Die größten und kleinsten Werte einer Funktion. Die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem Segment Die größten und kleinsten Werte einer Funktion – Definitionen, Abbildungen

In der Praxis ist es durchaus üblich, die Ableitung zur Berechnung des größten und kleinsten Wertes einer Funktion zu verwenden. Wir führen diese Aktion durch, wenn wir herausfinden, wie wir Kosten minimieren, Gewinne steigern, die optimale Produktionsbelastung berechnen usw., also in Fällen, in denen wir den optimalen Wert eines Parameters bestimmen müssen. Um solche Probleme richtig zu lösen, müssen Sie die größten und kleinsten Werte einer Funktion genau kennen.

Normalerweise definieren wir diese Werte innerhalb eines bestimmten Intervalls x, das wiederum dem gesamten Funktionsbereich oder einem Teil davon entsprechen kann. Es kann wie ein Segment sein [a; b ] und offenes Intervall (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), unendliches Intervall (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) oder unendliches Intervall - ∞ ; a, (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

In diesem Material erklären wir Ihnen, wie Sie den größten und kleinsten Wert einer explizit definierten Funktion mit einer Variablen y=f(x) y = f (x) berechnen.

Grundlegende Definitionen

Beginnen wir wie immer mit der Formulierung grundlegender Definitionen.

Definition 1

Der größte Wert der Funktion y = f (x) in einem bestimmten Intervall x ist der Wert m a x y = f (x 0) x ∈ X, was für jeden Wert x x ∈ X, x ≠ x 0 die Ungleichung f (x) ergibt ≤ f (x) gültig 0) .

Definition 2

Der kleinste Wert der Funktion y = f (x) in einem bestimmten Intervall x ist der Wert m i n x ∈ X y = f (x 0), der für jeden Wert x ∈ X, x ≠ x 0 die Ungleichung f(X f) ergibt (x) ≥ f (x 0) .

Diese Definitionen sind ziemlich offensichtlich. Noch einfacher können wir Folgendes sagen: Der größte Wert einer Funktion ist ihr größter Wert in einem bekannten Intervall bei der Abszisse x 0, und der kleinste ist der kleinste akzeptierte Wert in demselben Intervall bei x 0.

Definition 3

Stationäre Punkte sind die Werte eines Funktionsarguments, bei denen seine Ableitung 0 wird.

Warum müssen wir wissen, was stationäre Punkte sind? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir uns an den Satz von Fermat erinnern. Daraus folgt, dass ein stationärer Punkt der Punkt ist, an dem sich das Extremum der differenzierbaren Funktion befindet (d. h. ihr lokales Minimum oder Maximum). Folglich nimmt die Funktion in einem bestimmten Intervall genau an einem der stationären Punkte den kleinsten oder größten Wert an.

Eine Funktion kann den größten oder kleinsten Wert auch an den Stellen annehmen, an denen die Funktion selbst definiert ist und ihre erste Ableitung nicht existiert.

Die erste Frage, die sich beim Studium dieses Themas stellt: Können wir in allen Fällen den größten oder kleinsten Wert einer Funktion in einem bestimmten Intervall bestimmen? Nein, das können wir nicht tun, wenn die Grenzen eines bestimmten Intervalls mit den Grenzen des Definitionsbereichs übereinstimmen oder wenn es sich um ein unendliches Intervall handelt. Es kommt auch vor, dass eine Funktion in einem bestimmten Segment oder im Unendlichen unendlich kleine oder unendlich große Werte annimmt. In diesen Fällen ist es nicht möglich, den größten und/oder kleinsten Wert zu ermitteln.

Diese Punkte werden durch die Darstellung in den Grafiken klarer:

Die erste Abbildung zeigt uns eine Funktion, die die größten und kleinsten Werte (m a x y und m i n y) an stationären Punkten auf dem Segment annimmt [ - 6 ; 6].

Lassen Sie uns den in der zweiten Grafik dargestellten Fall im Detail untersuchen. Ändern wir den Wert des Segments in [ 1 ; 6 ] und wir stellen fest, dass der maximale Wert der Funktion an dem Punkt erreicht wird, an dem die Abszisse am rechten Rand des Intervalls liegt, und der minimale Wert am stationären Punkt.

In der dritten Abbildung stellen die Abszissen der Punkte die Randpunkte des Segments dar [ - 3 ; 2]. Sie entsprechen dem größten und kleinsten Wert einer gegebenen Funktion.

Schauen wir uns nun das vierte Bild an. Darin nimmt die Funktion m a x y (den größten Wert) und m i n y (den kleinsten Wert) an stationären Punkten im offenen Intervall (- 6; 6) an.

Wenn wir das Intervall [ 1 ; 6), dann können wir sagen, dass der kleinste Wert der darauf befindlichen Funktion an einem stationären Punkt erreicht wird. Der größte Wert wird uns unbekannt sein. Die Funktion könnte ihren Maximalwert bei x gleich 6 annehmen, wenn x = 6 zum Intervall gehörte. Genau das ist in Grafik 5 dargestellt.

In Grafik 6 erhält diese Funktion ihren kleinsten Wert an der rechten Grenze des Intervalls (- 3; 2 ], und wir können keine eindeutigen Schlussfolgerungen über den größten Wert ziehen.

In Abbildung 7 sehen wir, dass die Funktion m a x y an einem stationären Punkt hat, dessen Abszisse gleich 1 ist. Die Funktion erreicht ihren Minimalwert am Rand des Intervalls auf der rechten Seite. Bei minus Unendlich nähern sich die Funktionswerte asymptotisch y = 3.

Nehmen wir das Intervall x ∈ 2 ; + ∞ , dann werden wir sehen, dass die gegebene Funktion weder den kleinsten noch den größten Wert annimmt. Wenn x gegen 2 tendiert, tendieren die Werte der Funktion gegen minus Unendlich, da die Gerade x = 2 eine vertikale Asymptote ist. Wenn die Abszisse gegen Unendlich tendiert, nähern sich die Funktionswerte asymptotisch y = 3. Dies ist genau der in Abbildung 8 dargestellte Fall.

In diesem Absatz stellen wir die Abfolge von Aktionen vor, die ausgeführt werden müssen, um den größten oder kleinsten Wert einer Funktion in einem bestimmten Segment zu finden.

Lassen Sie uns zunächst den Definitionsbereich der Funktion ermitteln. Prüfen wir, ob das in der Bedingung angegebene Segment darin enthalten ist.
Berechnen wir nun die in diesem Segment enthaltenen Punkte, an denen die erste Ableitung nicht existiert. Am häufigsten findet man sie in Funktionen, deren Argument unter dem Modulzeichen geschrieben wird, oder in Potenzfunktionen, deren Exponent eine gebrochen rationale Zahl ist.
Als nächstes werden wir herausfinden, welche stationären Punkte in das gegebene Segment fallen. Dazu müssen Sie die Ableitung der Funktion berechnen, sie dann mit 0 gleichsetzen, die resultierende Gleichung lösen und dann die entsprechenden Wurzeln auswählen. Wenn wir keinen einzigen stationären Punkt erhalten oder diese nicht in das angegebene Segment fallen, fahren wir mit dem nächsten Schritt fort.
Wir bestimmen, welche Werte die Funktion an bestimmten stationären Punkten (falls vorhanden) oder an den Punkten annimmt, an denen die erste Ableitung nicht existiert (falls vorhanden), oder wir berechnen die Werte für x = a und x = b.
5. Wir haben eine Reihe von Funktionswerten, aus denen wir nun den größten und den kleinsten auswählen müssen. Dies sind die größten und kleinsten Werte der Funktion, die wir finden müssen.

Sehen wir uns an, wie Sie diesen Algorithmus bei der Lösung von Problemen richtig anwenden.

Beispiel 1

Zustand: die Funktion y = x 3 + 4 x 2 ist gegeben. Bestimmen Sie den größten und kleinsten Wert auf den Segmenten [ 1 ; 4 ] und [ - 4 ; - 1 ] .

Lösung:

Beginnen wir damit, den Definitionsbereich einer gegebenen Funktion zu finden. In diesem Fall handelt es sich um die Menge aller reellen Zahlen außer 0. Mit anderen Worten, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Beide in der Bedingung angegebenen Segmente liegen innerhalb des Definitionsbereichs.

Nun berechnen wir die Ableitung der Funktion nach der Regel der Bruchdifferenzierung:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Wir haben gelernt, dass die Ableitung einer Funktion an allen Punkten der Segmente [ 1 ; 4 ] und [ - 4 ; - 1 ] .

Jetzt müssen wir die stationären Punkte der Funktion bestimmen. Machen wir das mit der Gleichung x 3 - 8 x 3 = 0. Es hat nur eine echte Wurzel, nämlich 2. Es wird ein stationärer Punkt der Funktion sein und in das erste Segment [1; 4].

Berechnen wir die Werte der Funktion an den Enden des ersten Segments und an diesem Punkt, d.h. für x = 1, x = 2 und x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Wir haben herausgefunden, dass der größte Wert der Funktion m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 wird bei x = 1 erreicht, und das kleinste m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – bei x = 2.

Das zweite Segment enthält keinen einzigen stationären Punkt, daher müssen wir die Funktionswerte nur an den Enden des gegebenen Segments berechnen:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Das bedeutet m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Antwort: Für das Segment [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , für das Segment [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Siehe Bild:

Bevor Sie sich mit dieser Methode befassen, empfehlen wir Ihnen, sich mit der korrekten Berechnung des einseitigen Grenzwerts und des Grenzwerts im Unendlichen zu befassen und sich mit den grundlegenden Methoden zu ihrer Ermittlung vertraut zu machen. Um den größten und/oder kleinsten Wert einer Funktion in einem offenen oder unendlichen Intervall zu ermitteln, führen Sie die folgenden Schritte nacheinander aus.

Zuerst müssen Sie prüfen, ob das angegebene Intervall eine Teilmenge des Definitionsbereichs dieser Funktion ist.
Bestimmen wir alle Punkte, die im gewünschten Intervall enthalten sind und an denen die erste Ableitung nicht existiert. Sie treten normalerweise bei Funktionen auf, bei denen das Argument im Modulzeichen eingeschlossen ist, und bei Potenzfunktionen mit einem gebrochenrationalen Exponenten. Fehlen diese Punkte, können Sie mit dem nächsten Schritt fortfahren.
Lassen Sie uns nun bestimmen, welche stationären Punkte in das angegebene Intervall fallen. Zuerst setzen wir die Ableitung mit 0 gleich, lösen die Gleichung und wählen geeignete Wurzeln aus. Wenn wir keinen einzigen stationären Punkt haben oder dieser nicht in das angegebene Intervall fällt, fahren wir sofort mit weiteren Aktionen fort. Sie werden durch die Art des Intervalls bestimmt.

Wenn das Intervall die Form [ a ; b) , dann müssen wir den Wert der Funktion am Punkt x = a und dem einseitigen Grenzwert lim x → b - 0 f (x) berechnen.
Wenn das Intervall die Form (a; b ] hat, müssen wir den Wert der Funktion am Punkt x = b und dem einseitigen Grenzwert lim x → a + 0 f (x) berechnen.
Wenn das Intervall die Form (a ; b) hat, müssen wir die einseitigen Grenzen lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) berechnen.
Wenn das Intervall die Form [ a ; + ∞), dann müssen wir den Wert am Punkt x = a und den Grenzwert bei plus unendlich lim x → + ∞ f (x) berechnen.
Wenn das Intervall wie folgt aussieht (- ∞ ; b ] , berechnen wir den Wert am Punkt x = b und den Grenzwert bei minus unendlich lim x → - ∞ f (x) .
Wenn - ∞ ; b , dann betrachten wir den einseitigen Grenzwert lim x → b - 0 f (x) und den Grenzwert bei minus Unendlich lim x → - ∞ f (x)
Wenn - ∞; + ∞ , dann betrachten wir die Grenzen für minus und plus unendlich lim x → + ∞ f (x), lim x → - ∞ f (x).

Am Ende müssen Sie anhand der erhaltenen Funktionswerte und -grenzen eine Schlussfolgerung ziehen. Hier stehen Ihnen viele Optionen zur Verfügung. Wenn also der einseitige Grenzwert gleich minus Unendlich oder plus Unendlich ist, dann ist sofort klar, dass über den kleinsten und größten Wert der Funktion nichts gesagt werden kann. Im Folgenden betrachten wir ein typisches Beispiel. Detaillierte Beschreibungen helfen Ihnen zu verstehen, was was ist. Bei Bedarf können Sie zu den Abbildungen 4 – 8 im ersten Teil des Materials zurückkehren.

Beispiel 2

Bedingung: gegebene Funktion y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Berechnen Sie seinen größten und kleinsten Wert in den Intervallen - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .

Lösung

Zunächst ermitteln wir den Definitionsbereich der Funktion. Der Nenner des Bruchs enthält ein quadratisches Trinom, das nicht zu 0 werden sollte:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Wir haben den Definitionsbereich der Funktion erhalten, zu dem alle in der Bedingung angegebenen Intervalle gehören.

Lassen Sie uns nun die Funktion differenzieren und erhalten:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Folglich existieren Ableitungen einer Funktion in ihrem gesamten Definitionsbereich.

Fahren wir mit der Suche nach stationären Punkten fort. Die Ableitung der Funktion wird bei x = - 1 2 0. Dies ist ein stationärer Punkt, der in den Intervallen (- 3 ; 1 ] und (- 3 ; 2) liegt.

Berechnen wir den Wert der Funktion bei x = - 4 für das Intervall (- ∞ ; - 4 ] sowie den Grenzwert bei minus Unendlich:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Da 3 e 1 6 - 4 > - 1, bedeutet dies, dass m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Dadurch können wir den kleinsten Wert von nicht eindeutig bestimmen Funktion Wir können nur schlussfolgern, dass unterhalb von - 1 eine Einschränkung vorliegt, da sich die Funktion bei minus Unendlich asymptotisch annähert.

Die Besonderheit des zweiten Intervalls besteht darin, dass es darin keinen einzigen stationären Punkt und keine einzige strenge Grenze gibt. Folglich können wir weder den größten noch den kleinsten Wert der Funktion berechnen. Nachdem wir den Grenzwert bei minus Unendlich definiert haben und das Argument auf der linken Seite zu -3 tendiert, erhalten wir nur ein Werteintervall:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Dies bedeutet, dass die Funktionswerte im Intervall - 1 liegen; +∞

Um den größten Wert der Funktion im dritten Intervall zu finden, bestimmen wir ihren Wert am stationären Punkt x = - 1 2, wenn x = 1. Wir müssen auch den einseitigen Grenzwert für den Fall kennen, wenn das Argument auf der rechten Seite zu -3 tendiert:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Es stellte sich heraus, dass die Funktion an einem stationären Punkt m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 den größten Wert annimmt. Den kleinsten Wert können wir nicht bestimmen. Alles was wir wissen , ist das Vorhandensein einer Untergrenze von -4.

Nehmen Sie für das Intervall (- 3 ; 2) die Ergebnisse der vorherigen Berechnung und berechnen Sie erneut, wie groß die einseitige Grenze ist, wenn Sie auf der linken Seite zu 2 tendieren:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Dies bedeutet, dass m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, und der kleinste Wert kann nicht bestimmt werden, und die Werte der Funktion werden von unten durch die Zahl - 4 begrenzt .

Basierend auf dem, was wir in den beiden vorherigen Berechnungen erhalten haben, können wir sagen, dass für das Intervall [ 1 ; 2) Die Funktion nimmt bei x = 1 den größten Wert an, es ist jedoch unmöglich, den kleinsten zu finden.

Auf dem Intervall (2 ; + ∞) wird die Funktion weder den größten noch den kleinsten Wert erreichen, d.h. es werden Werte aus dem Intervall - 1 angenommen; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Nachdem wir den Wert der Funktion bei x = 4 berechnet haben, finden wir heraus, dass m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , und die gegebene Funktion bei plus Unendlich nähert sich asymptotisch der Geraden y = - 1 .

Vergleichen wir das, was wir in jeder Berechnung erhalten haben, mit dem Diagramm der gegebenen Funktion. In der Abbildung sind die Asymptoten durch gestrichelte Linien dargestellt.

Das ist alles, was wir Ihnen über das Ermitteln der größten und kleinsten Werte einer Funktion sagen wollten. Die von uns angegebenen Handlungsabläufe helfen Ihnen, die notwendigen Berechnungen so schnell und einfach wie möglich durchzuführen. Denken Sie jedoch daran, dass es oft nützlich ist, zunächst herauszufinden, in welchen Intervallen die Funktion abnimmt und in welchen sie zunimmt. Anschließend können Sie weitere Schlussfolgerungen ziehen. Auf diese Weise können Sie die größten und kleinsten Werte der Funktion genauer bestimmen und die erhaltenen Ergebnisse begründen.

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In der Aufgabe B14 des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik müssen Sie den kleinsten oder größten Wert einer Funktion einer Variablen ermitteln. Dies ist ein ziemlich triviales Problem aus der mathematischen Analyse, und aus diesem Grund kann und sollte jeder Abiturienten lernen, es normal zu lösen. Schauen wir uns einige Beispiele an, die Schüler während der diagnostischen Arbeit in Mathematik am 7. Dezember 2011 in Moskau gelöst haben.

Abhängig vom Intervall, über das Sie den Maximal- oder Minimalwert einer Funktion ermitteln möchten, wird zur Lösung dieses Problems einer der folgenden Standardalgorithmen verwendet.

I. Algorithmus zum Ermitteln des größten oder kleinsten Werts einer Funktion auf einem Segment:

Finden Sie die Ableitung der Funktion.
Wählen Sie aus den Punkten, von denen vermutet wird, dass sie ein Extremum sind, diejenigen aus, die zum angegebenen Segment und Definitionsbereich der Funktion gehören.
Werte berechnen Funktionen(nicht abgeleitet!) an diesen Punkten.
Wählen Sie unter den erhaltenen Werten den größten oder kleinsten aus, es wird der gewünschte sein.

Beispiel 1. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion
j = X 3 – 18X 2 + 81X+ 23 auf dem Segment.

Lösung: Wir folgen dem Algorithmus zum Finden des kleinsten Werts einer Funktion auf einem Segment:

Der Umfang einer Funktion ist nicht begrenzt: D(y) = R.
Die Ableitung der Funktion ist gleich: du = 3X 2 – 36X+ 81. Der Definitionsbereich der Ableitung einer Funktion ist ebenfalls nicht eingeschränkt: D(y’) = R.
Nullstellen der Ableitung: du = 3X 2 – 36X+ 81 = 0, was bedeutet X 2 – 12X+ 27 = 0, daher X= 3 und X= 9, unser Intervall umfasst nur X= 9 (ein Punkt verdächtig für ein Extremum).
Wir finden den Wert der Funktion an einem Punkt, an dem ein Extremum vermutet wird, und an den Rändern der Lücke. Zur Vereinfachung der Berechnung stellen wir die Funktion in der Form dar: j = X 3 – 18X 2 + 81X + 23 = X(X-9) 2 +23:
- j(8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
- j(9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
- j(13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Der kleinste der erhaltenen Werte ist also 23. Antwort: 23.

II. Algorithmus zum Ermitteln des größten oder kleinsten Werts einer Funktion:

Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion.
Finden Sie die Ableitung der Funktion.
Identifizieren Sie Punkte, bei denen ein Extremum vermutet wird (die Punkte, an denen die Ableitung der Funktion verschwindet, und die Punkte, an denen es keine zweiseitige endliche Ableitung gibt).
Markieren Sie diese Punkte und den Definitionsbereich der Funktion auf dem Zahlenstrahl und bestimmen Sie die Vorzeichen Derivat(keine Funktionen!) auf die resultierenden Intervalle.
Werte definieren Funktionen(nicht die Ableitung!) An den Minimalpunkten (den Punkten, an denen sich das Vorzeichen der Ableitung von Minus nach Plus ändert) ist der kleinste dieser Werte der kleinste Wert der Funktion. Wenn es keine Mindestpunktzahl gibt, hat die Funktion keinen Mindestwert.
Werte definieren Funktionen(nicht die Ableitung!) An den Maximalpunkten (den Punkten, an denen sich das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus ändert) ist der größte dieser Werte der größte Wert der Funktion. Wenn es keine maximale Punktzahl gibt, hat die Funktion nicht den größten Wert.

Beispiel 2. Finden Sie den größten Wert der Funktion.

Die folgenden Abbildungen zeigen, wo die Funktion ihren kleinsten und größten Wert erreichen kann. In der linken Abbildung sind die kleinsten und größten Werte an den Punkten des lokalen Minimums und Maximums der Funktion fixiert. Im rechten Bild - an den Enden des Segments.

Wenn die Funktion j = F(X) ist stetig im Intervall [ A, B] , dann erreicht es dieses Segment am wenigsten Und höchste Werte . Dies kann, wie bereits erwähnt, in beiden Fällen passieren Extrempunkte oder an den Enden des Segments. Daher zu finden am wenigsten Und die größten Werte der Funktion , kontinuierlich im Intervall [ A, B] , müssen Sie seine Werte insgesamt berechnen kritische Punkte und an den Enden des Segments, und wählen Sie dann das kleinste und größte davon aus.

Angenommen, Sie möchten den größten Wert der Funktion ermitteln F(X) auf dem Segment [ A, B] . Dazu müssen Sie alle kritischen Punkte finden, die auf [ A, B] .

Kritischer Punkt nennt man den Punkt, an dem Funktion definiert, und sie Derivat entweder gleich Null oder nicht vorhanden. Dann sollten die Werte der Funktion an den kritischen Punkten berechnet werden. Und schließlich sollte man die Werte der Funktion an kritischen Punkten und an den Enden des Segments vergleichen ( F(A) Und F(B)). Die größte dieser Zahlen wird sein der größte Wert der Funktion im Segment [A, B] .

Probleme beim Finden kleinste Funktionswerte .

Wir suchen gemeinsam nach dem kleinsten und größten Wert der Funktion

Beispiel 1. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment [-1, 2] .

Lösung. Finden Sie die Ableitung dieser Funktion. Setzen wir die Ableitung mit Null () gleich und erhalten zwei kritische Punkte: und . Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, reicht es aus, ihre Werte an den Enden des Segments und am Punkt zu berechnen, da der Punkt nicht zum Segment gehört [-1, 2]. Diese Funktionswerte sind: , , . Daraus folgt das kleinster Funktionswert(im Diagramm unten rot angezeigt), gleich -7, wird am rechten Ende des Segments erreicht - am Punkt , und größte(in der Grafik ebenfalls rot), beträgt am kritischen Punkt 9,-.

Wenn eine Funktion in einem bestimmten Intervall stetig ist und dieses Intervall kein Segment ist (sondern z. B. ein Intervall ist); der Unterschied zwischen einem Intervall und einem Segment: Die Randpunkte des Intervalls sind nicht im Intervall enthalten, sondern die Randpunkte des Segments sind im Segment enthalten), dann darf es unter den Werten der Funktion nicht den kleinsten und den größten geben. So ist beispielsweise die in der Abbildung unten gezeigte Funktion stetig auf ]-∞, +∞[ und hat nicht den größten Wert.

Für jedes Intervall (geschlossen, offen oder unendlich) gilt jedoch die folgende Eigenschaft stetiger Funktionen.

Zur Selbstkontrolle bei Berechnungen können Sie verwenden Online-Ableitungsrechner .

Beispiel 4. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment [-1, 3] .

Lösung. Die Ableitung dieser Funktion finden wir als Ableitung des Quotienten:

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich, was uns einen kritischen Punkt gibt: . Es gehört zum Segment [-1, 3]. Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, ermitteln wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Vergleichen wir diese Werte. Fazit: gleich -5/13, an Punkt und höchsten Wert gleich 1 am Punkt .

Wir suchen weiterhin gemeinsam nach den kleinsten und größten Werten der Funktion

Es gibt Lehrer, die den Schülern beim Thema Finden der kleinsten und größten Werte einer Funktion keine Lösungsbeispiele geben, die komplexer sind als die gerade besprochenen, also solche, bei denen die Funktion ein Polynom oder a ist Bruch, dessen Zähler und Nenner Polynome sind. Aber wir werden uns nicht auf solche Beispiele beschränken, denn unter den Lehrern gibt es solche, die die Schüler gerne zum vollständigen Denken zwingen (die Ableitungstabelle). Daher werden der Logarithmus und die trigonometrische Funktion verwendet.

Beispiel 8. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment .

Lösung. Wir finden die Ableitung dieser Funktion als Derivat des Produkts :

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich, was einen kritischen Punkt ergibt: . Es gehört zum Segment. Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, ermitteln wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Ergebnis aller Aktionen: Die Funktion erreicht ihren Minimalwert, gleich 0, am Punkt und am Punkt und höchsten Wert, gleich e², an der Stelle.

Zur Selbstkontrolle bei Berechnungen können Sie verwenden Online-Ableitungsrechner .

Beispiel 9. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment .

Lösung. Finden Sie die Ableitung dieser Funktion:

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich:

Der einzige kritische Punkt betrifft das Segment. Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, ermitteln wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Abschluss: Die Funktion erreicht ihren Minimalwert, gleich , am Punkt und höchsten Wert, gleich , an der Stelle .

Bei angewandten Extremalproblemen kommt es beim Finden der kleinsten (maximalen) Werte einer Funktion in der Regel darauf an, das Minimum (Maximum) zu finden. Aber nicht die Minima oder Maxima selbst sind von größerem praktischen Interesse, sondern die Werte des Arguments, bei denen sie erreicht werden. Bei der Lösung angewandter Probleme entsteht eine zusätzliche Schwierigkeit: das Zusammenstellen von Funktionen, die das betrachtete Phänomen oder den betrachteten Prozess beschreiben.

Beispiel 10. Ein Tank mit einem Fassungsvermögen von 4 Litern, der die Form eines Parallelepipeds mit quadratischer Grundfläche hat und oben offen ist, muss verzinnt sein. Welche Größe sollte der Tank haben, damit möglichst wenig Material zur Abdeckung verbraucht wird?

Lösung. Lassen X- Basisseite, H- Tankhöhe, S- seine unbedeckte Oberfläche, V- seine Lautstärke. Die Oberfläche des Tanks wird durch die Formel ausgedrückt, d.h. ist eine Funktion zweier Variablen. Zum Ausdruck bringen S Als Funktion einer Variablen nutzen wir die Tatsache, dass , von wo . Ersetzen des gefundenen Ausdrucks H in die Formel für S:

Lassen Sie uns diese Funktion bis zum Äußersten untersuchen. Es ist überall in ]0, +∞[ , und definiert und differenzierbar

Wir setzen die Ableitung mit Null () gleich und finden den kritischen Punkt. Wenn die Ableitung nicht existiert, ist dieser Wert außerdem nicht im Definitionsbereich enthalten und kann daher kein Extrempunkt sein. Das ist also der einzige kritische Punkt. Überprüfen wir anhand des zweiten ausreichenden Zeichens, ob ein Extremum vorliegt. Finden wir die zweite Ableitung. Wenn die zweite Ableitung größer als Null ist (). Dies bedeutet, dass die Funktion ein Minimum erreicht . Seitdem Minimum ist das einzige Extremum dieser Funktion, es ist ihr kleinster Wert. Die Seitenlänge des Tankbodens sollte also 2 m und seine Höhe 2 m betragen.

Zur Selbstkontrolle bei Berechnungen können Sie verwenden

Mit diesem Service können Sie Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion eine Variable f(x) mit der in Word formatierten Lösung. Wenn die Funktion f(x,y) gegeben ist, ist es daher notwendig, das Extremum der Funktion zweier Variablen zu finden. Sie können auch die Intervalle steigender und fallender Funktionen finden.

Regeln für die Eingabe von Funktionen:

Notwendige Bedingung für das Extremum einer Funktion einer Variablen

Die Gleichung f" 0 (x *) = 0 ist eine notwendige Bedingung für das Extremum einer Funktion einer Variablen, d. h. am Punkt x * muss die erste Ableitung der Funktion verschwinden. Sie identifiziert stationäre Punkte x c, an denen die Funktion nicht verschwindet erhöhen oder verringern.

Ausreichende Bedingung für das Extremum einer Funktion einer Variablen

Sei f 0 (x) zweimal differenzierbar bezüglich x, das zur Menge D gehört. Wenn am Punkt x * die Bedingung erfüllt ist:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Dann ist Punkt x * der lokale (globale) Minimalpunkt der Funktion.

Wenn am Punkt x * die Bedingung erfüllt ist:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Dann ist Punkt x * ein lokales (globales) Maximum.

Beispiel Nr. 1. Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion: auf dem Segment.
Lösung.

Der kritische Punkt ist eins x 1 = 2 (f’(x)=0). Dieser Punkt gehört zum Segment. (Der Punkt x=0 ist nicht kritisch, da 0∉).
Wir berechnen die Werte der Funktion an den Enden des Segments und am kritischen Punkt.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Antwort: f min = 5 / 2 bei x=2; f max =9 bei x=1

Beispiel Nr. 2. Ermitteln Sie mithilfe von Ableitungen höherer Ordnung das Extremum der Funktion y=x-2sin(x) .
Lösung.
Finden Sie die Ableitung der Funktion: y’=1-2cos(x) . Finden wir die kritischen Punkte: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Wir finden y’’=2sin(x), berechnen, was bedeutet, dass x= π / 3 +2πk, k∈Z die Minimalpunkte der Funktion sind; , was bedeutet, dass x=- π / 3 +2πk, k∈Z die Maximalpunkte der Funktion sind.

Beispiel Nr. 3. Untersuchen Sie die Extremumfunktion in der Nähe des Punktes x=0.
Lösung. Hier ist es notwendig, die Extrema der Funktion zu finden. Wenn das Extremum x=0 ist, ermitteln Sie seinen Typ (Minimum oder Maximum). Wenn es unter den gefundenen Punkten kein x = 0 gibt, dann berechnen Sie den Wert der Funktion f(x=0).
Es ist zu beachten, dass die möglichen Situationen auch für differenzierbare Funktionen nicht erschöpft sind, wenn die Ableitung auf jeder Seite eines bestimmten Punktes ihr Vorzeichen nicht ändert: Es kann vorkommen, dass für eine beliebig kleine Umgebung auf einer Seite des Punktes x 0 oder Auf beiden Seiten wechselt die Ableitung das Vorzeichen. An diesen Punkten ist es notwendig, andere Methoden zur Untersuchung von Funktionen für Extremum zu verwenden.

Beispiel Nr. 4. Teilen Sie die Zahl 49 in zwei Terme, deren Produkt das größte ist.
Lösung. Bezeichnen wir x als ersten Term. Dann ist (49-x) der zweite Term.
Das Produkt wird maximal sein: x·(49-x) → max

Lassen Sie die Funktion y =F(X) ist stetig im Intervall [ a, b]. Bekanntlich erreicht eine solche Funktion auf diesem Segment ihre Maximal- und Minimalwerte. Die Funktion kann diese Werte entweder am internen Punkt des Segments annehmen [ a, b] oder an der Grenze des Segments.

Um den größten und kleinsten Wert einer Funktion auf dem Segment zu finden [ a, b] notwendig:

1) Finden Sie die kritischen Punkte der Funktion im Intervall ( a, b);

2) Berechnen Sie die Werte der Funktion an den gefundenen kritischen Punkten;

3) Berechnen Sie die Werte der Funktion am Ende des Segments, also wann X=A und x = B;

4) Wählen Sie aus allen berechneten Werten der Funktion den größten und kleinsten aus.

Beispiel. Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion

auf dem Segment.

Kritische Punkte finden:

Diese Punkte liegen innerhalb des Segments; j(1) = ‒ 3; j(2) = ‒ 4; j(0) = ‒ 8; j(3) = 1;

an der Stelle X= 3 und an der Stelle X= 0.

Untersuchung einer Funktion für Konvexität und Wendepunkt.

Funktion j = F (X) angerufen konvex dazwischen (A, B) , wenn sein Graph unter der an irgendeinem Punkt in diesem Intervall gezogenen Tangente liegt und aufgerufen wird konvex nach unten (konkav), wenn sein Graph über der Tangente liegt.

Der Punkt, durch den Konvexität durch Konkavität ersetzt wird oder umgekehrt, wird aufgerufen Wendepunkt.

Algorithmus zur Untersuchung von Konvexität und Wendepunkt:

1. Finden Sie kritische Punkte zweiter Art, also Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich Null ist oder nicht existiert.

2. Zeichnen Sie kritische Punkte auf der Zahlenlinie ein und teilen Sie sie in Intervalle auf. Finden Sie das Vorzeichen der zweiten Ableitung in jedem Intervall. Wenn, dann ist die Funktion nach oben konvex, wenn, dann ist die Funktion nach unten konvex.

3. Wenn sich beim Durchlaufen eines kritischen Punktes zweiter Art das Vorzeichen ändert und an diesem Punkt die zweite Ableitung gleich Null ist, dann ist dieser Punkt die Abszisse des Wendepunktes. Finden Sie seine Ordinate.

Asymptoten des Graphen einer Funktion. Untersuchung einer Funktion für Asymptoten.

Definition. Die Asymptote des Graphen einer Funktion heißt gerade, die die Eigenschaft hat, dass der Abstand von jedem Punkt im Diagramm zu dieser Linie gegen Null tendiert, wenn sich der Punkt im Diagramm auf unbestimmte Zeit vom Ursprung entfernt.

Es gibt drei Arten von Asymptoten: vertikal, horizontal und geneigt.

Definition. Die Gerade heißt vertikale Asymptote Funktionsgrafiken y = f(x), wenn mindestens einer der einseitigen Grenzen der Funktion an diesem Punkt gleich unendlich ist, also

Wo ist der Diskontinuitätspunkt der Funktion, das heißt, sie gehört nicht zum Definitionsbereich?

Beispiel.

D ( j) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 – Bruchpunkt.

Definition. Gerade y =A angerufen horizontale Asymptote Funktionsgrafiken y = f(x) bei , wenn

Beispiel.

X
j

Definition. Gerade y =kx +B (k≠ 0) heißt schräge Asymptote Funktionsgrafiken y = f(x) bei , wo

Allgemeines Schema zum Studieren von Funktionen und zum Erstellen von Graphen.

Funktionsforschungsalgorithmusy = f(x) :

1. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion D (j).

2. Finden Sie (falls möglich) die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen (falls möglich). X= 0 und bei j = 0).

3. Untersuchen Sie die Funktion auf Gleichmäßigkeit und Ungeradheit ( j (‒ X) = j (X) ‒ Parität; j(‒ X) = ‒ j (X) ‒ seltsam).

4. Finden Sie die Asymptoten des Funktionsgraphen.

5. Finden Sie die Intervalle der Monotonie der Funktion.

6. Finden Sie die Extrema der Funktion.

7. Finden Sie die Konvexitätsintervalle (Konkavität) und Wendepunkte des Funktionsgraphen.

8. Erstellen Sie auf der Grundlage der durchgeführten Untersuchungen einen Graphen der Funktion.

Beispiel. Erkunden Sie die Funktion und erstellen Sie ihren Graphen.

1) D (j) =

X= 4 – Bruchpunkt.

2) Wann X = 0,

(0; ‒ 5) – Schnittpunkt mit Oh.

Bei j = 0,

3) j(‒ X)= eine Funktion allgemeiner Form (weder gerade noch ungerade).

4) Wir untersuchen auf Asymptoten.

a) vertikal

b) horizontal

c) Finden Sie die schrägen Asymptoten wo

‒schräge Asymptotengleichung

5) In dieser Gleichung ist es nicht notwendig, Intervalle der Monotonie der Funktion zu finden.

Diese kritischen Punkte unterteilen den gesamten Definitionsbereich der Funktion in die Intervalle (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) und (10; +∞). Es ist zweckmäßig, die erzielten Ergebnisse in Form der folgenden Tabelle darzustellen: