Monty-Hall-Paradoxon mit einer Formel erklärt. Monty-Hall-Paradoxon: Formulierung und Erklärung. Erklärung Nummer zwei, einfacher

Stellen Sie sich vor, Sie nehmen an einem Spiel teil, bei dem Sie eine von drei Türen auswählen müssen. Hinter einer der Türen steht ein Auto, hinter den anderen beiden Türen stehen Ziegen. Sie wählen eine der Türen, zum Beispiel Nummer 1, woraufhin der Anführer, der weiß, wo das Auto und die Ziegen sind, eine der verbleibenden Türen öffnet, zum Beispiel Nummer 3, hinter der sich eine Ziege befindet. Anschließend fragt er Sie, ob Sie Ihre Wahl ändern und Türchen Nummer 2 wählen möchten. Erhöhen sich Ihre Gewinnchancen für das Auto, wenn Sie das Angebot des Gastgebers annehmen und Ihre Wahl ändern?

Lösung. Wir stellen sofort fest, dass dieses Problem kein Paradoxon enthält. Eine gemeinsame Aufgabe (Anfangsebene) basiert auf der Bayes-Formel, die sich aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ergibt.

Bayes-Formel

Bezeichnen wir mit A das Ereignis – Sie haben ein Auto gewonnen.

Wir stellen zwei Hypothesen auf: H 1 – Sie wechseln die Tür nicht und H 2 – Sie wechseln die Tür.

P(H 1) = 1/3 – a priori (a priori bedeutet vor dem Experiment, dass der Moderator die Tür noch nicht geöffnet hatte) Wahrscheinlichkeit der Hypothese, dass Sie die Tür wechseln.

P H1 (A) – bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Sie die Tür erraten, hinter der sich das Auto befindet, wenn die erste Hypothese H 1 auftritt

P H2 (A) – bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Sie die Tür erraten, hinter der sich das Auto befindet, wenn die zweite Hypothese H 2 auftritt

Wir ermitteln die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A, wenn Hypothese H 1 eintritt (die Wahrscheinlichkeit, dass Sie das Auto gewonnen haben, wenn Sie die Tür nicht gewechselt haben):

Finden Sie die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A, wenn Hypothese H 2 eintritt (die Wahrscheinlichkeit, dass Sie ein Auto gewonnen haben, wenn Sie die Tür gewechselt haben):

Daher sollte der Teilnehmer seine ursprüngliche Wahl ändern – in diesem Fall beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit 2 ⁄ 3.

Statistischer Test des Monty-Hall-Paradoxons

Hier: „Strategie 1“ – Auswahl nicht ändern, „Strategie 2“ – Auswahl ändern. Theoretisch beträgt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Fall mit 3 Türen 33,(3) % und 66,(6) %. Numerische Simulationen sollten zu ähnlichen Ergebnissen führen.

Im Dezember 1963 auf dem amerikanischen Fernsehsender NBC Das Programm wurde zum ersten Mal veröffentlicht Machen wir einen Deal(„Lass uns einen Deal machen!“), bei dem aus dem Studiopublikum ausgewählte Teilnehmer miteinander und mit dem Moderator verhandelten, kleine Spiele spielten oder einfach die Antwort auf eine Frage errieten. Am Ende der Show konnten die Teilnehmer den „Deal des Tages“ spielen. Vor ihnen befanden sich drei Türen, von denen bekannt war, dass sich hinter einer davon der Hauptpreis (zum Beispiel ein Auto) und hinter den anderen beiden weniger wertvolle oder völlig absurde Geschenke (zum Beispiel lebende Ziegen) befanden. Nachdem der Spieler seine Wahl getroffen hatte, öffnete der Moderator der Sendung, Monty Hall, eine der beiden verbleibenden Türen, um zu zeigen, dass sich dahinter kein Preis befand, und gab dem Teilnehmer die Befriedigung, dass er immer noch eine Gewinnchance hatte.

Im Jahr 1975 fragte sich der Wissenschaftler Steve Selvin von der University of California, was passieren würde, wenn der Teilnehmer in diesem Moment, nachdem sich die Tür ohne Preis geöffnet hatte, aufgefordert würde, seine Wahl zu ändern. Verändern sich in diesem Fall die Chancen des Spielers, den Preis zu erhalten, und wenn ja, in welche Richtung? Die entsprechende Frage reichte er als Aufgabe bei der Zeitschrift ein Der amerikanische Statistiker(„Amerikanischer Statistiker“) sowie Monty Hall selbst, der darauf eine recht interessante Antwort gab. Trotz dieser Antwort (oder vielleicht gerade deshalb) wurde das Problem unter dem Namen „Monty-Hall-Problem“ populär.

Aufgabe

Sie befanden sich als Teilnehmer in der Monty Hall-Show – und im letzten Moment, als der Moderator mit einer Ziege die Tür öffnete, forderte er Sie auf, Ihre Wahl zu ändern. Wird Ihre Entscheidung – ob Sie annehmen oder nicht – die Gewinnwahrscheinlichkeit beeinflussen?

Hinweis

Versuchen Sie, Personen zu berücksichtigen, die im selben Fall unterschiedliche Türen gewählt haben (d. h. wenn sich der Preis beispielsweise hinter Tür Nr. 1 befindet). Wer wird davon profitieren, seine Entscheidungen zu ändern, und wer nicht?

Lösung

Schauen wir uns, wie in der Eingabeaufforderung vorgeschlagen, Menschen an, die andere Entscheidungen getroffen haben. Nehmen wir an, dass sich der Preis hinter Tür Nr. 1 befindet und sich hinter Tür Nr. 2 und Nr. 3 Ziegen befinden. Lasst uns sechs Leute haben, und zwei Leute wählten jede Tür, und von jedem Paar änderte einer seine Entscheidung anschließend und der andere nicht.

Beachten Sie, dass der Präsentator für diejenigen, die sich für Tür Nr. 1 entscheiden, eine von zwei Türen nach seinem Geschmack öffnet, und unabhängig davon wird das Auto von denjenigen empfangen, die ihre Wahl nicht ändern, während diejenigen, die ihre ursprüngliche Wahl ändern, das Auto erhalten bleibt ohne Preis. Schauen wir uns nun diejenigen an, die sich für die Türen Nr. 2 und Nr. 3 entschieden haben. Da sich hinter Tür Nr. 1 ein Auto befindet, kann der Anführer es nicht öffnen, was ihm keine andere Wahl lässt – er öffnet ihnen jeweils die Türen Nr. 3 und Nr. 2. In diesem Fall entscheidet letztendlich derjenige, der die Entscheidung in jedem Paar geändert hat, über den Preis, und derjenige, der sich nicht geändert hat, bleibt leer. Somit erhalten von den drei Personen, die ihre Entscheidung geändert haben, zwei den Preis und einer die Ziege, während von den drei Personen, die ihre ursprüngliche Wahl unverändert gelassen haben, nur einer den Preis erhält.

Es ist zu beachten, dass das Ergebnis dasselbe gewesen wäre, wenn das Auto hinter Tür Nr. 2 oder Nr. 3 gelandet wäre, nur dass sich die spezifischen Gewinner geändert hätten. Unter der Annahme, dass zunächst jede Tür mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt wird, stellen wir fest, dass diejenigen, die ihre Wahl ändern, den Preis doppelt so oft gewinnen, d. h. die Gewinnwahrscheinlichkeit ist in diesem Fall größer.

Betrachten wir dieses Problem aus der Sicht der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie. Wir gehen davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit, zunächst jede der Türen auszuwählen, gleich ist, ebenso wie die Wahrscheinlichkeit, hinter jeder der Türen ein Auto zu finden. Darüber hinaus ist es nützlich, den Vorbehalt zu beachten, dass der GM, wenn er zwei Türen öffnen kann, jede davon mit gleicher Wahrscheinlichkeit wählt. Dann stellt sich heraus, dass nach der ersten Entscheidung die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Preis hinter der gewählten Tür befindet, 1/3 beträgt, während die Wahrscheinlichkeit, dass er sich hinter einer der beiden anderen Türen befindet, 2/3 beträgt. Darüber hinaus fällt, nachdem der Anführer eine der beiden „nicht ausgewählten“ Türen geöffnet hat, die gesamte 2/3-Wahrscheinlichkeit nur auf eine der verbleibenden Türen und schafft so die Grundlage für eine Änderung der Entscheidung, die die Gewinnwahrscheinlichkeit um das Zweifache erhöht . Was dies im Einzelfall natürlich keineswegs garantiert, aber bei mehrmaliger Wiederholung des Experiments zu erfolgreicheren Ergebnissen führt.

Nachwort

Das Monty-Hall-Problem ist nicht die erste bekannte Formulierung dieses Problems. Insbesondere veröffentlichte Martin Gardner 1959 in der Zeitschrift Wissenschaftlicher Amerikaner ein ähnliches Problem „über drei Gefangene“ (Three Prisoners Problem) mit folgendem Wortlaut: „ Von den drei Gefangenen sollte einer begnadigt und zwei hingerichtet werden. Gefangener A überredet den Wärter, ihm den Namen des einen der beiden anderen zu nennen, der hingerichtet wird (einer von beiden, wenn beide hingerichtet werden), woraufhin er, nachdem er den Namen B erhalten hat, glaubt, dass die Wahrscheinlichkeit seiner eigenen Erlösung gesunken ist nicht 1/3, sondern 1/2 werden. Gleichzeitig behauptet Gefangener C, dass die Wahrscheinlichkeit seiner Erlösung 2/3 geworden sei, aber für A habe sich nichts geändert. Welches ist richtig?»

Allerdings war Gardner nicht der Erste, denn bereits 1889 schlug der französische Mathematiker Joseph Bertrand (nicht zu verwechseln mit dem Engländer Bertrand Russell!) in seinem Werk „Wahrscheinlichkeitsrechnung“ ein ähnliches Problem vor (siehe Bertrands Kastenparadoxon): „ Es gibt drei Kisten, in denen sich jeweils zwei Münzen befinden: zwei goldene in der ersten, zwei silberne in der zweiten und zwei verschiedene in der dritten. Aus einer zufällig ausgewählten Schachtel wurde zufällig eine Münze gezogen, die sich als Gold herausstellte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die verbleibende Münze in der Schachtel Gold ist?»

Wenn Sie die Lösungen für alle drei Probleme verstehen, fällt Ihnen leicht die Ähnlichkeit ihrer Ideen auf; mathematisch gesehen werden sie alle durch das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit vereint, also der Wahrscheinlichkeit von Ereignis A, wenn bekannt ist, dass Ereignis B eingetreten ist. Das einfachste Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass auf einem regulären Würfel eine Eins erscheint, beträgt 1/6; Wenn jedoch bekannt ist, dass die gezogene Zahl ungerade ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um Eins handelt, bereits 1/3. Das Monty-Hall-Problem sowie die beiden anderen oben genannten Probleme zeigen, dass bedingte Wahrscheinlichkeiten sorgfältig gehandhabt werden müssen.

Diese Probleme werden auch oft als Paradoxien bezeichnet: das Monty-Hall-Paradoxon, das Bertrand-Box-Paradoxon (letzteres sollte nicht mit dem echten Bertrand-Paradoxon verwechselt werden, das im selben Buch beschrieben wird und die Mehrdeutigkeit des damals existierenden Wahrscheinlichkeitskonzepts bewies) – welche impliziert einen gewissen Widerspruch (z. B. in „Im Paradoxon des Lügners“ widerspricht der Satz „Diese Aussage ist falsch“ dem Gesetz der ausgeschlossenen Mitte). In diesem Fall besteht jedoch kein Widerspruch zu strengen Aussagen. Es besteht jedoch ein klarer Widerspruch zur „öffentlichen Meinung“ oder einfach zur „offensichtlichen Lösung“ des Problems. Tatsächlich glauben die meisten Menschen, wenn sie das Problem betrachten, dass nach dem Öffnen einer der Türen die Wahrscheinlichkeit, einen Preis für eine der beiden verbleibenden Türen zu finden, 1/2 beträgt. Daher argumentieren sie, dass es keinen Unterschied macht, ob Sie einer Änderung Ihrer Entscheidung zustimmen oder nicht. Darüber hinaus fällt es vielen Menschen schwer, eine andere Antwort als diese zu finden, selbst nachdem ihnen die detaillierte Lösung mitgeteilt wurde.

Stellen Sie sich vor, ein Banker bietet Ihnen an, eine von drei geschlossenen Boxen auszuwählen. Einer von ihnen enthält 50 Cent, der andere einen Dollar und der dritte 10.000 Dollar. Wofür Sie sich auch entscheiden, Sie erhalten es als Preis.

Sie wählen nach dem Zufallsprinzip beispielsweise Feld Nr. 1 aus. Und dann öffnet der Bankier (der natürlich weiß, wo alles ist) direkt vor Ihren Augen eine Kiste mit einem Dollar (sagen wir, das ist Nr. 2) und lädt Sie dann ein, die ursprünglich ausgewählte Kiste Nr. 1 in eine Kiste zu ändern Nr. 3.

Sollten Sie Ihre Meinung ändern? Erhöht dies Ihre Chancen, 10.000 zu bekommen?

Dies ist das Monty-Hall-Paradoxon – ein Problem der Wahrscheinlichkeitstheorie, dessen Lösung auf den ersten Blick dem gesunden Menschenverstand widerspricht. Seit 1975 rätselt man über dieses Problem.

Das Paradoxon wurde nach dem Moderator der beliebten amerikanischen Fernsehsendung „Let’s Make a Deal“ benannt. Diese TV-Show hatte ähnliche Regeln, nur die Teilnehmer wählten Türen, hinter zwei davon versteckten sich Ziegen, hinter der dritten – ein Cadillac.

Die meisten Spieler gingen davon aus, dass die Chance, sie zu bekommen, bei 50:50 lag, nachdem zwei Türen geschlossen waren und sich hinter einer davon ein Cadillac befand neues Spiel. Unabhängig davon, ob Sie Ihre Entscheidung ändern oder nicht, liegen Ihre Chancen immer noch bei 50 Prozent. Rechts?

Es stellt sich heraus, dass dies nicht der Fall ist. Tatsächlich können Sie Ihre Erfolgschancen verdoppeln, indem Sie Ihre Meinung ändern. Warum?

Die einfachste Erklärung für diese Antwort ist die folgende Überlegung. Um ein Auto zu gewinnen, ohne die Wahl zu ändern, muss der Spieler sofort die Tür erraten, hinter der sich das Auto befindet. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 1/3. Wenn der Spieler zunächst auf einer Tür landet, hinter der sich eine Ziege befindet (und die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses 2/3 beträgt, da es zwei Ziegen und nur ein Auto gibt), kann er durch eine Änderung seiner Entscheidung das Auto definitiv gewinnen Zurück bleiben das Auto und eine Ziege, und der Moderator hatte bereits die Tür mit der Ziege geöffnet.

Ohne die Wahl zu ändern, bleibt der Spieler also bei seiner anfänglichen Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/3, und wenn er die ursprüngliche Wahl ändert, profitiert der Spieler von der doppelten verbleibenden Wahrscheinlichkeit, dass er zu Beginn falsch getippt hat.

Eine intuitive Erklärung kann auch durch Vertauschen der beiden Ereignisse erfolgen. Das erste Ereignis ist die Entscheidung des Spielers, die Tür zu wechseln, das zweite Ereignis ist das Öffnen einer zusätzlichen Tür. Dies ist akzeptabel, da das Öffnen einer zusätzlichen Tür dem Spieler keine neuen Informationen liefert (Dokumentation finden Sie in diesem Artikel). Dann lässt sich das Problem auf die folgende Formulierung reduzieren. Im ersten Moment teilt der Spieler die Türen in zwei Gruppen ein: In der ersten Gruppe gibt es eine Tür (die von ihm gewählte), in der zweiten Gruppe gibt es zwei verbleibende Türen. Im nächsten Moment trifft der Spieler eine Wahl zwischen den Gruppen. Offensichtlich beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit für die erste Gruppe 1/3, für die zweite Gruppe 2/3. Der Spieler wählt die zweite Gruppe. In der zweiten Gruppe kann er beide Türen öffnen. Eines wird vom Moderator geöffnet, das zweite vom Spieler selbst.

Versuchen wir, die „verständlichste“ Erklärung zu geben. Formulieren wir die Aufgabe neu: Ein ehrlicher Moderator verkündet dem Spieler, dass sich hinter einer der drei Türen ein Auto befindet, und fordert ihn auf, zunächst auf eine der Türen zu zeigen und dann eine von zwei Aktionen zu wählen: die angezeigte Tür öffnen (in In der alten Formulierung heißt das „Ändere deine Wahl nicht“) oder öffne die anderen beiden (in der alten Formulierung wäre das nur „Ändere deine Wahl“. Denken Sie, hier liegt der Schlüssel zum Verständnis!). Es ist klar, dass der Spieler die zweite der beiden Aktionen wählen wird, da die Wahrscheinlichkeit, ein Auto zu erhalten, in diesem Fall doppelt so hoch ist. Und die Kleinigkeit, dass der Moderator schon vor der Auswahl einer Aktion „die Ziege gezeigt“ hat, hilft oder behindert die Wahl nicht, denn hinter einer der beiden Türen steckt immer eine Ziege und der Moderator wird sie auf jeden Fall in jeder Spielrunde zeigen , sodass der Spieler diese Ziege benutzen kann und nicht hinsehen muss. Die Aufgabe des Spielers, wenn er die zweite Aktion wählt, besteht darin, dem Anführer „Danke“ zu sagen, dass er ihm die Mühe erspart hat, eine der beiden Türen selbst zu öffnen und die andere zu öffnen. Nun ja, oder noch einfacher. Stellen wir uns diese Situation aus der Sicht eines Moderators vor, der eine ähnliche Prozedur mit Dutzenden von Spielern durchführt. Da er genau weiß, was sich hinter den Türen verbirgt, sieht er im Durchschnitt in zwei von drei Fällen im Voraus, dass der Spieler die „falsche“ Tür gewählt hat. Daher ist es für ihn definitiv kein Paradoxon, dass die richtige Strategie darin besteht, die Wahl nach dem Öffnen der ersten Tür zu ändern: Schließlich wird der Spieler in denselben zwei von drei Fällen das Studio in einem neuen Auto verlassen.

Zum Schluss noch der „naivste“ Beweis. Derjenige, der zu seiner Wahl steht, soll „Sturheit“ genannt werden, und derjenige, der den Anweisungen des Führers folgt, soll „Aufmerksam“ genannt werden. Dann gewinnt Hartnäckig, wenn er zunächst das Auto erraten hat (1/3), und Aufmerksam gewinnt, wenn er zunächst verfehlt und die Ziege getroffen hat (2/3). Denn nur in diesem Fall zeigt er dann mit dem Auto auf die Tür.

Monty Hall, Produzent und Showmoderator Machen wir einen Deal von 1963 bis 1991.

1990 wurden dieses Problem und seine Lösung in der amerikanischen Zeitschrift Parade veröffentlicht. Die Veröffentlichung löste eine Flut empörter Kritiken von Lesern aus, von denen viele über einen naturwissenschaftlichen Abschluss verfügten.

Die Hauptbeschwerde bestand darin, dass nicht alle Bedingungen der Aufgabe spezifiziert waren und jede Nuance das Ergebnis beeinflussen könnte. Beispielsweise könnte der Moderator anbieten, die Entscheidung nur dann zu ändern, wenn der Spieler als ersten Zug ein Auto wählt. Offensichtlich führt eine Änderung der ursprünglichen Wahl in einer solchen Situation zu einem garantierten Verlust.

Allerdings haben Menschen, die ihre Meinung geändert haben, während der gesamten Existenz der Monty Hall-TV-Show tatsächlich doppelt so oft gewonnen:

Von den 30 Spielern, die ihre ursprüngliche Entscheidung änderten, gewann Cadillac 18 – also 60 %

Von den 30 Spielern, die bei ihrer Wahl blieben, gewann Cadillac 11 – also etwa 36 %

Die in der Entscheidung dargelegte Begründung wird also, so unlogisch sie auch erscheinen mag, durch die Praxis bestätigt.

Erhöhung der Anzahl der Türen

Um das Wesentliche des Geschehens leichter zu verstehen, können wir den Fall betrachten, dass der Spieler nicht drei Türen vor sich sieht, sondern beispielsweise hundert. Außerdem steht hinter einer der Türen ein Auto und hinter den anderen 99 Ziegen. Der Spieler wählt eine der Türen, und in 99 % der Fälle wählt er die Tür mit der Ziege, und die Wahrscheinlichkeit, dass er sich sofort für die Tür mit dem Auto entscheidet, ist sehr gering – sie beträgt 1 %. Danach öffnet der Moderator 98 Türen mit Ziegen und fordert den Spieler auf, die verbleibende Tür auszuwählen. Allerdings befindet sich das Auto in 99 % der Fälle hinter dieser verbleibenden Tür, da die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler sofort die richtige Tür gewählt hat, sehr gering ist. Es ist klar, dass ein rational denkender Spieler in dieser Situation immer das Angebot des Anführers annehmen sollte.

Bei der Betrachtung einer erhöhten Anzahl von Türen stellt sich oft die Frage: Wenn der Anführer im ursprünglichen Problem eine von drei Türen öffnet (also 1/3 der Gesamtzahl der Türen), warum sollten wir das dann in diesem Fall annehmen? Von 100 Türen öffnet der Anführer 98 Türen mit Ziegen und nicht 33? Diese Überlegung ist normalerweise einer der wesentlichen Gründe, warum das Monty-Hall-Paradoxon mit der intuitiven Wahrnehmung der Situation in Konflikt steht. Es wäre richtig anzunehmen, dass 98 Türen geöffnet werden, denn eine wesentliche Bedingung der Aufgabe ist das Vorhandensein nur einer vom Moderator vorgeschlagenen Alternativmöglichkeit für den Spieler. Damit die Aufgaben ähnlich sind, muss der Anführer bei 4 Türen 2 Türen öffnen, bei 5 Türen 3 usw., so dass es immer eine andere ungeöffnete Tür gibt als die, die geöffnet ist Der Spieler wählte zunächst. Wenn der Moderator weniger Türen öffnet, ähnelt die Aufgabe nicht mehr der ursprünglichen Monty-Hall-Aufgabe.

Es ist zu beachten, dass bei vielen Türen, auch wenn der Moderator nicht eine, sondern mehrere Türen geschlossen lässt und den Spieler auffordert, eine davon auszuwählen, die Chancen des Spielers, ein Auto zu gewinnen, bei einer Änderung der ursprünglichen Wahl sinken steigen immer noch, wenn auch nicht so deutlich. Stellen Sie sich beispielsweise eine Situation vor, in der ein Spieler eine von hundert Türen auswählt und der Gastgeber dann nur eine der verbleibenden Türen öffnet und den Spieler auffordert, seine Wahl zu ändern. Gleichzeitig bleibt die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter der ursprünglich vom Spieler gewählten Tür befindet, gleich – 1/100, und für die verbleibenden Türen ändern sich die Chancen: Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter einer der verbleibenden Türen befindet ( 99/100) verteilt sich nun nicht auf 99 Türen, sondern auf 98. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, hinter jeder dieser Türen ein Auto zu finden, nicht 1/100, sondern 99/9800. Der Anstieg der Wahrscheinlichkeit wird etwa 1 % betragen.

Ein Baum möglicher Entscheidungen des Spielers und des Anführers, der die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses anzeigt. Formeller kann das Spielszenario mithilfe eines Entscheidungsbaums beschrieben werden. In den ersten beiden Fällen, wenn der Spieler zuerst die Tür wählt, hinter der sich die Ziege befindet, führt eine Änderung der Wahl zu einem Sieg. In den letzten beiden Fällen, in denen der Spieler zuerst die Tür mit dem Auto gewählt hat, führt eine Änderung der Wahl zu einem Verlust.

Wenn es Ihnen sowieso nicht klar ist, spucken Sie auf die Formeln und einfachÜberprüfen Sie alles statistisch. Eine weitere mögliche Erklärung:

Ein Spieler, dessen Strategie darin bestehen würde, jedes Mal die gewählte Tür zu wechseln, würde nur verlieren, wenn er zunächst die Tür wählte, hinter der sich das Auto befand.
Da die Wahrscheinlichkeit, sich beim ersten Versuch für ein Auto zu entscheiden, eins zu drei (oder 33 %) beträgt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, sich nicht für ein Auto zu entscheiden, wenn der Spieler seine Wahl ändert, ebenfalls eins zu drei (oder 33 %).
Das bedeutet, dass der Spieler, der die Strategie des Türwechsels anwendet, mit einer Wahrscheinlichkeit von 66 % oder zwei zu drei gewinnt.
Dies verdoppelt die Gewinnchancen eines Spielers, dessen Strategie darin besteht, seine Wahl nicht jedes Mal zu ändern.

Glaubst du mir immer noch nicht? Nehmen wir an, Sie haben Tür Nr. 1 gewählt. Hier sind alle möglichen Optionen, was in diesem Fall passieren könnte.

Deren Lösung widerspricht auf den ersten Blick dem gesunden Menschenverstand.

Enzyklopädisches YouTube

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Das Problem ist als Beschreibung eines Spiels formuliert, das auf der amerikanischen Spielshow Let's Make a Deal basiert und nach dem Moderator dieser Show benannt ist. Die gebräuchlichste Formulierung dieses Problems wurde 1990 in der Zeitschrift veröffentlicht Parade-Magazin, klingt so:

Stellen Sie sich vor, Sie nehmen an einem Spiel teil, bei dem Sie eine von drei Türen auswählen müssen. Hinter einer der Türen steht ein Auto, hinter den anderen beiden Türen stehen Ziegen. Sie wählen eine der Türen, zum Beispiel Nummer 1, woraufhin der Anführer, der weiß, wo das Auto und die Ziegen sind, eine der verbleibenden Türen öffnet, zum Beispiel Nummer 3, hinter der sich eine Ziege befindet. Danach fragt er Sie, ob Sie Ihre Wahl ändern und Tür Nummer 2 wählen möchten? Steigen Ihre Chancen, ein Auto zu gewinnen, wenn Sie das Angebot des Moderators annehmen und Ihre Wahl ändern?

Nach der Veröffentlichung stellte sich sofort heraus, dass die Aufgabenstellung falsch formuliert war: Es wurden nicht alle Bedingungen spezifiziert. Beispielsweise könnte der Moderator der „Hell Monty“-Strategie folgen: Er bietet eine Änderung seiner Wahl genau dann an, wenn der Spieler als ersten Schritt ein Auto gewählt hat. Offensichtlich führt eine Änderung der ursprünglichen Wahl in einer solchen Situation zu einem garantierten Verlust (siehe unten).

Am beliebtesten ist eine Aufgabe mit einer Zusatzbedingung – der Spielteilnehmer kennt vorab folgende Regeln:

das Auto steht mit gleicher Wahrscheinlichkeit hinter einer der drei Türen;
In jedem Fall ist der Moderator verpflichtet, die Tür mit der Ziege (aber nicht der vom Spieler gewählten) zu öffnen und den Spieler aufzufordern, seine Wahl zu ändern;
Wenn der Anführer die Wahl hat, welche von zwei Türen er öffnen möchte, wählt er mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine von beiden.

Der folgende Text diskutiert das Monty-Hall-Problem in genau dieser Formulierung.

Analyse

Für die Gewinnstrategie ist Folgendes wichtig: Wenn Sie nach den Aktionen des Anführers die Türwahl ändern, gewinnen Sie, wenn Sie zunächst die Verlierertür gewählt haben. Dies wird wahrscheinlich passieren 2 ⁄ 3 , da Sie zunächst auf zwei von drei Arten eine Verlierertür auswählen können.

Bei der Lösung dieses Problems gehen sie jedoch oft so etwas davon aus: Der Anführer entfernt am Ende immer eine verlorene Tür, und dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto hinter zwei nicht geöffneten Türen auftaucht, ½, unabhängig von der ursprünglichen Wahl. Das stimmt aber nicht: Es gibt zwar zwei Wahlmöglichkeiten, diese sind jedoch (unter Berücksichtigung des Hintergrunds) nicht gleich wahrscheinlich! Dies liegt daran, dass alle Türen zunächst die gleichen Gewinnchancen hatten, dann aber unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten hatten, auszuscheiden.

Für die meisten Menschen widerspricht diese Schlussfolgerung der intuitiven Wahrnehmung der Situation, und aufgrund der daraus resultierenden Diskrepanz zwischen der logischen Schlussfolgerung und der Antwort, zu der die intuitive Meinung neigt, wird das Problem genannt Monty-Hall-Paradoxon.

Die Situation mit Türen wird noch deutlicher, wenn Sie sich vorstellen, dass es nicht drei Türen sind, sondern beispielsweise 1000, und nach der Wahl des Spielers entfernt der Moderator 998 zusätzliche Türen, sodass zwei Türen übrig bleiben: die, die der Spieler ausgewählt hat, und eine weitere. Es scheint offensichtlicher, dass die Wahrscheinlichkeiten, hinter diesen Türen einen Preis zu finden, unterschiedlich sind und nicht gleich ½ sind. Wenn wir die Tür wechseln, verlieren wir nur, wenn wir zuerst die Preistür wählen, deren Wahrscheinlichkeit 1:1000 beträgt. Wir gewinnen, wenn unsere ursprüngliche Wahl war Nicht richtig, und die Wahrscheinlichkeit dafür liegt bei 999 von 1000. Bei 3 Türen bleibt die Logik bestehen, allerdings ist die Gewinnwahrscheinlichkeit bei Änderung der Entscheidung entsprechend geringer, nämlich 2 ⁄ 3 .

Eine andere Möglichkeit der Argumentation besteht darin, die Bedingung durch eine äquivalente zu ersetzen. Stellen wir uns vor, dass nicht der Spieler die erste Wahl trifft (es sei immer Tür Nr. 1) und dann der Anführer die Tür mit der Ziege unter den übrigen öffnet (also immer zwischen Nr. 2 und Nr. 3), Stellen Sie sich vor, dass der Spieler beim ersten Versuch die Tür erraten muss, ihm aber vorher mitgeteilt wird, dass sich hinter Tür Nr. 1 mit der anfänglichen Wahrscheinlichkeit (33 %) ein Auto befinden könnte, und unter den verbleibenden Türen wird angezeigt, welche der Hinter den Türen ist definitiv kein Auto (0 %). Dementsprechend wird die letzte Tür immer 67 % ausmachen und die Strategie für deren Auswahl ist vorzuziehen.

Sonstiges Moderatorverhalten

Die klassische Version des Monty-Hall-Paradoxons besagt, dass der Moderator dem Spieler auf jeden Fall anbieten wird, die Tür zu wechseln, unabhängig davon, ob er sich für das Auto entschieden hat oder nicht. Aber auch komplexeres Verhalten der Führungskraft ist möglich. In dieser Tabelle werden verschiedene Verhaltensweisen kurz beschrieben.

Mögliches Verhalten des Moderators
Verhalten des Moderators	Ergebnis
„Hell Monty“: Der Moderator schlägt vor, sich zu ändern, wenn die Tür richtig ist.	Eine Veränderung wird immer eine Ziege hervorbringen.
„Angel Monty“: Der Moderator schlägt einen Wechsel vor, wenn die Tür falsch ist.	Eine Veränderung wird Ihnen immer ein Auto bescheren.
„Ignorant Monty“ oder „Monty Buh“: Der Moderator stürzt versehentlich, die Tür öffnet sich und es stellt sich heraus, dass sich kein Auto dahinter befindet. Mit anderen Worten: Der Moderator selbst weiß nicht, was sich hinter den Türen verbirgt, er öffnet die Tür völlig willkürlich und nur durch Zufall befand sich kein Auto dahinter.	Die Änderung führt in der Hälfte der Fälle zu einem Gewinn. Genau so funktioniert die amerikanische Show „Deal or No Deal“ – allerdings wird vom Spieler selbst eine zufällige Tür geöffnet, und wenn kein Auto dahinter steht, bietet der Moderator an, sie zu ändern.
Der Gastgeber wählt eine der Ziegen aus und öffnet sie, wenn der Spieler eine andere Tür gewählt hat.	Die Änderung führt in der Hälfte der Fälle zu einem Gewinn.
Der Anführer öffnet immer die Ziege. Wird ein Auto ausgewählt, öffnet sich die linke Ziege mit der Wahrscheinlichkeit P und zwar mit Wahrscheinlichkeit Q=1−P.	Wenn der Anführer die linke Tür öffnet, ergibt die Verschiebung mit der Wahrscheinlichkeit einen Sieg 1 1 + p (\displaystyle (\frac (1)(1+p))). Wenn richtig - 1 1 + q (\displaystyle (\frac (1)(1+q))). Die Wahrscheinlichkeit, dass die richtige Tür geöffnet wird, kann der Proband jedoch in keiner Weise beeinflussen – unabhängig von seiner Wahl geschieht dies mit Wahrscheinlichkeit 1 + q 3 (\displaystyle (\frac (1+q)(3))).
Das gleiche, P=Q= ½ (klassischer Fall).	Die Änderung ergibt einen Gewinn mit Wahrscheinlichkeit 2 ⁄ 3 .
Das gleiche, P=1, Q=0 („kraftloser Monty“ – der müde Moderator steht an der linken Tür und öffnet die Ziege, die näher ist).	Wenn der Anführer die richtige Tür öffnet, ist der Wechsel ein garantierter Sieg. Wenn übrig - Wahrscheinlichkeit ½.
Der Moderator öffnet die Ziege immer, wenn ein Auto ausgewählt wird, ansonsten mit einer Wahrscheinlichkeit von ½.	Die Änderung ergibt einen Sieg mit einer Wahrscheinlichkeit von ½.
Allgemeiner Fall: Das Spiel wird viele Male wiederholt, die Wahrscheinlichkeit, ein Auto hinter der einen oder anderen Tür zu verstecken und die eine oder andere Tür zu öffnen, ist willkürlich, aber der Anführer weiß, wo sich das Auto befindet, und bietet immer eine Abwechslung an, indem er eine davon öffnet die Ziegen.	Nash-Gleichgewicht: Der Anführer profitiert am meisten vom Monty-Hall-Paradoxon in seiner klassischen Form (Gewinnwahrscheinlichkeit). 2 ⁄ 3 ). Das Auto versteckt sich mit Wahrscheinlichkeit ⅓ hinter einer der Türen; Wenn es eine Wahl gibt, öffnen wir eine beliebige Ziege nach dem Zufallsprinzip.
Das Gleiche, aber der Moderator öffnet die Tür möglicherweise überhaupt nicht.	Nash-Gleichgewicht: Es ist für den Anführer profitabel, die Tür nicht zu öffnen, die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt ⅓.

Siehe auch

Notizen

Tierney, John (21. Juli 1991), „Behind Monty's Hall“s Doors: Rätsel, Debatte und Antwort? ", Die New York Times, . Abgerufen am 18. Januar 2008.

Das Monty-Hall-Paradoxon ist eines der bekanntesten Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie, dessen Lösung auf den ersten Blick dem gesunden Menschenverstand widerspricht. Das Problem ist als Beschreibung eines hypothetischen Spiels formuliert, das auf der amerikanischen Fernsehsendung „Let’s Make a Deal“ basiert und nach dem Moderator dieser Sendung benannt ist. Die gebräuchlichste Formulierung dieses Problems, die 1990 im Parade Magazine veröffentlicht wurde, lautet wie folgt:

Obwohl diese Formulierung des Problems die bekannteste ist, ist sie etwas problematisch, da sie einige wichtige Bedingungen des Problems undefiniert lässt. Nachfolgend finden Sie eine vollständigere Formulierung.

Bei der Lösung dieses Problems gehen sie meist so vor: Nachdem der Anführer die Tür geöffnet hat, hinter der sich die Ziege befindet, darf sich das Auto nur noch hinter einer der beiden verbleibenden Türen befinden. Da der Spieler keine zusätzlichen Informationen darüber erhalten kann, hinter welcher Tür sich das Auto befindet, ist die Wahrscheinlichkeit, hinter jeder Tür ein Auto zu finden, gleich, und eine Änderung der ursprünglichen Türwahl des Spielers verschafft dem Spieler keinen Vorteil. Diese Argumentation ist jedoch falsch. Wenn der Gastgeber immer weiß, welche Tür sich hinter was befindet, immer die eine der verbleibenden Türen öffnet, hinter der sich die Ziege befindet, und den Spieler immer auffordert, seine Wahl zu ändern, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter der vom Spieler gewählten Tür befindet, höher beträgt 1/3, und dementsprechend beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter der verbleibenden Tür befindet, 2/3. Somit erhöht eine Änderung der ursprünglichen Wahl die Chancen des Spielers, das Auto zu gewinnen, um das Zweifache. Diese Schlussfolgerung widerspricht der intuitiven Wahrnehmung der Situation durch die meisten Menschen, weshalb das beschriebene Problem als Monty-Hall-Paradoxon bezeichnet wird.

Verbale Lösung

Die richtige Antwort auf dieses Problem lautet: Ja, die Gewinnchancen für ein Auto erhöhen sich um das Zweifache, wenn der Spieler dem Rat des Moderators folgt und seine ursprüngliche Wahl ändert.

Dann lässt sich das Problem auf die folgende Formulierung reduzieren. Im ersten Moment teilt der Spieler die Türen in zwei Gruppen ein: In der ersten Gruppe gibt es eine Tür (die von ihm gewählte), in der zweiten Gruppe gibt es zwei verbleibende Türen. Im nächsten Moment trifft der Spieler eine Wahl zwischen den Gruppen. Offensichtlich beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit für die erste Gruppe 1/3, für die zweite Gruppe 2/3. Der Spieler wählt die zweite Gruppe. In der zweiten Gruppe kann er beide Türen öffnen. Eines wird vom Moderator geöffnet, das zweite vom Spieler selbst.

Versuchen wir, die „verständlichste“ Erklärung zu geben. Formulieren wir das Problem neu: Ein ehrlicher Moderator verkündet dem Spieler, dass sich hinter einer der drei Türen ein Auto befindet, und fordert ihn auf, zunächst auf eine der Türen zu zeigen und dann eine von zwei Aktionen zu wählen: die angezeigte Tür öffnen (in In der alten Formulierung heißt das „Ändere deine Wahl nicht“) oder öffne die anderen beiden (in der alten Formulierung wäre das „Ändere deine Wahl“. Denken Sie, hier liegt der Schlüssel zum Verständnis!). Es ist klar, dass der Spieler die zweite der beiden Aktionen wählen wird, da die Wahrscheinlichkeit, ein Auto zu erhalten, in diesem Fall doppelt so hoch ist. Und die Kleinigkeit, dass der Moderator schon vor der Auswahl einer Aktion „die Ziege gezeigt“ hat, hilft oder behindert die Wahl nicht, denn hinter einer der beiden Türen steckt immer eine Ziege und der Moderator wird sie auf jeden Fall in jeder Spielrunde zeigen , damit der Spieler diese Ziege nicht benutzen kann. Die Aufgabe des Spielers, wenn er sich für die zweite Aktion entscheidet, besteht darin, dem Anführer „Danke“ zu sagen, dass er ihm die Mühe erspart hat, eine der beiden Türen selbst zu öffnen, und die andere zu öffnen. Nun ja, oder noch einfacher. Stellen wir uns diese Situation aus der Sicht eines Moderators vor, der eine ähnliche Prozedur mit Dutzenden von Spielern durchführt. Da er genau weiß, was sich hinter den Türen verbirgt, sieht er im Durchschnitt in zwei von drei Fällen im Voraus, dass der Spieler die „falsche“ Tür gewählt hat. Daher ist es für ihn definitiv kein Paradoxon, dass die richtige Strategie darin besteht, die Wahl nach dem Öffnen der ersten Tür zu ändern: Schließlich wird der Spieler in denselben zwei von drei Fällen das Studio in einem neuen Auto verlassen.

Zum Schluss noch der „naivste“ Beweis. Derjenige, der zu seiner Wahl steht, solle „hartnäckig“ genannt werden, und derjenige, der den Anweisungen des Führers folgt, solle „Aufmerksam“ genannt werden. Dann gewinnt Hartnäckig, wenn er zunächst das Auto erraten hat (1/3), und Aufmerksam gewinnt, wenn er zunächst verfehlt und die Ziege getroffen hat (2/3). Denn nur in diesem Fall zeigt er dann mit dem Auto auf die Tür.

Schlüssel zum Verständnis

Trotz der Einfachheit der Erklärung für dieses Phänomen glauben viele Menschen intuitiv, dass sich die Gewinnwahrscheinlichkeit nicht ändert, wenn der Spieler seine Wahl ändert. Typischerweise wird die Unmöglichkeit, die Gewinnwahrscheinlichkeit zu ändern, dadurch begründet, dass bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit Ereignisse aus der Vergangenheit keine Rolle spielen, wie es beispielsweise beim Werfen einer Münze der Fall ist – die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf oder Zahl fallen, spielt jedoch keine Rolle Es kommt nicht darauf an, wie oft Kopf oder Zahl zuvor gefallen sind. Daher glauben viele, dass es in dem Moment, in dem der Spieler eine von zwei Türen auswählt, keine Rolle mehr spielt, dass in der Vergangenheit eine von drei Türen zur Auswahl stand, und dass die Wahrscheinlichkeit, ein Auto zu gewinnen, bei beiden gleich ist, wenn man die Tür wechselt Auswahl und beim Verlassen der ursprünglichen Auswahl.

Obwohl solche Überlegungen auf Münzwürfe zutreffen, gelten sie nicht für alle Spiele. In diesem Fall sollte das Öffnen der Tür durch den Gastgeber ignoriert werden. Der Spieler wählt im Wesentlichen zwischen der einen Tür, die er zuerst gewählt hat, und den anderen beiden – das Öffnen einer davon dient nur der Ablenkung des Spielers. Es ist bekannt, dass es ein Auto und zwei Ziegen gibt. Die anfängliche Wahl des Spielers für eine der Türen unterteilt die möglichen Ergebnisse des Spiels in zwei Gruppen: Entweder steht das Auto hinter der vom Spieler gewählten Tür (die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 1/3) oder hinter einer der beiden anderen ( die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 2/3). Gleichzeitig ist bereits bekannt, dass sich hinter einer der beiden verbleibenden Türen auf jeden Fall eine Ziege befindet, und beim Öffnen dieser Tür gibt der Moderator dem Spieler keine zusätzlichen Informationen darüber, was sich hinter der von ihm gewählten Tür befindet Spieler. Wenn also der Anführer die Tür mit der Ziege öffnet, ändert sich nichts an der Wahrscheinlichkeit (2/3), dass sich das Auto hinter einer der verbleibenden Türen befindet. Und da der Spieler nicht die bereits offene Tür wählt, konzentriert sich diese ganze Wahrscheinlichkeit auf den Fall, dass sich das Auto hinter der verbleibenden geschlossenen Tür befindet.

Intuitiveres Denken: Lassen Sie den Spieler die Strategie „Wahl ändern“ anwenden. Dann wird er nur verlieren, wenn er sich zunächst für das Auto entscheidet. Und die Wahrscheinlichkeit dafür liegt bei einem Drittel. Daher beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit: 1-1/3=2/3. Wenn der Spieler der Strategie „Wahl nicht ändern“ folgt, gewinnt er genau dann, wenn er sich zunächst für das Auto entschieden hat. Und die Wahrscheinlichkeit dafür liegt bei einem Drittel.

Stellen wir uns diese Situation aus der Sicht eines Moderators vor, der eine ähnliche Prozedur mit Dutzenden von Spielern durchführt. Da er genau weiß, was sich hinter den Türen verbirgt, sieht er im Durchschnitt in zwei von drei Fällen im Voraus, dass der Spieler die „falsche“ Tür gewählt hat. Daher ist es für ihn definitiv kein Paradoxon, dass die richtige Strategie darin besteht, die Wahl nach dem Öffnen der ersten Tür zu ändern: Schließlich wird der Spieler in denselben zwei von drei Fällen das Studio in einem neuen Auto verlassen.

Ein weiterer häufiger Grund für die Schwierigkeit, die Lösung dieses Problems zu verstehen, besteht darin, dass sich die Leute oft ein etwas anderes Spiel vorstellen – wenn nicht im Voraus bekannt ist, ob der Moderator die Tür mit einer Ziege öffnet und den Spieler auffordert, seine Wahl zu ändern. In diesem Fall kennt der Spieler die Taktik des Anführers nicht (d. h. er kennt im Wesentlichen nicht alle Spielregeln) und kann nicht die optimale Wahl treffen. Wenn der Moderator beispielsweise eine Änderung der Option nur dann anbietet, wenn der Spieler zunächst die Tür mit dem Auto gewählt hat, sollte der Spieler die ursprüngliche Entscheidung natürlich immer unverändert lassen. Aus diesem Grund ist es wichtig, die genaue Formulierung des Monty-Hall-Problems im Auge zu behalten. (Mit dieser Option kann der Anführer mit unterschiedlichen Strategien eine beliebige Wahrscheinlichkeit zwischen den Türen erreichen, im allgemeinen (durchschnittlichen) Fall beträgt sie 1/2 bis 1/2.)

Erhöhung der Anzahl der Türen

Bei der Betrachtung einer erhöhten Anzahl von Türen stellt sich häufig die Frage: Wenn der Anführer im ursprünglichen Problem eine von drei Türen (also 1/3 der Gesamtzahl der Türen) öffnet, warum sollten wir das dann in diesem Fall annehmen? Von 100 Türen öffnet der Anführer 98 Türen mit Ziegen und nicht 33? Diese Überlegung ist normalerweise einer der wesentlichen Gründe, warum das Monty-Hall-Paradoxon mit der intuitiven Wahrnehmung der Situation in Konflikt steht. Es wäre richtig anzunehmen, dass 98 Türen geöffnet werden, denn eine wesentliche Bedingung der Aufgabe ist das Vorhandensein nur einer vom Moderator vorgeschlagenen Alternativmöglichkeit für den Spieler. Damit die Aufgaben ähnlich sind, muss der Anführer bei 4 Türen 2 Türen öffnen, bei 5 Türen 3 usw., so dass es immer eine andere ungeöffnete Tür gibt als die, die geöffnet ist Der Spieler wählte zunächst. Wenn der Moderator weniger Türen öffnet, ähnelt die Aufgabe nicht mehr der ursprünglichen Monty-Hall-Aufgabe.

Es ist zu beachten, dass bei vielen Türen, selbst wenn der Moderator nicht eine, sondern mehrere Türen geschlossen lässt und den Spieler auffordert, eine davon auszuwählen, die Chancen des Spielers, ein Auto zu gewinnen, bei einer Änderung der ursprünglichen Wahl sinken steigen immer noch, wenn auch nicht so deutlich. Stellen Sie sich beispielsweise eine Situation vor, in der ein Spieler eine von hundert Türen auswählt und der Gastgeber dann nur eine der verbleibenden Türen öffnet und den Spieler auffordert, seine Wahl zu ändern. Gleichzeitig bleibt die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter der ursprünglich vom Spieler gewählten Tür befindet, gleich – 1/100, und für die verbleibenden Türen ändern sich die Chancen: Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter einer der verbleibenden Türen befindet ( 99/100) verteilt sich nun nicht mehr auf 99 Türen, sondern auf 98. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, hinter jeder dieser Türen ein Auto zu finden, nicht 1/100, sondern 99/9800. Der Anstieg der Wahrscheinlichkeit wird etwa 0,01 % betragen.

Entscheidungsbaum

Ein Baum möglicher Entscheidungen des Spielers und des Moderators, der die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses anzeigt

Formeller kann das Spielszenario mithilfe eines Entscheidungsbaums beschrieben werden.

In den ersten beiden Fällen, wenn der Spieler zuerst die Tür wählt, hinter der sich die Ziege befindet, führt eine Änderung der Wahl zu einem Sieg. In den letzten beiden Fällen, in denen der Spieler zuerst die Tür mit dem Auto gewählt hat, führt eine Änderung der Wahl zu einem Verlust.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass eine Wahländerung zu einem Sieg führt, entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeiten der ersten beiden Ergebnisse

Dementsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Weigerung, die Wahl zu ändern, zum Gewinn führt, gleich

Durchführung eines ähnlichen Experiments

Es gibt eine einfache Methode, um zu überprüfen, ob eine Änderung Ihrer ursprünglichen Wahl durchschnittlich zwei von drei Malen zu einem Gewinn führt. Dazu können Sie das im Monty-Hall-Problem beschriebene Spiel mithilfe von Spielkarten simulieren. Eine Person (die die Karten austeilt) spielt die Rolle des Gastgebers Monty Hall und die zweite Person übernimmt die Rolle des Spielers. Für das Spiel werden drei Karten genommen, von denen eine eine Tür mit einem Auto darstellt (z. B. ein Pik-Ass) und die anderen beiden identischen Karten (z. B. zwei rote Zweien) Türen mit Ziegen darstellen.

Der Moderator legt drei Karten verdeckt aus und fordert den Spieler auf, eine der Karten zu nehmen. Nachdem der Spieler eine Karte ausgewählt hat, schaut sich der Anführer die beiden verbleibenden Karten an und deckt eine rote Zwei auf. Danach werden die beim Spieler und beim Präsentator verbleibenden Karten geöffnet, und wenn die vom Spieler gewählte Karte das Pik-Ass ist, wird ein Punkt zugunsten der Option verbucht, wenn der Spieler seine Wahl nicht ändert und wenn Es stellt sich heraus, dass der Spieler eine rote Zwei hat und der Anführer beim Pik-Ass bleibt. Dann wird ein Punkt zugunsten der Option verbucht, wenn der Spieler seine Wahl ändert. Wenn viele solcher Spielrunden gespielt werden, spiegelt das Verhältnis der Punkte zugunsten zweier Optionen ziemlich gut das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten dieser Optionen wider. Es zeigt sich, dass die Anzahl der Punkte, die für eine Änderung der ursprünglichen Wahl sprechen, etwa doppelt so hoch ist.

Ein solches Experiment ermöglicht es uns nicht nur zu überprüfen, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einer Änderung der Wahl doppelt so groß ist, sondern veranschaulicht auch gut, warum dies geschieht. In dem Moment, in dem der Spieler eine Karte auswählt, steht bereits fest, ob er das Pik-Ass auf der Hand hat oder nicht. Das weitere Öffnen einer seiner Karten durch den Anführer ändert nichts an der Situation – der Spieler hält die Karte bereits auf der Hand und sie bleibt dort, unabhängig von den Aktionen des Anführers. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler das Pik-Ass aus drei Karten wählt, beträgt offensichtlich 1/3, und daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, es nicht zu wählen (und dann gewinnt der Spieler, wenn er seine ursprüngliche Wahl ändert) 2/3.

Erwähnen

Im Film Twenty-One bittet die Lehrerin Miki Rosa die Hauptfigur Ben, ein Rätsel zu lösen: Hinter drei Türen stehen zwei Motorroller und ein Auto, man muss die Tür erraten, um das Auto zu gewinnen. Nach der ersten Wahl schlägt Miki vor, die Wahl zu ändern. Ben stimmt zu und begründet seine Entscheidung mathematisch. So besteht er unfreiwillig die Prüfung für Mikas Team.

In Sergei Lukjanenkos Roman „Der Klutz“ nutzen die Hauptfiguren diese Technik, um eine Kutsche und die Möglichkeit zu gewinnen, ihre Reise fortzusetzen.

In der Fernsehserie „4isla“ (Folge 13 der ersten Staffel „Man Hunt“) erklärt einer der Hauptcharaktere, Charlie Epps, das Monty-Hall-Paradoxon bei einer beliebten Vorlesung über Mathematik und veranschaulicht es visuell anhand von Markierungstafeln mit Ziegen und einem Auto auf der Rückseite gezeichnet. Charlie findet das Auto tatsächlich, nachdem er seine Wahl geändert hat. Es sollte jedoch beachtet werden, dass er nur ein Experiment durchführt, während der Vorteil der Umschaltstrategie statistischer Natur ist und eine Reihe von Experimenten durchgeführt werden sollte, um ihn richtig zu veranschaulichen.

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/36146