Addition mit gleichen Nennern. Brüche mit gleichem Nenner addieren und subtrahieren. Gemischte Brüche

Gemischte Brüche können ebenso wie einfache Brüche subtrahiert werden. Um gemischte Brüche zu subtrahieren, müssen Sie mehrere Subtraktionsregeln kennen. Lassen Sie uns diese Regeln anhand von Beispielen studieren.

Gemischte Brüche mit gleichem Nenner subtrahieren.

Betrachten wir ein Beispiel mit der Bedingung, dass die ganzzahligen und gebrochenen Teile, die reduziert werden, größer sind als die ganzzahligen bzw. gebrochenen Teile, die subtrahiert werden. Unter solchen Bedingungen erfolgt die Subtraktion separat. Wir subtrahieren den ganzzahligen Teil vom ganzen Teil und den gebrochenen Teil vom gebrochenen Teil.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Subtrahiere gemischte Brüche \(5\frac(3)(7)\) und \(1\frac(1)(7)\).

\(5\frac(3)(7)-1\frac(1)(7) = (5-1) + (\frac(3)(7)-\frac(1)(7)) = 4\ frac(2)(7)\)

Die Richtigkeit der Subtraktion wird durch Addition überprüft. Überprüfen wir die Subtraktion:

\(4\frac(2)(7)+1\frac(1)(7) = (4 + 1) + (\frac(2)(7) + \frac(1)(7)) = 5\ frac(3)(7)\)

Betrachten wir ein Beispiel mit der Bedingung, dass der Nachkommateil des Minuenden kleiner ist als der entsprechende Nachkommateil des Subtrahends. In diesem Fall entleihen wir im Minuend eins aus dem Ganzen.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Subtrahiere gemischte Brüche \(6\frac(1)(4)\) und \(3\frac(3)(4)\).

Der Minuend \(6\frac(1)(4)\) hat einen kleineren Nachkommateil als der Nachkommateil des Subtrahends \(3\frac(3)(4)\). Das heißt, \(\frac(1)(4)< \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)

\(\begin(align)&6\frac(1)(4)-3\frac(3)(4) = (6 + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(red) (1) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(red) (\frac(4)(4)) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \frac(5)(4))-3\frac(3)(4) = \\\\ &= 5\frac(5)(4)-3\frac(3)(4) = 2\frac(2)(4) = 2\frac(1)(4)\\\\ \end(align)\)

Nächstes Beispiel:

\(7\frac(8)(19)-3 = 4\frac(8)(19)\)

Einen gemischten Bruch von einer ganzen Zahl subtrahieren.

Beispiel: \(3-1\frac(2)(5)\)

Der Minuend 3 hat keinen Nachkommateil, daher können wir nicht sofort subtrahieren. Nehmen wir eins aus dem ganzen Teil von 3 und führen dann die Subtraktion durch. Wir schreiben die Einheit als \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac(5)(5) = 2\frac(5)(5)\)

\(3-1\frac(2)(5)= (2 + \color(red) (1))-1\frac(2)(5) = (2 + \color(red) (\frac(5 )(5)))-1\frac(2)(5) = 2\frac(5)(5)-1\frac(2)(5) = 1\frac(3)(5)\)

Gemischte Brüche mit ungleichem Nenner subtrahieren.

Betrachten wir ein Beispiel mit der Bedingung, dass die Bruchteile von Minuend und Subtrahend unterschiedliche Nenner haben. Sie müssen es auf einen gemeinsamen Nenner bringen und dann eine Subtraktion durchführen.

Subtrahiere zwei gemischte Brüche mit unterschiedlichen Nennern \(2\frac(2)(3)\) und \(1\frac(1)(4)\).

Der gemeinsame Nenner wird die Zahl 12 sein.

\(2\frac(2)(3)-1\frac(1)(4) = 2\frac(2 \times \color(rot) (4))(3 \times \color(rot) (4) )-1\frac(1 \times \color(rot) (3))(4 \times \color(rot) (3)) = 2\frac(8)(12)-1\frac(3)(12 ) = 1\frac(5)(12)\)

Verwandte Fragen:
Wie subtrahiere ich gemischte Brüche? Wie löst man gemischte Brüche?
Antwort: Sie müssen entscheiden, zu welchem Typ der Ausdruck gehört, und den Lösungsalgorithmus basierend auf dem Ausdruckstyp anwenden. Vom ganzzahligen Teil subtrahieren wir die ganze Zahl, vom gebrochenen Teil subtrahieren wir den gebrochenen Teil.

Wie subtrahiere ich einen Bruch von einer ganzen Zahl? Wie subtrahiere ich einen Bruch von einer ganzen Zahl?
Antwort: Sie müssen eine Einheit aus einer ganzen Zahl nehmen und diese Einheit als Bruch schreiben

\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac(7)(7) = 3\frac(7)(7)\),

und subtrahiere dann das Ganze vom Ganzen, subtrahiere den Bruchteil vom Bruchteil. Beispiel:

\(4-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (1))-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (\frac(7 )(7)))-2\frac(3)(7) = 3\frac(7)(7)-2\frac(3)(7) = 1\frac(4)(7)\)

Beispiel Nr. 1:
Subtrahiere einen echten Bruch von eins: a) \(1-\frac(8)(33)\) b) \(1-\frac(6)(7)\)

Lösung:
a) Stellen wir uns eins als Bruch mit dem Nenner 33 vor. Wir erhalten \(1 = \frac(33)(33)\)

\(1-\frac(8)(33) = \frac(33)(33)-\frac(8)(33) = \frac(25)(33)\)

b) Stellen wir uns eins als Bruch mit dem Nenner 7 vor. Wir erhalten \(1 = \frac(7)(7)\)

\(1-\frac(6)(7) = \frac(7)(7)-\frac(6)(7) = \frac(7-6)(7) = \frac(1)(7) \)

Beispiel #2:
Subtrahiere einen gemischten Bruch von einer ganzen Zahl: a) \(21-10\frac(4)(5)\) b) \(2-1\frac(1)(3)\)

Lösung:
a) Nehmen wir 21 Einheiten aus der ganzen Zahl und schreiben wir sie so: \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac(5)(5) = 20\frac(5)(5)\)

\(21-10\frac(4)(5) = (20 + 1)-10\frac(4)(5) = (20 + \frac(5)(5))-10\frac(4)( 5) = 20\frac(5)(5)-10\frac(4)(5) = 10\frac(1)(5)\\\\\)

b) Nehmen wir eins aus der ganzen Zahl 2 und schreiben es so: \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac(3)(3) = 1\frac(3)(3)\)

\(2-1\frac(1)(3) = (1 + 1)-1\frac(1)(3) = (1 + \frac(3)(3))-1\frac(1)( 3) = 1\frac(3)(3)-1\frac(1)(3) = \frac(2)(3)\\\\\)

Beispiel #3:
Subtrahiere eine ganze Zahl von einem gemischten Bruch: a) \(15\frac(6)(17)-4\) b) \(23\frac(1)(2)-12\)

a) \(15\frac(6)(17)-4 = 11\frac(6)(17)\)

b) \(23\frac(1)(2)-12 = 11\frac(1)(2)\)

Beispiel #4:
Subtrahiere einen echten Bruch von einem gemischten Bruch: a) \(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5)\)

\(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5) = 1\\\\\)

Beispiel #5:
Berechnen Sie \(5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8)\)

\(\begin(align)&5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8) = 5\frac(5)(16)-3\frac(3 \times \color(red) ( 2))(8 \times \color(red) (2)) = 5\frac(5)(16)-3\frac(6)(16) = (5 + \frac(5)(16))- 3\frac(6)(16) = (4 + \color(rot) (1) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = \\\\ &= (4 + \color(red) (\frac(16)(16)) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = (4 + \color(red) (\frac(21 )(16)))-3\frac(3)(8) = 4\frac(21)(16)-3\frac(6)(16) = 1\frac(15)(16)\\\\ \end(align)\)

Brüche mit gleichem Nenner addieren und subtrahieren
Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren und subtrahieren
Konzept von NOC
Brüche auf den gleichen Nenner reduzieren
So addieren Sie eine ganze Zahl und einen Bruch

1 Brüche mit gleichem Nenner addieren und subtrahieren

Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie deren Zähler addieren, den Nenner jedoch gleich lassen, zum Beispiel:

Um Brüche mit demselben Nenner zu subtrahieren, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner gleich lassen, zum Beispiel:

Um gemischte Brüche zu addieren, müssen Sie ihre ganzen Teile separat addieren und dann ihre Bruchteile addieren und das Ergebnis als gemischten Bruch schreiben.

Wenn Sie beim Addieren von Bruchteilen einen unechten Bruch erhalten, wählen Sie daraus den ganzen Teil aus und addieren ihn zum ganzen Teil, zum Beispiel:

2 Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren und subtrahieren

Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren oder zu subtrahieren, müssen Sie sie zunächst auf denselben Nenner reduzieren und dann wie am Anfang dieses Artikels beschrieben vorgehen. Der gemeinsame Nenner mehrerer Brüche ist das LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches). Für den Zähler jedes Bruchs werden zusätzliche Faktoren ermittelt, indem der LCM durch den Nenner dieses Bruchs dividiert wird. Wir werden uns später ein Beispiel ansehen, nachdem wir verstanden haben, was ein NOC ist.

3 Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM)

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen (LCM) ist die kleinste natürliche Zahl, die durch beide Zahlen ohne Rest teilbar ist. Manchmal kann das LCM mündlich gefunden werden, aber häufiger, insbesondere wenn Sie mit großen Zahlen arbeiten, müssen Sie das LCM schriftlich finden, indem Sie den folgenden Algorithmus verwenden:

Um den LCM mehrerer Zahlen zu ermitteln, benötigen Sie:

Zerlegen Sie diese Zahlen in Primfaktoren
Nehmen Sie die größte Erweiterung und schreiben Sie diese Zahlen als Produkt
Wählen Sie Zahlen in anderen Erweiterungen aus, die in der größten Erweiterung nicht vorkommen (oder seltener vorkommen) und fügen Sie sie dem Produkt hinzu.
Multiplizieren Sie alle Zahlen im Produkt, das ergibt den LCM.

Lassen Sie uns zum Beispiel den LCM der Zahlen 28 und 21 ermitteln:

4Brüche auf den gleichen Nenner reduzieren

Kehren wir zum Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern zurück.

Wenn wir Brüche auf denselben Nenner reduzieren, der dem LCM beider Nenner entspricht, müssen wir die Zähler dieser Brüche mit multiplizieren zusätzliche Multiplikatoren. Sie finden sie, indem Sie den LCM durch den Nenner des entsprechenden Bruchs dividieren, zum Beispiel:

Um Brüche auf denselben Exponenten zu reduzieren, müssen Sie also zunächst den LCM (d. h. die kleinste Zahl, die durch beide Nenner teilbar ist) der Nenner dieser Brüche ermitteln und dann den Zählern der Brüche zusätzliche Faktoren hinzufügen. Sie finden sie, indem Sie den gemeinsamen Nenner (CLD) durch den Nenner des entsprechenden Bruchs dividieren. Dann müssen Sie den Zähler jedes Bruchs mit einem zusätzlichen Faktor multiplizieren und den LCM als Nenner verwenden.

5So addieren Sie eine ganze Zahl und einen Bruch

Um eine ganze Zahl und einen Bruch zu addieren, müssen Sie lediglich diese Zahl vor dem Bruch hinzufügen, wodurch beispielsweise ein gemischter Bruch entsteht.

Brüche mit gleichem Nenner addieren und subtrahieren
Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren und subtrahieren
Konzept von NOC
Brüche auf den gleichen Nenner reduzieren
So addieren Sie eine ganze Zahl und einen Bruch

1 Brüche mit gleichem Nenner addieren und subtrahieren

Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie deren Zähler addieren, den Nenner jedoch gleich lassen, zum Beispiel:

Um Brüche mit demselben Nenner zu subtrahieren, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner gleich lassen, zum Beispiel:

Um gemischte Brüche zu addieren, müssen Sie ihre ganzen Teile separat addieren und dann ihre Bruchteile addieren und das Ergebnis als gemischten Bruch schreiben.

Beispiel 1:

Beispiel 2:

Wenn Sie beim Addieren von Bruchteilen einen unechten Bruch erhalten, wählen Sie daraus den ganzen Teil aus und addieren ihn zum ganzen Teil, zum Beispiel:

2 Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren und subtrahieren.

3 Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM)

Um den LCM mehrerer Zahlen zu ermitteln, benötigen Sie:

Zerlegen Sie diese Zahlen in Primfaktoren
Nehmen Sie die größte Erweiterung und schreiben Sie diese Zahlen als Produkt
Wählen Sie Zahlen in anderen Erweiterungen aus, die in der größten Erweiterung nicht vorkommen (oder seltener vorkommen) und fügen Sie sie dem Produkt hinzu.
Multiplizieren Sie alle Zahlen im Produkt, das ergibt den LCM.

Lassen Sie uns zum Beispiel den LCM der Zahlen 28 und 21 ermitteln:

4 Brüche auf den gleichen Nenner reduzieren

Kehren wir zum Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern zurück.

5 So addieren Sie eine ganze Zahl und einen Bruch

Um eine ganze Zahl und einen Bruch zu addieren, fügen Sie einfach diese Zahl vor dem Bruch hinzu, um einen gemischten Bruch zu erstellen, zum Beispiel:

Wenn wir eine ganze Zahl und einen gemischten Bruch addieren, addieren wir diese Zahl zum ganzzahligen Teil des Bruchs, zum Beispiel:

Trainer 1

Brüche mit gleichem Nenner addieren und subtrahieren.

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Information

Dieser Test testet Ihre Fähigkeit, Brüche mit gleichen Nennern zu addieren. Dabei sind zwei Regeln zu beachten:

Wenn das Ergebnis ein unechter Bruch ist, müssen Sie ihn in eine gemischte Zahl umwandeln.
Wenn ein Bruch gekürzt werden kann, kürzen Sie ihn unbedingt, da sonst eine falsche Antwort gezählt wird.

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Brüche mit gleichem Nenner subtrahieren, Beispiele:

Einen echten Bruch von eins subtrahieren.

Wenn es notwendig ist, einen Bruch von einer echten Einheit zu subtrahieren, wird die Einheit in die Form eines unechten Bruchs umgewandelt, dessen Nenner gleich dem Nenner des subtrahierten Bruchs ist.

Ein Beispiel für die Subtraktion eines echten Bruchs von eins:

Nenner des zu subtrahierenden Bruchs = 7 , d. h. wir stellen eins als unechten Bruch 7/7 dar und subtrahieren ihn gemäß der Regel zum Subtrahieren von Brüchen mit gleichem Nenner.

Subtrahieren eines echten Bruchs von einer ganzen Zahl.

Regeln zum Subtrahieren von Brüchen - richtig aus einer ganzen Zahl (natürliche Zahl):

Wir wandeln gegebene Brüche, die einen ganzzahligen Teil enthalten, in unechte Brüche um. Wir erhalten normale Terme (egal, ob sie unterschiedliche Nenner haben), die wir nach den oben angegebenen Regeln berechnen;
Als nächstes berechnen wir die Differenz zwischen den Brüchen, die wir erhalten haben. Als Ergebnis werden wir fast die Antwort finden;
Wir führen die Rücktransformation durch, das heißt, wir entfernen den unechten Bruch – wir wählen den ganzen Teil im Bruch aus.

Subtrahieren Sie einen echten Bruch von einer ganzen Zahl: Stellen Sie die natürliche Zahl als gemischte Zahl dar. Diese. Wir nehmen eine Einheit einer natürlichen Zahl und wandeln sie in die Form eines unechten Bruchs um, wobei der Nenner derselbe ist wie der des subtrahierten Bruchs.

Beispiel für das Subtrahieren von Brüchen:

Im Beispiel haben wir eins durch den unechten Bruch 7/7 ersetzt und statt 3 eine gemischte Zahl aufgeschrieben und vom Nachkommateil einen Bruch subtrahiert.

Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren.

Oder anders ausgedrückt: verschiedene Brüche subtrahieren.

Regel zum Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu subtrahieren, ist es zunächst notwendig, diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner (LCD) zu reduzieren und erst danach die Subtraktion wie bei Brüchen mit gleichen Nennern durchzuführen.

Der gemeinsame Nenner mehrerer Brüche ist LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches) natürliche Zahlen, die die Nenner dieser Brüche sind.

Aufmerksamkeit! Wenn im letzten Bruch Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren haben, muss der Bruch gekürzt werden. Ein unechter Bruch lässt sich am besten als gemischter Bruch darstellen. Das Subtraktionsergebnis so zu belassen, ohne den Bruch zu reduzieren, wo es möglich ist, ist eine unvollständige Lösung des Beispiels!

Verfahren zum Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.

Finden Sie das LCM für alle Nenner.
fügen Sie für alle Brüche zusätzliche Faktoren ein;
alle Zähler mit einem zusätzlichen Faktor multiplizieren;
Wir schreiben die resultierenden Produkte in den Zähler und signieren den gemeinsamen Nenner unter allen Brüchen;
Subtrahieren Sie die Zähler der Brüche und unterzeichnen Sie den gemeinsamen Nenner unter der Differenz.

Auf die gleiche Weise erfolgt die Addition und Subtraktion von Brüchen, wenn der Zähler Buchstaben enthält.

Brüche subtrahieren, Beispiele:

Gemischte Brüche subtrahieren.

Bei Subtrahieren gemischter Brüche (Zahlen) Separat wird der ganzzahlige Teil vom ganzzahligen Teil und der Bruchteil vom Bruchteil subtrahiert.

Die erste Möglichkeit zum Subtrahieren gemischter Brüche.

Wenn die Bruchteile identisch Nenner und Zähler des Nachkommateils des Minuenden (wir subtrahieren ihn davon) ≥ Zähler des Nachkommateils des Subtrahends (wir subtrahieren ihn).

Zum Beispiel:

Die zweite Möglichkeit zum Subtrahieren gemischter Brüche.

Bei Bruchteilen anders Nenner. Zunächst bringen wir die Bruchteile auf einen gemeinsamen Nenner und subtrahieren anschließend den ganzen Teil vom ganzen Teil und den Bruchteil vom Bruchteil.

Zum Beispiel:

Die dritte Möglichkeit zum Subtrahieren gemischter Brüche.

Der Nachkommateil des Minuends ist kleiner als der Nachkommateil des Subtrahends.

Beispiel:

Weil Bruchteile haben unterschiedliche Nenner, was bedeutet, dass wir wie bei der zweiten Option zunächst gewöhnliche Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Der Zähler des Nachkommateils des Minuends ist kleiner als der Zähler des Nachkommateils des Subtrahends.3 < 14. Das heißt, wir nehmen aus dem ganzen Teil eine Einheit und reduzieren diese Einheit auf die Form eines unechten Bruchs mit gleichem Nenner und Zähler = 18.

In den Zähler auf der rechten Seite schreiben wir die Summe der Zähler, dann öffnen wir die Klammern im Zähler auf der rechten Seite, das heißt, wir multiplizieren alles und geben ähnliches an. Wir öffnen die Klammern im Nenner nicht. Es ist üblich, das Produkt im Nenner zu belassen. Wir bekommen:

Die folgenden Regeln gelten für echte und unechte Brüche (ein gemischter Bruch kann immer in einen unechten Bruch umgewandelt werden) mit demselben Nenner.

Regel. Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie deren Zähler addieren und denselben Nenner belassen.

Zum Beispiel:

Regel. Um Brüche mit demselben Nenner zu subtrahieren, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den gleichen Nenner belassen.

Zum Beispiel:

Die folgenden Regeln gelten für gemischte Brüche mit gleichen Nennern.

Regel. Um gemischte Brüche zu addieren, müssen Sie deren ganze und gebrochene Teile getrennt addieren und die Summe der ganzen Teile und die Summe der gebrochenen Teile als gemischten Bruch aufschreiben.

Wenn sich herausstellt, dass der gesamte Bruchteil ein unechter Bruch ist, sollten sie in einen gemischten Bruch umgewandelt werden und der vom unechten Bruch getrennte ganze Teil sollte zur Summe der ganzen Teile addiert werden. Schreiben Sie die Endsumme der ganzen und gebrochenen Teile als gemischten Bruch.

Zum Beispiel Brüche addieren:

Regel: Um gemischte Brüche zu subtrahieren, müssen Sie ihre ganzen Teile und ihre gebrochenen Teile getrennt subtrahieren und die Summe der resultierenden Differenzen als gemischten Bruch aufschreiben.

Wenn der Bruchteil des Minuenden kleiner ist als der Bruchteil des Subtrahends, dann „leihen“ wir 1 aus dem ganzzahligen Teil des Minuenden, den wir als Bruch mit demselben Nenner wie der Bruchteil gemischter Brüche darstellen, und mit einem Zähler gleich diesem Nenner. Die geliehene 1, ausgedrückt als unechter Bruch mit demselben Zähler und Nenner, wird mit dem Bruchteil des Minuenden summiert. Anschließend führen wir Berechnungen nach der Regel zur Subtraktion gemischter Brüche durch.