Logarithmische Gleichungen. Von einfach bis komplex. Logarithmische Gleichungen lösen. Wie man es löst, mit Beispielen

Wir alle kennen Gleichungen aus der Grundschule. Dort haben wir auch gelernt, die einfachsten Beispiele zu lösen, und wir müssen zugeben, dass sie sogar in der höheren Mathematik ihre Anwendung finden. Mit Gleichungen ist alles einfach, auch mit quadratischen Gleichungen. Wenn Sie Probleme mit diesem Thema haben, empfehlen wir Ihnen dringend, es zu lesen.

Wahrscheinlich haben Sie auch schon Logarithmen durchgemacht. Wir halten es jedoch für wichtig, denjenigen, die es noch nicht wissen, zu sagen, was es ist. Ein Logarithmus entspricht der Potenz, mit der die Basis erhöht werden muss, um die Zahl rechts vom Logarithmuszeichen zu erhalten. Lassen Sie uns ein Beispiel geben, anhand dessen Ihnen alles klar wird.

Wenn Sie 3 in die vierte Potenz erhöhen, erhalten Sie 81. Ersetzen Sie nun die Zahlen durch Analogie und Sie werden endlich verstehen, wie Logarithmen gelöst werden. Jetzt müssen nur noch die beiden besprochenen Konzepte kombiniert werden. Zunächst scheint die Situation äußerst kompliziert zu sein, doch bei näherer Betrachtung ergibt sich die Tragweite. Wir sind sicher, dass Sie nach diesem kurzen Artikel in diesem Teil des Einheitlichen Staatsexamens keine Probleme mehr haben werden.

Heutzutage gibt es viele Möglichkeiten, solche Strukturen zu lösen. Wir informieren Sie über die einfachsten, effektivsten und am besten anwendbaren Aufgaben im Rahmen des Einheitlichen Staatsexamens. Das Lösen logarithmischer Gleichungen sollte mit dem einfachsten Beispiel beginnen. Die einfachsten logarithmischen Gleichungen bestehen aus einer Funktion und einer darin enthaltenen Variablen.

Es ist wichtig zu beachten, dass x innerhalb des Arguments steht. A und b müssen Zahlen sein. In diesem Fall können Sie die Funktion einfach durch eine Potenz einer Zahl ausdrücken. Es sieht so aus.

Wenn Sie eine logarithmische Gleichung mit dieser Methode lösen, erhalten Sie natürlich die richtige Antwort. Das Problem für die allermeisten Studierenden besteht in diesem Fall darin, dass sie nicht verstehen, was woher kommt. Dadurch muss man Fehler in Kauf nehmen und erhält nicht die gewünschten Punkte. Der beleidigendste Fehler wird sein, wenn Sie die Buchstaben verwechseln. Um die Gleichung auf diese Weise zu lösen, müssen Sie sich diese Standardschulformel merken, da sie schwer zu verstehen ist.

Um es einfacher zu machen, können Sie auf eine andere Methode zurückgreifen – die kanonische Form. Die Idee ist äußerst einfach. Konzentrieren Sie sich wieder auf das Problem. Denken Sie daran, dass der Buchstabe a eine Zahl ist, keine Funktion oder Variable. A ist ungleich eins und größer als null. Es gibt keine Einschränkungen für b. Erinnern wir uns nun an eine von allen Formeln. B kann wie folgt ausgedrückt werden.

Daraus folgt, dass alle Originalgleichungen mit Logarithmen in der Form dargestellt werden können:

Jetzt können wir die Logarithmen weglassen. Das Ergebnis ist ein einfaches Design, das wir bereits zuvor gesehen haben.

Der Vorteil dieser Formel liegt darin, dass sie in einer Vielzahl von Fällen und nicht nur für die einfachsten Designs verwendet werden kann.

Machen Sie sich keine Sorgen wegen OOF!

Vielen erfahrenen Mathematikern wird auffallen, dass wir dem Definitionsbereich keine Beachtung geschenkt haben. Die Regel läuft darauf hinaus, dass F(x) notwendigerweise größer als 0 ist. Nein, diesen Punkt haben wir nicht übersehen. Jetzt sprechen wir über einen weiteren gravierenden Vorteil der kanonischen Form.

Hier wird es keine zusätzlichen Wurzeln geben. Wenn eine Variable nur an einer Stelle erscheint, ist kein Gültigkeitsbereich erforderlich. Dies geschieht automatisch. Um dieses Urteil zu überprüfen, versuchen Sie, mehrere einfache Beispiele zu lösen.

So lösen Sie logarithmische Gleichungen mit unterschiedlichen Basen

Dabei handelt es sich bereits um komplexe logarithmische Gleichungen, und der Lösungsansatz muss speziell sein. Dabei ist es selten möglich, sich auf die berüchtigte kanonische Form zu beschränken. Beginnen wir mit unserer ausführlichen Geschichte. Wir haben die folgende Konstruktion.

Achten Sie auf den Bruch. Es enthält den Logarithmus. Wenn Sie dies in einer Aufgabe sehen, sollten Sie sich einen interessanten Trick merken.

Was bedeutet es? Jeder Logarithmus kann als Quotient zweier Logarithmen mit einer geeigneten Basis dargestellt werden. Und diese Formel hat einen Sonderfall, der auf dieses Beispiel anwendbar ist (wir meinen, wenn c=b).

Dies ist genau der Bruch, den wir in unserem Beispiel sehen. Daher.

Im Wesentlichen haben wir den Bruch umgedreht und einen bequemeren Ausdruck erhalten. Merken Sie sich diesen Algorithmus!

Nun ist es notwendig, dass die logarithmische Gleichung keine unterschiedlichen Basen enthält. Stellen wir die Basis als Bruch dar.

In der Mathematik gibt es eine Regel, nach der man aus einer Basis einen Abschluss ableiten kann. Es ergibt sich folgende Konstruktion.

Es scheint, was hindert uns jetzt daran, unseren Ausdruck in die kanonische Form zu bringen und ihn einfach zu lösen? So einfach ist das nicht. Vor dem Logarithmus sollten keine Brüche stehen. Lassen Sie uns diese Situation beheben! Als Gradzahlen dürfen Brüche verwendet werden.

Jeweils.

Wenn die Basen gleich sind, können wir die Logarithmen entfernen und die Ausdrücke selbst gleichsetzen. Auf diese Weise wird die Situation viel einfacher als sie war. Was bleiben wird, ist eine elementare Gleichung, die jeder von uns schon in der 8. oder sogar 7. Klasse zu lösen wusste. Sie können die Berechnungen selbst durchführen.

Wir haben die einzig wahre Wurzel dieser logarithmischen Gleichung erhalten. Beispiele für die Lösung einer logarithmischen Gleichung sind recht einfach, nicht wahr? Jetzt sind Sie in der Lage, auch die komplexesten Aufgaben zur Vorbereitung und zum Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens selbstständig zu bewältigen.

Was ist das Ergebnis?

Bei logarithmischen Gleichungen gehen wir von einer sehr wichtigen Regel aus. Es muss so vorgegangen werden, dass der Ausdruck auf die einfachste Form reduziert wird. In diesem Fall haben Sie eine bessere Chance, die Aufgabe nicht nur richtig, sondern auch auf die einfachste und logischste Art und Weise zu lösen. Genau so arbeiten Mathematiker immer.

Wir raten dringend davon ab, schwierige Wege zu suchen, insbesondere in diesem Fall. Denken Sie an ein paar einfache Regeln, mit denen Sie jeden Ausdruck umwandeln können. Reduzieren Sie beispielsweise zwei oder drei Logarithmen auf die gleiche Basis oder leiten Sie eine Potenz von der Basis ab und gewinnen Sie dabei.

Denken Sie auch daran, dass das Lösen logarithmischer Gleichungen ständige Übung erfordert. Nach und nach werden Sie zu immer komplexeren Strukturen übergehen und so alle Problemvarianten des Einheitlichen Staatsexamens souverän lösen. Bereiten Sie sich rechtzeitig auf Ihre Prüfungen vor und wünschen Ihnen viel Erfolg!

Logarithmische Gleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte (x) und die dazugehörigen Ausdrücke unter dem Vorzeichen der logarithmischen Funktion stehen. Das Lösen logarithmischer Gleichungen setzt voraus, dass Sie mit und bereits vertraut sind.
Wie löst man logarithmische Gleichungen?

Die einfachste Gleichung ist log a x = b, wobei a und b Zahlen sind und x eine Unbekannte ist.
Lösen einer logarithmischen Gleichung ist x = a b vorausgesetzt: a > 0, a 1.

Es ist zu beachten, dass, wenn x irgendwo außerhalb des Logarithmus liegt, zum Beispiel log 2 x = x-2, eine solche Gleichung bereits als gemischt bezeichnet wird und ein spezieller Ansatz erforderlich ist, um sie zu lösen.

Der Idealfall liegt vor, wenn Sie auf eine Gleichung stoßen, in der nur Zahlen unter dem Logarithmuszeichen stehen, zum Beispiel x+2 = log 2 2. Hier reicht es aus, die Eigenschaften von Logarithmen zu kennen, um sie zu lösen. Aber so viel Glück kommt nicht oft vor, also machen Sie sich auf schwierigere Dinge gefasst.

Aber beginnen wir zunächst mit einfachen Gleichungen. Um sie zu lösen, ist es ratsam, ein sehr allgemeines Verständnis des Logarithmus zu haben.

Einfache logarithmische Gleichungen lösen

Dazu gehören Gleichungen vom Typ log 2 x = log 2 · 16. Mit bloßem Auge ist erkennbar, dass wir durch Weglassen des Vorzeichens des Logarithmus x = 16 erhalten.

Um eine komplexere logarithmische Gleichung zu lösen, reduziert man sich normalerweise auf die Lösung einer gewöhnlichen algebraischen Gleichung oder auf die Lösung einer einfachen logarithmischen Gleichung log a x = b. Bei den einfachsten Gleichungen geschieht dies in einer Bewegung, weshalb sie auch einfachste genannt werden.

Die obige Methode zum Löschen von Logarithmen ist eine der Hauptmethoden zur Lösung logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen. In der Mathematik nennt man diese Operation Potenzierung. Für diese Art von Operation gelten bestimmte Regeln bzw. Einschränkungen:

Logarithmen haben die gleichen Zahlenbasen
Die Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung sind frei, d. h. ohne Koeffizienten oder andere verschiedene Arten von Ausdrücken.

Nehmen wir an, in der Gleichung log 2 x = 2log 2 (1 - x) ist die Potenzierung nicht anwendbar – der Koeffizient 2 auf der rechten Seite lässt dies nicht zu. Im folgenden Beispiel erfüllt log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) ebenfalls nicht eine der Einschränkungen – es gibt zwei Logarithmen auf der linken Seite. Wenn es nur einen gäbe, wäre das eine ganz andere Sache!

Im Allgemeinen können Sie Logarithmen nur entfernen, wenn die Gleichung die Form hat:

log a (...) = log a (...)

Es können absolut beliebige Ausdrücke in Klammern gesetzt werden; dies hat absolut keine Auswirkung auf die Potenzierungsoperation. Und nach Eliminierung der Logarithmen bleibt eine einfachere Gleichung übrig – linear, quadratisch, exponentiell usw., die Sie hoffentlich bereits lösen können.

Nehmen wir ein anderes Beispiel:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Wenn wir die Potenzierung anwenden, erhalten wir:

log 3 (2x-1) = 2

Basierend auf der Definition eines Logarithmus, nämlich dass ein Logarithmus die Zahl ist, auf die die Basis erhöht werden muss, um einen Ausdruck zu erhalten, der unter dem Logarithmuszeichen steht, d. h. (4x-1) erhalten wir:

Wieder erhielten wir eine schöne Antwort. Hier haben wir darauf verzichtet, Logarithmen zu eliminieren, aber Potenzierung ist auch hier anwendbar, denn ein Logarithmus kann aus jeder Zahl gebildet werden, und zwar genau der, die wir brauchen. Diese Methode ist sehr hilfreich bei der Lösung logarithmischer Gleichungen und insbesondere von Ungleichungen.

Lösen wir unsere logarithmische Gleichung log 3 (2x-1) = 2 mittels Potenzierung:

Stellen wir uns die Zahl 2 als Logarithmus vor, zum Beispiel dieser Logarithmus 3 9, weil 3 2 =9.

Dann ist log 3 (2x-1) = log 3 9 und wieder erhalten wir die gleiche Gleichung 2x-1 = 9. Ich hoffe, dass alles klar ist.

Also haben wir uns angeschaut, wie man die einfachsten logarithmischen Gleichungen löst, die eigentlich sehr wichtig sind, weil Logarithmische Gleichungen lösen Selbst die schrecklichsten und verdrehtesten, am Ende kommt es immer darauf an, die einfachsten Gleichungen zu lösen.

Bei allem, was wir oben getan haben, haben wir einen sehr wichtigen Punkt aus den Augen verloren, der in Zukunft eine entscheidende Rolle spielen wird. Tatsache ist, dass die Lösung jeder logarithmischen Gleichung, selbst der elementarsten, aus zwei gleichen Teilen besteht. Die erste ist die Lösung der Gleichung selbst, die zweite ist die Arbeit mit dem Bereich zulässiger Werte (APV). Das ist genau der erste Teil, den wir gemeistert haben. In den obigen Beispielen hat ODZ keinerlei Einfluss auf die Antwort, daher haben wir es nicht berücksichtigt.

Nehmen wir ein anderes Beispiel:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Äußerlich unterscheidet sich diese Gleichung nicht von einer elementaren, die sehr erfolgreich gelöst werden kann. Aber das ist nicht ganz richtig. Nein, wir werden es natürlich lösen, aber höchstwahrscheinlich falsch, denn es enthält einen kleinen Hinterhalt, in den sowohl C-Klasse-Schüler als auch exzellente Schüler sofort hineinfallen. Schauen wir genauer hin.

Nehmen wir an, Sie müssen die Wurzel der Gleichung oder die Summe der Wurzeln finden, wenn es mehrere davon gibt:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Wir verwenden Potenzierung, sie ist hier akzeptabel. Als Ergebnis erhalten wir eine gewöhnliche quadratische Gleichung.

Finden der Wurzeln der Gleichung:

Es stellte sich heraus, dass es zwei Wurzeln gab.

Antwort: 3 und -1

Auf den ersten Blick stimmt alles. Aber überprüfen wir das Ergebnis und setzen es in die ursprüngliche Gleichung ein.

Beginnen wir mit x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Die Prüfung war erfolgreich, jetzt ist die Warteschlange x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Okay, hör auf! Äußerlich ist alles perfekt. Eines: Es gibt keine Logarithmen aus negativen Zahlen! Das bedeutet, dass die Wurzel x = -1 nicht zur Lösung unserer Gleichung geeignet ist. Und deshalb ist die richtige Antwort 3 und nicht 2, wie wir geschrieben haben.

Hier spielte ODZ seine fatale Rolle, die wir vergessen hatten.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass der Bereich akzeptabler Werte auch die Werte von x umfasst, die für das ursprüngliche Beispiel zulässig oder sinnvoll sind.

Ohne ODZ wird jede Lösung, auch eine absolut korrekte, einer Gleichung zu einer Lotterie – 50/50.

Wie könnten wir beim Lösen eines scheinbar einfachen Beispiels erwischt werden? Aber genau im Moment der Potenzierung. Logarithmen verschwanden und mit ihnen alle Einschränkungen.

Was ist in diesem Fall zu tun? Weigern Sie sich, Logarithmen zu eliminieren? Und sich völlig weigern, diese Gleichung zu lösen?

Nein, wir machen einfach, wie echte Helden aus einem berühmten Lied, einen Umweg!

Bevor wir mit der Lösung einer logarithmischen Gleichung beginnen, schreiben wir die ODZ auf. Aber danach können Sie mit unserer Gleichung machen, was Ihr Herz begehrt. Nachdem wir die Antwort erhalten haben, werfen wir einfach die Wurzeln weg, die nicht in unserer ODZ enthalten sind, und schreiben die endgültige Version auf.

Lassen Sie uns nun entscheiden, wie ODZ aufgezeichnet wird. Dazu untersuchen wir die ursprüngliche Gleichung sorgfältig und suchen darin nach verdächtigen Stellen, wie z. B. Division durch x, gerade Wurzel usw. Bis wir die Gleichung gelöst haben, wissen wir nicht, was x ist, aber wir wissen mit Sicherheit, dass diejenigen x, deren Ersetzung eine Division durch 0 ergibt oder die Quadratwurzel einer negativen Zahl zieht, offensichtlich nicht als geeignet sind Antwort. Daher sind solche x inakzeptabel, während der Rest ODZ darstellt.

Lassen Sie uns die gleiche Gleichung noch einmal verwenden:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Wie Sie sehen, gibt es keine Division durch 0, es gibt auch keine Quadratwurzeln, aber es gibt Ausdrücke mit x im Logarithmusrumpf. Erinnern wir uns sofort daran, dass der Ausdruck innerhalb des Logarithmus immer >0 sein muss. Wir schreiben diese Bedingung in Form von ODZ:

Diese. Wir haben noch nichts gelöst, aber wir haben bereits eine zwingende Bedingung für den gesamten sublogarithmischen Ausdruck aufgeschrieben. Die geschweifte Klammer bedeutet, dass diese Bedingungen gleichzeitig wahr sein müssen.

Die ODZ ist niedergeschrieben, aber es ist auch notwendig, das resultierende Ungleichheitssystem zu lösen, was wir tun werden. Wir erhalten die Antwort x > v3. Jetzt wissen wir sicher, welches x nicht zu uns passt. Und dann beginnen wir, die logarithmische Gleichung selbst zu lösen, was wir oben getan haben.

Nachdem wir die Antworten x 1 = 3 und x 2 = -1 erhalten haben, ist es leicht zu erkennen, dass nur x1 = 3 zu uns passt, und wir schreiben es als endgültige Antwort auf.

Für die Zukunft ist es sehr wichtig, sich Folgendes zu merken: Wir lösen jede logarithmische Gleichung in zwei Schritten. Die erste besteht darin, die Gleichung selbst zu lösen, die zweite darin, die ODZ-Bedingung zu lösen. Beide Schritte werden unabhängig voneinander durchgeführt und erst beim Schreiben der Antwort verglichen, d. h. Verwerfen Sie alles Unnötige und schreiben Sie die richtige Antwort auf.

Zur Vertiefung des Materials empfehlen wir dringend, sich das Video anzusehen:

Das Video zeigt weitere Beispiele zum Lösen von Protokollen. Gleichungen und das Einüben der Intervallmethode in die Praxis.

Zu dieser Frage: wie man logarithmische Gleichungen löst Das ist alles für den Moment. Wenn etwas durch das Protokoll entschieden wird. Sollten Gleichungen unklar oder unverständlich bleiben, schreiben Sie Ihre Fragen in die Kommentare.

Hinweis: Die Akademie für Sozialpädagogik (ASE) ist bereit, neue Studierende aufzunehmen.

Heute lernen wir, wie man die einfachsten logarithmischen Gleichungen löst, bei denen keine vorläufigen Transformationen oder Auswahl von Wurzeln erforderlich sind. Aber wenn Sie lernen, solche Gleichungen zu lösen, wird es viel einfacher.

Die einfachste logarithmische Gleichung ist eine Gleichung der Form log a f (x) = b, wobei a, b Zahlen sind (a > 0, a ≠ 1), f (x) eine bestimmte Funktion ist.

Ein charakteristisches Merkmal aller logarithmischen Gleichungen ist das Vorhandensein der Variablen x unter dem Logarithmuszeichen. Wenn dies die ursprünglich in der Aufgabe angegebene Gleichung ist, wird sie als die einfachste bezeichnet. Alle anderen logarithmischen Gleichungen werden durch spezielle Transformationen auf das Einfachste reduziert (siehe „Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen“). Allerdings müssen zahlreiche Feinheiten berücksichtigt werden: Es können zusätzliche Wurzeln entstehen, sodass komplexe logarithmische Gleichungen gesondert betrachtet werden.

Wie löst man solche Gleichungen? Es genügt, die Zahl rechts vom Gleichheitszeichen durch einen Logarithmus mit der gleichen Basis wie links zu ersetzen. Dann können Sie das Vorzeichen des Logarithmus loswerden. Wir bekommen:

log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b

Wir haben die übliche Gleichung erhalten. Seine Wurzeln sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung.

Abschluss machen

Oftmals werden logarithmische Gleichungen, die äußerlich komplex und bedrohlich wirken, in nur wenigen Zeilen gelöst, ohne dass komplexe Formeln erforderlich sind. Heute werden wir uns mit solchen Problemen befassen, bei denen Sie lediglich die Formel sorgfältig auf die kanonische Form reduzieren müssen und sich bei der Suche nach dem Definitionsbereich von Logarithmen nicht verwirren müssen.

Heute werden wir, wie Sie wahrscheinlich anhand des Titels erraten haben, logarithmische Gleichungen mithilfe von Formeln für den Übergang zur kanonischen Form lösen. Der wichtigste „Trick“ dieser Videolektion besteht darin, mit Graden zu arbeiten, oder besser gesagt, den Grad aus der Grundlage und dem Argument abzuleiten. Schauen wir uns die Regel an:

Ebenso können Sie den Grad aus der Basis ableiten:

Wie wir sehen können, erhalten wir, wenn wir den Grad aus dem Argument des Logarithmus entfernen, einfach einen zusätzlichen Faktor vor uns, und wenn wir den Grad aus der Basis entfernen, erhalten wir nicht nur einen Faktor, sondern einen invertierten Faktor. Daran muss man sich erinnern.

Zum Schluss noch das Interessanteste. Diese Formeln können kombiniert werden, dann erhalten wir:

Natürlich gibt es bei diesen Übergängen gewisse Fallstricke, die mit der möglichen Erweiterung des Definitionsbereichs oder umgekehrt mit einer Einengung des Definitionsbereichs verbunden sind. Urteilen Sie selbst:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x

Wenn im ersten Fall x eine beliebige Zahl ungleich 0 sein könnte, also die Anforderung x ≠ 0, dann geben wir uns im zweiten Fall nur mit x zufrieden, die nicht nur ungleich, sondern strikt größer als 0 sind, weil der Definitionsbereich von Die Definition des Logarithmus besagt, dass das Argument unbedingt größer als 0 sein muss. Deshalb möchte ich Sie an eine wunderbare Formel aus dem Algebrakurs der 8. bis 9. Klasse erinnern:

Das heißt, wir müssen unsere Formel wie folgt schreiben:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |

Dann kommt es zu keiner Einengung des Definitionsbereichs.

Im heutigen Video-Tutorial wird es jedoch keine Quadrate geben. Wenn Sie unsere Aufgaben betrachten, sehen Sie nur die Wurzeln. Daher werden wir diese Regel nicht anwenden, aber Sie müssen sie dennoch im Hinterkopf behalten, damit Sie sich im richtigen Moment, wenn Sie eine quadratische Funktion in einem Argument oder die Basis eines Logarithmus sehen, an diese Regel erinnern und alles ausführen Transformationen richtig.

Die erste Gleichung lautet also:

Um dieses Problem zu lösen, schlage ich vor, jeden der in der Formel enthaltenen Begriffe sorgfältig zu prüfen.

Schreiben wir den ersten Term als Potenz mit rationalem Exponenten um:

Wir betrachten den zweiten Term: log 3 (1 − x). Hier muss man nichts tun, hier ist bereits alles umgestaltet.

Schließlich 0, 5. Wie ich in früheren Lektionen sagte, empfehle ich beim Lösen logarithmischer Gleichungen und Formeln dringend, von Dezimalbrüchen zu gewöhnlichen Brüchen überzugehen. Machen wir Folgendes:

0,5 = 5/10 = 1/2

Schreiben wir unsere ursprüngliche Formel unter Berücksichtigung der resultierenden Terme neu:

log 3 (1 − x ) = 1

Kommen wir nun zur kanonischen Form:

log 3 (1 − x ) = log 3 3

Wir entledigen uns des Logarithmuszeichens, indem wir die Argumente gleichsetzen:

1 − x = 3

−x = 2

x = −2

Das war's, wir haben die Gleichung gelöst. Gehen wir jedoch trotzdem auf Nummer sicher und finden Sie den Definitionsbereich. Gehen wir dazu zur ursprünglichen Formel zurück und sehen uns Folgendes an:

1 − x > 0

−x > −1

X< 1

Unsere Wurzel x = −2 erfüllt diese Anforderung, daher ist x = −2 eine Lösung der ursprünglichen Gleichung. Jetzt haben wir eine strenge, klare Begründung erhalten. Das war's, Problem gelöst.

Kommen wir zur zweiten Aufgabe:

Schauen wir uns jeden Begriff einzeln an.

Schreiben wir den ersten auf:

Wir haben den ersten Begriff umgestaltet. Wir arbeiten mit dem zweiten Term:

Zum Schluss noch der letzte Term, der rechts vom Gleichheitszeichen steht:

Wir ersetzen die resultierenden Ausdrücke anstelle der Terme in der resultierenden Formel:

log 3 x = 1

Kommen wir zur kanonischen Form:

log 3 x = log 3 3

Wir entfernen das Logarithmuszeichen, setzen die Argumente gleich und erhalten:

x = 3

Um auf der sicheren Seite zu sein, kehren wir noch einmal zur ursprünglichen Gleichung zurück und werfen einen Blick darauf. In der ursprünglichen Formel ist die Variable x nur im Argument vorhanden, daher gilt

x > 0

Im zweiten Logarithmus liegt x unter der Wurzel, aber auch hier im Argument muss die Wurzel größer als 0 sein, d. h. der Wurzelausdruck muss größer als 0 sein. Wir betrachten unsere Wurzel x = 3. Offensichtlich ist es erfüllt diese Anforderung. Daher ist x = 3 eine Lösung der ursprünglichen logarithmischen Gleichung. Das war's, Problem gelöst.

Im heutigen Video-Tutorial gibt es zwei wichtige Punkte:

1) Haben Sie keine Angst davor, Logarithmen zu transformieren, und haben Sie insbesondere keine Angst davor, Potenzen aus dem Vorzeichen des Logarithmus zu entfernen. Beachten Sie dabei unsere Grundformel: Wenn Sie eine Potenz aus einem Argument entfernen, wird sie einfach ohne Änderungen herausgenommen als Multiplikator, und wenn eine Kraft aus der Basis entnommen wird, wird diese Kraft invertiert.

2) Der zweite Punkt bezieht sich auf die kanonische Form selbst. Den Übergang zur kanonischen Form haben wir ganz am Ende der Transformation der logarithmischen Gleichungsformel vorgenommen. Ich möchte Sie an die folgende Formel erinnern:

a = log b b a

Mit dem Ausdruck „beliebige Zahl b“ meine ich natürlich diejenigen Zahlen, die die an die Basis des Logarithmus gestellten Anforderungen erfüllen, d.h.

1 ≠ b > 0

Für ein solches b und da wir die Basis bereits kennen, wird diese Anforderung automatisch erfüllt. Aber für solche b – alle, die diese Anforderung erfüllen – kann dieser Übergang durchgeführt werden, und wir erhalten eine kanonische Form, in der wir das Vorzeichen des Logarithmus entfernen können.

Erweiterung des Definitionsbereichs und zusätzlicher Wurzeln

Bei der Transformation logarithmischer Gleichungen kann es zu einer impliziten Erweiterung des Definitionsbereichs kommen. Oft merken Studierende dies gar nicht, was zu Fehlern und falschen Antworten führt.

Beginnen wir mit den einfachsten Designs. Die einfachste logarithmische Gleichung ist die folgende:

log a f (x) = b

Beachten Sie, dass x nur in einem Argument eines Logarithmus vorhanden ist. Wie lösen wir solche Gleichungen? Wir verwenden die kanonische Form. Stellen Sie sich dazu die Zahl b = log a a b vor und unsere Gleichung wird wie folgt umgeschrieben:

log a f (x) = log a a b

Dieser Eintrag wird als kanonische Form bezeichnet. Darauf sollten Sie jede logarithmische Gleichung reduzieren, die Ihnen nicht nur in der heutigen Lektion, sondern auch in jeder unabhängigen Arbeit und in Testarbeiten begegnet.

Wie man zur kanonischen Form gelangt und welche Techniken man verwendet, ist eine Frage der Übung. Das Wichtigste, was Sie verstehen sollten, ist, dass Sie das Problem als gelöst betrachten können, sobald Sie eine solche Aufzeichnung erhalten. Denn der nächste Schritt besteht darin, zu schreiben:

f (x) = a b

Mit anderen Worten: Wir verzichten auf das Logarithmuszeichen und setzen die Argumente einfach gleich.

Warum dieses ganze Gerede? Tatsache ist, dass die kanonische Form nicht nur auf die einfachsten Probleme anwendbar ist, sondern auch auf alle anderen. Insbesondere diejenigen, über die wir heute entscheiden werden. Mal sehen.

Erste Aufgabe:

Was ist das Problem mit dieser Gleichung? Tatsache ist, dass die Funktion in zwei Logarithmen gleichzeitig vorliegt. Das Problem lässt sich auf seine einfachste Form reduzieren, indem man einfach einen Logarithmus vom anderen subtrahiert. Bei der Definition des Bereichs treten jedoch Probleme auf: Es können zusätzliche Wurzeln auftreten. Verschieben wir also einfach einen der Logarithmen nach rechts:

Dieser Eintrag ähnelt viel mehr der kanonischen Form. Aber es gibt noch eine Nuance: In der kanonischen Form müssen die Argumente gleich sein. Und links haben wir den Logarithmus zur Basis 3 und rechts den Logarithmus zur Basis 1/3. Er weiß, dass diese Stützpunkte auf die gleiche Zahl gebracht werden müssen. Erinnern wir uns zum Beispiel daran, was negative Kräfte sind:

Und dann verwenden wir den „−1“-Exponenten außerhalb von log als Multiplikator:

Bitte beachten Sie: Der Grad, der an der Basis stand, wird umgedreht und in einen Bruch umgewandelt. Wir haben eine fast kanonische Notation erhalten, indem wir verschiedene Basen entfernt haben, dafür aber den Faktor „−1“ auf der rechten Seite erhalten haben. Lassen Sie uns diesen Faktor in das Argument einbeziehen, indem wir ihn in eine Potenz umwandeln:

Nachdem wir die kanonische Form erhalten haben, streichen wir natürlich mutig das Vorzeichen des Logarithmus und setzen die Argumente gleich. Gleichzeitig möchte ich Sie daran erinnern, dass bei der Potenz „−1“ der Bruch einfach umgedreht wird – man erhält einen Anteil.

Nutzen wir die Grundeigenschaft der Proportionen und multiplizieren sie kreuzweise:

(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)

2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20

2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20

x 2 − 10x + 16 = 0

Wir haben die obige quadratische Gleichung vor uns und lösen sie mit den Formeln von Vieta:

(x − 8)(x − 2) = 0

x 1 = 8; x 2 = 2

Das ist es. Glauben Sie, dass die Gleichung gelöst ist? NEIN! Für eine solche Lösung erhalten wir 0 Punkte, da in der ursprünglichen Gleichung zwei Logarithmen mit der Variablen x vorkommen. Daher ist es notwendig, den Definitionsbereich zu berücksichtigen.

Und hier beginnt der Spaß. Die meisten Studenten sind verwirrt: Was ist der Definitionsbereich eines Logarithmus? Natürlich müssen alle Argumente (wir haben zwei) größer als Null sein:

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Jede dieser Ungleichungen muss gelöst, auf einer Geraden markiert, geschnitten und erst dann gesehen werden, welche Wurzeln im Schnittpunkt liegen.

Ich bin ehrlich: Diese Technik hat ihre Daseinsberechtigung, sie ist zuverlässig und Sie erhalten die richtige Antwort, aber sie enthält zu viele unnötige Schritte. Gehen wir also unsere Lösung noch einmal durch und sehen: Wo genau müssen wir den Bereich anwenden? Mit anderen Worten: Sie müssen genau verstehen, wann genau zusätzliche Wurzeln erscheinen.

Ursprünglich hatten wir zwei Logarithmen. Dann haben wir einen davon nach rechts verschoben, was jedoch keinen Einfluss auf den Definitionsbereich hatte.
Dann entfernen wir die Potenz von der Basis, aber es gibt immer noch zwei Logarithmen, und in jedem von ihnen gibt es eine Variable x.
Schließlich streichen wir die Vorzeichen des Logarithmus durch und erhalten die klassische gebrochene rationale Gleichung.

Im letzten Schritt wird der Definitionsbereich erweitert! Sobald wir zu einer gebrochenrationalen Gleichung übergingen und die Logarithmuszeichen loswurden, änderten sich die Anforderungen an die Variable x dramatisch!

Folglich kann der Definitionsbereich nicht gleich zu Beginn der Lösung betrachtet werden, sondern erst im genannten Schritt – vor der direkten Gleichsetzung der Argumente.

Hier liegt die Chance zur Optimierung. Einerseits ist es erforderlich, dass beide Argumente größer als Null sind. Andererseits setzen wir diese Argumente weiter gleich. Wenn also mindestens einer davon positiv ist, dann wird auch der zweite positiv sein!

Es stellt sich also heraus, dass die Forderung, dass zwei Ungleichungen gleichzeitig erfüllt sein müssen, übertrieben ist. Es reicht aus, nur einen dieser Brüche zu betrachten. Welches genau? Die, die einfacher ist. Schauen wir uns zum Beispiel den rechten Bruch an:

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Dies ist eine typische gebrochene rationale Ungleichung; wir lösen sie mit der Intervallmethode:

Wie platziere ich Schilder? Nehmen wir eine Zahl, die offensichtlich größer ist als alle unsere Wurzeln. Zum Beispiel 1 Milliarde. Und wir ersetzen seinen Bruchteil. Wir erhalten eine positive Zahl, d.h. Rechts von der Wurzel x = 5 steht ein Pluszeichen.

Dann wechseln sich die Zeichen ab, weil es nirgendwo Wurzeln gerader Mannigfaltigkeit gibt. Uns interessieren Intervalle, in denen die Funktion positiv ist. Daher ist x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

Erinnern wir uns nun an die Antworten: x = 8 und x = 2. Streng genommen handelt es sich hierbei noch nicht um Antworten, sondern nur um Kandidaten für die Antwort. Welches gehört zur angegebenen Menge? Natürlich ist x = 8. Aber x = 2 passt uns vom Definitionsbereich her nicht.

Insgesamt lautet die Antwort auf die erste logarithmische Gleichung x = 8. Jetzt haben wir eine kompetente, fundierte Lösung unter Berücksichtigung des Definitionsbereichs.

Kommen wir zur zweiten Gleichung:

log 5 (x − 9) = log 0,5 4 − log 5 (x − 5) + 3

Ich möchte Sie daran erinnern, dass Sie, wenn die Gleichung einen Dezimalbruch enthält, diesen entfernen sollten. Mit anderen Worten, schreiben wir 0,5 als gemeinsamen Bruch um. Wir bemerken sofort, dass der Logarithmus, der diese Basis enthält, leicht zu berechnen ist:

Das ist ein sehr wichtiger Moment! Wenn wir sowohl in der Basis als auch im Argument Grade haben, können wir die Indikatoren dieser Grade mithilfe der Formel ableiten:

Kehren wir zu unserer ursprünglichen logarithmischen Gleichung zurück und schreiben sie neu:

log 5 (x − 9) = 1 − log 5 (x − 5)

Wir haben einen Entwurf erhalten, der der kanonischen Form sehr nahe kommt. Allerdings verwirren uns die Begriffe und das Minuszeichen rechts vom Gleichheitszeichen. Stellen wir eins als Logarithmus zur Basis 5 dar:

log 5 (x − 9) = log 5 5 1 − log 5 (x − 5)

Subtrahieren Sie die Logarithmen rechts (in diesem Fall werden ihre Argumente geteilt):

log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)

Wunderbar. Also haben wir die kanonische Form! Wir streichen die Protokollzeichen durch und setzen die Argumente gleich:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

Dies ist ein Verhältnis, das leicht durch Kreuzmultiplikation gelöst werden kann:

(x − 9)(x − 5) = 5 1

x 2 − 9x − 5x + 45 = 5

x 2 − 14x + 40 = 0

Offensichtlich haben wir eine reduzierte quadratische Gleichung. Es lässt sich leicht mit den Formeln von Vieta lösen:

(x − 10)(x − 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

Wir haben zwei Wurzeln. Dies sind jedoch keine endgültigen Antworten, sondern nur Kandidaten, da die logarithmische Gleichung auch eine Überprüfung des Definitionsbereichs erfordert.

Ich erinnere Sie daran: Es besteht keine Notwendigkeit zu suchen, wann jeder der Argumente wird größer als Null sein. Es genügt zu verlangen, dass ein Argument – entweder x − 9 oder 5/(x − 5) – größer als Null ist. Betrachten Sie das erste Argument:

x − 9 > 0

x > 9

Offensichtlich erfüllt nur x = 10 diese Anforderung. Dies ist die endgültige Antwort. Das ganze Problem ist gelöst.

Noch einmal die Kerngedanken der heutigen Lektion:

Sobald die Variable x in mehreren Logarithmen auftritt, ist die Gleichung nicht mehr elementar und ihr Definitionsbereich muss berechnet werden. Andernfalls können Sie problemlos zusätzliche Wurzeln in die Antwort schreiben.
Die Arbeit mit der Domäne selbst kann erheblich vereinfacht werden, wenn wir die Ungleichung nicht sofort, sondern genau in dem Moment ausschreiben, in dem wir die Protokollzeichen entfernen. Denn wenn die Argumente miteinander gleichgesetzt werden, reicht es aus zu verlangen, dass nur eines von ihnen größer als Null ist.

Natürlich entscheiden wir selbst, welches Argument wir zur Bildung einer Ungleichung verwenden, daher ist es logisch, das einfachste zu wählen. In der zweiten Gleichung haben wir beispielsweise das Argument (x − 9) gewählt, eine lineare Funktion, im Gegensatz zum gebrochenen rationalen zweiten Argument. Stimmen Sie zu, die Ungleichung x − 9 > 0 zu lösen ist viel einfacher als 5/(x − 5) > 0. Obwohl das Ergebnis das gleiche ist.

Diese Bemerkung vereinfacht die Suche nach ODZ erheblich, aber seien Sie vorsichtig: Sie können nur dann eine Ungleichung anstelle von zwei verwenden, wenn die Argumente präzise sind sind einander gleich!

Natürlich wird sich jetzt jemand fragen: Was passiert anders? Ja, es passiert. Wenn wir beispielsweise im Schritt selbst zwei Argumente multiplizieren, die eine Variable enthalten, besteht die Gefahr, dass unnötige Wurzeln entstehen.

Urteilen Sie selbst: Zuerst muss jedes der Argumente größer als Null sein, aber nach der Multiplikation reicht es aus, dass ihr Produkt größer als Null ist. Infolgedessen wird der Fall übersehen, in dem jeder dieser Brüche negativ ist.

Wenn Sie also gerade erst anfangen, komplexe logarithmische Gleichungen zu verstehen, multiplizieren Sie auf keinen Fall Logarithmen, die die Variable x enthalten – dies führt zu oft zum Auftreten unnötiger Wurzeln. Es ist besser, einen zusätzlichen Schritt zu machen, einen Begriff auf die andere Seite zu verschieben und eine kanonische Form zu erstellen.

Was zu tun ist, wenn Sie auf die Multiplikation solcher Logarithmen nicht verzichten können, besprechen wir in der nächsten Videolektion :).

Noch einmal zu den Potenzen in der Gleichung

Heute werden wir uns mit einem ziemlich heiklen Thema befassen, das logarithmische Gleichungen betrifft, oder genauer gesagt, die Entfernung von Potenzen aus den Argumenten und Basen von Logarithmen.

Ich würde sogar sagen, dass wir über die Entfernung gerader Potenzen sprechen werden, denn bei geraden Potenzen treten die meisten Schwierigkeiten bei der Lösung realer logarithmischer Gleichungen auf.

Beginnen wir mit der kanonischen Form. Nehmen wir an, wir haben eine Gleichung der Form log a f (x) = b. In diesem Fall schreiben wir die Zahl b mit der Formel b = log a a b um. Es stellt sich Folgendes heraus:

log a f (x) = log a a b

Dann setzen wir die Argumente gleich:

f (x) = a b

Die vorletzte Formel wird kanonische Form genannt. Darauf versuchen sie, jede logarithmische Gleichung zu reduzieren, egal wie komplex und beängstigend sie auf den ersten Blick erscheinen mag.

Also lasst es uns versuchen. Beginnen wir mit der ersten Aufgabe:

Vorbemerkung: Wie ich bereits sagte, lassen sich alle Dezimalbrüche in einer logarithmischen Gleichung besser in gewöhnliche Brüche umwandeln:

0,5 = 5/10 = 1/2

Schreiben wir unsere Gleichung unter Berücksichtigung dieser Tatsache neu. Beachten Sie, dass sowohl 1/1000 als auch 100 Zehnerpotenzen sind, und dann nehmen wir Potenzen heraus, wo immer sie sind: aus Argumenten und sogar aus der Basis von Logarithmen:

Und hier haben viele Studierende eine Frage: „Woher kommt das Modul rechts?“ Warum also nicht einfach (x − 1) schreiben? Natürlich werden wir jetzt (x − 1) schreiben, aber unter Berücksichtigung des Definitionsbereichs haben wir das Recht, dies zu schreiben. Schließlich enthält ein anderer Logarithmus bereits (x − 1) und dieser Ausdruck muss größer als Null sein.

Aber wenn wir das Quadrat von der Basis des Logarithmus entfernen, müssen wir genau den Modul an der Basis belassen. Lassen Sie mich erklären, warum.

Tatsache ist, dass aus mathematischer Sicht ein Abschluss gleichbedeutend ist mit dem Wurzelziehen. Insbesondere wenn wir den Ausdruck (x − 1) 2 quadrieren, ziehen wir im Wesentlichen die zweite Wurzel. Aber die Quadratwurzel ist nichts anderes als ein Modul. genau Modul, denn selbst wenn der Ausdruck x − 1 negativ ist, wird das „Minus“ beim Quadratieren immer noch ausbrennen. Durch weiteres Extrahieren der Wurzel erhalten wir eine positive Zahl – ohne Minuspunkte.

Um beleidigende Fehler zu vermeiden, denken Sie im Allgemeinen ein für alle Mal daran:

Die Wurzel einer geraden Potenz einer Funktion, die auf die gleiche Potenz erhoben wird, ist nicht gleich der Funktion selbst, sondern ihrem Modul:

Kehren wir zu unserer logarithmischen Gleichung zurück. Als ich über das Modul sprach, argumentierte ich, dass wir es problemlos entfernen können. Das ist wahr. Jetzt werde ich erklären, warum. Streng genommen mussten wir zwei Optionen in Betracht ziehen:

x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Jede dieser Optionen müsste berücksichtigt werden. Aber es gibt einen Haken: Die Originalformel enthält bereits die Funktion (x − 1) ohne Modul. Und dem Definitionsbereich von Logarithmen folgend, haben wir das Recht, sofort zu schreiben, dass x − 1 > 0.

Diese Anforderung muss unabhängig von Modulen und anderen Transformationen erfüllt werden, die wir während des Lösungsprozesses durchführen. Daher macht es keinen Sinn, die zweite Option in Betracht zu ziehen – sie wird nie in Frage kommen. Selbst wenn wir bei der Lösung dieses Ungleichheitszweigs einige Zahlen erhalten, werden diese dennoch nicht in die endgültige Antwort einbezogen.

Jetzt sind wir buchstäblich einen Schritt von der kanonischen Form der logarithmischen Gleichung entfernt. Stellen wir uns die Einheit wie folgt dar:

1 = log x − 1 (x − 1) 1

Zusätzlich führen wir den Faktor −4, der rechts steht, in das Argument ein:

log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)

Vor uns liegt die kanonische Form der logarithmischen Gleichung. Wir werden das Logarithmuszeichen los:

10 −4 = x − 1

Da die Basis aber eine Funktion (und keine Primzahl) war, fordern wir zusätzlich, dass diese Funktion größer als Null und ungleich Eins ist. Das resultierende System wird sein:

Da die Bedingung x − 1 > 0 automatisch erfüllt ist (immerhin ist x − 1 = 10 −4), kann eine der Ungleichungen aus unserem System gelöscht werden. Die zweite Bedingung kann auch gestrichen werden, da x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0,0001 = 1,0001

Dies ist die einzige Wurzel, die automatisch alle Anforderungen des Definitionsbereichs des Logarithmus erfüllt (alle Anforderungen wurden jedoch eliminiert, da sie in den Bedingungen unseres Problems offensichtlich erfüllt waren).

Also die zweite Gleichung:

3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2

Wie unterscheidet sich diese Gleichung grundlegend von der vorherigen? Schon allein deshalb, weil die Basen der Logarithmen – 3x und 9x – keine natürlichen Potenzen voneinander sind. Daher ist der Übergang, den wir in der vorherigen Lösung verwendet haben, nicht möglich.

Lasst uns wenigstens die Abschlüsse loswerden. In unserem Fall liegt der einzige Grad im zweiten Argument:

3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |

Das Modulzeichen kann jedoch entfernt werden, da die Variable x auch an der Basis liegt, d. h. x > 0 ⇒ |x| = x. Schreiben wir unsere logarithmische Gleichung um:

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Wir haben Logarithmen erhalten, bei denen die Argumente gleich sind, aber die Basen unterschiedlich sind. Was ist als nächstes zu tun? Hier gibt es viele Möglichkeiten, aber wir werden nur zwei davon betrachten, die am logischsten sind und vor allem schnelle und verständliche Techniken für die meisten Schüler sind.

Die erste Möglichkeit haben wir bereits in Betracht gezogen: Konvertieren Sie in jeder unklaren Situation Logarithmen mit variabler Basis in eine konstante Basis. Zum Beispiel zu einer Zwei. Die Übergangsformel ist einfach:

Natürlich sollte die Rolle der Variablen c eine normale Zahl sein: 1 ≠ c > 0. In unserem Fall sei c = 2. Jetzt haben wir eine gewöhnliche gebrochene rationale Gleichung vor uns. Wir sammeln alle Elemente auf der linken Seite:

Offensichtlich ist es besser, den Faktor log 2 x zu entfernen, da er sowohl im ersten als auch im zweiten Bruch vorhanden ist.

log 2 x = 0;

3 log 2 9x = 4 log 2 3x

Wir unterteilen jedes Protokoll in zwei Begriffe:

log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;

log 2 3x = log 2 3 + log 2 x

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichheit unter Berücksichtigung dieser Tatsachen neu schreiben:

3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )

6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x

2 log 2 3 = log 2 x

Jetzt müssen Sie nur noch eine Zwei unter dem Vorzeichen des Logarithmus eingeben (daraus wird eine Potenz: 3 2 = 9):

log 2 9 = log 2 x

Vor uns liegt die klassische kanonische Form, wir entfernen das Logarithmuszeichen und erhalten:

Wie erwartet war diese Wurzel größer als Null. Es bleibt noch der Definitionsbereich zu prüfen. Schauen wir uns die Gründe an:

Aber die Wurzel x = 9 erfüllt diese Anforderungen. Daher ist es die endgültige Entscheidung.

Die Schlussfolgerung aus dieser Lösung ist einfach: Haben Sie keine Angst vor langen Berechnungen! Es ist nur so, dass wir ganz am Anfang willkürlich eine neue Basis ausgewählt haben – und das hat den Prozess erheblich erschwert.

Doch dann stellt sich die Frage: Was ist die Grundlage? optimal? Darüber werde ich in der zweiten Methode sprechen.

Kehren wir zu unserer ursprünglichen Gleichung zurück:

3 log 3x x = 2 log 9x x 2

3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = x

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Lassen Sie uns nun ein wenig nachdenken: Welche Zahl oder Funktion wäre die optimale Basis? Die beste Option wäre natürlich c = x – was bereits in den Argumenten steht. In diesem Fall hat die Formel log a b = log c b /log c a die Form:

Mit anderen Worten, der Ausdruck wird einfach umgekehrt. In diesem Fall tauschen Argument und Basis die Plätze.

Diese Formel ist sehr nützlich und wird sehr oft zur Lösung komplexer logarithmischer Gleichungen verwendet. Bei der Verwendung dieser Formel gibt es jedoch eine sehr ernste Gefahr. Wenn wir die Variable x anstelle der Basis einsetzen, werden ihr Einschränkungen auferlegt, die bisher nicht beachtet wurden:

In der ursprünglichen Gleichung gab es keine solche Einschränkung. Deshalb sollten wir den Fall x = 1 separat prüfen. Setzen Sie diesen Wert in unsere Gleichung ein:

3 log 3 1 = 4 log 9 1

Wir erhalten die richtige numerische Gleichheit. Daher ist x = 1 eine Wurzel. Wir haben in der vorherigen Methode ganz am Anfang der Lösung genau die gleiche Wurzel gefunden.

Aber nachdem wir diesen speziellen Fall nun gesondert betrachtet haben, können wir mit Sicherheit davon ausgehen, dass x ≠ 1. Dann wird unsere logarithmische Gleichung in der folgenden Form umgeschrieben:

3 log x 9x = 4 log x 3x

Wir entwickeln beide Logarithmen nach der gleichen Formel wie zuvor. Beachten Sie, dass log x x = 1:

3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x )

3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4

3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3

2 log x 3 = 1

So kamen wir zur kanonischen Form:

log x 9 = log x x 1

x=9

Wir haben die zweite Wurzel bekommen. Es erfüllt die Anforderung x ≠ 1. Daher ist x = 9 zusammen mit x = 1 die endgültige Antwort.

Wie Sie sehen, ist das Rechenvolumen leicht zurückgegangen. Bei der Lösung einer echten logarithmischen Gleichung ist die Anzahl der Schritte jedoch viel geringer, auch weil Sie nicht jeden Schritt so detailliert beschreiben müssen.

Die Schlüsselregel der heutigen Lektion lautet: Wenn das Problem einen geraden Grad enthält, aus dem die Wurzel desselben Grades gezogen wird, dann ist die Ausgabe ein Modul. Dieses Modul kann jedoch entfernt werden, wenn man den Definitionsbereich von Logarithmen beachtet.

Aber Vorsicht: Nach dieser Lektion denken die meisten Schüler, dass sie alles verstanden haben. Bei der Lösung realer Probleme können sie jedoch nicht die gesamte logische Kette reproduzieren. Dadurch erhält die Gleichung unnötige Wurzeln und die Antwort erweist sich als falsch.

Logarithmische Gleichungen. Wir betrachten weiterhin Aufgaben aus Teil B des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik. Lösungen zu einigen Gleichungen haben wir bereits in den Artikeln „“, „“ untersucht. In diesem Artikel betrachten wir logarithmische Gleichungen. Ich sage gleich, dass es beim Lösen solcher Gleichungen im Einheitlichen Staatsexamen keine komplexen Transformationen geben wird. Sie sind einfach.

Es reicht aus, die grundlegende logarithmische Identität zu kennen und zu verstehen, um die Eigenschaften des Logarithmus zu kennen. Bitte beachten Sie, dass Sie nach der Lösung eine Überprüfung durchführen MÜSSEN – setzen Sie den resultierenden Wert in die ursprüngliche Gleichung ein und berechnen Sie, am Ende sollten Sie die richtige Gleichung erhalten.

Definition:

Der Logarithmus einer Zahl zur Basis b ist der Exponent,auf den b erhöht werden muss, um a zu erhalten.

Zum Beispiel:

Log 3 9 = 2, da 3 2 = 9

Eigenschaften von Logarithmen:

Sonderfälle von Logarithmen:

Lasst uns Probleme lösen. Im ersten Beispiel führen wir eine Prüfung durch. Führen Sie die anschließende Kontrolle selbst durch.

Finden Sie die Wurzel der Gleichung: log 3 (4–x) = 4

Da log b a = x b x = a, dann

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

Prüfung:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Richtig.

Antwort: – 77

Entscheiden Sie selbst:

Finden Sie die Wurzel der Gleichung: log 2 (4 – x) = 7

Finden Sie die Wurzel der Gleichung log 5(4 + x) = 2

Wir verwenden die grundlegende logarithmische Identität.

Da log a b = x b x = a, dann

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Prüfung:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Richtig.

Antwort: 21

Finden Sie die Wurzel der Gleichung log 3 (14 – x) = log 3 5.

Die folgende Eigenschaft tritt auf, ihre Bedeutung ist wie folgt: Wenn wir auf der linken und rechten Seite der Gleichung Logarithmen mit derselben Basis haben, dann können wir die Ausdrücke unter den Vorzeichen der Logarithmen gleichsetzen.

14 – x = 5

x=9

Führen Sie eine Überprüfung durch.

Antwort: 9

Entscheiden Sie selbst:

Finden Sie die Wurzel der Gleichung log 5 (5 – x) = log 5 3.

Finden Sie die Wurzel der Gleichung: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Wenn log c a = log c b, dann ist a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x=6

Führen Sie eine Überprüfung durch.

Antwort: 6

Finden Sie die Wurzel der Gleichung log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Führen Sie eine Überprüfung durch.

Eine kleine Ergänzung - das Grundstück wird hier genutzt

Grad ().

Antwort: – 51

Entscheiden Sie selbst:

Finden Sie die Wurzel der Gleichung: log 1/7 (7 – x) = – 2

Finden Sie die Wurzel der Gleichung log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Lassen Sie uns die rechte Seite transformieren. Nutzen wir die Eigenschaft:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Wenn log c a = log c b, dann ist a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Führen Sie eine Überprüfung durch.

Antwort: – 21

Entscheiden Sie selbst:

Finden Sie die Wurzel der Gleichung: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Lösen Sie die Gleichung log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Wenn log c a = log c b, dann ist a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Führen Sie eine Überprüfung durch.

Antwort: 2,75

Entscheiden Sie selbst:

Finden Sie die Wurzel der Gleichung log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Lösen Sie die Gleichung log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Es ist notwendig, einen Ausdruck der Form auf der rechten Seite der Gleichung zu erhalten:

Protokoll 2 (......)

Wir stellen 1 als Logarithmus zur Basis 2 dar:

1 = log 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Wir bekommen:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Wenn log c a = log c b, dann a = b, dann

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Führen Sie eine Überprüfung durch.

Antwort: 0,4

Entscheiden Sie selbst: Als nächstes müssen Sie die quadratische Gleichung lösen. Übrigens,

die Wurzeln sind 6 und – 4.

Wurzel "-4“ ist keine Lösung, da die Basis des Logarithmus größer als Null sein muss, und mit „– 4" es ist gleich " – 5". Die Lösung ist Root 6.Führen Sie eine Überprüfung durch.

Antwort: 6.

R Essen Sie selbst:

Lösen Sie die Gleichung log x –5 49 = 2. Wenn die Gleichung mehr als eine Wurzel hat, antworten Sie mit der kleineren.

Wie Sie gesehen haben, gibt es keine komplizierten Transformationen mit logarithmischen GleichungenNEIN. Es reicht aus, die Eigenschaften des Logarithmus zu kennen und anwenden zu können. Bei USE-Problemen im Zusammenhang mit der Transformation logarithmischer Ausdrücke werden schwerwiegendere Transformationen durchgeführt und es sind tiefergehende Fähigkeiten zur Lösung erforderlich. Wir werden uns solche Beispiele ansehen, verpassen Sie sie nicht!Viel Glück für dich!!!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.

Logarithmische Gleichungen. Von einfach bis komplex.

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Was ist eine logarithmische Gleichung?

Dies ist eine Gleichung mit Logarithmen. Ich bin überrascht, oder?) Dann werde ich es klarstellen. Dies ist eine Gleichung, in der die Unbekannten (x) und Ausdrücke mit ihnen gefunden werden innerhalb von Logarithmen. Und nur dort! Das ist wichtig.

Hier sind einige Beispiele logarithmische Gleichungen:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Nun ja, du verstehst... )

Passt auf! Es werden die unterschiedlichsten Ausdrücke mit X's lokalisiert ausschließlich innerhalb von Logarithmen. Wenn plötzlich irgendwo in der Gleichung ein X auftaucht draußen, Zum Beispiel:

log 2 x = 3+x,

Dies wird bereits eine Gleichung gemischten Typs sein. Für solche Gleichungen gibt es keine klaren Regeln zu ihrer Lösung. Wir werden sie vorerst nicht berücksichtigen. Übrigens gibt es Gleichungen, bei denen die Logarithmen innerhalb liegen nur Zahlen. Zum Beispiel:

Was kann ich sagen? Sie haben Glück, wenn Sie darauf stoßen! Logarithmus mit Zahlen ist irgendeine Zahl. Das ist alles. Um eine solche Gleichung zu lösen, reicht es aus, die Eigenschaften von Logarithmen zu kennen. Kenntnis spezieller Regeln und speziell für die Lösung angepasster Techniken logarithmische Gleichungen, hier nicht erforderlich.

Also, Was ist eine logarithmische Gleichung?- Wir haben es herausgefunden.

Wie löst man logarithmische Gleichungen?

Lösung logarithmische Gleichungen- Die Sache ist eigentlich nicht ganz einfach. Unser Abschnitt besteht also aus vier... Ein angemessenes Maß an Wissen zu allen möglichen verwandten Themen ist erforderlich. Darüber hinaus gibt es in diesen Gleichungen eine Besonderheit. Und diese Funktion ist so wichtig, dass sie getrost als Hauptproblem bei der Lösung logarithmischer Gleichungen bezeichnet werden kann. Mit diesem Problem werden wir uns in der nächsten Lektion ausführlich befassen.

Machen Sie sich vorerst keine Sorgen. Wir werden den richtigen Weg gehen von einfach bis komplex. Anhand konkreter Beispiele. Die Hauptsache ist, sich mit einfachen Dingen zu befassen und nicht faul zu sein, den Links zu folgen, ich habe sie aus einem bestimmten Grund dort platziert ... Und alles wird für Sie klappen. Unbedingt.

Beginnen wir mit den elementarsten und einfachsten Gleichungen. Um sie zu lösen, ist es ratsam, eine Vorstellung vom Logarithmus zu haben, mehr jedoch nicht. Einfach keine Ahnung Logarithmus, eine Entscheidung treffen logarithmisch Gleichungen - irgendwie sogar umständlich... Sehr gewagt, würde ich sagen).

Die einfachsten logarithmischen Gleichungen.

Dies sind Gleichungen der Form:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Lösungsprozess jede logarithmische Gleichung besteht im Übergang von einer Gleichung mit Logarithmen zu einer Gleichung ohne Logarithmen. In den einfachsten Gleichungen erfolgt dieser Übergang in einem Schritt. Deshalb sind sie die einfachsten.)

Und solche logarithmischen Gleichungen sind überraschend einfach zu lösen. Überzeugen Sie sich selbst.

Lösen wir das erste Beispiel:

log 3 x = log 3 9

Um dieses Beispiel zu lösen, müssen Sie fast nichts wissen, ja... reine Intuition!) Was brauchen wir? besonders gefällt Ihnen dieses Beispiel nicht? Was-was... Ich mag keine Logarithmen! Rechts. Also lasst uns sie loswerden. Wir schauen uns das Beispiel genau an und in uns entsteht ein natürliches Verlangen... Geradezu unwiderstehlich! Nehmen Sie Logarithmen und werfen Sie sie ganz weg. Und was gut ist, ist das Kann Tun! Mathematik erlaubt. Logarithmen verschwinden Die Antwort lautet:

Großartig, oder? Das kann (und sollte) immer gemacht werden. Die Eliminierung von Logarithmen auf diese Weise ist eine der Hauptmethoden zur Lösung logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen. In der Mathematik heißt diese Operation Potenzierung. Natürlich gibt es Regeln für eine solche Liquidation, aber es gibt nur wenige. Erinnern:

Sie können Logarithmen bedenkenlos eliminieren, wenn sie Folgendes haben:

a) die gleichen Zahlenbasen

c) Logarithmen von links nach rechts sind rein (ohne Koeffizienten) und befinden sich in hervorragender Isolation.

Lassen Sie mich den letzten Punkt klarstellen. Sagen wir in der Gleichung

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

Logarithmen können nicht entfernt werden. Die beiden auf der rechten Seite erlauben es nicht. Der Koeffizient, wissen Sie ... Im Beispiel

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

Es ist auch unmöglich, die Gleichung zu potenzieren. Auf der linken Seite gibt es keinen einsamen Logarithmus. Es gibt zwei davon.

Kurz gesagt, Sie können Logarithmen entfernen, wenn die Gleichung so und nur so aussieht:

log a (.....) = log a (.....)

In Klammern stehen möglicherweise Auslassungspunkte irgendwelche Ausdrücke. Einfach, superkomplex, alles Mögliche. Was auch immer. Wichtig ist, dass wir nach Eliminierung der Logarithmen übrig bleiben einfachere Gleichung. Es wird natürlich vorausgesetzt, dass Sie bereits wissen, wie man lineare, quadratische, gebrochene, exponentielle und andere Gleichungen ohne Logarithmen löst.)

Jetzt können Sie das zweite Beispiel ganz einfach lösen:

log 7 (2x-3) = log 7 x

Eigentlich wird es im Kopf entschieden. Wir potenzieren, wir bekommen:

Nun, ist es sehr schwierig?) Wie Sie sehen können, logarithmisch Teil der Lösung der Gleichung ist nur bei der Eliminierung von Logarithmen ... Und dann kommt die Lösung der verbleibenden Gleichung ohne sie. Eine triviale Angelegenheit.

Lösen wir das dritte Beispiel:

log 7 (50x-1) = 2

Wir sehen, dass links ein Logarithmus steht:

Erinnern wir uns daran, dass dieser Logarithmus eine Zahl ist, auf die die Basis erhöht werden muss (d. h. sieben), um einen sublogarithmischen Ausdruck zu erhalten, d. h. (50x-1).

Aber diese Zahl ist zwei! Nach Gl. Also:

Das ist im Grunde alles. Logarithmus verschwunden,Übrig bleibt eine harmlose Gleichung:

Wir haben diese logarithmische Gleichung nur basierend auf der Bedeutung des Logarithmus gelöst. Ist es noch einfacher, Logarithmen zu eliminieren?) Ich stimme zu. Wenn man aus zwei einen Logarithmus macht, kann man dieses Beispiel übrigens durch Elimination lösen. Jede Zahl kann logarithmiert werden. Darüber hinaus so, wie wir es brauchen. Eine sehr nützliche Technik zum Lösen logarithmischer Gleichungen und (insbesondere!) Ungleichungen.

Sie wissen nicht, wie man aus einer Zahl einen Logarithmus macht!? Es ist in Ordnung. Abschnitt 555 beschreibt diese Technik ausführlich. Sie können es beherrschen und in vollem Umfang nutzen! Dadurch wird die Anzahl der Fehler erheblich reduziert.

Die vierte Gleichung wird (per Definition) auf völlig ähnliche Weise gelöst:

Das ist es.

Fassen wir diese Lektion zusammen. Wir haben uns anhand von Beispielen die Lösung einfachster logarithmischer Gleichungen angesehen. Das ist sehr wichtig. Und das nicht nur, weil solche Gleichungen in Tests und Prüfungen auftauchen. Tatsache ist, dass selbst die bösesten und kompliziertesten Gleichungen zwangsläufig auf die einfachsten reduziert werden!

Tatsächlich sind die einfachsten Gleichungen der letzte Teil der Lösung beliebig Gleichungen. Und dieser letzte Teil muss genau verstanden werden! Und noch etwas. Lesen Sie diese Seite unbedingt bis zum Ende durch. Da gibt es eine Überraschung...)

Jetzt entscheiden wir selbst. Lasst uns sozusagen besser werden...)

Finden Sie die Wurzel (oder die Summe der Wurzeln, falls es mehrere gibt) der Gleichungen:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 · 7 + 2

Antworten (natürlich durcheinander): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Was, nicht alles klappt? Passiert. Mach dir keine Sorge! Abschnitt 555 erläutert die Lösung für alle diese Beispiele klar und detailliert. Da wirst du es auf jeden Fall herausfinden. Außerdem erlernen Sie nützliche praktische Techniken.

Alles hat geklappt!? Alle Beispiele für „one left“?) Herzlichen Glückwunsch!

Es ist Zeit, Ihnen die bittere Wahrheit zu enthüllen. Die erfolgreiche Lösung dieser Beispiele garantiert nicht den Erfolg bei der Lösung aller anderen logarithmischen Gleichungen. Sogar die einfachsten wie diese. Ach.

Tatsache ist, dass die Lösung jeder logarithmischen Gleichung (auch der elementarsten!) besteht aus zwei gleiche Teile. Die Gleichung lösen und mit ODZ arbeiten. Einen Teil beherrschen wir – das Lösen der Gleichung selbst. Es ist nicht so schwer Rechts?

Für diese Lektion habe ich speziell Beispiele ausgewählt, bei denen DL keinen Einfluss auf die Antwort hat. Aber nicht jeder ist so nett wie ich, oder?...)

Daher ist es zwingend erforderlich, den anderen Teil zu beherrschen. ODZ. Dies ist das Hauptproblem bei der Lösung logarithmischer Gleichungen. Und das nicht, weil es schwierig wäre – dieser Teil ist sogar einfacher als der erste. Aber weil sie ODZ einfach vergessen. Oder sie wissen es nicht. Oder beides). Und sie fallen aus heiterem Himmel ...

In der nächsten Lektion werden wir uns mit diesem Problem befassen. Dann können Sie getrost entscheiden beliebig einfache logarithmische Gleichungen lösen und recht solide Aufgaben lösen.

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