Theorie der komplexen Zahlen auf die Lösung von Gleichungen 3. und 4. Grades……………..……………………………………………………………

2.5. Komplexe Zahlen und Parameter…………………………………...….

3. Fazit……………………………………………………………………………….

4. Referenzliste………………………….………………………......

1. Einführung

Im Mathematiklehrplan der Schule wird die Zahlentheorie anhand von Beispielen für Mengen natürlicher Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen, irrationale Zahlen, d. h. auf der Menge der reellen Zahlen, deren Bilder den gesamten Zahlenstrahl ausfüllen. Doch schon in der 8. Klasse reicht der Vorrat an reellen Zahlen zum Lösen quadratischer Gleichungen mit negativer Diskriminante nicht aus. Daher war es notwendig, den Bestand an reellen Zahlen mit Hilfe komplexer Zahlen aufzufüllen, für die die Quadratwurzel einer negativen Zahl sinnvoll ist.

Die Wahl des Themas „Komplexe Zahlen“ als Thema meiner Abschlussarbeit liegt darin begründet, dass das Konzept einer komplexen Zahl das Wissen der Studierenden über Zahlensysteme, über die Lösung einer breiten Klasse von Problemen sowohl algebraischen als auch geometrischen Inhalts, über die Lösung algebraischer Zahlen erweitert Gleichungen jeden Grades und das Lösen von Problemen mit Parametern.

Diese Arbeit untersucht die Lösung von 82 Problemen.

Der erste Teil des Hauptabschnitts „Komplexe Zahlen“ bietet Lösungen für Probleme mit komplexen Zahlen in algebraischer Form, definiert die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, die Konjugationsoperation für komplexe Zahlen in algebraischer Form und die Potenz einer imaginären Einheit , den Modul einer komplexen Zahl, und legt außerdem die Regel zum Ziehen der Quadratwurzel einer komplexen Zahl fest.

Im zweiten Teil werden Probleme zur geometrischen Interpretation komplexer Zahlen in Form von Punkten oder Vektoren der komplexen Ebene gelöst.

Der dritte Teil untersucht Operationen mit komplexen Zahlen in trigonometrischer Form. Die verwendeten Formeln sind: Moivre und Ziehen der Wurzel einer komplexen Zahl.

Der vierte Teil ist der Lösung von Gleichungen 3. und 4. Grades gewidmet.

Bei der Lösung von Problemen im letzten Teil „Komplexe Zahlen und Parameter“ werden die Informationen der vorherigen Teile verwendet und vertieft. Eine Reihe von Problemen in diesem Kapitel ist der Bestimmung von Linienfamilien in der komplexen Ebene gewidmet, die durch Gleichungen (Ungleichungen) mit einem Parameter definiert sind. In einem Teil der Übungen müssen Sie Gleichungen mit einem Parameter (über Feld C) lösen. Es gibt Aufgaben, bei denen eine komplexe Variable gleichzeitig mehrere Bedingungen erfüllt. Eine Besonderheit der Problemlösung in diesem Abschnitt ist die Reduktion vieler davon auf die Lösung von Gleichungen (Ungleichungen, Systemen) zweiten Grades, irrational, trigonometrisch mit einem Parameter.

Ein Merkmal der Präsentation des Materials in jedem Teil ist die anfängliche Einführung in die theoretischen Grundlagen und anschließend deren praktische Anwendung bei der Lösung von Problemen.

Am Ende der Arbeit befindet sich ein Verzeichnis der verwendeten Referenzen. Die meisten von ihnen präsentieren theoretisches Material ausreichend detailliert und zugänglich, diskutieren Lösungen für einige Probleme und stellen praktische Aufgaben zur eigenständigen Lösung. Besonderes Augenmerk möchte ich auf Quellen richten wie:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Komplexe Zahlen und ihre Anwendungen: Lehrbuch. . Der Stoff des Lehrbuchs wird in Form von Vorlesungen und praktischen Übungen präsentiert.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Ausgewählte Probleme und Theoreme der Elementarmathematik. Arithmetik und Algebra. Das Buch enthält 320 Probleme im Zusammenhang mit Algebra, Arithmetik und Zahlentheorie. Diese Aufgaben unterscheiden sich in ihrer Art deutlich von Standard-Schulaufgaben.

2. Komplexe Zahlen (ausgewählte Probleme)

2.1. Komplexe Zahlen in algebraischer Form

Die Lösung vieler Probleme in Mathematik und Physik besteht darin, algebraische Gleichungen zu lösen, d.h. Gleichungen der Form

wobei a0, a1, …, an reelle Zahlen sind. Daher ist das Studium algebraischer Gleichungen eines der wichtigsten Themen der Mathematik. Beispielsweise hat eine quadratische Gleichung mit einer negativen Diskriminante keine reellen Wurzeln. Die einfachste Gleichung dieser Art ist die Gleichung

Damit diese Gleichung eine Lösung hat, ist es notwendig, die Menge der reellen Zahlen zu erweitern, indem man ihr die Wurzel der Gleichung hinzufügt

Bezeichnen wir diese Wurzel mit

. Also per Definition, oder,

somit,

wird als imaginäre Einheit bezeichnet. Mit seiner Hilfe und mit Hilfe eines Paares reeller Zahlen wird ein Ausdruck der Form zusammengestellt.

Der resultierende Ausdruck wurde komplexe Zahlen genannt, weil er sowohl Real- als auch Imaginärteile enthielt.

Komplexe Zahlen sind also Ausdrücke der Form

, und sind reelle Zahlen und ist ein bestimmtes Symbol, das die Bedingung erfüllt. Die Zahl wird als Realteil einer komplexen Zahl bezeichnet, und die Zahl ist ihr Imaginärteil. Zur Bezeichnung werden die Symbole , verwendet.

Komplexe Zahlen der Form

sind reelle Zahlen und daher enthält die Menge der komplexen Zahlen die Menge der reellen Zahlen.

werden als rein imaginär bezeichnet. Zwei komplexe Zahlen der Form und heißen gleich, wenn ihr Real- und Imaginärteil gleich sind, d. h. wenn Gleichheiten , .

Die algebraische Notation komplexer Zahlen ermöglicht Operationen mit ihnen nach den üblichen Regeln der Algebra.

Die Verwendung von Gleichungen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, beim Bau von Bauwerken und sogar im Sport eingesetzt. Der Mensch benutzte Gleichungen schon in der Antike, und seitdem hat ihre Verwendung nur noch zugenommen. Zur Verdeutlichung lösen wir das folgende Problem:

Berechnen Sie \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\], wenn \

Achten wir zunächst darauf, dass eine Zahl in algebraischer Form dargestellt wird, die andere in trigonometrischer Form. Es muss vereinfacht und in die folgende Form gebracht werden

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Der Ausdruck \ besagt, dass wir zunächst mit der Moivre-Formel multiplizieren und auf die 10. Potenz erhöhen. Diese Formel ist für die trigonometrische Form einer komplexen Zahl formuliert.

Wir bekommen:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Gemäß den Regeln für die Multiplikation komplexer Zahlen in trigonometrischer Form gehen wir wie folgt vor:

In unserem Fall:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Wenn wir den Bruch \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] richtig machen, kommen wir zu dem Schluss, dass wir 4 Umdrehungen \[(8\pi rad.) „drehen“ können: \]

Diese Gleichung kann auf andere Weise gelöst werden, die darauf hinausläuft, die 2. Zahl in algebraische Form zu bringen, dann die Multiplikation in algebraischer Form durchzuführen, das Ergebnis in trigonometrische Form umzuwandeln und die Formel von Moivre anzuwenden:

Wo kann ich online ein Gleichungssystem mit komplexen Zahlen lösen?

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Um Probleme mit komplexen Zahlen zu lösen, müssen Sie die grundlegenden Definitionen verstehen. Das Hauptziel dieses Übersichtsartikels besteht darin, zu erklären, was komplexe Zahlen sind, und Methoden zur Lösung grundlegender Probleme mit komplexen Zahlen vorzustellen. Eine komplexe Zahl wird also als Zahl der Form bezeichnet z = a + bi, Wo a, b- reelle Zahlen, die als Real- bzw. Imaginärteil einer komplexen Zahl bezeichnet werden und bezeichnen a = Re(z), b=Im(z).
ich wird als imaginäre Einheit bezeichnet. ich 2 = -1. Insbesondere kann jede reelle Zahl als komplex betrachtet werden: a = a + 0i, wobei a reell ist. Wenn a = 0 Und b ≠ 0, dann wird die Zahl meist als rein imaginär bezeichnet.

Lassen Sie uns nun Operationen für komplexe Zahlen einführen.
Betrachten Sie zwei komplexe Zahlen z 1 = a 1 + b 1 i Und z 2 = a 2 + b 2 i.

Lassen Sie uns überlegen z = a + bi.

Die Menge der komplexen Zahlen erweitert die Menge der reellen Zahlen, die wiederum die Menge der rationalen Zahlen usw. erweitert. Diese Investitionskette ist in der Abbildung zu sehen: N – natürliche Zahlen, Z – ganze Zahlen, Q – rational, R – reell, C – komplex.

Darstellung komplexer Zahlen

Algebraische Notation.

Betrachten Sie eine komplexe Zahl z = a + bi, diese Schreibweise einer komplexen Zahl heißt algebraisch. Diese Form der Aufzeichnung haben wir bereits im vorherigen Abschnitt ausführlich besprochen. Die folgende visuelle Zeichnung wird häufig verwendet

Trigonometrische Form.

Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die Zahl z = a + bi kann anders geschrieben werden. Das ist offensichtlich a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, somit z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) heißt das Argument einer komplexen Zahl. Diese Darstellung einer komplexen Zahl heißt trigonometrische Form. Die trigonometrische Schreibweise ist manchmal sehr praktisch. Beispielsweise ist es praktisch, damit eine komplexe Zahl auf eine ganze Zahl zu potenzieren, nämlich if z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Das z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, diese Formel heißt Moivres Formel.

Demonstrative Form.

Lassen Sie uns überlegen z = rcos(φ) + rsin(φ)i- eine komplexe Zahl in trigonometrischer Form, schreiben Sie sie in einer anderen Form z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, die letzte Gleichheit folgt aus der Eulerschen Formel, somit haben wir eine neue Schreibweise einer komplexen Zahl erhalten: z = re iφ, was heißt bezeichnend. Diese Schreibweise ist auch sehr praktisch, um eine komplexe Zahl zu potenzieren: z n = r n e inφ, Hier N nicht unbedingt eine ganze Zahl, kann aber eine beliebige reelle Zahl sein. Diese Form der Notation wird häufig zur Lösung von Problemen verwendet.

Grundsatz der höheren Algebra

Stellen wir uns vor, wir haben eine quadratische Gleichung x 2 + x + 1 = 0. Offensichtlich ist die Diskriminante dieser Gleichung negativ und sie hat keine reellen Wurzeln, aber es stellt sich heraus, dass diese Gleichung zwei verschiedene komplexe Wurzeln hat. Der Grundsatz der höheren Algebra besagt also, dass jedes Polynom vom Grad n mindestens eine komplexe Wurzel hat. Daraus folgt, dass jedes Polynom vom Grad n unter Berücksichtigung ihrer Multiplizität genau n komplexe Wurzeln hat. Dieser Satz ist ein sehr wichtiges Ergebnis in der Mathematik und wird häufig verwendet. Eine einfache Folgerung dieses Theorems ist, dass es genau n verschiedene Wurzeln vom Grad n der Einheit gibt.

Hauptaufgabentypen

In diesem Abschnitt werden die Haupttypen einfacher Probleme mit komplexen Zahlen betrachtet. Herkömmlicherweise können Probleme mit komplexen Zahlen in die folgenden Kategorien unterteilt werden.

Einfache arithmetische Operationen an komplexen Zahlen durchführen.
Finden der Wurzeln von Polynomen in komplexen Zahlen.
Komplexe Zahlen potenzieren.
Ziehen von Wurzeln aus komplexen Zahlen.
Komplexe Zahlen zur Lösung anderer Probleme verwenden.

Schauen wir uns nun allgemeine Methoden zur Lösung dieser Probleme an.

Die einfachsten arithmetischen Operationen mit komplexen Zahlen werden nach den im ersten Abschnitt beschriebenen Regeln ausgeführt. Wenn komplexe Zahlen jedoch in trigonometrischer oder exponentieller Form dargestellt werden, können Sie sie in diesem Fall in algebraische Form umwandeln und Operationen nach bekannten Regeln ausführen.

Beim Finden der Wurzeln von Polynomen geht es in der Regel darum, die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden. Angenommen, wir haben eine quadratische Gleichung. Wenn ihre Diskriminante nicht negativ ist, sind ihre Wurzeln reell und können gemäß einer bekannten Formel ermittelt werden. Wenn die Diskriminante negativ ist, d. h. D = -1∙a 2, Wo A ist eine bestimmte Zahl, dann kann die Diskriminante dargestellt werden als D = (ia) 2, somit √D = i|a|, und dann können Sie die bereits bekannte Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung verwenden.

Beispiel. Kehren wir zur oben erwähnten quadratischen Gleichung x 2 + x + 1 = 0 zurück.
Diskriminant - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Jetzt können wir die Wurzeln leicht finden:

Die Potenzierung komplexer Zahlen kann auf verschiedene Arten erfolgen. Wenn Sie eine komplexe Zahl in algebraischer Form auf eine kleine Potenz (2 oder 3) erhöhen müssen, können Sie dies durch direkte Multiplikation tun. Wenn die Potenz jedoch größer ist (bei Problemen ist sie oft viel größer), müssen Sie dies tun Schreiben Sie diese Zahl in trigonometrischer oder exponentieller Form und verwenden Sie bereits bekannte Methoden.

Beispiel. Betrachten Sie z = 1 + i und erhöhen Sie es auf die zehnte Potenz.
Schreiben wir z in Exponentialform: z = √2 e iπ/4.
Dann z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Kehren wir zur algebraischen Form zurück: z 10 = -32i.

Das Ziehen von Wurzeln aus komplexen Zahlen ist die Umkehroperation der Potenzierung und wird daher auf ähnliche Weise durchgeführt. Um Wurzeln zu ziehen, wird häufig die exponentielle Schreibweise einer Zahl verwendet.

Beispiel. Finden wir alle Wurzeln des dritten Grades der Einheit. Dazu finden wir alle Wurzeln der Gleichung z 3 = 1, wir suchen die Wurzeln in Exponentialform.
Setzen wir in die Gleichung ein: r 3 e 3iφ = 1 oder r 3 e 3iφ = e 0 .
Daher: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, daher φ = 2πk/3.
Bei φ = 0, 2π/3, 4π/3 werden unterschiedliche Wurzeln erhalten.
Daher sind 1, e i2π/3, e i4π/3 Wurzeln.
Oder in algebraischer Form:

Die letzte Art von Problemen umfasst eine große Vielfalt an Problemen und es gibt keine allgemeinen Methoden zu deren Lösung. Lassen Sie uns ein einfaches Beispiel für eine solche Aufgabe geben:

Finden Sie den Betrag sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Obwohl es bei der Formulierung dieses Problems nicht um komplexe Zahlen geht, kann es mit ihrer Hilfe leicht gelöst werden. Zur Lösung werden folgende Darstellungen verwendet:

Wenn wir diese Darstellung nun in die Summe einsetzen, reduziert sich das Problem auf die Summierung der üblichen geometrischen Folge.

Abschluss

Komplexe Zahlen werden in der Mathematik häufig verwendet. In diesem Übersichtsartikel wurden die grundlegenden Operationen für komplexe Zahlen untersucht, verschiedene Arten von Standardproblemen beschrieben und allgemeine Methoden zu deren Lösung kurz beschrieben Fachliteratur nutzen.

Literatur

Ausdrücke, Gleichungen und Gleichungssysteme
mit komplexen Zahlen

Heute üben wir im Unterricht typische Operationen mit komplexen Zahlen und beherrschen außerdem die Technik zum Lösen von Ausdrücken, Gleichungen und Gleichungssystemen, die diese Zahlen enthalten. Dieser Workshop ist eine Fortsetzung der Lektion. Wenn Sie sich also nicht so gut mit dem Thema auskennen, folgen Sie bitte dem Link oben. Nun, für besser vorbereitete Leser empfehle ich Ihnen, sich gleich aufzuwärmen:

Beispiel 1

Vereinfachen Sie einen Ausdruck , Wenn . Stellen Sie das Ergebnis in trigonometrischer Form dar und zeichnen Sie es auf der komplexen Ebene auf.

Lösung: Sie müssen also den Bruch durch den „schrecklichen“ Bruch ersetzen, Vereinfachungen durchführen und das Ergebnis umrechnen komplexe Zahl V trigonometrische Form. Dazu noch eine Zeichnung.

Wie lässt sich die Entscheidung am besten formalisieren? Es ist gewinnbringender, sich Schritt für Schritt mit einem „anspruchsvollen“ algebraischen Ausdruck auseinanderzusetzen. Erstens wird die Aufmerksamkeit weniger abgelenkt, und zweitens ist es bei Nichtannahme der Aufgabe viel einfacher, den Fehler zu finden.

1) Vereinfachen wir zunächst den Zähler. Ersetzen wir den Wert darin, öffnen die Klammern und korrigieren die Frisur:

...Ja, so ein Quasimodo kam aus komplexen Zahlen...

Ich möchte Sie daran erinnern, dass bei den Transformationen ganz einfache Dinge verwendet werden – die Regel der Multiplikation von Polynomen und die bereits banal gewordene Gleichheit. Die Hauptsache ist, vorsichtig zu sein und sich nicht von den Schildern verwirren zu lassen.

2) Jetzt kommt der Nenner. Wenn, dann:

Beachten Sie, in welcher ungewöhnlichen Interpretation es verwendet wird Quadratsummenformel. Alternativ können Sie hier eine Neuanordnung durchführen Unterformel Die Ergebnisse werden natürlich die gleichen sein.

3) Und schließlich der ganze Ausdruck. Wenn, dann:

Um einen Bruch loszuwerden, multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit dem konjugierten Ausdruck des Nenners. Gleichzeitig für die Zwecke der Anwendung Quadratische Differenzformeln muss erstmal (und schon ein Muss!) Setzen Sie den negativen Realteil an 2. Stelle:

Und nun die wichtigste Regel:

Wir sind nicht in Eile! Es ist besser, auf Nummer sicher zu gehen und einen zusätzlichen Schritt zu machen.
In Ausdrücken, Gleichungen und Systemen mit komplexen Zahlen, anmaßenden verbalen Berechnungen angespannter denn je!

Im letzten Schritt gab es eine gute Reduzierung und das ist einfach ein tolles Zeichen.

Notiz : Genau genommen fand hier die Division einer komplexen Zahl durch die komplexe Zahl 50 statt (denken Sie daran). Über diese Nuance habe ich bisher geschwiegen, wir werden etwas später darüber sprechen.

Bezeichnen wir unsere Leistung mit dem Buchstaben

Lassen Sie uns das erhaltene Ergebnis in trigonometrischer Form darstellen. Im Allgemeinen kann man hier auf eine Zeichnung verzichten, aber da diese erforderlich ist, ist es etwas rationaler, dies jetzt zu tun:

Berechnen wir den Modul einer komplexen Zahl:

Wenn Sie auf einer Skala von 1 Einheit zeichnen. = 1 cm (2 Notizbuchzellen), dann kann der erhaltene Wert leicht mit einem normalen Lineal überprüft werden.

Finden wir ein Argument. Da sich die Zahl im 2. Koordinatenviertel befindet, gilt:

Der Winkel kann einfach mit einem Winkelmesser überprüft werden. Dies ist zweifellos der Vorteil der Zeichnung.

Also: – die benötigte Zahl in trigonometrischer Form.

Lassen Sie uns Folgendes überprüfen:
, was überprüft werden musste.

Es ist praktisch, unbekannte Werte von Sinus und Cosinus zu finden trigonometrische Tabelle.

Antwort:

Ein ähnliches Beispiel für eine unabhängige Lösung:

Beispiel 2

Vereinfachen Sie einen Ausdruck , Wo . Zeichnen Sie die resultierende Zahl auf die komplexe Ebene und schreiben Sie sie in Exponentialform.

Versuchen Sie, die Tutorial-Beispiele nicht zu überspringen. Sie mögen einfach erscheinen, aber ohne Training ist es nicht nur einfach, „in eine Pfütze zu geraten“, sondern sehr einfach. Deshalb nehmen wir es „in die Hand“.

Oft gibt es für ein Problem mehr als eine Lösung:

Beispiel 3

Berechnen Sie, ob

Lösung: Achten wir zunächst auf den Originalzustand – eine Zahl wird in algebraischer und die andere in trigonometrischer Form und sogar mit Graden dargestellt. Schreiben wir es gleich in eine bekanntere Form um: .

In welcher Form sollen die Berechnungen durchgeführt werden? Der Ausdruck beinhaltet offensichtlich zunächst eine Multiplikation und eine weitere Potenzierung in die 10. Potenz Moivres Formel, die für die trigonometrische Form einer komplexen Zahl formuliert wird. Daher erscheint es logischer, die erste Zahl umzuwandeln. Suchen wir das Modul und das Argument:

Wir verwenden die Regel zur Multiplikation komplexer Zahlen in trigonometrischer Form:
wenn, dann

Wenn wir den Bruch korrigieren, kommen wir zu dem Schluss, dass wir 4 Umdrehungen „verdrehen“ können (froh):

Zweite Lösung besteht darin, die 2. Zahl in algebraische Form umzuwandeln , führen Sie die Multiplikation in algebraischer Form durch, konvertieren Sie das Ergebnis in trigonometrische Form und verwenden Sie die Formel von Moivre.

Wie Sie sehen, gibt es eine „zusätzliche“ Aktion. Wer möchte, kann die Entscheidung durchziehen und sicherstellen, dass die Ergebnisse gleich sind.

Die Bedingung sagt nichts über die Form der endgültigen komplexen Zahl aus, also:

Antwort:

Aber „aus Schönheitsgründen“ oder auf Abruf kann man sich das Ergebnis in algebraischer Form leicht vorstellen:

Auf eigene Faust:

Beispiel 4

Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Hier müssen wir uns erinnern Aktionen mit Graden, obwohl es im Handbuch keine einzige nützliche Regel gibt, ist sie hier: .

Und noch ein wichtiger Hinweis: Das Beispiel kann auf zwei Arten gelöst werden. Die erste Möglichkeit besteht darin, mit zu arbeiten zwei Zahlen und der Umgang mit Brüchen ist in Ordnung. Die zweite Möglichkeit besteht darin, jede Zahl als darzustellen Quotient zweier Zahlen: Und die vierstöckige Struktur loswerden. Formal ist es egal, wie man sich entscheidet, aber es gibt einen inhaltlichen Unterschied! Bitte denken Sie sorgfältig darüber nach:
ist eine komplexe Zahl;
ist der Quotient zweier komplexer Zahlen ( und ), aber je nach Kontext kann man auch sagen: eine Zahl, die als Quotient zweier komplexer Zahlen dargestellt wird.

Eine kurze Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Ausdrücke sind gut, aber Gleichungen sind besser:

Gleichungen mit komplexen Koeffizienten

Wie unterscheiden sie sich von „normalen“ Gleichungen? Quoten =)

Beginnen wir im Lichte des obigen Kommentars mit diesem Beispiel:

Beispiel 5

Lösen Sie die Gleichung

Und eine unmittelbare Einleitung „direkt auf den Fersen“: anfänglich Die rechte Seite der Gleichung ist als Quotient zweier komplexer Zahlen ( und 13) positioniert, und daher wäre es eine schlechte Form, die Bedingung mit der Zahl umzuschreiben (obwohl dies keinen Fehler verursacht). Dieser Unterschied wird übrigens im Bruch deutlicher sichtbar – wenn man diesen Wert relativ gesehen in erster Linie versteht „vollständige“ komplexe Wurzel der Gleichung, und zwar nicht als Teiler einer Zahl und schon gar nicht als Teil einer Zahl!

Lösung Im Prinzip geht es auch Schritt für Schritt, aber in diesem Fall lohnt sich das Spiel nicht. Die anfängliche Aufgabe besteht darin, alles zu vereinfachen, was nicht die Unbekannte „z“ enthält, was dazu führt, dass die Gleichung auf die Form reduziert wird:

Wir vereinfachen souverän den Mittelbruch:

Wir übertragen das Ergebnis auf die rechte Seite und ermitteln den Unterschied:

Notiz : Und noch einmal mache ich Sie auf den bedeutungsvollen Punkt aufmerksam – hier haben wir nicht eine Zahl von einer Zahl subtrahiert, sondern die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht! Es ist zu beachten, dass es bereits im FORTSCHRITT der Lösung nicht verboten ist, mit Zahlen zu arbeiten: , allerdings ist dieser Stil im betrachteten Beispiel eher schädlich als nützlich =)

Gemäß der Proportionsregel drücken wir „zet“ aus:

Jetzt können Sie erneut mit dem Konjugierten dividieren und multiplizieren, aber die verdächtig ähnlichen Zahlen im Zähler und Nenner legen den nächsten Schritt nahe:

Antwort:

Um dies zu überprüfen, ersetzen wir den resultierenden Wert auf der linken Seite der ursprünglichen Gleichung und führen Vereinfachungen durch:

– Man erhält die rechte Seite der ursprünglichen Gleichung, somit wird die Wurzel korrekt gefunden.

...Jetzt, jetzt... Ich werde etwas Interessanteres für dich finden... los geht's:

Beispiel 6

Lösen Sie die Gleichung

Diese Gleichung lässt sich auf die Form reduzieren, was bedeutet, dass sie linear ist. Ich denke, der Hinweis ist klar – machen Sie mit!

Natürlich... wie kann man ohne ihn leben:

Quadratische Gleichung mit komplexen Koeffizienten

Im Unterricht Komplexe Zahlen für Dummies Wir haben gelernt, dass eine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten konjugiert komplexe Wurzeln haben kann, woraufhin sich eine logische Frage stellt: Warum können die Koeffizienten selbst eigentlich nicht komplex sein? Lassen Sie mich einen allgemeinen Fall formulieren:

Quadratische Gleichung mit beliebigen komplexen Koeffizienten (1 oder 2 davon oder alle drei können insbesondere gültig sein) hat zwei und nur zwei komplexe Wurzel (Möglicherweise sind einer oder beide davon gültig). Gleichzeitig die Wurzeln (sowohl real als auch mit Imaginärteil ungleich Null) können zusammenfallen (ein Vielfaches sein).

Eine quadratische Gleichung mit komplexen Koeffizienten wird nach dem gleichen Schema wie gelöst „Schule“-Gleichung, mit einigen Unterschieden in der Berechnungstechnik:

Beispiel 7

Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Lösung: Die imaginäre Einheit steht an erster Stelle, und im Prinzip kann man sie loswerden (beide Seiten multiplizieren mit) Hierfür besteht jedoch kein besonderer Bedarf.

Der Einfachheit halber schreiben wir die Koeffizienten aus:

Lassen Sie uns das „Minus“ eines kostenlosen Mitglieds nicht verlieren! ...Es ist vielleicht nicht jedem klar – ich werde die Gleichung in Standardform umschreiben :

Berechnen wir die Diskriminante:

Und hier ist das Haupthindernis:

Anwendung der allgemeinen Formel zur Wurzelextraktion (siehe letzter Absatz des Artikels Komplexe Zahlen für Dummies) kompliziert durch ernsthafte Schwierigkeiten im Zusammenhang mit dem Argument der radikalen komplexen Zahl (Sehen Sie selbst). Aber es gibt noch einen anderen, „algebraischen“ Weg! Wir suchen nach der Wurzel im Formular:

Quadrieren wir beide Seiten:

Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn ihr Real- und Imaginärteil gleich sind. Somit erhalten wir das folgende System:

Durch Auswahl lässt sich das System leichter lösen (Eine gründlichere Methode besteht darin, aus der 2. Gleichung auszudrücken – durch Einsetzen in die 1. erhält man eine biquadratische Gleichung und löst sie.). Unter der Annahme, dass der Autor des Problems kein Monster ist, stellen wir die Hypothese auf, dass und ganze Zahlen sind. Aus der 1. Gleichung folgt, dass „x“ Modulo mehr als „Y“. Darüber hinaus sagt uns das positive Produkt, dass die Unbekannten das gleiche Vorzeichen haben. Basierend auf dem oben Gesagten und mit Fokus auf die zweite Gleichung schreiben wir alle Paare auf, die dazu passen:

Es ist offensichtlich, dass die erste Gleichung des Systems durch die letzten beiden Paare erfüllt wird, also:

Ein Zwischencheck würde nicht schaden:

Das war es, was überprüft werden musste.

Sie können als „funktionierendes“ Root wählen beliebig Bedeutung. Es ist klar, dass es besser ist, die Version ohne die „Nachteile“ zu nehmen:

Wir finden die Wurzeln und vergessen übrigens nicht:

Antwort:

Überprüfen wir, ob die gefundenen Wurzeln die Gleichung erfüllen :

1) Ersetzen wir:

wahre Gleichheit.

2) Ersetzen wir:

wahre Gleichheit.

Somit wurde die Lösung richtig gefunden.

Basierend auf dem Problem, das wir gerade besprochen haben:

Beispiel 8

Finden Sie die Wurzeln der Gleichung

Es ist zu beachten, dass die Quadratwurzel von rein komplex Zahlen lassen sich leicht mit der allgemeinen Formel extrahieren , Wo , daher werden im Beispiel beide Methoden gezeigt. Die zweite nützliche Bemerkung betrifft die Tatsache, dass die vorläufige Extraktion der Wurzel einer Konstanten die Lösung überhaupt nicht vereinfacht.

Jetzt können Sie sich entspannen – in diesem Beispiel kommen Sie mit einem leichten Schrecken davon :)

Beispiel 9

Lösen Sie die Gleichung und überprüfen Sie

Lösungen und Antworten am Ende der Lektion.

Der letzte Absatz des Artikels ist gewidmet

Gleichungssystem mit komplexen Zahlen

Entspannen wir uns und ... verkrampfen wir uns nicht =) Betrachten wir den einfachsten Fall – ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten:

Beispiel 10

Lösen Sie das Gleichungssystem. Präsentieren Sie die Antwort in algebraischer und exponentieller Form und stellen Sie die Wurzeln in der Zeichnung dar.

Lösung: Die Bedingung selbst legt nahe, dass das System eine eindeutige Lösung hat, das heißt, wir müssen zwei Zahlen finden, die diese erfüllen an alle Gleichung des Systems.

Das System lässt sich wirklich „kindisch“ lösen (eine Variable durch eine andere ausdrücken) Es ist jedoch viel bequemer zu verwenden Cramers Formeln. Rechnen wir Hauptdeterminante Systeme:

, was bedeutet, dass das System über eine einzigartige Lösung verfügt.

Ich wiederhole, dass es besser ist, sich die Zeit zu nehmen und die Schritte so detailliert wie möglich aufzuschreiben:

Wir multiplizieren Zähler und Nenner mit einer imaginären Einheit und erhalten die 1. Wurzel:

Ebenfalls: