Skalarprodukt von Vektoren. Skalarprodukt von Vektoren Finden Sie das Skalarprodukt, wenn wir das wissen

Es wird auch Probleme geben, die Sie selbst lösen müssen und auf die Sie die Antworten sehen können.

Wenn im Problem sowohl die Längen der Vektoren als auch der Winkel zwischen ihnen „auf dem Silbertablett“ dargestellt werden, dann sieht der Zustand des Problems und seine Lösung so aus:

Beispiel 1. Es werden Vektoren angegeben. Finden Sie das Skalarprodukt von Vektoren, wenn ihre Längen und der Winkel zwischen ihnen durch die folgenden Werte dargestellt werden:

Es gilt auch eine andere Definition, die Definition 1 völlig entspricht.

Definition 2. Das Skalarprodukt von Vektoren ist eine Zahl (Skalar), die dem Produkt aus der Länge eines dieser Vektoren und der Projektion eines anderen Vektors auf die durch den ersten dieser Vektoren bestimmte Achse entspricht. Formel nach Definition 2:

Wir werden das Problem mit dieser Formel nach dem nächsten wichtigen theoretischen Punkt lösen.

Definition des Skalarprodukts von Vektoren in Bezug auf Koordinaten

Die gleiche Zahl kann erhalten werden, wenn den zu multiplizierenden Vektoren ihre Koordinaten gegeben werden.

Definition 3. Das Skalarprodukt von Vektoren ist eine Zahl, die der Summe der paarweisen Produkte ihrer entsprechenden Koordinaten entspricht.

In einem Flugzeug

Wenn zwei Vektoren und auf der Ebene durch ihre beiden definiert sind Kartesische rechtwinklige Koordinaten

dann ist das Skalarprodukt dieser Vektoren gleich der Summe der paarweisen Produkte ihrer entsprechenden Koordinaten:

.

Beispiel 2. Finden Sie den numerischen Wert der Projektion des Vektors auf die Achse parallel zum Vektor.

Lösung. Wir ermitteln das Skalarprodukt von Vektoren, indem wir die paarweisen Produkte ihrer Koordinaten addieren:

Nun müssen wir das resultierende Skalarprodukt mit dem Produkt aus der Länge des Vektors und der Projektion des Vektors auf eine Achse parallel zum Vektor gleichsetzen (gemäß der Formel).

Wir ermitteln die Länge des Vektors als Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Koordinaten:

.

Wir erstellen eine Gleichung und lösen sie:

Antwort. Der erforderliche Zahlenwert ist minus 8.

Im Weltraum

Wenn zwei Vektoren und im Raum durch ihre drei kartesischen rechtwinkligen Koordinaten definiert werden

,

dann ist das Skalarprodukt dieser Vektoren auch gleich der Summe der paarweisen Produkte ihrer entsprechenden Koordinaten, nur dass es bereits drei Koordinaten gibt:

.

Die Aufgabe, das Skalarprodukt mit der betrachteten Methode zu finden, besteht nach der Analyse der Eigenschaften des Skalarprodukts. Denn in der Aufgabe müssen Sie bestimmen, welchen Winkel die multiplizierten Vektoren bilden.

Eigenschaften des Skalarprodukts von Vektoren

Algebraische Eigenschaften

1. (kommutative Eigenschaft: Das Vertauschen der Plätze der multiplizierten Vektoren ändert den Wert ihres Skalarprodukts nicht.

2. (assoziative Eigenschaft in Bezug auf einen numerischen Faktor: Das Skalarprodukt eines Vektors multipliziert mit einem Faktor und einem anderen Vektor ist gleich dem Skalarprodukt dieser Vektoren multipliziert mit demselben Faktor.

3. (Verteilungseigenschaft relativ zur Summe der Vektoren: Das Skalarprodukt der Summe zweier Vektoren durch den dritten Vektor ist gleich der Summe der Skalarprodukte des ersten Vektors durch den dritten Vektor und des zweiten Vektors durch den dritten Vektor.

4. (Skalarquadrat eines Vektors größer als Null), if ist ein Vektor ungleich Null und , if ist ein Nullvektor.

Geometrische Eigenschaften

In den Definitionen der untersuchten Operation haben wir bereits das Konzept eines Winkels zwischen zwei Vektoren angesprochen. Es ist Zeit, dieses Konzept zu klären.

In der Abbildung oben sehen Sie zwei Vektoren, die auf einen gemeinsamen Ursprung gebracht werden. Und das erste, worauf Sie achten müssen, ist, dass es zwischen diesen Vektoren zwei Winkel gibt – φ 1 Und φ 2 . Welcher dieser Winkel kommt in den Definitionen und Eigenschaften des Skalarprodukts von Vektoren vor? Die Summe der betrachteten Winkel beträgt 2 π und daher sind die Kosinuswerte dieser Winkel gleich. Die Definition eines Skalarprodukts umfasst nur den Kosinus des Winkels und nicht den Wert seines Ausdrucks. Die Eigenschaften berücksichtigen jedoch nur einen Winkel. Und dies ist derjenige der beiden Winkel, der nicht überschritten wird π , also 180 Grad. In der Abbildung ist dieser Winkel als angegeben φ 1 .

1. Es werden zwei Vektoren aufgerufen senkrecht Und der Winkel zwischen diesen Vektoren ist gerade (90 Grad oder π /2 ), wenn Das Skalarprodukt dieser Vektoren ist Null :

.

Orthogonalität in der Vektoralgebra ist die Rechtwinkligkeit zweier Vektoren.

2. Zwei Vektoren ungleich Null bilden sich spitzer Winkel (von 0 bis 90 Grad oder, was dasselbe ist, weniger π Skalarprodukt ist positiv .

3. Zwei Vektoren ungleich Null bilden sich stumpfer Winkel (von 90 bis 180 Grad oder, was dasselbe ist, mehr π /2) genau dann, wenn sie Skalarprodukt ist negativ .

Beispiel 3. Die Koordinaten werden durch die Vektoren gegeben:

.

Berechnen Sie die Skalarprodukte aller Paare gegebener Vektoren. Welchen Winkel (spitz, rechts, stumpf) bilden diese Vektorpaare?

Lösung. Wir berechnen, indem wir die Produkte der entsprechenden Koordinaten addieren.

Wir haben eine negative Zahl erhalten, also bilden die Vektoren einen stumpfen Winkel.

Wir haben eine positive Zahl erhalten, also bilden die Vektoren einen spitzen Winkel.

Wir haben Null, also bilden die Vektoren einen rechten Winkel.

Wir haben eine positive Zahl erhalten, also bilden die Vektoren einen spitzen Winkel.

.

Wir haben eine positive Zahl erhalten, also bilden die Vektoren einen spitzen Winkel.

Zum Selbsttest können Sie verwenden Online-Rechner Skalarprodukt von Vektoren und Kosinus des Winkels zwischen ihnen .

Beispiel 4. Angesichts der Längen zweier Vektoren und des Winkels zwischen ihnen:

.

Bestimmen Sie, bei welchem ​​Wert der Zahl die Vektoren und orthogonal (senkrecht) sind.

Lösung. Multiplizieren wir die Vektoren mit der Regel zum Multiplizieren von Polynomen:

Berechnen wir nun jeden Term:

.

Lassen Sie uns eine Gleichung erstellen (das Produkt ist gleich Null), ähnliche Terme hinzufügen und die Gleichung lösen:

Antwort: Wir haben den Wert verstanden λ = 1,8, bei dem die Vektoren orthogonal sind.

Beispiel 5. Beweisen Sie, dass der Vektor orthogonal (senkrecht) zum Vektor

Lösung. Um die Orthogonalität zu überprüfen, multiplizieren wir die Vektoren und als Polynome und ersetzen stattdessen den in der Problemstellung angegebenen Ausdruck:

.

Dazu müssen Sie jedes Mitglied (Term) des ersten Polynoms mit jedem Mitglied des zweiten multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren:

.

Im resultierenden Ergebnis wird der Bruch um reduziert. Es ergibt sich folgendes Ergebnis:

Fazit: Als Ergebnis der Multiplikation haben wir Null erhalten, daher ist die Orthogonalität (Senkrechtheit) der Vektoren bewiesen.

Lösen Sie das Problem selbst und sehen Sie dann die Lösung

Beispiel 6. Die Längen der Vektoren und sind angegeben, und der Winkel zwischen diesen Vektoren ist π /4. Bestimmen Sie, bei welchem ​​Wert μ Vektoren und stehen zueinander senkrecht.

Zum Selbsttest können Sie verwenden Online-Rechner Skalarprodukt von Vektoren und Kosinus des Winkels zwischen ihnen .

Matrixdarstellung des Skalarprodukts von Vektoren und des Produkts n-dimensionaler Vektoren

Manchmal ist es aus Gründen der Übersichtlichkeit vorteilhaft, zwei multiplizierte Vektoren in Form von Matrizen darzustellen. Dann wird der erste Vektor als Zeilenmatrix und der zweite als Spaltenmatrix dargestellt:

Dann ist das Skalarprodukt der Vektoren das Produkt dieser Matrizen :

Das Ergebnis ist das gleiche wie das, das wir mit der bereits betrachteten Methode erhalten haben. Wir haben eine einzelne Zahl erhalten, und das Produkt einer Zeilenmatrix mit einer Spaltenmatrix ist ebenfalls eine einzelne Zahl.

Es ist praktisch, das Produkt abstrakter n-dimensionaler Vektoren in Matrixform darzustellen. Somit ist das Produkt zweier vierdimensionaler Vektoren das Produkt einer Zeilenmatrix mit vier Elementen mal einer Spaltenmatrix ebenfalls mit vier Elementen, das Produkt zweier fünfdimensionaler Vektoren ist das Produkt einer Zeilenmatrix mit fünf Elementen mal eine Spaltenmatrix ebenfalls mit fünf Elementen und so weiter.

Beispiel 7. Finden Sie Skalarprodukte von Vektorpaaren

,

unter Verwendung einer Matrixdarstellung.

Lösung. Das erste Vektorpaar. Wir stellen den ersten Vektor als Zeilenmatrix und den zweiten als Spaltenmatrix dar. Das Skalarprodukt dieser Vektoren finden wir als Produkt einer Zeilenmatrix und einer Spaltenmatrix:

Wir stellen das zweite Paar auf ähnliche Weise dar und finden:

Wie Sie sehen, waren die Ergebnisse die gleichen wie für die gleichen Paare aus Beispiel 2.

Winkel zwischen zwei Vektoren

Die Herleitung der Formel für den Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren ist sehr schön und prägnant.

Um das Skalarprodukt von Vektoren auszudrücken

(1)

In Koordinatenform ermitteln wir zunächst das Skalarprodukt der Einheitsvektoren. Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst per Definition:

Was in der Formel oben steht, bedeutet: Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist gleich dem Quadrat seiner Länge. Der Kosinus von Null ist gleich eins, daher ist das Quadrat jeder Einheit gleich eins:

Da Vektoren

stehen paarweise senkrecht, dann sind die paarweisen Produkte der Einheitsvektoren gleich Null:

Führen wir nun die Multiplikation von Vektorpolynomen durch:

Wir setzen die Werte der entsprechenden Skalarprodukte der Einheitsvektoren in die rechte Seite der Gleichheit ein:

Wir erhalten die Formel für den Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren:

Beispiel 8. Es werden drei Punkte vergeben A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Finden Sie den Winkel.

Lösung. Ermitteln der Koordinaten der Vektoren:

,

.

Mit der Kosinuswinkelformel erhalten wir:

Somit, .

Zum Selbsttest können Sie verwenden Online-Rechner Skalarprodukt von Vektoren und Kosinus des Winkels zwischen ihnen .

Beispiel 9. Es werden zwei Vektoren angegeben

Ermitteln Sie Summe, Differenz, Länge, Skalarprodukt und Winkel zwischen ihnen.

Skalarprodukt von Vektoren

Wir beschäftigen uns weiterhin mit Vektoren. In der ersten Unterrichtsstunde Vektoren für Dummies Wir haben uns das Konzept eines Vektors, Aktionen mit Vektoren, Vektorkoordinaten und die einfachsten Probleme mit Vektoren angesehen. Wenn Sie zum ersten Mal über eine Suchmaschine auf diese Seite gelangt sind, empfehle ich Ihnen dringend, den obigen Einführungsartikel zu lesen, denn um das Material zu beherrschen, müssen Sie mit den von mir verwendeten Begriffen und Notationen vertraut sein, über Grundkenntnisse über Vektoren verfügen und in der Lage sein, grundlegende Probleme zu lösen. Diese Lektion ist eine logische Fortsetzung des Themas und ich werde darin typische Aufgaben, die das Skalarprodukt von Vektoren verwenden, im Detail analysieren. Dies ist eine SEHR WICHTIGE Aktivität.. Versuchen Sie, die Beispiele nicht zu überspringen; sie bringen einen nützlichen Bonus mit sich: Durch Übung können Sie das behandelte Material festigen und häufig auftretende Probleme in der analytischen Geometrie besser lösen.

Addition von Vektoren, Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl.... Es wäre naiv zu glauben, die Mathematiker hätten sich nichts anderes ausgedacht. Zusätzlich zu den bereits besprochenen Aktionen gibt es eine Reihe weiterer Operationen mit Vektoren, nämlich: Skalarprodukt von Vektoren, Vektorprodukt von Vektoren Und gemischtes Produkt von Vektoren. Das Skalarprodukt von Vektoren ist uns aus der Schule bekannt, die anderen beiden Produkte gehören traditionell zum Studium der höheren Mathematik. Die Themen sind einfach, der Algorithmus zur Lösung vieler Probleme ist unkompliziert und verständlich. Das Einzige. Es gibt eine ansehnliche Menge an Informationen, daher ist es unerwünscht, zu versuchen, ALLES AUF EINMAL zu beherrschen und zu lösen. Dies gilt insbesondere für Dummies; glauben Sie mir, der Autor möchte sich auf keinen Fall wie Chikatilo aus der Mathematik fühlen. Na ja, natürlich auch nicht aus der Mathematik =) Besser vorbereitete Schüler können Materialien selektiv einsetzen, sich gewissermaßen das fehlende Wissen „holen“, für Sie werde ich ein harmloser Graf Dracula sein =)

Lasst uns endlich die Tür öffnen und mit Begeisterung beobachten, was passiert, wenn zwei Vektoren aufeinander treffen ...

Definition des Skalarprodukts von Vektoren.
Eigenschaften des Skalarprodukts. Typische Aufgaben

Das Konzept eines Skalarprodukts

Zuerst ungefähr Winkel zwischen Vektoren. Ich denke, jeder versteht intuitiv, wie groß der Winkel zwischen Vektoren ist, aber für alle Fälle etwas detaillierter. Betrachten wir freie Vektoren ungleich Null und . Wenn Sie diese Vektoren von einem beliebigen Punkt aus zeichnen, erhalten Sie ein Bild, das sich viele bereits gedanklich vorgestellt haben:

Ich gebe zu, hier habe ich die Situation nur auf der Ebene des Verstehens beschrieben. Wenn Sie eine strenge Definition des Winkels zwischen Vektoren benötigen, lesen Sie bitte das Lehrbuch. Für praktische Probleme benötigen wir diese im Prinzip nicht. Auch HIER UND HIER werde ich Nullvektoren aufgrund ihrer geringen praktischen Bedeutung stellenweise ignorieren. Ich habe eine Reservierung speziell für fortgeschrittene Website-Besucher vorgenommen, die mir möglicherweise die theoretische Unvollständigkeit einiger nachfolgender Aussagen vorwerfen.

In der Literatur wird das Winkelsymbol oft weggelassen und einfach geschrieben.

Definition: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine ZAHL, die dem Produkt der Längen dieser Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen entspricht:

Nun, das ist eine ziemlich strenge Definition.

Wir konzentrieren uns auf wesentliche Informationen:

Bezeichnung: Das Skalarprodukt wird einfach mit oder bezeichnet.

Das Ergebnis der Operation ist eine ZAHL: Vektor wird mit Vektor multipliziert und das Ergebnis ist eine Zahl. Wenn nämlich die Längen von Vektoren Zahlen sind, der Kosinus eines Winkels eine Zahl ist, dann ist ihr Produkt wird auch eine Zahl sein.

Nur ein paar Beispiele zum Aufwärmen:

Beispiel 1

Lösung: Wir verwenden die Formel . In diesem Fall:

Antwort:

Kosinuswerte finden sich in trigonometrische Tabelle. Ich empfehle, es auszudrucken – es wird in fast allen Abschnitten des Turms benötigt und wird viele Male benötigt.

Aus rein mathematischer Sicht ist das Skalarprodukt dimensionslos, das heißt, das Ergebnis ist in diesem Fall nur eine Zahl und das war’s. Aus physikalischer Sicht hat ein Skalarprodukt immer eine bestimmte physikalische Bedeutung, das heißt, nach dem Ergebnis muss die eine oder andere physikalische Einheit angegeben werden. Ein kanonisches Beispiel für die Berechnung der Arbeit einer Kraft findet sich in jedem Lehrbuch (die Formel ist genau ein Skalarprodukt). Die Arbeit einer Kraft wird in Joule gemessen, daher wird die Antwort ganz konkret geschrieben, zum Beispiel .

Beispiel 2

Finden Sie, ob und der Winkel zwischen den Vektoren ist gleich.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Die Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

Winkel zwischen Vektoren und Skalarproduktwert

In Beispiel 1 erwies sich das Skalarprodukt als positiv und in Beispiel 2 als negativ. Lassen Sie uns herausfinden, wovon das Vorzeichen des Skalarprodukts abhängt. Schauen wir uns unsere Formel an: . Die Längen von Vektoren ungleich Null sind immer positiv: , daher kann das Vorzeichen nur vom Wert des Kosinus abhängen.

Notiz: Um die folgenden Informationen besser zu verstehen, ist es besser, das Kosinusdiagramm im Handbuch zu studieren Funktionsgraphen und Eigenschaften. Sehen Sie, wie sich der Kosinus auf dem Segment verhält.

Wie bereits erwähnt, kann der Winkel zwischen den Vektoren innerhalb variieren , und folgende Fälle sind möglich:

1) Wenn Ecke zwischen Vektoren scharf: (von 0 bis 90 Grad), dann , Und Das Skalarprodukt wird positiv sein Co-Regie, dann wird der Winkel zwischen ihnen als Null betrachtet und das Skalarprodukt ist ebenfalls positiv. Da vereinfacht sich die Formel: .

2) Wenn Ecke zwischen Vektoren unverblümt: (von 90 bis 180 Grad), dann , und dementsprechend Skalarprodukt ist negativ: . Sonderfall: wenn die Vektoren entgegengesetzte Richtungen, dann wird der Winkel zwischen ihnen berücksichtigt erweitert: (180 Grad). Auch das Skalarprodukt ist negativ, da

Es gelten auch die umgekehrten Aussagen:

1) Wenn , dann ist der Winkel zwischen diesen Vektoren spitz. Alternativ sind die Vektoren gleichgerichtet.

2) Wenn , dann ist der Winkel zwischen diesen Vektoren stumpf. Alternativ sind die Vektoren in entgegengesetzte Richtungen gerichtet.

Aber der dritte Fall ist von besonderem Interesse:

3) Wenn Ecke zwischen Vektoren direkt: (90 Grad), dann Skalarprodukt ist Null: . Das Umgekehrte gilt auch: wenn, dann. Die Aussage lässt sich kompakt wie folgt formulieren: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist genau dann Null, wenn die Vektoren orthogonal sind. Kurze mathematische Notation:

! Notiz : Wiederholen wir Grundlagen der mathematischen Logik: Ein doppelseitiges logisches Konsequenz-Symbol lautet normalerweise „wenn und nur wenn“, „wenn und nur wenn“. Wie Sie sehen können, sind die Pfeile in beide Richtungen gerichtet – „aus diesem folgt dieses und umgekehrt – daraus folgt dieses.“ Was ist übrigens der Unterschied zum Einweg-Folgen-Symbol? Das Symbol besagt nur das, dass „daraus dies folgt“, und es ist keine Tatsache, dass das Gegenteil der Fall ist. Zum Beispiel: , aber nicht jedes Tier ist ein Panther, daher können Sie in diesem Fall das Symbol nicht verwenden. Gleichzeitig anstelle des Symbols Kann Verwenden Sie einseitiges Symbol. Bei der Lösung des Problems haben wir beispielsweise herausgefunden, dass wir zu dem Schluss gekommen sind, dass die Vektoren orthogonal sind: - Ein solcher Eintrag wäre korrekt und noch passender als .

Der dritte Fall ist von großer praktischer Bedeutung, da Sie damit überprüfen können, ob Vektoren orthogonal sind oder nicht. Wir werden dieses Problem im zweiten Abschnitt der Lektion lösen.

Eigenschaften des Skalarprodukts

Kehren wir zu der Situation zurück, in der zwei Vektoren vorliegen Co-Regie. In diesem Fall beträgt der Winkel zwischen ihnen Null, und die Skalarproduktformel hat die Form: .

Was passiert, wenn ein Vektor mit sich selbst multipliziert wird? Es ist klar, dass der Vektor an sich selbst ausgerichtet ist, daher verwenden wir die obige vereinfachte Formel:

Die Nummer wird angerufen Skalarquadrat Vektor und werden als bezeichnet.

Daher, Das Skalarquadrat eines Vektors ist gleich dem Quadrat der Länge des gegebenen Vektors:

Aus dieser Gleichung können wir eine Formel zur Berechnung der Länge des Vektors erhalten:

Bisher scheint es unklar, aber die Ziele des Unterrichts werden alles in Ordnung bringen. Um die Probleme zu lösen, brauchen wir auch Eigenschaften des Skalarprodukts.

Für beliebige Vektoren und beliebige Zahlen gelten die folgenden Eigenschaften:

1) – kommutativ oder kommutativ Skalarproduktgesetz.

2) – Vertrieb bzw verteilend Skalarproduktgesetz. Sie können die Klammern einfach öffnen.

3) – assoziativ oder assoziativ Skalarproduktgesetz. Die Konstante kann aus dem Skalarprodukt abgeleitet werden.

Oftmals werden alle Arten von Eigenschaften (die auch nachgewiesen werden müssen!) von Studierenden als unnötiger Schrott empfunden, den man sich nur merken und direkt nach der Prüfung sicher vergessen muss. Es scheint, dass das Wichtigste hier ist, dass jeder bereits in der ersten Klasse weiß, dass eine Neuordnung der Faktoren das Produkt nicht verändert: . Ich muss Sie warnen, dass es in der höheren Mathematik leicht ist, mit einem solchen Ansatz Dinge durcheinander zu bringen. So gilt beispielsweise die Kommutativeigenschaft nicht für algebraische Matrizen. Es gilt auch nicht für Vektorprodukt von Vektoren. Daher ist es zumindest besser, sich mit allen Eigenschaften zu befassen, auf die Sie in einem höheren Mathematikkurs stoßen, um zu verstehen, was getan werden kann und was nicht.

Beispiel 3

.

Lösung: Lassen Sie uns zunächst die Situation mit dem Vektor klären. Was ist das überhaupt? Die Summe der Vektoren ist ein wohldefinierter Vektor, der mit bezeichnet wird. Eine geometrische Interpretation von Aktionen mit Vektoren finden Sie im Artikel Vektoren für Dummies. Die gleiche Petersilie mit einem Vektor ist die Summe der Vektoren und .

Je nach Bedingung ist es also erforderlich, das Skalarprodukt zu finden. Theoretisch müssen Sie die Arbeitsformel anwenden , aber das Problem ist, dass wir die Länge der Vektoren und den Winkel zwischen ihnen nicht kennen. Da die Bedingung jedoch ähnliche Parameter für Vektoren liefert, gehen wir einen anderen Weg:

(1) Ersetzen Sie die Ausdrücke der Vektoren.

(2) Wir öffnen die Klammern nach der Regel zur Multiplikation von Polynomen; einen vulgären Zungenbrecher finden Sie im Artikel Komplexe Zahlen oder Integration einer gebrochenrationalen Funktion. Ich werde mich nicht wiederholen =) Übrigens erlaubt uns die Verteilungseigenschaft des Skalarprodukts, die Klammern zu öffnen. Wir haben das Recht.

(3) Im ersten und letzten Term schreiben wir kompakt die Skalarquadrate der Vektoren: . Im zweiten Term nutzen wir die Kommutierbarkeit des Skalarprodukts: .

(4) Wir präsentieren ähnliche Begriffe: .

(5) Im ersten Term verwenden wir die Skalarquadratformel, die vor nicht allzu langer Zeit erwähnt wurde. Im letzten Semester funktioniert dementsprechend das Gleiche: . Den zweiten Term entwickeln wir nach der Standardformel .

(6) Ersetzen Sie diese Bedingungen , und führen Sie die endgültigen Berechnungen SORGFÄLTIG durch.

Antwort:

Ein negativer Wert des Skalarprodukts gibt an, dass der Winkel zwischen den Vektoren stumpf ist.

Das Problem ist typisch, hier ein Beispiel zur Selbstlösung:

Beispiel 4

Finden Sie das Skalarprodukt von Vektoren und wenn es bekannt ist .

Nun eine weitere häufige Aufgabe, nur für die neue Formel für die Länge eines Vektors. Die Schreibweise wird sich hier etwas überschneiden, daher schreibe ich sie der Übersichtlichkeit halber mit einem anderen Buchstaben um:

Beispiel 5

Finden Sie die Länge des Vektors if .

Lösung wird wie folgt sein:

(1) Wir liefern den Ausdruck für den Vektor.

(2) Wir verwenden die Längenformel: , während der gesamte Ausdruck ve als Vektor „ve“ fungiert.

(3) Für das Quadrat der Summe verwenden wir die Schulformel. Beachten Sie, wie es hier seltsamerweise funktioniert: – Es ist tatsächlich das Quadrat der Differenz, und tatsächlich ist es so. Wer möchte, kann die Vektoren neu anordnen: - Das Gleiche passiert, bis auf die Neuordnung der Terme.

(4) Was folgt, ist bereits aus den beiden vorherigen Problemen bekannt.

Antwort:

Da es sich um die Länge handelt, vergessen Sie nicht, die Dimension anzugeben – „Einheiten“.

Beispiel 6

Finden Sie die Länge des Vektors if .

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Wir quetschen weiterhin nützliche Dinge aus dem Skalarprodukt heraus. Schauen wir uns noch einmal unsere Formel an . Mithilfe der Proportionsregel setzen wir die Längen der Vektoren auf den Nenner der linken Seite zurück:

Tauschen wir die Teile aus:

Was bedeutet diese Formel? Wenn die Längen zweier Vektoren und ihr Skalarprodukt bekannt sind, können wir den Kosinus des Winkels zwischen diesen Vektoren und damit den Winkel selbst berechnen.

Ist ein Skalarprodukt eine Zahl? Nummer. Sind Vektorlängen Zahlen? Zahlen. Das bedeutet, dass ein Bruch auch eine Zahl ist. Und wenn der Kosinus des Winkels bekannt ist: , dann ist es mit der Umkehrfunktion einfach, den Winkel selbst zu finden: .

Beispiel 7

Finden Sie den Winkel zwischen den Vektoren und wenn bekannt ist, dass .

Lösung: Wir verwenden die Formel:

In der letzten Phase der Berechnungen wurde eine technische Technik eingesetzt – die Beseitigung der Irrationalität im Nenner. Um Irrationalität auszuschließen, habe ich Zähler und Nenner mit multipliziert.

Also wenn , Das:

Die Werte der inversen trigonometrischen Funktionen können durch ermittelt werden trigonometrische Tabelle. Obwohl dies selten vorkommt. Bei Problemen der analytischen Geometrie kommen einige ungeschickte Bären viel häufiger zum Einsatz, und der Wert des Winkels muss ungefähr mit einem Taschenrechner ermittelt werden. Tatsächlich werden wir ein solches Bild mehr als einmal sehen.

Antwort:

Vergessen Sie auch hier nicht, die Abmessungen anzugeben – Bogenmaß und Grad. Persönlich bevorzuge ich, um offensichtlich „alle Fragen zu lösen“, beides anzugeben (es sei denn, die Bedingung erfordert natürlich, dass die Antwort nur im Bogenmaß oder nur in Grad angegeben wird).

Jetzt können Sie eine komplexere Aufgabe selbstständig bewältigen:

Beispiel 7*

Gegeben sind die Längen der Vektoren und der Winkel zwischen ihnen. Finden Sie den Winkel zwischen den Vektoren , .

Die Aufgabe ist nicht so schwierig, da sie mehrstufig ist.
Schauen wir uns den Lösungsalgorithmus an:

1) Gemäß der Bedingung müssen Sie den Winkel zwischen den Vektoren und ermitteln, also müssen Sie die Formel verwenden .

2) Finden Sie das Skalarprodukt (siehe Beispiele Nr. 3, 4).

3) Finden Sie die Länge des Vektors und die Länge des Vektors (siehe Beispiele Nr. 5, 6).

4) Das Ende der Lösung stimmt mit Beispiel Nr. 7 überein – wir kennen die Zahl, was bedeutet, dass es einfach ist, den Winkel selbst zu finden:

Eine kurze Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Der zweite Abschnitt der Lektion ist demselben Skalarprodukt gewidmet. Koordinaten. Es wird noch einfacher sein als im ersten Teil.

Skalarprodukt von Vektoren,
gegeben durch Koordinaten auf orthonormaler Basis

Antwort:

Natürlich ist der Umgang mit Koordinaten viel angenehmer.

Beispiel 14

Finden Sie das Skalarprodukt von Vektoren und if

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Hier können Sie die Assoziativität der Operation nutzen, also nicht zählen, sondern gleich das Tripel außerhalb des Skalarprodukts nehmen und zuletzt damit multiplizieren. Die Lösung und Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

Am Ende des Absatzes ein provokantes Beispiel zur Berechnung der Länge eines Vektors:

Beispiel 15

Finden Sie die Längen von Vektoren , Wenn

Lösung: Die Methode des vorherigen Abschnitts bietet sich wieder an: Es geht aber auch anders:

Finden wir den Vektor:

Und seine Länge nach der trivialen Formel :

Das Skalarprodukt ist hier überhaupt nicht relevant!

Es ist auch nicht nützlich, wenn man die Länge eines Vektors berechnet:
Stoppen. Sollten wir uns nicht die offensichtliche Eigenschaft der Vektorlänge zunutze machen? Was können Sie über die Länge des Vektors sagen? Dieser Vektor ist fünfmal länger als der Vektor. Die Richtung ist umgekehrt, aber das spielt keine Rolle, da es sich um die Länge handelt. Offensichtlich ist die Länge des Vektors gleich dem Produkt Modul Zahlen pro Vektorlänge:
– Das Modulzeichen „frisst“ das mögliche Minus der Zahl.

Daher:

Antwort:

Formel für den Kosinus des Winkels zwischen Vektoren, die durch Koordinaten angegeben werden

Jetzt verfügen wir über vollständige Informationen, um die zuvor abgeleitete Formel für den Kosinus des Winkels zwischen Vektoren zu verwenden durch Vektorkoordinaten ausdrücken:

Kosinus des Winkels zwischen Ebenenvektoren und , angegeben auf Orthonormalbasis, ausgedrückt durch die Formel:
.

Kosinus des Winkels zwischen Raumvektoren, angegeben auf Orthonormalbasis, ausgedrückt durch die Formel:

Beispiel 16

Gegeben seien drei Eckpunkte eines Dreiecks. Finden (Scheitelwinkel).

Lösung: Gemäß den Bedingungen ist die Zeichnung nicht erforderlich, aber dennoch:

Der erforderliche Winkel ist mit einem grünen Bogen markiert. Erinnern wir uns sofort an die Schulbezeichnung eines Winkels: – besonderes Augenmerk auf Durchschnitt Buchstabe - das ist der Scheitelpunkt des Winkels, den wir brauchen. Der Kürze halber könnten Sie auch einfach schreiben.

Aus der Zeichnung geht deutlich hervor, dass der Winkel des Dreiecks mit dem Winkel zwischen den Vektoren übereinstimmt und, mit anderen Worten: .

Es ist ratsam zu lernen, wie man die Analyse mental durchführt.

Finden wir die Vektoren:

Berechnen wir das Skalarprodukt:

Und die Längen der Vektoren:

Winkelkosinus:

Dies ist genau die Reihenfolge zum Erledigen der Aufgabe, die ich für Dummies empfehle. Fortgeschrittenere Leser können die Berechnungen „in einer Zeile“ schreiben:

Hier ist ein Beispiel für einen „schlechten“ Kosinuswert. Der resultierende Wert ist nicht endgültig, daher macht es wenig Sinn, die Irrationalität im Nenner zu beseitigen.

Finden wir den Winkel selbst:

Schaut man sich die Zeichnung an, ist das Ergebnis durchaus plausibel. Zur Kontrolle kann der Winkel auch mit einem Winkelmesser gemessen werden. Monitorabdeckung nicht beschädigen =)

Antwort:

Das vergessen wir in der Antwort nicht fragte nach dem Winkel eines Dreiecks(und nicht über den Winkel zwischen den Vektoren), vergessen Sie nicht, die genaue Antwort anzugeben: und den ungefähren Wert des Winkels: , mit einem Taschenrechner gefunden.

Diejenigen, denen der Prozess Spaß gemacht hat, können die Winkel berechnen und die Gültigkeit der kanonischen Gleichheit überprüfen

Beispiel 17

Ein Dreieck wird im Raum durch die Koordinaten seiner Eckpunkte definiert. Finden Sie den Winkel zwischen den Seiten und

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion

Ein kurzer Schlussabschnitt ist den Projektionen gewidmet, bei denen es sich ebenfalls um ein Skalarprodukt handelt:

Projektion eines Vektors auf einen Vektor. Projektion eines Vektors auf Koordinatenachsen.
Richtungskosinus eines Vektors

Betrachten Sie die Vektoren und:

Projizieren wir den Vektor auf den Vektor; dazu lassen wir den Anfang und das Ende des Vektors weg Senkrechte zum Vektor (grüne gepunktete Linien). Stellen Sie sich vor, dass Lichtstrahlen senkrecht auf den Vektor fallen. Dann ist das Segment (rote Linie) der „Schatten“ des Vektors. In diesem Fall ist die Projektion des Vektors auf den Vektor die LÄNGE des Segments. Das heißt, PROJEKTION IST EINE ZAHL.

Diese ZAHL wird wie folgt bezeichnet: „großer Vektor“ bezeichnet den Vektor WELCHE Im Projekt bezeichnet „kleiner tiefgestellter Vektor“ den Vektor AN was projiziert wird.

Der Eintrag selbst lautet wie folgt: „Projektion des Vektors „a“ auf den Vektor „be“.

Was passiert, wenn der Vektor „be“ „zu kurz“ ist? Wir zeichnen eine Gerade, die den Vektor „be“ enthält. Und der Vektor „a“ wird bereits projiziert zur Richtung des Vektors „be“, einfach - zur Geraden, die den Vektor „be“ enthält. Das Gleiche passiert, wenn der Vektor „a“ in das dreißigste Königreich verschoben wird – er lässt sich immer noch leicht auf die Gerade projizieren, die den Vektor „be“ enthält.

Wenn der Winkel zwischen Vektoren scharf(wie im Bild), dann

Wenn die Vektoren senkrecht, dann (die Projektion ist ein Punkt, dessen Abmessungen als Null betrachtet werden).

Wenn der Winkel zwischen Vektoren unverblümt(Ordnen Sie in der Abbildung den Vektorpfeil im Geiste neu an), dann (die gleiche Länge, aber mit einem Minuszeichen versehen).

Zeichnen wir diese Vektoren von einem Punkt aus:

Wenn sich ein Vektor bewegt, ändert sich seine Projektion offensichtlich nicht

I. Das Skalarprodukt verschwindet genau dann, wenn mindestens einer der Vektoren Null ist oder wenn die Vektoren senkrecht zueinander stehen. Tatsächlich, if or , or then .

Wenn umgekehrt die multiplizierten Vektoren nicht Null sind, dann aus der Bedingung

wenn es folgt:

Da die Richtung des Nullvektors ungewiss ist, kann der Nullvektor als senkrecht zu jedem Vektor betrachtet werden. Daher lässt sich die angegebene Eigenschaft des Skalarprodukts kürzer formulieren: Das Skalarprodukt verschwindet genau dann, wenn die Vektoren senkrecht zueinander stehen.

II. Das Skalarprodukt hat die kommutative Eigenschaft:

Diese Eigenschaft ergibt sich direkt aus der Definition:

weil unterschiedliche Bezeichnungen für den gleichen Winkel.

III. Das Verteilungsgesetz ist äußerst wichtig. Seine Anwendung ist genauso groß wie in der gewöhnlichen Arithmetik oder Algebra, wo es wie folgt formuliert ist: Um eine Summe zu multiplizieren, muss man jeden Term multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren, d. h.

Offensichtlich basiert die Multiplikation mehrwertiger Zahlen in der Arithmetik oder von Polynomen in der Algebra auf dieser Eigenschaft der Multiplikation.

Dieses Gesetz hat in der Vektoralgebra die gleiche grundlegende Bedeutung, da wir auf seiner Grundlage die übliche Regel zur Multiplikation von Polynomen auf Vektoren anwenden können.

Beweisen wir, dass für drei beliebige Vektoren A, B, C die folgende Gleichheit gilt:

Nach der zweiten Definition des Skalarprodukts, ausgedrückt durch die Formel, erhalten wir:

Wenn wir nun die Eigenschaft von 2 Projektionen aus § 5 anwenden, finden wir:

Q.E.D.

IV. Das Skalarprodukt hat die Eigenschaft der Kombinierbarkeit bezüglich eines numerischen Faktors; Diese Eigenschaft wird durch die folgende Formel ausgedrückt:

das heißt, um das Skalarprodukt von Vektoren mit einer Zahl zu multiplizieren, reicht es aus, einen der Faktoren mit dieser Zahl zu multiplizieren.