Fläche eines Dreiecks mit verschiedenen Seiten. Fläche eines Dreiecks – Formeln und Beispiele zur Problemlösung

Ein Dreieck ist eine geometrische Figur, die aus drei geraden Linien besteht, die an Punkten verbunden sind, die nicht auf derselben geraden Linie liegen. Die Verbindungspunkte der Linien sind die Eckpunkte des Dreiecks, die mit lateinischen Buchstaben bezeichnet werden (z. B. A, B, C). Die verbindenden Geraden eines Dreiecks werden Segmente genannt, die meist auch mit lateinischen Buchstaben bezeichnet werden. Folgende Arten von Dreiecken werden unterschieden:

Rechteckig.
Stumpf.
Akut eckig.
Vielseitig.
Gleichseitig.
Gleichschenklige.

Allgemeine Formeln zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks

Formel für die Fläche eines Dreiecks basierend auf Länge und Höhe

S= a*h/2,
Dabei ist a die Länge der Seite des Dreiecks, deren Fläche ermittelt werden muss, h ist die Länge der zur Basis gezeichneten Höhe.

Herons Formel

S=√ð*(ð-à)*(ð-b)*(p-c),
Dabei ist √ die Quadratwurzel, p der Halbumfang des Dreiecks und a,b,c die Länge jeder Seite des Dreiecks. Der Halbumfang eines Dreiecks kann mit der Formel p=(a+b+c)/2 berechnet werden.

Formel für die Fläche eines Dreiecks basierend auf dem Winkel und der Länge des Segments

S = (a*b*sin(α))/2,
Dabei ist b,c die Länge der Seiten des Dreiecks und sin(α) der Sinus des Winkels zwischen den beiden Seiten.

Formel für die Fläche eines Dreiecks bei gegebenem Radius des eingeschriebenen Kreises und drei Seiten

S=p*r,
Dabei ist p der Halbumfang des Dreiecks, dessen Fläche ermittelt werden muss, und r der Radius des in dieses Dreieck eingeschriebenen Kreises.

Formel für die Fläche eines Dreiecks basierend auf drei Seiten und dem Radius des umschriebenen Kreises

S= (a*b*c)/4*R,
Dabei ist a,b,c die Länge jeder Seite des Dreiecks und R der Radius des Kreises, der das Dreieck umschreibt.

Formel für die Fläche eines Dreiecks unter Verwendung der kartesischen Punktkoordinaten

Kartesische Koordinaten von Punkten sind Koordinaten im xOy-System, wobei x die Abszisse und y die Ordinate ist. Das kartesische Koordinatensystem xOy auf einer Ebene sind die zueinander senkrechten numerischen Achsen Ox und Oy mit einem gemeinsamen Ursprung im Punkt O. Wenn die Koordinaten von Punkten auf dieser Ebene in der Form A(x1, y1), B(x2, y2) angegeben werden ) und C(x3, y3 ), dann können Sie die Fläche des Dreiecks mit der folgenden Formel berechnen, die aus dem Vektorprodukt zweier Vektoren erhalten wird.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
wo || steht für Modul.

So finden Sie die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem Winkel von 90 Grad. Ein Dreieck kann nur einen solchen Winkel haben.

Formel für die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks auf zwei Seiten

S= a*b/2,
wobei a,b die Länge der Beine ist. Beine sind die Seiten, die an einem rechten Winkel angrenzen.

Formel für die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks basierend auf Hypotenuse und spitzem Winkel

S = a*b*sin(α)/ 2,
Dabei sind a, b die Schenkel des Dreiecks und sin(α) der Sinus des Winkels, in dem sich die Geraden a, b schneiden.

Formel für die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks basierend auf der Seite und dem entgegengesetzten Winkel

S = a*b/2*tg(β),
wobei a, b die Schenkel des Dreiecks sind, tan(β) der Tangens des Winkels ist, in dem die Schenkel a, b verbunden sind.

So berechnen Sie die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks

Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleiche Seiten. Diese Seiten werden Seiten genannt und die andere Seite ist die Basis. Um die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks zu berechnen, können Sie eine der folgenden Formeln verwenden.

Grundformel zur Berechnung der Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks

S=h*c/2,
Dabei ist c die Basis des Dreiecks und h die Höhe des auf die Basis abgesenkten Dreiecks.

Formel eines gleichschenkligen Dreiecks basierend auf Seite und Basis

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
Dabei ist c die Basis des Dreiecks und a die Größe einer der Seiten des gleichschenkligen Dreiecks.

So ermitteln Sie die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks

Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem alle Seiten gleich sind. Um die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks zu berechnen, können Sie die folgende Formel verwenden:
S = (√3*a*a)/4,
Dabei ist a die Länge der Seite des gleichseitigen Dreiecks.

Mit den obigen Formeln können Sie die erforderliche Fläche des Dreiecks berechnen. Es ist wichtig zu bedenken, dass Sie zur Berechnung der Fläche von Dreiecken die Art des Dreiecks und die verfügbaren Daten berücksichtigen müssen, die für die Berechnung verwendet werden können.

Im Internet finden Sie über 10 Formeln zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks. Viele davon werden bei Problemen mit bekannten Seiten und Winkeln eines Dreiecks verwendet. Es gibt jedoch eine Reihe komplexer Beispiele, bei denen je nach Aufgabenstellung nur eine Seite und Winkel eines Dreiecks oder der Radius eines umschriebenen oder eingeschriebenen Kreises und ein weiteres Merkmal bekannt sind. In solchen Fällen kann eine einfache Formel nicht angewendet werden.

Mit den unten angegebenen Formeln können Sie 95 Prozent der Probleme lösen, bei denen Sie die Fläche eines Dreiecks ermitteln müssen.
Betrachten wir nun die Formeln für gemeinsame Flächen.
Betrachten Sie das in der Abbildung unten gezeigte Dreieck

In der Abbildung und unten in den Formeln werden die klassischen Bezeichnungen aller seiner Merkmale eingeführt.
a,b,c – Seiten des Dreiecks,
R – Radius des umschriebenen Kreises,
r – Radius des eingeschriebenen Kreises,
h[b],h[a],h[c] – Höhen, die gemäß den Seiten a,b,c gezeichnet werden.
Alpha, Beta, Hamma – Winkel in der Nähe der Eckpunkte.

Grundformeln für die Fläche eines Dreiecks

1. Die Fläche ist gleich der Hälfte des Produkts aus der Seite des Dreiecks und der zu dieser Seite abgesenkten Höhe. In der Formelsprache kann diese Definition wie folgt geschrieben werden

Wenn also Seite und Höhe bekannt sind, findet jeder Schüler die Fläche.
Aus dieser Formel lässt sich übrigens ein sinnvoller Zusammenhang zwischen Höhen ableiten

2. Wenn wir berücksichtigen, dass die Höhe eines Dreiecks durch die angrenzende Seite durch die Abhängigkeit ausgedrückt wird

Dann folgen auf die erste Flächenformel die zweiten gleichartigen

Schauen Sie sich die Formeln genau an – sie sind leicht zu merken, da die Arbeit zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen umfasst. Wenn wir die Seiten und Winkel des Dreiecks richtig bezeichnen (wie in der Abbildung oben), erhalten wir zwei Seiten a, b und der Winkel ist mit dem dritten verbunden Mit (hamma).

3. Für die Winkel eines Dreiecks gilt die Beziehung

Die Abhängigkeit ermöglicht es Ihnen, in Berechnungen die folgenden Formeln für die Fläche eines Dreiecks zu verwenden:

Beispiele für diese Abhängigkeit sind äußerst selten, aber Sie müssen bedenken, dass es eine solche Formel gibt.

4. Wenn die Seite und zwei benachbarte Winkel bekannt sind, wird die Fläche durch die Formel ermittelt

5. Die Formel für die Fläche in Bezug auf Seite und Kotangens benachbarter Winkel lautet wie folgt

Durch Neuanordnen der Indizes können Sie Abhängigkeiten für andere Parteien erhalten.

6. Die folgende Flächenformel wird bei Problemen verwendet, bei denen die Eckpunkte eines Dreiecks auf der Ebene durch Koordinaten angegeben werden. In diesem Fall entspricht die Fläche der Hälfte der Modulo-Determinante.

7. Herons Formel Wird in Beispielen mit bekannten Seiten eines Dreiecks verwendet.
Ermitteln Sie zunächst den Halbumfang des Dreiecks

Und dann bestimmen Sie die Fläche anhand der Formel

oder

Es wird häufig im Code von Taschenrechnerprogrammen verwendet.

8. Wenn alle Höhen des Dreiecks bekannt sind, wird die Fläche durch die Formel bestimmt

Es ist schwierig, mit einem Taschenrechner zu rechnen, aber in den Paketen MathCad, Mathematica und Maple beträgt der Bereich „Zeit zwei“.

9. Die folgenden Formeln verwenden die bekannten Radien eingeschriebener und umschriebener Kreise.

Insbesondere wenn der Radius und die Seiten des Dreiecks bzw. dessen Umfang bekannt sind, wird die Fläche nach der Formel berechnet

10. In Beispielen, in denen die Seiten und der Radius oder Durchmesser des umschriebenen Kreises angegeben sind, wird die Fläche mithilfe der Formel ermittelt

11. Die folgende Formel bestimmt die Fläche eines Dreiecks anhand der Seite und der Winkel des Dreiecks.

Und schließlich - Sonderfälle:
Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Beinen a und b gleich der Hälfte ihres Produkts

Formel für die Fläche eines gleichseitigen (regelmäßigen) Dreiecks=

= ein Viertel des Produkts aus dem Quadrat der Seite und der Wurzel aus drei.

Wie Sie sich vielleicht aus dem Geometrielehrplan Ihrer Schule erinnern, ist ein Dreieck eine Figur, die aus drei Segmenten besteht, die durch drei Punkte verbunden sind, die nicht auf derselben geraden Linie liegen. Ein Dreieck bildet drei Winkel, daher der Name der Figur. Die Definition kann unterschiedlich sein. Ein Dreieck kann auch als Polygon mit drei Winkeln bezeichnet werden, die Antwort wird auch richtig sein. Dreiecke werden in den Abbildungen nach der Anzahl gleicher Seiten und der Größe der Winkel unterteilt. So werden Dreiecke in gleichschenklige, gleichseitige und ungleichseitige sowie rechteckige, spitze und stumpfe Dreiecke unterschieden.

Es gibt viele Formeln zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks. Wählen Sie, wie Sie die Fläche eines Dreiecks ermitteln möchten, d. Welche Formel Sie verwenden, bleibt Ihnen überlassen. Es lohnt sich jedoch, nur einige der Notationen zu beachten, die in vielen Formeln zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks verwendet werden. Also denk daran:

S ist die Fläche des Dreiecks,

a, b, c sind die Seiten des Dreiecks,

h ist die Höhe des Dreiecks,

R ist der Radius des umschriebenen Kreises,

p ist der Halbumfang.

Hier sind die grundlegenden Notationen, die Ihnen nützlich sein können, wenn Sie Ihren Geometriekurs völlig vergessen haben. Nachfolgend finden Sie die verständlichsten und unkompliziertesten Möglichkeiten zur Berechnung der unbekannten und mysteriösen Fläche eines Dreiecks. Es ist nicht schwierig und wird sowohl für Ihre Haushaltsbedürfnisse als auch für die Hilfe für Ihre Kinder nützlich sein. Erinnern wir uns daran, wie man die Fläche eines Dreiecks so einfach wie möglich berechnen kann:

In unserem Fall beträgt die Fläche des Dreiecks: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm². Denken Sie daran, dass die Fläche in Quadratzentimetern (qcm) gemessen wird.

Rechtwinkliges Dreieck und seine Fläche.

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem ein Winkel 90 Grad beträgt (daher auch rechtwinklig genannt). Ein rechter Winkel wird durch zwei senkrechte Linien gebildet (im Fall eines Dreiecks durch zwei senkrechte Abschnitte). In einem rechtwinkligen Dreieck kann es nur einen rechten Winkel geben, weil... Die Summe aller Winkel eines Dreiecks beträgt 180 Grad. Es stellt sich heraus, dass sich die anderen beiden Winkel die restlichen 90 Grad teilen sollten, zum Beispiel 70 und 20, 45 und 45 usw. Sie erinnern sich also an die Hauptsache, es bleibt nur noch herauszufinden, wie man die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ermittelt. Stellen wir uns vor, dass wir ein solches rechtwinkliges Dreieck vor uns haben und dessen Fläche S ermitteln müssen.

1. Der einfachste Weg, die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks zu bestimmen, wird mit der folgenden Formel berechnet:

In unserem Fall beträgt die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm².

Im Prinzip besteht keine Notwendigkeit mehr, die Fläche des Dreiecks auf andere Weise zu überprüfen, denn Nur dieses wird nützlich sein und im Alltag helfen. Es gibt aber auch Möglichkeiten, die Fläche eines Dreiecks durch spitze Winkel zu messen.

2. Für andere Berechnungsmethoden benötigen Sie eine Tabelle mit Kosinus, Sinus und Tangens. Urteilen Sie selbst, hier sind einige Möglichkeiten zur Berechnung der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks, die noch verwendet werden können:

Wir entschieden uns für die erste Formel und mit ein paar kleinen Flecken (wir zeichneten sie in ein Notizbuch und benutzten ein altes Lineal und einen Winkelmesser), aber wir bekamen die richtige Berechnung:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Wir haben folgende Ergebnisse erhalten: 3,6=3,7, aber unter Berücksichtigung der Zellverschiebung können wir diese Nuance verzeihen.

Gleichschenkliges Dreieck und seine Fläche.

Wenn Sie vor der Aufgabe stehen, die Formel für ein gleichschenkliges Dreieck zu berechnen, ist es am einfachsten, die Hauptformel und die als klassische Formel für die Fläche eines Dreiecks zu verwenden.

Aber bevor wir die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks ermitteln, wollen wir zunächst herausfinden, um welche Art von Figur es sich handelt. Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem zwei Seiten gleich lang sind. Diese beiden Seiten werden lateral genannt, die dritte Seite wird Basis genannt. Verwechseln Sie ein gleichschenkliges Dreieck nicht mit einem gleichseitigen Dreieck, d. h. ein regelmäßiges Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich sind. In einem solchen Dreieck gibt es keine besonderen Tendenzen hinsichtlich der Winkel bzw. ihrer Größe. Allerdings sind die Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks gleich, unterscheiden sich jedoch vom Winkel zwischen gleichen Seiten. Sie kennen also bereits die erste und wichtigste Formel; es bleibt herauszufinden, welche anderen Formeln zur Bestimmung der Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks bekannt sind:

Fläche einer geometrischen Figur- ein numerisches Merkmal einer geometrischen Figur, das die Größe dieser Figur angibt (Teil der Oberfläche, die durch die geschlossene Kontur dieser Figur begrenzt wird). Die Größe der Fläche wird durch die Anzahl der darin enthaltenen Quadrateinheiten ausgedrückt.

Dreiecksflächenformeln

Formel für die Fläche eines Dreiecks nach Seite und Höhe
Fläche eines Dreiecks gleich dem halben Produkt aus der Länge einer Seite eines Dreiecks und der Länge der zu dieser Seite gezeichneten Höhe
Formel für die Fläche eines Dreiecks basierend auf drei Seiten und dem Radius des Umkreises
Formel für die Fläche eines Dreiecks basierend auf drei Seiten und dem Radius des eingeschriebenen Kreises
Fläche eines Dreiecks ist gleich dem Produkt aus dem Halbumfang des Dreiecks und dem Radius des eingeschriebenen Kreises.

Quadratische Flächenformeln

Formel für die Fläche eines Quadrats nach Seitenlänge
Quadratischer Bereich gleich dem Quadrat der Länge seiner Seite.
Formel für die Fläche eines Quadrats entlang der Diagonallänge
Quadratischer Bereich gleich dem halben Quadrat der Länge seiner Diagonale.
S= 1 2
2

Rechteckflächenformel

Fläche eines Rechtecks

Formeln für Parallelogrammflächen

Formel für die Fläche eines Parallelogramms basierend auf Seitenlänge und -höhe
Fläche eines Parallelogramms
Formel für die Fläche eines Parallelogramms basierend auf zwei Seiten und dem Winkel zwischen ihnen
Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt der Längen seiner Seiten multipliziert mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen.
a b sin α

Formeln für die Fläche einer Raute

Formel für die Fläche einer Raute basierend auf Seitenlänge und -höhe
Fläche einer Raute gleich dem Produkt aus der Länge seiner Seite und der Länge der zu dieser Seite abgesenkten Höhe.
Formel für die Fläche einer Raute basierend auf Seitenlänge und Winkel
Fläche einer Raute ist gleich dem Produkt aus dem Quadrat der Seitenlänge und dem Sinus des Winkels zwischen den Seiten der Raute.
Formel für die Fläche einer Raute basierend auf den Längen ihrer Diagonalen
Fläche einer Raute gleich dem halben Produkt der Längen seiner Diagonalen.

Trapezflächenformeln

Herons Formel für Trapez
Wobei S die Fläche des Trapezes ist,
- Längen der Grundflächen des Trapezes,
- Längen der Seiten des Trapezes,

Das Dreieck ist eine Figur, die jeder kennt. Und das trotz der großen Formenvielfalt. Rechteckig, gleichseitig, spitz, gleichschenklig, stumpf. Jeder von ihnen ist in irgendeiner Weise anders. Aber für jeden muss man die Fläche eines Dreiecks herausfinden.

Für alle Dreiecke gemeinsame Formeln, die Seitenlängen oder Höhen verwenden

Die in ihnen übernommenen Bezeichnungen: Seiten - a, b, c; Höhen auf den entsprechenden Seiten auf a, n in, n mit.

1. Die Fläche eines Dreiecks wird als Produkt aus ½, einer Seite und der davon subtrahierten Höhe berechnet. S = ½ * a * n a. Die Formeln für die anderen beiden Seiten sollten ähnlich geschrieben werden.

2. Herons Formel, in der der Halbumfang vorkommt (im Gegensatz zum Vollumfang wird er normalerweise mit dem kleinen Buchstaben p bezeichnet). Der Halbumfang muss wie folgt berechnet werden: Addieren Sie alle Seiten und teilen Sie sie durch 2. Die Formel für den Halbumfang lautet: p = (a+b+c) / 2. Dann gilt die Gleichheit für die Fläche von Die Abbildung sieht so aus: S = √ (p * (p - a) * ( ð - в) * (ð - с)).

3. Wenn Sie keinen Halbumfang verwenden möchten, ist eine Formel nützlich, die nur die Längen der Seiten enthält: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c – a ) * (a + c – c) * (a + b – c)). Es ist etwas länger als das vorherige, hilft aber, wenn Sie vergessen haben, den Halbumfang zu finden.

Allgemeine Formeln für die Winkel eines Dreiecks

Zum Lesen der Formeln erforderliche Notationen: α, β, γ – Winkel. Sie liegen jeweils auf den gegenüberliegenden Seiten a, b, c.

1. Demnach ist das halbe Produkt zweier Seiten und der Sinus des Winkels zwischen ihnen gleich der Fläche des Dreiecks. Das heißt: S = ½ a * b * sin γ. Die Formeln für die anderen beiden Fälle sollten auf ähnliche Weise geschrieben werden.

2. Die Fläche eines Dreiecks kann aus einer Seite und drei bekannten Winkeln berechnet werden. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Es gibt auch eine Formel mit einer bekannten Seite und zwei benachbarten Winkeln. Es sieht so aus: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Die letzten beiden Formeln sind nicht die einfachsten. Es ist ziemlich schwierig, sich an sie zu erinnern.

Allgemeine Formeln für den Fall, dass die Radien eingeschriebener oder umschriebener Kreise bekannt sind

Zusätzliche Bezeichnungen: r, R - Radien. Der erste wird für den Radius des eingeschriebenen Kreises verwendet. Der zweite ist für den beschriebenen.

1. Die erste Formel, nach der die Fläche eines Dreiecks berechnet wird, bezieht sich auf den Halbumfang. S = r * r. Eine andere Schreibweise ist: S = ½ r * (a + b + c).

2. Im zweiten Fall müssen Sie alle Seiten des Dreiecks multiplizieren und durch das Vierfache des Radius des umschriebenen Kreises dividieren. Im wörtlichen Ausdruck sieht es so aus: S = (a * b * c) / (4R).

3. In der dritten Situation können Sie auf die Kenntnis der Seiten verzichten, benötigen jedoch die Werte aller drei Winkel. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Sonderfall: rechtwinkliges Dreieck

Dies ist die einfachste Situation, da nur die Länge beider Beine benötigt wird. Sie werden mit den lateinischen Buchstaben a und b bezeichnet. Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht der Hälfte der Fläche des dazu addierten Rechtecks.

Mathematisch sieht es so aus: S = ½ a * b. Es ist am einfachsten, sich daran zu erinnern. Da es wie die Formel für die Fläche eines Rechtecks aussieht, erscheint nur ein Bruchteil, der die Hälfte angibt.

Sonderfall: gleichschenkliges Dreieck

Da es zwei gleiche Seiten hat, sehen einige Formeln für seine Fläche etwas vereinfacht aus. Die Formel von Heron, die die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks berechnet, sieht beispielsweise wie folgt aus:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Wenn Sie es transformieren, wird es kürzer. In diesem Fall lautet Herons Formel für ein gleichschenkliges Dreieck wie folgt:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

Die Flächenformel sieht etwas einfacher aus als für ein beliebiges Dreieck, wenn die Seiten und der Winkel zwischen ihnen bekannt sind. S = ½ a 2 * sin β.

Sonderfall: gleichseitiges Dreieck

Normalerweise ist bei Problemen die Seite darüber bekannt oder kann auf irgendeine Weise herausgefunden werden. Dann lautet die Formel zum Ermitteln der Fläche eines solchen Dreiecks wie folgt:

S = (a 2 √3) / 4.

Probleme beim Finden der Fläche, wenn das Dreieck auf kariertem Papier abgebildet ist

Die einfachste Situation ist, wenn ein rechtwinkliges Dreieck so gezeichnet wird, dass seine Schenkel mit den Linien des Papiers übereinstimmen. Dann müssen Sie nur noch die Anzahl der Zellen zählen, die in die Beine passen. Dann multipliziere sie und dividiere durch zwei.

Wenn das Dreieck spitz oder stumpf ist, muss es zu einem Rechteck gezeichnet werden. Dann wird die resultierende Figur 3 Dreiecke haben. Eine davon ist die in der Aufgabe angegebene. Und die anderen beiden sind Hilfs- und rechteckig. Die Flächen der letzten beiden müssen mit der oben beschriebenen Methode bestimmt werden. Berechnen Sie dann die Fläche des Rechtecks und subtrahieren Sie davon die für die Hilfsflächen berechneten. Die Fläche des Dreiecks wird bestimmt.

Als wesentlich komplizierter erweist sich die Situation, in der keine der Seiten des Dreiecks mit den Linien des Papiers übereinstimmt. Dann muss es in ein Rechteck eingeschrieben werden, sodass die Eckpunkte der Originalfigur auf seinen Seiten liegen. In diesem Fall gibt es drei rechtwinklige Hilfsdreiecke.

Beispiel für ein Problem mit der Heron-Formel

Zustand. Manche Dreiecke haben bekannte Seiten. Sie betragen 3, 5 und 6 cm. Sie müssen die Fläche ermitteln.

Jetzt können Sie die Fläche des Dreiecks mit der obigen Formel berechnen. Unter der Quadratwurzel steht das Produkt aus vier Zahlen: 7, 4, 2 und 1. Das heißt, die Fläche ist √(4 * 14) = 2 √(14).

Wenn keine größere Genauigkeit erforderlich ist, können Sie die Quadratwurzel aus 14 ziehen. Sie entspricht 3,74. Dann beträgt die Fläche 7,48.

Antwort. S = 2 √14 cm 2 oder 7,48 cm 2.

Beispielproblem mit einem rechtwinkligen Dreieck

Zustand. Ein Bein eines rechtwinkligen Dreiecks ist 31 cm größer als das zweite. Sie müssen ihre Länge ermitteln, wenn die Fläche des Dreiecks 180 cm 2 beträgt.
Lösung. Wir müssen ein System aus zwei Gleichungen lösen. Die erste bezieht sich auf die Fläche. Die zweite betrifft das Verhältnis der Beine, das in der Aufgabe angegeben ist.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Zunächst muss der Wert von „a“ in die erste Gleichung eingesetzt werden. Es stellt sich heraus: 180 = ½ (in + 31) * in. Es gibt nur eine unbekannte Größe und ist daher leicht zu lösen. Nach dem Öffnen der Klammern erhält man die quadratische Gleichung: 2 + 31 360 = 0. Damit erhält man zwei Werte für „in“: 9 und – 40. Die zweite Zahl ist als Antwort nicht geeignet, da die Länge der Seite eines Dreiecks darf kein negativer Wert sein.

Es bleibt noch das zweite Bein zu berechnen: Addiere 31 zur resultierenden Zahl. Es ergibt sich 40. Dies sind die in der Aufgabe gesuchten Größen.

Antwort. Die Beine des Dreiecks sind 9 und 40 cm lang.

Problem, eine Seite durch Fläche, Seite und Winkel eines Dreiecks zu finden

Zustand. Die Fläche eines bestimmten Dreiecks beträgt 60 cm 2. Es ist notwendig, eine seiner Seiten zu berechnen, wenn die zweite Seite 15 cm beträgt und der Winkel zwischen ihnen 30 ° beträgt.

Lösung. Basierend auf der akzeptierten Notation ist die gewünschte Seite „a“, die bekannte Seite ist „b“ und der angegebene Winkel ist „γ“. Dann kann die Flächenformel wie folgt umgeschrieben werden:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Hier beträgt der Sinus von 30 Grad 0,5.

Nach den Transformationen ergibt sich, dass „a“ gleich 60 / (0,5 * 0,5 * 15) ist. Das sind 16.

Antwort. Die erforderliche Seitenlänge beträgt 16 cm.

Problem mit einem Quadrat, das in ein rechtwinkliges Dreieck eingeschrieben ist

Zustand. Der Scheitelpunkt eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 24 cm fällt mit dem rechten Winkel des Dreiecks zusammen. Die anderen beiden liegen an den Seiten. Die dritte gehört zur Hypotenuse. Die Länge eines der Beine beträgt 42 cm. Wie groß ist die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks?

Lösung. Betrachten Sie zwei rechtwinklige Dreiecke. Der erste ist der in der Aufgabe angegebene. Der zweite basiert auf dem bekannten Schenkel des ursprünglichen Dreiecks. Sie sind ähnlich, weil sie einen gemeinsamen Winkel haben und durch parallele Linien gebildet werden.

Dann sind die Verhältnisse ihrer Beine gleich. Die Beine des kleineren Dreiecks sind gleich 24 cm (Seite des Quadrats) und 18 cm (bei gegebenem Bein 42 cm abzüglich der Seite des Quadrats 24 cm). Die entsprechenden Schenkel eines großen Dreiecks sind 42 cm und x cm. Dieses „x“ wird benötigt, um die Fläche des Dreiecks zu berechnen.

18/42 = 24/x, also x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Dann ist die Fläche gleich dem Produkt aus 56 und 42 dividiert durch zwei, also 1176 cm 2.

Antwort. Die benötigte Fläche beträgt 1176 cm 2.