Carl Gauß-Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Die Gaußsche Methode oder warum Kinder Mathematik nicht verstehen

Dieser Online-Rechner findet die Lösung eines linearen Gleichungssystems (SLE) mithilfe der Gaußschen Methode. Eine detaillierte Lösung wird gegeben. Wählen Sie zum Berechnen die Anzahl der Variablen und die Anzahl der Gleichungen aus. Geben Sie dann die Daten in die Zellen ein und klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“.

Zahlendarstellung:

Anzahl der Nachkommastellen

×

Warnung

Alle Zellen löschen?

Schließen Löschen

Anweisungen zur Dateneingabe. Zahlen werden als ganze Zahlen (Beispiele: 487, 5, -7623 usw.), Dezimalzahlen (z. B. 67, 102,54 usw.) oder Brüche eingegeben. Der Bruch muss in der Form a/b eingegeben werden, wobei a und b (b>0) Ganzzahlen oder Dezimalzahlen sind. Beispiele 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 usw.

Gauß-Methode

Die Gauß-Methode ist eine Methode zum Übergang vom ursprünglichen System linearer Gleichungen (unter Verwendung äquivalenter Transformationen) zu einem System, das einfacher zu lösen ist als das ursprüngliche System.

Äquivalente Transformationen eines linearen Gleichungssystems sind:

• Vertauschen zweier Gleichungen im System,
• Multiplizieren einer beliebigen Gleichung im System mit einer reellen Zahl ungleich Null,
• Hinzufügen einer anderen Gleichung zu einer Gleichung, multipliziert mit einer beliebigen Zahl.

Betrachten Sie ein System linearer Gleichungen:

Schreiben wir System (1) in Matrixform:

(3)

A- die Koeffizientenmatrix des Systems genannt, B− rechte Seite der Beschränkungen, X− Vektor der zu findenden Variablen. Lass rank( A)=P.

Äquivalente Transformationen ändern nicht den Rang der Koeffizientenmatrix und den Rang der erweiterten Matrix des Systems. Auch die Lösungsmenge des Systems ändert sich bei äquivalenten Transformationen nicht. Der Kern der Gauß-Methode besteht darin, die Koeffizientenmatrix zu reduzieren A zu diagonal oder gestuft.

Lassen Sie uns eine erweiterte Matrix des Systems erstellen:

Im nächsten Schritt setzen wir alle Elemente der Spalte 2 unterhalb des Elements zurück. Wenn dieses Element Null ist, wird diese Zeile mit der Zeile vertauscht, die unter dieser Zeile liegt und in der zweiten Spalte ein Element ungleich Null aufweist. Als nächstes setzen Sie alle Elemente der Spalte 2 unterhalb des führenden Elements zurück A 22. Fügen Sie dazu die Zeilen 3, ... hinzu. M mit Zeichenfolge 2 multipliziert mit − A 32 /A 22 , ..., −A m2/ A 22 bzw. Wenn wir das Verfahren fortsetzen, erhalten wir eine Matrix in Diagonal- oder Stufenform. Die resultierende erweiterte Matrix soll die Form haben:

Als rangA=klingelte(A|b), dann ist die Menge der Lösungen (7) ( n−p)− Vielfalt. Somit n−p Die Unbekannten können beliebig gewählt werden. Die verbleibenden Unbekannten aus System (7) werden wie folgt berechnet. Aus der letzten Gleichung drücken wir aus X p durch die verbleibenden Variablen und fügen Sie sie in die vorherigen Ausdrücke ein. Als nächstes drücken wir aus der vorletzten Gleichung aus X p−1 durch die verbleibenden Variablen und in die vorherigen Ausdrücke einfügen usw. Betrachten wir die Gauß-Methode anhand konkreter Beispiele.

Beispiele für die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit der Gauß-Methode

Beispiel 1. Finden Sie eine allgemeine Lösung für ein lineares Gleichungssystem mit der Gauß-Methode:

Bezeichnen wir mit A ij-Elemente ich-te Zeile und J Spalte.

A elf . Addieren Sie dazu die Zeilen 2,3 mit Zeile 1, multipliziert mit -2/3 bzw. -1/2:

Matrix-Aufzeichnungstyp: Ax=b, Wo

Bezeichnen wir mit A ij-Elemente ich-te Zeile und J Spalte.

Lassen Sie uns die Elemente der 1. Spalte der Matrix unterhalb des Elements ausschließen A elf . Addieren Sie dazu die Zeilen 2,3 mit Zeile 1, multipliziert mit -1/5 bzw. -6/5:

Wir dividieren jede Zeile der Matrix durch das entsprechende führende Element (falls das führende Element existiert):

Wo X 3 , X

Wenn wir die oberen Ausdrücke durch die unteren ersetzen, erhalten wir die Lösung.

Dann lässt sich die Vektorlösung wie folgt darstellen:

Wo X 3 , X 4 sind beliebige reelle Zahlen.

Es sei ein System linearer algebraischer Gleichungen gegeben, das gelöst werden muss (finden Sie solche Werte der Unbekannten xi, die jede Gleichung des Systems in eine Gleichheit umwandeln).

Wir wissen, dass ein System linearer algebraischer Gleichungen:

1) Keine Lösungen haben (sein nicht gelenkig).
2) Habe unendlich viele Lösungen.
3) Haben Sie eine einzige Lösung.

Wie wir uns erinnern, sind die Cramer-Regel und die Matrixmethode nicht geeignet, wenn das System unendlich viele Lösungen hat oder inkonsistent ist. Gauß-Methode – das leistungsstärkste und vielseitigste Werkzeug zum Finden von Lösungen für jedes System linearer Gleichungen, welche in jedem Fall wird uns zur Antwort führen! Der Methodenalgorithmus selbst funktioniert in allen drei Fällen gleich. Wenn für die Cramer- und Matrix-Methode Kenntnisse über Determinanten erforderlich sind, sind für die Anwendung der Gauß-Methode lediglich Kenntnisse über arithmetische Operationen erforderlich, was sie auch für Grundschüler zugänglich macht.

Erweiterte Matrixtransformationen ( Dies ist die Matrix des Systems – eine Matrix, die nur aus den Koeffizienten der Unbekannten und einer Spalte mit freien Termen besteht. Systeme linearer algebraischer Gleichungen in der Gauß-Methode:

1) Mit Troki Matrizen Kann neu anordnen an einigen Stellen.

2) Wenn proportionale (als Sonderfall – identische) Zeilen in der Matrix erscheinen (oder existieren), dann sollten Sie dies tun löschen Bis auf eine stammen alle diese Zeilen aus der Matrix.

3) Wenn bei Transformationen eine Nullzeile in der Matrix erscheint, dann sollte dies auch der Fall sein löschen.

4) Eine Zeile der Matrix kann sein multiplizieren (dividieren) auf eine beliebige Zahl ungleich Null.

5) zu einer Matrixzeile können Sie Fügen Sie eine weitere Zeichenfolge hinzu, multipliziert mit einer Zahl, verschieden von Null.

Bei der Gauß-Methode verändern elementare Transformationen die Lösung des Gleichungssystems nicht.

Die Gauß-Methode besteht aus zwei Stufen:

1. „Direkte Bewegung“ – Bringen Sie die erweiterte Matrix eines Systems linearer algebraischer Gleichungen mithilfe elementarer Transformationen in eine „dreieckige“ Schrittform: Die Elemente der erweiterten Matrix, die sich unterhalb der Hauptdiagonale befinden, sind gleich Null (Bewegung von oben nach unten). Zum Beispiel zu diesem Typ:

Führen Sie dazu die folgenden Schritte aus:

1) Betrachten wir die erste Gleichung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen und der Koeffizient für x 1 ist gleich K. Die zweite, dritte usw. Wir transformieren die Gleichungen wie folgt: Wir teilen jede Gleichung (Koeffizienten der Unbekannten, einschließlich freier Terme) durch den Koeffizienten der Unbekannten x 1 in jeder Gleichung und multiplizieren sie mit K. Danach subtrahieren wir die erste von der zweiten Gleichung ( Unbekanntenkoeffizienten und freie Terme). Für x 1 in der zweiten Gleichung erhalten wir den Koeffizienten 0. Von der dritten transformierten Gleichung subtrahieren wir die erste Gleichung, bis alle Gleichungen außer der ersten für das unbekannte x 1 einen Koeffizienten 0 haben.

2) Fahren wir mit der nächsten Gleichung fort. Dies sei die zweite Gleichung und der Koeffizient für x 2 sei gleich M. Wir fahren mit allen „unteren“ Gleichungen wie oben beschrieben fort. Somit gibt es „unter“ der Unbekannten x 2 in allen Gleichungen Nullen.

3) Fahren Sie mit der nächsten Gleichung fort und so weiter, bis eine letzte Unbekannte und der transformierte freie Term übrig bleiben.

1. Die „umgekehrte Bewegung“ der Gauß-Methode besteht darin, eine Lösung für ein System linearer algebraischer Gleichungen zu erhalten (die „von unten nach oben“-Bewegung). Aus der letzten „unteren“ Gleichung erhalten wir eine erste Lösung – die Unbekannte x n. Dazu lösen wir die Elementargleichung A * x n = B. Im oben angegebenen Beispiel ist x 3 = 4. Wir setzen den gefundenen Wert in die „obere“ nächste Gleichung ein und lösen sie nach der nächsten Unbekannten. Zum Beispiel x 2 – 4 = 1, d.h. x 2 = 5. Und so weiter, bis wir alle Unbekannten gefunden haben.

Beispiel.

Lösen wir das lineare Gleichungssystem mit der Gauß-Methode, wie einige Autoren raten:

Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf und bringen sie mithilfe elementarer Transformationen in eine schrittweise Form:

Wir schauen uns die „Stufe“ oben links an. Wir sollten dort eine Einheit haben. Das Problem besteht darin, dass es in der ersten Spalte überhaupt keine Einheiten gibt, sodass eine Neuanordnung der Zeilen keine Lösung bringt. In solchen Fällen muss die Einheit mithilfe einer elementaren Transformation organisiert werden. Dies kann in der Regel auf verschiedene Arten erfolgen. Lass uns das machen:
1 Schritt . Zur ersten Zeile fügen wir die zweite Zeile hinzu, multipliziert mit –1. Das heißt, wir haben im Geiste die zweite Zeile mit –1 multipliziert und die erste und zweite Zeile addiert, während sich die zweite Zeile nicht verändert hat.

Jetzt steht oben links „minus eins“, was uns ganz gut passt. Wer +1 erhalten möchte, kann eine zusätzliche Aktion ausführen: die erste Zeile mit –1 multiplizieren (Vorzeichen ändern).

Schritt 2 . Die erste Zeile, multipliziert mit 5, wurde zur zweiten Zeile hinzugefügt. Die erste Zeile, multipliziert mit 3, wurde zur dritten Zeile hinzugefügt.

Schritt 3 . Die erste Zeile wurde mit –1 multipliziert, im Prinzip dient dies der Schönheit. Auch das Vorzeichen der dritten Zeile wurde geändert und an die zweite Stelle verschoben, sodass wir auf der zweiten „Stufe“ die erforderliche Einheit hatten.

Schritt 4 . Die dritte Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert und mit 2 multipliziert.

Schritt 5 . Die dritte Zeile wurde durch 3 geteilt.

Ein Zeichen, das auf einen Rechenfehler (seltener auf einen Tippfehler) hinweist, ist ein „schlechtes“ Endergebnis. Das heißt, wenn wir unten etwas wie (0 0 11 |23) erhalten und dementsprechend 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, dann können wir mit hoher Wahrscheinlichkeit sagen, dass in der Grundschule ein Fehler gemacht wurde Transformationen.

Machen wir es umgekehrt; bei der Gestaltung von Beispielen wird oft nicht das System selbst umgeschrieben, sondern die Gleichungen werden „direkt aus der gegebenen Matrix übernommen“. Ich möchte Sie daran erinnern, dass der umgekehrte Schritt von unten nach oben funktioniert. In diesem Beispiel war das Ergebnis ein Geschenk:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, also x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Antwort:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Lassen Sie uns dasselbe System mit dem vorgeschlagenen Algorithmus lösen. Wir bekommen

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Teilen Sie die zweite Gleichung durch 5 und die dritte durch 3. Wir erhalten:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Wenn wir die zweite und dritte Gleichung mit 4 multiplizieren, erhalten wir:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Subtrahieren Sie die erste Gleichung von der zweiten und dritten Gleichung, erhalten Sie:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Teilen Sie die dritte Gleichung durch 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Multiplizieren Sie die dritte Gleichung mit 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Wenn wir die zweite von der dritten Gleichung subtrahieren, erhalten wir eine „gestufte“ erweiterte Matrix:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Da sich der Fehler während der Berechnungen angesammelt hat, erhalten wir x 3 = 0,96 oder ungefähr 1.

x 2 = 3 und x 1 = –1.

Wenn Sie auf diese Weise lösen, geraten Sie bei den Berechnungen nie durcheinander und erhalten trotz der Berechnungsfehler das Ergebnis.

Diese Methode zur Lösung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen ist leicht programmierbar und berücksichtigt nicht die spezifischen Merkmale von Koeffizienten für Unbekannte, da man in der Praxis (bei wirtschaftlichen und technischen Berechnungen) mit nicht ganzzahligen Koeffizienten umgehen muss.

Ich wünsche Ihnen Erfolg! Wir sehen uns in der Klasse! Tutor.

blog.site: Wenn Sie Material ganz oder teilweise kopieren, ist ein Link zur Originalquelle erforderlich.

Zwei lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn die Menge aller ihrer Lösungen übereinstimmt.

Elementare Transformationen eines Gleichungssystems sind:

1. Triviale Gleichungen aus dem System löschen, d.h. diejenigen, bei denen alle Koeffizienten gleich Null sind;
2. Multiplizieren einer Gleichung mit einer anderen Zahl als Null;
3. Addieren einer beliebigen j-ten Gleichung multipliziert mit einer beliebigen Zahl zu einer i-ten Gleichung.

Eine Variable x i heißt frei, wenn diese Variable nicht erlaubt ist, aber das gesamte Gleichungssystem erlaubt ist.

Satz. Elementare Transformationen überführen ein Gleichungssystem in ein äquivalentes.

Der Sinn der Gaußschen Methode besteht darin, das ursprüngliche Gleichungssystem zu transformieren und ein äquivalentes aufgelöstes oder äquivalentes inkonsistentes System zu erhalten.

Die Gaußsche Methode besteht also aus den folgenden Schritten:

1. Schauen wir uns die erste Gleichung an. Wählen wir den ersten Koeffizienten ungleich Null und teilen wir die gesamte Gleichung durch ihn. Wir erhalten eine Gleichung, in die eine Variable x i mit einem Koeffizienten von 1 eingeht;
2. Subtrahieren wir diese Gleichung von allen anderen und multiplizieren sie mit solchen Zahlen, dass die Koeffizienten der Variablen x i in den verbleibenden Gleichungen Null sind. Wir erhalten ein System, das bezüglich der Variablen x i aufgelöst ist und dem Original entspricht;
3. Wenn triviale Gleichungen auftreten (selten, aber es kommt vor; zum Beispiel 0 = 0), streichen wir sie aus dem System. Dadurch gibt es eine Gleichung weniger;
4. Wir wiederholen die vorherigen Schritte höchstens n-mal, wobei n die Anzahl der Gleichungen im System ist. Jedes Mal wählen wir eine neue Variable zur „Verarbeitung“ aus. Treten inkonsistente Gleichungen auf (z. B. 0 = 8), ist das System inkonsistent.

Als Ergebnis erhalten wir nach wenigen Schritten entweder ein aufgelöstes System (ggf. mit freien Variablen) oder ein inkonsistentes. Zulässige Systeme lassen sich in zwei Fälle einteilen:

1. Die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der Gleichungen. Das bedeutet, dass das System definiert ist;
2. Die Anzahl der Variablen ist größer als die Anzahl der Gleichungen. Wir sammeln rechts alle freien Variablen – wir erhalten Formeln für die erlaubten Variablen. Diese Formeln sind in der Antwort geschrieben.

Das ist alles! System linearer Gleichungen gelöst! Dies ist ein ziemlich einfacher Algorithmus, und um ihn zu beherrschen, müssen Sie sich nicht an einen höheren Mathematiklehrer wenden. Schauen wir uns ein Beispiel an:

Aufgabe. Lösen Sie das Gleichungssystem:

Beschreibung der Schritte:

1. Subtrahieren Sie die erste Gleichung von der zweiten und dritten – wir erhalten die zulässige Variable x 1;
2. Wir multiplizieren die zweite Gleichung mit (−1) und dividieren die dritte Gleichung durch (−3) – wir erhalten zwei Gleichungen, in denen die Variable x 2 mit einem Koeffizienten von 1 eintritt;
3. Wir addieren die zweite Gleichung zur ersten und subtrahieren von der dritten. Wir erhalten die erlaubte Variable x 2 ;
4. Schließlich subtrahieren wir die dritte Gleichung von der ersten – wir erhalten die zulässige Variable x 3;
5. Wir haben ein genehmigtes System erhalten, notieren Sie die Antwort.

Die allgemeine Lösung eines simultanen linearen Gleichungssystems ist ein neues, dem ursprünglichen System äquivalentes System, in dem alle zulässigen Variablen als freie Variablen ausgedrückt werden.

Wann könnte eine allgemeine Lösung erforderlich sein? Wenn Sie weniger Schritte als k ausführen müssen (k gibt an, wie viele Gleichungen es gibt). Die Gründe, warum der Prozess jedoch irgendwann in Schritt l endet< k , может быть две:

1. Nach dem l-ten Schritt haben wir ein System erhalten, das keine Gleichung mit der Zahl (l + 1) enthält. Eigentlich ist das gut, denn... Das autorisierte System wird trotzdem erhalten – sogar ein paar Schritte früher.
2. Nach dem l-ten Schritt haben wir eine Gleichung erhalten, in der alle Koeffizienten der Variablen gleich Null sind und der freie Koeffizient von Null verschieden ist. Dies ist eine widersprüchliche Gleichung und daher ist das System inkonsistent.

Es ist wichtig zu verstehen, dass das Auftreten einer inkonsistenten Gleichung unter Verwendung der Gaußschen Methode eine ausreichende Grundlage für Inkonsistenz darstellt. Gleichzeitig stellen wir fest, dass durch den l-ten Schritt keine trivialen Gleichungen übrig bleiben können – alle werden gleich im Prozess durchgestrichen.

Beschreibung der Schritte:

1. Subtrahieren Sie die erste Gleichung, multipliziert mit 4, von der zweiten. Und wir fügen auch die erste Gleichung zur dritten hinzu – wir erhalten die zulässige Variable x 1;
2. Subtrahieren Sie die dritte Gleichung, multipliziert mit 2, von der zweiten – wir erhalten die widersprüchliche Gleichung 0 = −5.

Das System ist also inkonsistent, weil eine inkonsistente Gleichung entdeckt wurde.

Aufgabe. Erkunden Sie die Kompatibilität und finden Sie eine allgemeine Lösung für das System:

Beschreibung der Schritte:

1. Wir subtrahieren die erste Gleichung von der zweiten (nach Multiplikation mit zwei) und der dritten – wir erhalten die zulässige Variable x 1;
2. Subtrahieren Sie die zweite Gleichung von der dritten. Da alle Koeffizienten in diesen Gleichungen gleich sind, wird die dritte Gleichung trivial. Multiplizieren Sie gleichzeitig die zweite Gleichung mit (−1);
3. Subtrahieren Sie die zweite von der ersten Gleichung – wir erhalten die zulässige Variable x 2. Damit ist auch das gesamte Gleichungssystem gelöst;
4. Da die Variablen x 3 und x 4 frei sind, verschieben wir sie nach rechts, um die zulässigen Variablen auszudrücken. Das ist die Antwort.

Das System ist also konsistent und unbestimmt, da es zwei erlaubte Variablen (x 1 und x 2) und zwei freie Variablen (x 3 und x 4) gibt.

Definition und Beschreibung der Gaußschen Methode

Die Gaußsche Transformationsmethode (auch als Methode der sequentiellen Eliminierung unbekannter Variablen aus einer Gleichung oder Matrix bekannt) zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist eine klassische Methode zur Lösung algebraischer Gleichungssysteme (SLAE). Diese klassische Methode wird auch zur Lösung von Problemen wie der Ermittlung inverser Matrizen und der Bestimmung des Rangs einer Matrix verwendet.

Die Transformation mit der Gaußschen Methode besteht darin, kleine (elementare) sequentielle Änderungen an einem System linearer algebraischer Gleichungen vorzunehmen, die zur Eliminierung von Variablen daraus von oben nach unten führen und ein neues dreieckiges Gleichungssystem bilden, das dem Original entspricht eins.

Definition 1

Dieser Teil der Lösung wird Vorwärts-Gauß-Lösung genannt, da der gesamte Prozess von oben nach unten durchgeführt wird.

Nach der Reduzierung des ursprünglichen Gleichungssystems auf ein dreieckiges Gleichungssystem werden alle Variablen des Systems von unten nach oben gefunden (d. h. die ersten gefundenen Variablen befinden sich genau auf den letzten Zeilen des Systems oder der Matrix). Dieser Teil der Lösung wird auch als Umkehrung der Gaußschen Lösung bezeichnet. Sein Algorithmus ist wie folgt: Zuerst werden die Variablen berechnet, die dem unteren Ende des Gleichungssystems oder der Matrix am nächsten liegen, dann werden die resultierenden Werte höher substituiert und so eine andere Variable gefunden und so weiter.

Beschreibung des Gaußschen Methodenalgorithmus

Die Abfolge von Aktionen zur allgemeinen Lösung eines Gleichungssystems nach der Gaußschen Methode besteht darin, auf der Grundlage des SLAE abwechselnd Vorwärts- und Rückwärtsstriche auf die Matrix anzuwenden. Das anfängliche Gleichungssystem soll die folgende Form haben:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$

Um SLAEs mit der Gaußschen Methode zu lösen, ist es notwendig, das ursprüngliche Gleichungssystem in Form einer Matrix zu schreiben:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Die Matrix $A$ wird Hauptmatrix genannt und stellt die Koeffizienten der in der Reihenfolge geschriebenen Variablen dar, und $b$ wird die Spalte ihrer freien Terme genannt. Die durch einen Balken mit einer Spalte freier Terme geschriebene Matrix $A$ wird als erweiterte Matrix bezeichnet:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Nun ist es notwendig, es durch elementare Transformationen des Gleichungssystems (oder der Matrix, da dies bequemer ist) in die folgende Form zu bringen:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)

Die aus den Koeffizienten des transformierten Gleichungssystems (1) erhaltene Matrix heißt Stufenmatrix, so sehen Stufenmatrizen üblicherweise aus:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

Diese Matrizen zeichnen sich durch die folgenden Eigenschaften aus:

1. Alle Nullzeilen folgen auf Nicht-Nullzeilen
2. Wenn eine Zeile einer Matrix mit der Nummer $k$ ungleich Null ist, dann hat die vorherige Zeile derselben Matrix weniger Nullen als diese mit der Nummer $k$.

Nach Erhalt der Stufenmatrix müssen die resultierenden Variablen in die verbleibenden Gleichungen eingesetzt werden (beginnend am Ende) und die verbleibenden Werte der Variablen erhalten.

Grundregeln und erlaubte Transformationen bei der Anwendung der Gauß-Methode

Wenn Sie eine Matrix oder ein Gleichungssystem mit dieser Methode vereinfachen, müssen Sie nur elementare Transformationen verwenden.

Unter solchen Transformationen versteht man Operationen, die auf eine Matrix oder ein Gleichungssystem angewendet werden können, ohne deren Bedeutung zu ändern:

• Neuanordnung mehrerer Zeilen,
• Addieren oder Subtrahieren von einer Zeile einer Matrix durch eine andere Zeile davon,
• Multiplizieren oder Dividieren einer Zeichenfolge mit einer Konstante ungleich Null,
• eine Zeile, die nur aus Nullen besteht und bei der Berechnung und Vereinfachung des Systems erhalten wurde, muss gelöscht werden.
• Sie müssen auch unnötige Proportionallinien entfernen und für das System das einzige mit Koeffizienten auswählen, die für weitere Berechnungen besser geeignet und bequemer sind.

Alle elementaren Transformationen sind reversibel.

Analyse der drei Hauptfälle, die bei der Lösung linearer Gleichungen mit der Methode der einfachen Gaußschen Transformationen auftreten

Bei der Verwendung der Gaußschen Methode zur Lösung von Systemen treten drei Fälle auf:

1. Wenn ein System inkonsistent ist, das heißt, es hat keine Lösungen
2. Das Gleichungssystem hat eine Lösung, und zwar eine eindeutige, und die Anzahl der Zeilen und Spalten ungleich Null in der Matrix ist einander gleich.
3. Das System verfügt über eine bestimmte Anzahl oder Menge möglicher Lösungen, und die Anzahl der darin enthaltenen Zeilen ist geringer als die Anzahl der Spalten.

Ergebnis einer Lösung mit einem inkonsistenten System

Bei dieser Option ist es bei der Lösung einer Matrixgleichung mit der Gaußschen Methode typisch, eine Linie mit der Unmöglichkeit zu erhalten, die Gleichheit zu erfüllen. Wenn daher mindestens eine falsche Gleichung auftritt, haben die resultierenden und ursprünglichen Systeme unabhängig von den anderen darin enthaltenen Gleichungen keine Lösungen. Ein Beispiel für eine inkonsistente Matrix:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

In der letzten Zeile entstand eine unmögliche Gleichheit: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Ein Gleichungssystem, das nur eine Lösung hat

Diese Systeme haben, nachdem sie auf eine Stufenmatrix reduziert und Zeilen mit Nullen entfernt wurden, die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten in der Hauptmatrix. Hier ist das einfachste Beispiel eines solchen Systems:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

Schreiben wir es in Form einer Matrix:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

Um die erste Zelle der zweiten Zeile auf Null zu bringen, multiplizieren wir die obere Zeile mit $-2$, subtrahieren sie von der unteren Zeile der Matrix und belassen die obere Zeile in ihrer ursprünglichen Form. Als Ergebnis erhalten wir Folgendes :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Dieses Beispiel kann als System geschrieben werden:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

Die untere Gleichung ergibt den folgenden Wert für $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Setzen Sie diesen Wert in die obere Gleichung ein: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, wir erhalten $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Ein System mit vielen Lösungsmöglichkeiten

Dieses System zeichnet sich dadurch aus, dass die Anzahl der signifikanten Zeilen kleiner ist als die Anzahl der darin enthaltenen Spalten (die Zeilen der Hauptmatrix werden berücksichtigt).

Variablen in einem solchen System werden in zwei Typen unterteilt: Basisvariablen und kostenlose Variablen. Bei der Transformation eines solchen Systems müssen die darin enthaltenen Hauptvariablen bis zum „=“-Zeichen im linken Bereich belassen und die übrigen Variablen auf die rechte Seite der Gleichheit verschoben werden.

Für ein solches System gibt es nur eine bestimmte allgemeine Lösung.

Analysieren wir das folgende Gleichungssystem:

$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

Schreiben wir es in Form einer Matrix:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Unsere Aufgabe ist es, eine allgemeine Lösung des Systems zu finden. Für diese Matrix sind die Basisvariablen $y_1$ und $y_3$ (für $y_1$ – da es an erster Stelle steht, und im Fall von $y_3$ – es steht hinter den Nullen).

Als Basisvariablen wählen wir genau diejenigen aus, die in der Reihe an erster Stelle stehen und ungleich Null sind.

Die übrigen Variablen heißen frei; wir müssen die Grundvariablen durch sie ausdrücken.

Mit dem sogenannten Rückwärtsstrich analysieren wir das System von unten nach oben. Dazu drücken wir zunächst $y_3$ aus der unteren Zeile des Systems aus:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Jetzt setzen wir das ausgedrückte $y_3$ in die obere Gleichung des Systems $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ ein: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Wir drücken $y_1$ durch freie Variablen $y_2$ und $y_4$ aus:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$

Die Lösung ist fertig.

Beispiel 1

Lösen Sie Slough mit der Gaußschen Methode. Beispiele. Ein Beispiel für die Lösung eines linearen Gleichungssystems, das durch eine 3 x 3-Matrix gegeben ist, mit der Gaußschen Methode

$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(cases)$

Schreiben wir unser System in Form einer erweiterten Matrix:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Aus praktischen und praktischen Gründen müssen Sie nun die Matrix so transformieren, dass sich $1$ in der oberen Ecke der äußersten Spalte befindet.

Dazu müssen Sie zur ersten Zeile die Zeile aus der Mitte addieren, mit $-1$ multiplizieren, und die mittlere Zeile selbst so schreiben, wie sie ist. Es stellt sich heraus:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(array) $

Multiplizieren Sie die obere und letzte Zeile mit $-1$ und vertauschen Sie auch die letzte und mittlere Zeile:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

Und dividiere die letzte Zeile durch $3$:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

Wir erhalten das folgende Gleichungssystem, äquivalent zum ursprünglichen:

$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(cases)$

Aus der oberen Gleichung drücken wir $x_1$ aus:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Beispiel 2

Ein Beispiel für die Lösung eines Systems, das mithilfe einer 4 x 4-Matrix mit der Gaußschen Methode definiert wurde

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Zu Beginn vertauschen wir die darauf folgenden oberen Zeilen, um $1$ in der oberen linken Ecke zu erhalten:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Multiplizieren Sie nun die oberste Zeile mit $-2$ und addieren Sie zur 2. und 3. Zeile. Zum 4. fügen wir die 1. Zeile hinzu, multipliziert mit $-3$:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$

Nun fügen wir zu Zeile 3 Zeile 2 multipliziert mit $4$ hinzu und zu Zeile 4 addieren wir Zeile 2 multipliziert mit $-1$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$

Wir multiplizieren Zeile 2 mit $-1$, dividieren Zeile 4 durch $3$ und ersetzen Zeile 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(array)$

Jetzt fügen wir zur letzten Zeile die vorletzte hinzu, multipliziert mit $-5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(array)$

Wir lösen das resultierende Gleichungssystem:

$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(cases)$

In diesem Artikel wird die Methode als Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme (SLAEs) betrachtet. Die Methode ist analytisch, das heißt, sie ermöglicht es Ihnen, einen Lösungsalgorithmus in allgemeiner Form zu schreiben und dort dann Werte aus bestimmten Beispielen zu ersetzen. Anders als bei der Matrixmethode oder den Cramer-Formeln kann man bei der Lösung eines linearen Gleichungssystems mit der Gauß-Methode auch mit solchen arbeiten, die unendlich viele Lösungen haben. Oder sie haben es überhaupt nicht.

Was bedeutet es, mit der Gaußschen Methode zu lösen?

Zuerst müssen wir unser Gleichungssystem in schreiben. Es sieht so aus. Nehmen Sie das System:

Die Koeffizienten werden in Form einer Tabelle geschrieben und die freien Terme werden in einer separaten Spalte rechts geschrieben. Die Spalte mit den freien Begriffen ist der Einfachheit halber getrennt. Die Matrix, die diese Spalte enthält, wird als erweitert bezeichnet.

Als nächstes muss die Hauptmatrix mit Koeffizienten auf eine obere Dreiecksform reduziert werden. Dies ist der Hauptpunkt der Lösung des Systems mit der Gaußschen Methode. Einfach ausgedrückt sollte die Matrix nach bestimmten Manipulationen so aussehen, dass ihr unterer linker Teil nur Nullen enthält:

Wenn Sie dann die neue Matrix erneut als Gleichungssystem schreiben, werden Sie feststellen, dass die letzte Zeile bereits den Wert einer der Wurzeln enthält, die dann in die obige Gleichung eingesetzt wird, eine andere Wurzel gefunden wird und so weiter.

Dies ist eine allgemein gehaltene Beschreibung der Lösung nach der Gaußschen Methode. Was passiert, wenn das System plötzlich keine Lösung mehr hat? Oder gibt es unendlich viele davon? Um diese und viele andere Fragen zu beantworten, ist es notwendig, alle Elemente, die zur Lösung der Gaußschen Methode verwendet werden, separat zu betrachten.

Matrizen, ihre Eigenschaften

Es gibt keine verborgene Bedeutung in der Matrix. Dies ist einfach eine bequeme Möglichkeit, Daten für spätere Vorgänge damit aufzuzeichnen. Auch Schulkinder brauchen vor ihnen keine Angst zu haben.

Die Matrix ist immer rechteckig, weil es bequemer ist. Selbst bei der Gauß-Methode, bei der alles darauf hinausläuft, eine Matrix in Dreiecksform zu konstruieren, erscheint im Eintrag ein Rechteck, nur mit Nullen an der Stelle, an der keine Zahlen stehen. Nullen dürfen nicht geschrieben werden, sind aber impliziert.

Die Matrix hat eine Größe. Seine „Breite“ ist die Anzahl der Zeilen (m), „Länge“ ist die Anzahl der Spalten (n). Dann wird die Größe der Matrix A (zu ihrer Bezeichnung werden üblicherweise lateinische Großbuchstaben verwendet) als A m×n bezeichnet. Wenn m=n, dann ist diese Matrix quadratisch und m=n ist ihre Ordnung. Dementsprechend kann jedes Element der Matrix A durch seine Zeilen- und Spaltennummern bezeichnet werden: a xy ; x – Zeilennummer, Änderungen, y – Spaltennummer, Änderungen.

B ist nicht der Hauptpunkt der Entscheidung. Im Prinzip können alle Operationen direkt mit den Gleichungen selbst durchgeführt werden, allerdings wird die Notation deutlich umständlicher und es ist viel einfacher, sich darin zu verwirren.

Bestimmend

Die Matrix hat auch eine Determinante. Dies ist ein sehr wichtiges Merkmal. Es ist nicht nötig, seine Bedeutung jetzt herauszufinden; Sie können einfach zeigen, wie es berechnet wird, und dann sagen, welche Eigenschaften der Matrix es bestimmt. Der einfachste Weg, die Determinante zu finden, sind Diagonalen. In der Matrix werden imaginäre Diagonalen eingezeichnet; die darauf befindlichen Elemente werden multipliziert und dann die resultierenden Produkte addiert: Diagonalen mit einer Neigung nach rechts – mit einem Pluszeichen, mit einer Neigung nach links – mit einem Minuszeichen.

Es ist äußerst wichtig zu beachten, dass die Determinante nur für eine quadratische Matrix berechnet werden kann. Für eine rechteckige Matrix können Sie Folgendes tun: Wählen Sie aus der Anzahl der Zeilen und der Anzahl der Spalten die kleinste aus (sei es k) und markieren Sie dann zufällig k Spalten und k Zeilen in der Matrix. Die Elemente am Schnittpunkt der ausgewählten Spalten und Zeilen bilden eine neue quadratische Matrix. Wenn die Determinante einer solchen Matrix eine Zahl ungleich Null ist, wird sie als Basisminor der ursprünglichen rechteckigen Matrix bezeichnet.

Bevor Sie mit der Lösung eines Gleichungssystems nach der Gaußschen Methode beginnen, schadet es nicht, die Determinante zu berechnen. Wenn sich herausstellt, dass sie Null ist, können wir sofort sagen, dass die Matrix entweder unendlich viele oder gar keine Lösungen hat. In solch einem traurigen Fall müssen Sie noch weiter gehen und den Rang der Matrix herausfinden.

Systemklassifizierung

Es gibt so etwas wie den Rang einer Matrix. Dies ist die maximale Ordnung ihrer Determinante ungleich Null (wenn wir uns an die Basis-Minor erinnern, können wir sagen, dass der Rang einer Matrix die Ordnung der Basis-Minor ist).

Basierend auf der Rangsituation kann SLAE unterteilt werden in:

• Gemeinsam. U In gemeinsamen Systemen stimmt der Rang der Hauptmatrix (die nur aus Koeffizienten besteht) mit dem Rang der erweiterten Matrix (mit einer Spalte freier Terme) überein. Solche Systeme haben eine Lösung, aber nicht unbedingt eine, daher werden zusätzlich gemeinsame Systeme unterteilt in:
• - bestimmt- eine einzige Lösung haben. In bestimmten Systemen sind der Rang der Matrix und die Anzahl der Unbekannten (oder die Anzahl der Spalten, was dasselbe ist) gleich;
• - nicht definiert - mit unendlich vielen Lösungen. Der Rang der Matrizen in solchen Systemen ist geringer als die Anzahl der Unbekannten.
• Unvereinbar. U In solchen Systemen stimmen die Ränge der Haupt- und der erweiterten Matrize nicht überein. Für inkompatible Systeme gibt es keine Lösung.

Die Gauß-Methode ist gut, weil sie es ermöglicht, während der Lösung entweder einen eindeutigen Beweis für die Inkonsistenz des Systems zu erhalten (ohne die Determinanten großer Matrizen zu berechnen) oder eine Lösung in allgemeiner Form für ein System mit unendlich vielen Lösungen.

Elementare Transformationen

Bevor Sie direkt mit der Lösung des Systems fortfahren, können Sie es für die Berechnungen weniger umständlich und bequemer gestalten. Dies wird durch elementare Transformationen erreicht, deren Umsetzung die endgültige Antwort in keiner Weise verändert. Es ist zu beachten, dass einige der angegebenen Elementartransformationen nur für Matrizen gültig sind, deren Quelle das SLAE war. Hier ist eine Liste dieser Transformationen:

1. Zeilen neu anordnen. Wenn Sie die Reihenfolge der Gleichungen im Systemdatensatz ändern, hat dies natürlich keinerlei Auswirkungen auf die Lösung. Folglich können auch Zeilen in der Matrix dieses Systems vertauscht werden, nicht zu vergessen natürlich die Spalte der freien Terme.
2. Multiplizieren aller Elemente einer Zeichenfolge mit einem bestimmten Koeffizienten. Sehr hilfreich! Es kann verwendet werden, um große Zahlen in einer Matrix zu reduzieren oder Nullen zu entfernen. Viele Entscheidungen werden sich wie üblich nicht ändern, aber weitere Operationen werden komfortabler. Die Hauptsache ist, dass der Koeffizient nicht gleich Null ist.
3. Zeilen mit proportionalen Faktoren entfernen. Dies ergibt sich teilweise aus dem vorherigen Absatz. Wenn zwei oder mehr Zeilen in einer Matrix Proportionalkoeffizienten haben, erhält man beim Multiplizieren/Dividieren einer der Zeilen mit dem Proportionalitätskoeffizienten zwei (oder wiederum mehr) absolut identische Zeilen, und die zusätzlichen Zeilen können entfernt werden, sodass übrig bleibt einziger.
4. Entfernen einer Nullzeile. Wenn bei der Transformation irgendwo eine Zeile erhalten wird, in der alle Elemente, einschließlich des freien Termes, Null sind, kann eine solche Zeile Null genannt und aus der Matrix geworfen werden.
5. Addieren Sie zu den Elementen einer Zeile die Elemente einer anderen (in den entsprechenden Spalten), multipliziert mit einem bestimmten Koeffizienten. Die unscheinbarste und wichtigste Transformation von allen. Es lohnt sich, näher darauf einzugehen.

Addieren einer mit einem Faktor multiplizierten Zeichenfolge

Um das Verständnis zu erleichtern, lohnt es sich, diesen Prozess Schritt für Schritt aufzuschlüsseln. Aus der Matrix werden zwei Zeilen entnommen:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Nehmen wir an, Sie müssen den ersten zum zweiten addieren, multipliziert mit dem Koeffizienten „-2“.

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Dann wird die zweite Zeile in der Matrix durch eine neue ersetzt und die erste bleibt unverändert.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Es ist zu beachten, dass der Multiplikationskoeffizient so gewählt werden kann, dass durch die Addition zweier Zeilen eines der Elemente der neuen Zeile gleich Null ist. Daher ist es möglich, eine Gleichung in einem System zu erhalten, in dem es eine Unbekannte weniger gibt. Und wenn Sie zwei solcher Gleichungen erhalten, können Sie die Operation erneut durchführen und eine Gleichung erhalten, die zwei Unbekannte weniger enthält. Und wenn Sie jedes Mal einen Koeffizienten aller Zeilen, die unter dem ursprünglichen Eins liegen, auf Null setzen, können Sie wie eine Treppe bis zum untersten Ende der Matrix gehen und eine Gleichung mit einer Unbekannten erhalten. Dies wird als Lösung des Systems mit der Gaußschen Methode bezeichnet.

Allgemein

Lass es ein System geben. Es hat m Gleichungen und n unbekannte Wurzeln. Sie können es wie folgt schreiben:

Aus den Systemkoeffizienten wird die Hauptmatrix zusammengestellt. Der erweiterten Matrix wird eine Spalte mit freien Begriffen hinzugefügt und der Einfachheit halber durch eine Linie getrennt.

• die erste Zeile der Matrix wird mit dem Koeffizienten k = (-a 21 /a 11) multipliziert;
• die erste geänderte Zeile und die zweite Zeile der Matrix werden hinzugefügt;
• anstelle der zweiten Zeile wird das Ergebnis der Addition aus dem vorherigen Absatz in die Matrix eingefügt;
• Jetzt ist der erste Koeffizient in der neuen zweiten Zeile a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Jetzt wird die gleiche Reihe von Transformationen durchgeführt, nur die erste und dritte Zeile sind betroffen. Dementsprechend wird bei jedem Schritt des Algorithmus das Element a 21 durch a 31 ersetzt. Dann wiederholt sich alles für a 41, ... a m1. Das Ergebnis ist eine Matrix, in der das erste Element in den Zeilen Null ist. Jetzt müssen Sie Zeile Nummer eins vergessen und denselben Algorithmus ab Zeile zwei ausführen:

• Koeffizient k = (-a 32 /a 22);
• die zweite geänderte Zeile wird zur „aktuellen“ Zeile hinzugefügt;
• das Ergebnis der Addition wird in die dritte, vierte usw. Zeile eingesetzt, während die erste und zweite Zeile unverändert bleiben;
• In den Zeilen der Matrix sind die ersten beiden Elemente bereits gleich Null.

Der Algorithmus muss wiederholt werden, bis der Koeffizient k = (-a m,m-1 /a mm) erscheint. Dies bedeutet, dass der Algorithmus zuletzt nur für die untere Gleichung ausgeführt wurde. Jetzt sieht die Matrix aus wie ein Dreieck oder hat eine Stufenform. Im Endeffekt gilt die Gleichung a mn × x n = b m. Der Koeffizient und der freie Term sind bekannt und die Wurzel wird durch sie ausgedrückt: x n = b m /a mn. Die resultierende Wurzel wird in die oberste Zeile eingesetzt, um x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 zu finden. Und so weiter analog: In jeder nächsten Zeile gibt es eine neue Wurzel, und wenn Sie die „Spitze“ des Systems erreicht haben, können Sie viele Lösungen finden. Es wird das Einzige sein.

Wenn es keine Lösungen gibt

Wenn in einer der Matrixzeilen alle Elemente außer dem freien Term gleich Null sind, sieht die dieser Zeile entsprechende Gleichung wie folgt aus: 0 = b. Es gibt keine Lösung. Und da eine solche Gleichung im System enthalten ist, ist die Lösungsmenge des Gesamtsystems leer, also entartet.

Wenn es unendlich viele Lösungen gibt

Es kann vorkommen, dass es in der gegebenen Dreiecksmatrix keine Zeilen mit einem Koeffizientenelement der Gleichung und einem freien Term gibt. Es gibt nur Zeilen, die umgeschrieben wie eine Gleichung mit zwei oder mehr Variablen aussehen würden. Das bedeutet, dass das System unendlich viele Lösungen hat. In diesem Fall kann die Antwort in Form einer allgemeinen Lösung gegeben werden. Wie kann man das machen?

Alle Variablen in der Matrix sind in Basisvariablen und freie Variablen unterteilt. Grundlegende sind diejenigen, die „am Rand“ der Zeilen in der Stufenmatrix stehen. Der Rest ist kostenlos. Bei der allgemeinen Lösung werden die Basisvariablen durch freie Variablen geschrieben.

Der Einfachheit halber wird die Matrix zunächst wieder in ein Gleichungssystem umgeschrieben. Dann bleibt im letzten von ihnen, wo genau nur noch eine Basisvariable übrig ist, diese auf der einen Seite, und alles andere wird auf die andere übertragen. Dies geschieht für jede Gleichung mit einer Basisvariablen. Dann wird in den übrigen Gleichungen, wo möglich, der dafür erhaltene Ausdruck anstelle der Basisvariablen eingesetzt. Ist das Ergebnis wieder ein Ausdruck, der nur eine Basisvariable enthält, wird er erneut von dort aus ausgedrückt und so weiter, bis jede Basisvariable als Ausdruck mit freien Variablen geschrieben wird. Dies ist die allgemeine Lösung von SLAE.

Sie können auch die Grundlösung des Systems finden: Geben Sie den freien Variablen beliebige Werte und berechnen Sie dann für diesen speziellen Fall die Werte der Grundvariablen. Es gibt unendlich viele spezielle Lösungen, die angegeben werden können.

Lösung mit konkreten Beispielen

Hier ist ein Gleichungssystem.

Der Einfachheit halber ist es besser, die Matrix sofort zu erstellen

Es ist bekannt, dass bei der Lösung mit der Gaußschen Methode die Gleichung, die der ersten Zeile entspricht, am Ende der Transformationen unverändert bleibt. Daher ist es rentabler, wenn das obere linke Element der Matrix das kleinste ist – dann werden die ersten Elemente der verbleibenden Zeilen nach den Operationen auf Null gesetzt. Das bedeutet, dass es in der zusammengestellten Matrix vorteilhaft ist, die zweite Zeile anstelle der ersten zu platzieren.

zweite Zeile: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

dritte Zeile: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Um nicht verwirrt zu werden, müssen Sie nun eine Matrix mit den Zwischenergebnissen der Transformationen aufschreiben.

Offensichtlich kann eine solche Matrix durch bestimmte Operationen für die Wahrnehmung komfortabler gestaltet werden. Sie können beispielsweise alle „Minuspunkte“ aus der zweiten Zeile entfernen, indem Sie jedes Element mit „-1“ multiplizieren.

Es ist auch erwähnenswert, dass in der dritten Zeile alle Elemente Vielfache von drei sind. Dann können Sie die Zeichenfolge um diese Zahl kürzen, indem Sie jedes Element mit „-1/3“ multiplizieren (Minus – gleichzeitig, um negative Werte zu entfernen).

Sieht viel schöner aus. Jetzt müssen wir die erste Zeile in Ruhe lassen und mit der zweiten und dritten arbeiten. Die Aufgabe besteht darin, die zweite Zeile zur dritten Zeile zu addieren und mit einem solchen Koeffizienten zu multiplizieren, dass das Element a 32 gleich Null wird.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (Wenn sich bei einigen Transformationen herausstellt, dass die Antwort keine ganze Zahl ist, wird empfohlen, die Genauigkeit der Berechnungen beizubehalten es „wie es ist“, in Form eines gewöhnlichen Bruchs, und erst dann, wenn die Antworten eingegangen sind, entscheiden Sie, ob gerundet und in eine andere Form der Aufzeichnung umgewandelt werden soll)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Die Matrix wird erneut mit neuen Werten geschrieben.

Wie Sie sehen, hat die resultierende Matrix bereits eine Stufenform. Daher sind keine weiteren Transformationen des Systems mit der Gaußschen Methode erforderlich. Hier können Sie den Gesamtkoeffizienten „-1/7“ aus der dritten Zeile entfernen.

Jetzt ist alles schön. Jetzt bleibt nur noch, die Matrix noch einmal in Form eines Gleichungssystems zu schreiben und die Wurzeln zu berechnen

x + 2y + 4z = 12 (1)

7 Jahre + 11 Jahre = 24 (2)

Der Algorithmus, mit dem nun die Wurzeln gefunden werden, wird in der Gaußschen Methode als Rückwärtsbewegung bezeichnet. Gleichung (3) enthält den z-Wert:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Und die erste Gleichung ermöglicht es uns, x zu finden:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) – 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Wir haben das Recht, ein solches System als „gemeinsam“ und sogar „bestimmt“ zu bezeichnen, das heißt als eine einzigartige Lösung. Die Antwort ist in folgender Form verfasst:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Ein Beispiel für ein unsicheres System

Die Variante, ein bestimmtes System mit der Gauß-Methode zu lösen, wurde analysiert; nun muss der Fall betrachtet werden, wenn das System unsicher ist, das heißt, dass unendlich viele Lösungen dafür gefunden werden können.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Das bloße Erscheinungsbild des Systems ist bereits alarmierend, da die Anzahl der Unbekannten n = 5 beträgt und der Rang der Systemmatrix bereits genau kleiner als diese Zahl ist, da die Anzahl der Zeilen m = 4 beträgt, d. Die höchste Ordnung des Determinantenquadrats ist 4. Das bedeutet, dass es unendlich viele Lösungen gibt und Sie nach ihrem allgemeinen Erscheinungsbild suchen müssen. Die Gauß-Methode für lineare Gleichungen ermöglicht Ihnen dies.

Zunächst wird wie üblich eine erweiterte Matrix erstellt.

Zweite Zeile: Koeffizient k = (-a 21 /a 11) = -3. In der dritten Zeile befindet sich das erste Element vor den Transformationen, Sie müssen also nichts anfassen, sondern es so lassen, wie es ist. Vierte Zeile: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Indem wir die Elemente der ersten Zeile nacheinander mit jedem ihrer Koeffizienten multiplizieren und sie zu den erforderlichen Zeilen addieren, erhalten wir eine Matrix der folgenden Form:

Wie Sie sehen, bestehen die zweite, dritte und vierte Reihe aus zueinander proportionalen Elementen. Die zweite und die vierte sind im Allgemeinen identisch, sodass eine davon sofort entfernt werden kann und die verbleibende mit dem Koeffizienten „-1“ multipliziert werden kann, um die Zeilennummer 3 zu erhalten. Und wiederum lassen Sie von zwei identischen Zeilen eine übrig.

Das Ergebnis ist eine Matrix wie diese. Obwohl das System noch nicht niedergeschrieben wurde, ist es hier notwendig, die Grundvariablen zu bestimmen – diejenigen, die bei den Koeffizienten a 11 = 1 und a 22 = 1 stehen, und freie – alle anderen.

In der zweiten Gleichung gibt es nur eine Grundvariable – x 2. Dies bedeutet, dass es von dort aus ausgedrückt werden kann, indem man es durch die Variablen x 3 , x 4 , x 5 schreibt, die frei sind.

Den resultierenden Ausdruck setzen wir in die erste Gleichung ein.

Das Ergebnis ist eine Gleichung, in der die einzige Grundvariable x 1 ist. Machen wir damit dasselbe wie mit x 2.

Alle Grundvariablen, von denen es zwei gibt, werden durch drei freie Variablen ausgedrückt; jetzt können wir die Antwort in allgemeiner Form schreiben.

Sie können auch eine der besonderen Lösungen des Systems angeben. Für solche Fälle werden üblicherweise Nullen als Werte für freie Variablen gewählt. Dann lautet die Antwort:

16, 23, 0, 0, 0.

Ein Beispiel für ein nicht kooperatives System

Die Lösung inkompatibler Gleichungssysteme erfolgt am schnellsten mit der Gaußschen Methode. Es endet sofort, sobald in einer der Stufen eine Gleichung erhalten wird, die keine Lösung hat. Das heißt, die Phase der Berechnung der Wurzeln, die ziemlich langwierig und mühsam ist, entfällt. Dabei kommt folgendes System in Betracht:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Wie üblich wird die Matrix zusammengestellt:

Und es wird auf eine schrittweise Form reduziert:

k 1 = -2k 2 = -4

Nach der ersten Transformation enthält die dritte Zeile eine Gleichung der Form

ohne Lösung. Folglich ist das System inkonsistent und die Antwort ist die leere Menge.

Vor- und Nachteile der Methode

Wenn Sie sich für eine Methode zum Lösen von SLAEs auf Papier mit einem Stift entscheiden, erscheint die in diesem Artikel besprochene Methode am attraktivsten. Es ist viel schwieriger, sich bei elementaren Transformationen zu verwirren, als wenn man manuell nach einer Determinante oder einer kniffligen inversen Matrix suchen muss. Wenn Sie jedoch Programme zum Arbeiten mit Daten dieser Art verwenden, beispielsweise Tabellenkalkulationen, dann stellt sich heraus, dass solche Programme bereits Algorithmen zur Berechnung der Hauptparameter von Matrizen enthalten – Determinante, Nebenparameter, Inverse usw. Und wenn Sie sicher sind, dass die Maschine diese Werte selbst berechnet und keine Fehler macht, ist es ratsamer, die Matrixmethode oder die Cramer-Formeln zu verwenden, da deren Anwendung mit der Berechnung von Determinanten und Umkehrmatrizen beginnt und endet .

Anwendung

Da es sich bei der Gaußschen Lösung um einen Algorithmus handelt und die Matrix tatsächlich ein zweidimensionales Array ist, kann sie in der Programmierung verwendet werden. Da sich der Artikel jedoch als Leitfaden „für Dummies“ positioniert, sollte gesagt werden, dass die Methode am einfachsten in Tabellenkalkulationen, beispielsweise Excel, umgesetzt werden kann. Auch hier wird jeder SLAE, der in Form einer Matrix in eine Tabelle eingegeben wird, von Excel als zweidimensionales Array betrachtet. Und für Operationen mit ihnen gibt es viele nette Befehle: Addition (man kann nur Matrizen gleicher Größe addieren!), Multiplikation mit einer Zahl, Multiplikation von Matrizen (auch mit gewissen Einschränkungen), Finden der inversen und transponierten Matrizen und, was am wichtigsten ist , Berechnung der Determinante. Wenn diese zeitaufwändige Aufgabe durch einen einzigen Befehl ersetzt wird, ist es möglich, den Rang der Matrix viel schneller zu bestimmen und somit ihre Kompatibilität oder Inkompatibilität festzustellen.