Как да намерим математическото очакване на случайна променлива. Математическото очакване е вероятностното разпределение на случайна променлива

Както вече е известно, законът за разпределение напълно характеризира случайна променлива. Въпреки това, често законът за разпределение е неизвестен и човек трябва да се ограничи до по-малко информация. Понякога дори е по-изгодно да се използват числа, които описват сумарно случайната променлива; такива номера се наричат числени характеристики на случайна променлива.Една от важните числени характеристики е математическото очакване.

Математическото очакване, както ще бъде показано по-долу, е приблизително равно на средната стойност на случайната променлива. За решаването на много задачи е достатъчно да знаете математическото очакване. Например, ако е известно, че математическото очакване на броя точки, отбелязани от първия стрелец, е по-голямо от това на втория, тогава първият стрелец средно отбелязва повече точки от втория и следователно стреля по-добре отколкото второто. Въпреки че математическото очакване предоставя много по-малко информация за случайна променлива, отколкото законът за нейното разпределение, познаването на математическото очакване е достатъчно за решаване на проблеми като горния и много други.

§ 2. Математическо очакване на дискретна случайна величина

Математическо очакванеДискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всички възможни стойности и техните вероятности.

Нека случайната променлива х може да приема само стойности х 1 , Х 2 , ..., х П , чиито вероятности са съответно равни Р 1 , Р 2 , . . ., Р П . След това математическото очакване М(х) случайна величина х се определя от равенството

М(х) = х 1 Р 1 + х 2 Р 2 + … + х н стр н .

Ако дискретна случайна променлива х тогава приема изброим набор от възможни стойности

М(х)=

Освен това, математическото очакване съществува, ако редовете от дясната страна на равенството се сближават абсолютно.

Коментирайте. От дефиницията следва, че математическото очакване на дискретна случайна променлива е неслучайна (постоянна) величина. Препоръчваме ви да запомните това твърдение, тъй като ще бъде използвано много пъти по-късно. По-късно ще бъде показано, че математическото очакване на непрекъсната случайна променлива също е постоянна стойност.

Пример 1.Намерете математическото очакване на случайна променлива х, знаейки закона за неговото разпределение:

Решение. Изискваното математическо очакване е равно на сумата от продуктите на всички възможни стойности на случайната променлива и техните вероятности:

М(х)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Пример 2.Намерете математическото очакване на броя на случванията на дадено събитие Ав един опит, ако вероятността от събитието Аравна на Р.

Решение. Случайна стойност х - брой появявания на събитието Ав един тест - може да приеме само две стойности: х 1 = 1 (събитие Асе случи) с вероятност РИ х 2 = 0 (събитие Ане се случи) с вероятност р= 1 -Р.Необходимото математическо очакване

М(х)= 1* стр+ 0* р= стр

Така, математическото очакване за броя на случванията на дадено събитие в един опит е равно на вероятността за това събитие.Този резултат ще бъде използван по-долу.

§ 3. Вероятностен смисъл на математическото очакване

Нека се произвежда Птестове, при които случайната променлива х приет T 1 пъти стойност х 1 , T 2 пъти стойност х 2 ,...,м к пъти стойност х к , и T 1 + T 2 + …+т Да се = p.След това сумата от всички взети стойности х, равна на

х 1 T 1 + х 2 T 2 + ... + х Да се T Да се .

Нека намерим средното аритметично всички стойности, приети от случайна променлива, за която разделяме намерената сума на общия брой тестове:

= (х 1 T 1 + х 2 T 2 + ... + х Да се T Да се)/P,

= х 1 (м 1 / н) + х 2 (м 2 / н) + ... + х Да се (T Да се /P). (*)

Забелязвайки, че отношението м 1 / н- относителна честота У 1 стойности х 1 , м 2 / н - относителна честота У 2 стойности х 2 и т.н., ние записваме връзката (*) така:

=х 1 У 1 + х 2 У 2 + .. . + х Да се У к . (**)

Да приемем, че броят на тестовете е доста голям. Тогава относителната честота е приблизително равна на вероятността за възникване на събитието (това ще бъде доказано в глава IX, § 6):

У 1 стр 1 , У 2 стр 2 , …, У к стр к .

Заменяйки относителните честоти със съответните вероятности във връзка (**), получаваме

х 1 стр 1 + х 2 Р 2 + … + х Да се Р Да се .

Дясната страна на това приблизително равенство е М(х). Така,

М(х).

Вероятностното значение на получения резултат е следното: математическото очакване е приблизително равно(колкото по-точно, толкова по-голям е броят на тестовете) средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива.

Забележка 1. Лесно е да се разбере, че математическото очакване е по-голямо от най-малката и по-малко от най-голямата възможна стойност. С други думи, на числовата линия възможните стойности са разположени отляво и отдясно на математическото очакване. В този смисъл математическото очакване характеризира местоположението на разпределението и затова често се нарича дистрибуционен център.

Този термин е заимстван от механиката: ако масите Р 1 , Р 2 , ..., Р Празположени в точките на абсцисата х 1 , х 2 , ..., х н, и
след това абсцисата на центъра на тежестта

х ° С =
.

Като се има предвид това
= М (х) И
получаваме М(х)= х с .

И така, математическото очакване е абсцисата на центъра на тежестта на система от материални точки, чиито абциси са равни на възможните стойности на случайната променлива, а масите са равни на техните вероятности.

Забележка 2. Произходът на термина "математическо очакване" се свързва с началния период на възникване на теорията на вероятностите (XVI - XVII век), когато обхватът на нейното приложение е ограничен до хазарта. Играчът се интересуваше от средната стойност на очакваната печалба или, с други думи, математическото очакване за печалба.

Теорията на вероятностите е специален клон на математиката, който се изучава само от студенти от висши учебни заведения. Харесвате ли изчисления и формули? Не ви ли плашат перспективите да се запознаете с нормалното разпределение, ансамбълната ентропия, математическото очакване и дисперсията на дискретна случайна променлива? Тогава тази тема ще ви бъде много интересна. Нека се запознаем с няколко от най-важните основни понятия на този клон на науката.

Нека си припомним основите

Дори ако си спомняте най-простите концепции на теорията на вероятностите, не пренебрегвайте първите параграфи на статията. Въпросът е, че без ясно разбиране на основите, няма да можете да работите с формулите, разгледани по-долу.

И така, случва се някакво случайно събитие, някакъв експеримент. В резултат на действията, които предприемаме, можем да получим няколко резултата – някои от тях се случват по-често, други по-рядко. Вероятността за събитие е съотношението на броя на действително получените резултати от един вид към общия брой възможни. Само като знаете класическата дефиниция на това понятие, можете да започнете да изучавате математическото очакване и дисперсията на непрекъснати случайни променливи.

Средно аритметично

Още в училище по време на часовете по математика сте започнали да работите със средноаритметичното. Тази концепция се използва широко в теорията на вероятностите и следователно не може да бъде пренебрегната. Основното за нас в момента е, че ще го срещнем във формулите за математическото очакване и дисперсията на случайна величина.

Имаме поредица от числа и искаме да намерим средното аритметично. Всичко, което се изисква от нас, е да сумираме всичко налично и да разделим на броя на елементите в редицата. Нека имаме числа от 1 до 9. Сумата от елементите ще бъде равна на 45 и ще разделим тази стойност на 9. Отговор: - 5.

дисперсия

От научна гледна точка дисперсията е средният квадрат на отклоненията на получените характеристични стойности от средната аритметична стойност. Означава се с една главна латинска буква D. Какво е необходимо за изчисляването му? За всеки елемент от редицата изчисляваме разликата между съществуващото число и средното аритметично и го повдигаме на квадрат. Ще има точно толкова стойности, колкото могат да бъдат резултатите за събитието, което обмисляме. След това сумираме всичко получено и разделяме на броя на елементите в последователността. Ако имаме пет възможни резултата, тогава разделете на пет.

Дисперсията също има свойства, които трябва да се запомнят, за да се използват при решаване на проблеми. Например, когато случайна променлива се увеличава с X пъти, дисперсията се увеличава с X пъти на квадрат (т.е. X*X). Той никога не е по-малък от нула и не зависи от изместването на стойностите нагоре или надолу с равни количества. Освен това, за независими опити, дисперсията на сумата е равна на сумата от дисперсиите.

Сега определено трябва да разгледаме примери за дисперсията на дискретна случайна променлива и математическото очакване.

Да кажем, че сме провели 21 експеримента и сме получили 7 различни резултата. Наблюдавахме всеки от тях съответно 1, 2, 2, 3, 4, 4 и 5 пъти. На какво ще бъде равна дисперсията?

Първо, нека изчислим средното аритметично: сборът на елементите, разбира се, е 21. Разделете го на 7, получавайки 3. Сега извадете 3 от всяко число в оригиналната последователност, повдигнете на квадрат всяка стойност и добавете резултатите заедно. Резултатът е 12. Сега всичко, което трябва да направим, е да разделим числото на броя на елементите и, изглежда, това е всичко. Но има една уловка! Нека го обсъдим.

Зависимост от броя на експериментите

Оказва се, че когато се изчислява дисперсията, знаменателят може да съдържа едно от две числа: N или N-1. Тук N е броят на извършените експерименти или броят на елементите в последователността (което по същество е едно и също нещо). От какво зависи това?

Ако броят на тестовете се измерва в стотици, тогава трябва да поставим N в знаменателя, ако в единици, тогава N-1. Учените решиха да начертаят границата съвсем символично: днес тя минава през числото 30. Ако сме провели по-малко от 30 експеримента, тогава ще разделим сумата на N-1, а ако повече, тогава на N.

Задача

Нека се върнем към нашия пример за решаване на проблема с дисперсията и математическото очакване. Получихме междинно число 12, което трябваше да бъде разделено на N или N-1. Тъй като проведохме 21 експеримента, което е по-малко от 30, ще изберем втория вариант. Така че отговорът е: дисперсията е 12/2 = 2.

Очаквана стойност

Нека да преминем към втората концепция, която трябва да разгледаме в тази статия. Математическото очакване е резултат от събиране на всички възможни резултати, умножени по съответните вероятности. Важно е да се разбере, че получената стойност, както и резултатът от изчисляването на дисперсията, се получават само веднъж за целия проблем, без значение колко резултата се разглеждат в него.

Формулата за математическото очакване е съвсем проста: вземаме резултата, умножаваме го по неговата вероятност, добавяме същото за втория, третия резултат и т.н. Всичко, свързано с тази концепция, не е трудно за изчисляване. Например сумата от очакваните стойности е равна на очакваната стойност на сумата. Същото важи и за работата. Не всяко количество в теорията на вероятностите ви позволява да извършвате такива прости операции. Нека вземем задачата и изчислим значението на две понятия, които сме изучавали едновременно. Освен това бяхме разсеяни от теория - време е за практика.

Още един пример

Проведохме 50 опита и получихме 10 вида резултати - числа от 0 до 9 - появяващи се в различни проценти. Това са съответно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Припомнете си, че за да получите вероятности, трябва да разделите процентните стойности на 100. Така получаваме 0,02; 0,1 и т.н. Нека представим пример за решаване на задачата за дисперсията на случайна променлива и математическото очакване.

Изчисляваме средното аритметично по формулата, която помним от началното училище: 50/10 = 5.

Сега нека преобразуваме вероятностите в броя на резултатите „на парчета“, за да улесним преброяването. Получаваме 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 и 9. От всяка получена стойност изваждаме средноаритметичното, след което повдигаме на квадрат всеки от получените резултати. Вижте как да направите това, като използвате първия елемент като пример: 1 - 5 = (-4). Следва: (-4) * (-4) = 16. За други стойности направете тези операции сами. Ако сте направили всичко правилно, след като ги съберете, ще получите 90.

Нека продължим да изчисляваме дисперсията и очакваната стойност, като разделим 90 на N. Защо избираме N вместо N-1? Правилно, защото броят на извършените експерименти надхвърля 30. И така: 90/10 = 9. Получихме дисперсията. Ако получите различен номер, не се отчайвайте. Най-вероятно сте направили проста грешка в изчисленията. Проверете добре какво сте написали и може би всичко ще си дойде на мястото.

И накрая, запомнете формулата за математическото очакване. Няма да дадем всички изчисления, а само ще напишем отговор, който можете да проверите, след като изпълните всички необходими процедури. Очакваната стойност ще бъде 5,48. Нека само да си припомним как да извършваме операции, като използваме първите елементи като пример: 0*0.02 + 1*0.1... и т.н. Както можете да видите, ние просто умножаваме стойността на резултата по неговата вероятност.

отклонение

Друга концепция, тясно свързана с дисперсията и математическото очакване, е стандартното отклонение. Обозначава се или с латинските букви sd, или с гръцката малка буква "сигма". Тази концепция показва колко средно стойностите се отклоняват от централната характеристика. За да намерите стойността му, трябва да изчислите корен квадратен от дисперсията.

Ако начертаете графика на нормално разпределение и искате да видите отклонението на квадрат директно върху нея, това може да стане на няколко етапа. Вземете половината от изображението отляво или отдясно на режима (централна стойност), начертайте перпендикуляр на хоризонталната ос, така че площите на получените фигури да са равни. Размерът на сегмента между средата на разпределението и получената проекция върху хоризонталната ос ще представлява стандартното отклонение.

Софтуер

Както се вижда от описанията на формулите и представените примери, изчисляването на дисперсията и математическото очакване не е най-простата процедура от аритметична гледна точка. За да не губите време, има смисъл да използвате програмата, използвана във висшите учебни заведения - тя се нарича „R“. Той има функции, които ви позволяват да изчислявате стойности за много понятия от статистиката и теорията на вероятностите.

Например, задавате вектор от стойности. Това става по следния начин: вектор<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Накрая

Дисперсията и математическото очакване са тези, без които е трудно да се изчисли нещо в бъдещето. В основния курс на лекциите в университетите те се обсъждат още в първите месеци на изучаване на предмета. Именно поради неразбирането на тези прости понятия и невъзможността да ги изчислят, много студенти веднага започват да изостават в програмата и по-късно получават лоши оценки в края на сесията, което ги лишава от стипендия.

Практикувайте поне една седмица, половин час на ден, решавайки задачи, подобни на представените в тази статия. След това, на всеки тест по теория на вероятностите, ще можете да се справите с примерите без странични съвети и измамни листове.

Концепцията за математическото очакване може да се разгледа с помощта на примера за хвърляне на зар. При всяко хвърляне се записват изпуснатите точки. За изразяването им се използват естествени стойности в диапазона 1 – 6.

След определен брой хвърляния, като използвате прости изчисления, можете да намерите средното аритметично на хвърлените точки.

Точно като появата на някоя от стойностите в диапазона, тази стойност ще бъде произволна.

Ами ако увеличите броя на хвърлянията няколко пъти? При голям брой хвърляния средната аритметична стойност на точките ще се доближи до определено число, което в теорията на вероятностите се нарича математическо очакване.

И така, под математическо очакване имаме предвид средната стойност на случайна променлива. Този показател може да бъде представен и като претеглена сума от вероятни стойности.

Тази концепция има няколко синонима:

• средна стойност;
• средна стойност;
• индикатор за централна тенденция;
• първи момент.

С други думи, това не е нищо повече от число, около което се разпределят стойностите на случайна променлива.

В различните сфери на човешката дейност подходите за разбиране на математическото очакване ще бъдат малко по-различни.

Може да се разглежда като:

• средната полза, получена от вземането на решение, когато такова решение се разглежда от гледна точка на теорията за големите числа;
• възможната сума на печалба или загуба (теория на хазарта), изчислена средно за всеки залог. На жаргон те звучат като „предимство на играча“ (положително за играча) или „предимство на казиното“ (отрицателно за играча);
• процент от печалбата, получена от печалби.

Очакването не е задължително за абсолютно всички случайни величини. Липсва при тези, които имат несъответствие в съответния сбор или интеграл.

Свойства на математическото очакване

Като всеки статистически параметър, математическото очакване има следните свойства:

Основни формули за математическо очакване

Изчисляването на математическото очакване може да се извърши както за случайни променливи, характеризиращи се както с непрекъснатост (формула A), така и с дискретност (формула B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, където xi са стойностите на случайната променлива, pi са вероятностите:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, където f(x) е дадената плътност на вероятността.

Примери за изчисляване на математическото очакване

Пример А.

Възможно ли е да разберете средния ръст на джуджетата в приказката за Снежанка. Известно е, че всяко от 7-те джуджета има определена височина: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 и 0,81м.

Алгоритъмът за изчисление е доста прост:

• намираме сумата от всички стойности на индикатора за растеж (случайна променлива):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Разделете получената сума на броя на гномите:
  6,31:7=0,90.

Така средният ръст на гномите в приказките е 90 см. С други думи, това е математическото очакване на растежа на гномите.

Работна формула - M(x)=4 0.2+6 0.3+10 0.5=6

Практическа реализация на математическото очакване

Към изчисляването на статистическия показател на математическото очакване се прибягва в различни области на практическата дейност. На първо място, говорим за търговската сфера. В края на краищата въвеждането на този показател от Хюйгенс е свързано с определянето на шансовете, които могат да бъдат благоприятни или, напротив, неблагоприятни за дадено събитие.

Този параметър се използва широко за оценка на рисковете, особено когато става въпрос за финансови инвестиции.
По този начин в бизнеса изчисляването на математическото очакване действа като метод за оценка на риска при изчисляване на цените.

Този показател може да се използва и за изчисляване на ефективността на определени мерки, например защита на труда. Благодарение на него можете да изчислите вероятността за настъпване на събитие.

Друга област на приложение на този параметър е управлението. Може да се изчисли и по време на контрола на качеството на продукта. Например, с помощта на мат. очаквания, можете да изчислите възможния брой произведени дефектни части.

Математическото очакване се оказва незаменимо и при извършване на статистическа обработка на резултатите, получени при научни изследвания. Позволява ви да изчислите вероятността за желан или нежелан резултат от експеримент или изследване в зависимост от нивото на постигане на целта. В края на краищата постигането му може да бъде свързано с печалба и полза, а провалът му може да бъде свързан със загуба или загуба.

Използване на математически очаквания във Форекс

Практическото приложение на този статистически параметър е възможно при извършване на сделки на валутния пазар. С негова помощ можете да анализирате успеха на търговските транзакции. Освен това увеличаването на очакваната стойност показва увеличение на техния успех.

Също така е важно да запомните, че математическото очакване не трябва да се разглежда като единственият статистически параметър, използван за анализиране на представянето на търговеца. Използването на няколко статистически параметъра заедно със средната стойност повишава значително точността на анализа.

Този параметър се е доказал добре при наблюдението на търговските сметки. Благодарение на него се извършва бърза оценка на извършената работа по депозитната сметка. В случаите, когато дейността на търговеца е успешна и той избягва загуби, не се препоръчва да се използва само изчислението на математическото очакване. В тези случаи рисковете не се вземат предвид, което намалява ефективността на анализа.

Проведените проучвания на тактиките на търговците показват, че:

• Най-ефективните тактики са тези, базирани на случайно влизане;
• Най-малко ефективни са тактиките, базирани на структурирани входове.

Също толкова важно за постигане на положителни резултати:

• тактики за управление на парите;
• стратегии за изход.

Използвайки такъв индикатор като математическото очакване, можете да предвидите каква ще бъде печалбата или загубата, когато инвестирате 1 долар. Известно е, че този показател, изчислен за всички игри, практикувани в казиното, е в полза на заведението. Това е, което ви позволява да правите пари. В случай на дълга серия от игри, вероятността клиентът да загуби пари се увеличава значително.

Игрите, играни от професионални играчи, са ограничени до кратки периоди от време, което увеличава вероятността за печалба и намалява риска от загуба. Същият модел се наблюдава при извършване на инвестиционни операции.

Инвеститорът може да спечели значителна сума, като има положителни очаквания и извършва голям брой транзакции за кратък период от време.

Очакването може да се разглежда като разликата между процента печалба (PW), умножен по средната печалба (AW) и вероятността от загуба (PL), умножена по средната загуба (AL).

Като пример можем да разгледаме следното: позиция – 12,5 хил. долара, портфейл – 100 хил. долара, депозитен риск – 1%. Доходността на транзакциите е 40% от случаите със средна печалба от 20%. При загуба средната загуба е 5%. Изчисляването на математическото очакване за транзакцията дава стойност от $625.

X -4 6 10
р 0,2 0,3 0,5

Решение: Математическото очакване е равно на сумата от продуктите на всички възможни стойности на X и техните вероятности:

M (X) = 4*0,2 + 6*0,3 +10*0,5 = 6.

Пример за самостоятелно решаване (може да използвате калкулатор).
Намерете математическото очакване на дискретна случайна променлива X, определена от закона за разпределение:

X 0,21 0,54 0,61
р 0,1 0,5 0,4

Математическото очакване има следните свойства.

Свойство 1. Математическото очакване на постоянна стойност е равно на самата константа: M(C)=C.

Свойство 2. Константният множител може да се изведе като знак на математическото очакване: M(CX)=CM(X).

Свойство 3. Математическото очакване на произведението на взаимно независими случайни величини е равно на произведението на математическите очаквания на факторите: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*M (Xn)

Свойство 4. Математическото очакване на сумата от случайните променливи е равно на сумата от математическите очаквания на членовете: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn).

Задача 189. Намерете математическото очакване на случайната величина Z, ако са известни математическите очаквания на X и Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

Решение: Използвайки свойствата на математическото очакване (математическото очакване на сумата е равно на сумата от математическите очаквания на членовете; постоянният фактор може да бъде изваден от знака на математическото очакване), получаваме M(Z )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. Използвайки свойствата на математическото очакване, докажете, че: а) M(X - Y) = M(X) - M (Y); б) математическото очакване на отклонението X-M(X) е равно на нула.

191. Дискретна случайна променлива X приема три възможни стойности: x1= 4 С вероятност p1 = 0,5; xЗ = 6 С вероятност P2 = 0.3 и x3 с вероятност p3. Намерете: x3 и p3, знаейки, че M(X)=8.

192. Даден е списък с възможни стойности на дискретна случайна променлива X: x1 = -1, x2 = 0, x3= 1; известни са и математическите очаквания на тази стойност и нейния квадрат: M(X) = 0,1 , M(X^2) = 0,9. Намерете вероятностите p1, p2, p3, съответстващи на възможните стойности на xi

194. Партида от 10 части съдържа три нестандартни части. Две части бяха избрани на случаен принцип. Намерете математическото очакване на дискретна случайна променлива X - броят на нестандартните части сред две избрани.

196. Намерете математическото очакване на дискретна случайна променлива X-число на такива хвърляния на пет зара, във всяко от които ще се появи една точка на два зара, ако общият брой на хвърлянията е двадесет.

– броят на момчетата на 10 новородени.

Абсолютно ясно е, че това число не е известно предварително и следващите десет родени деца може да включват:

Или момчета - един и единственот изброените опции.

И за да поддържате форма, малко физическо възпитание:

– дълъг скок (в някои единици).

Дори майстор на спорта не може да го предвиди :)

Вашите хипотези обаче?

2) Непрекъсната случайна променлива – приема всичкочислени стойности от някакъв краен или безкраен интервал.

Забележка : съкращенията DSV и NSV са популярни в учебната литература

Първо, нека анализираме дискретната случайна променлива, след това - непрекъснато.

Закон за разпределение на дискретна случайна величина

- Това кореспонденциямежду възможните стойности на това количество и техните вероятности. Най-често законът е написан в таблица:

Терминът се среща доста често ред разпространение, но в някои ситуации звучи двусмислено и затова ще се придържам към "закона".

И сега много важен момент: тъй като случайната променлива Задължителноще приеме една от ценностите, тогава се формират съответните събития пълна групаи сумата от вероятностите за тяхното възникване е равна на единица:

или, ако е написано съкратено:

Така, например, законът за разпределение на вероятността на точките, хвърлени на зара, има следната форма:

Без коментари.

Може да останете с впечатлението, че дискретна случайна променлива може да приема само „добри“ цели числа. Нека разсеем илюзията - те могат да бъдат всякакви:

Пример 1

Някои игри имат следния печеливш закон за разпределение:

...сигурно отдавна си мечтаете за такива задачи :) Ще ви издам една тайна - аз също. Особено след приключване на работата по теория на полето.

Решение: тъй като една случайна променлива може да приеме само една от трите стойности, се формират съответните събития пълна група, което означава, че сумата от техните вероятности е равна на едно:

Разобличаване на „партизанина”:

– по този начин вероятността да спечелите конвенционални единици е 0,4.

Контрол: това е, което трябваше да се уверим.

Отговор:

Не е необичайно, когато трябва сами да съставите закон за разпределение. За това те използват класическо определение на вероятността, теореми за умножение/събиране за вероятности за събитияи други чипове тервера:

Пример 2

Кутията съдържа 50 лотарийни билета, сред които 12 са печеливши, като 2 от тях печелят по 1000 рубли, а останалите - по 100 рубли. Съставете закон за разпределение на случайна величина - размера на печалбата, ако един билет е изтеглен на случаен принцип от кутията.

Решение: както забелязахте, стойностите на случайна променлива обикновено се поставят в във възходящ ред. Затова започваме с най-малките печалби, а именно рубли.

Общо има 50 такива билета - 12 = 38, а съгл класическа дефиниция:
– вероятността произволно изтеглен билет да бъде губещ.

В други случаи всичко е просто. Вероятността да спечелите рубли е:

Проверка: – и това е особено приятен момент от такива задачи!

Отговор: желания закон за разпределение на печалбите:

Следната задача трябва да решите сами:

Пример 3

Вероятността стрелецът да уцели целта е . Начертайте закон за разпределение на случайна променлива - брой попадения след 2 изстрела.

...Знаех си, че ти липсва :) Да си припомним теореми за умножение и събиране. Решението и отговорът са в края на урока.

Законът за разпределение напълно описва случайна променлива, но на практика може да бъде полезно (а понякога и по-полезно) да знаете само част от нея числови характеристики .

Очакване на дискретна случайна променлива

С прости думи, това е средна очаквана стойносткогато тестването се повтаря многократно. Нека случайната променлива приема стойности с вероятности съответно. Тогава математическото очакване на тази случайна променлива е равно на сбор от продуктитевсички негови стойности към съответните вероятности:

или свито:

Нека изчислим, например, математическото очакване на случайна променлива - броя точки, хвърлени на зара:

Сега нека си припомним нашата хипотетична игра:

Възниква въпросът: изгодно ли е изобщо да играете тази игра? ...кой има впечатления? Така че не можете да го кажете „на ръце“! Но на този въпрос може лесно да се отговори чрез изчисляване на математическото очакване, по същество - среднопретеглена стойностпо вероятност за печалба:

По този начин, математическото очакване на тази игра губещ.

Не вярвайте на впечатленията си - вярвайте на числата!

Да, тук можете да спечелите 10 и дори 20-30 пъти подред, но в дългосрочен план ще сме изправени пред неизбежна гибел. И не бих те посъветвал да играеш такива игри :) Е, може би само за забавление.

От всичко по-горе следва, че математическото очакване вече не е СЛУЧАЙНА стойност.

Творческа задача за самостоятелно изследване:

Пример 4

Г-н X играе европейска рулетка по следната система: той постоянно залага 100 рубли на „червено“. Съставете закон за разпределение на случайна променлива - нейните печалби. Изчислете математическото очакване на печалбите и го закръглете до най-близката копейка. Колко средно аритметичноИграчът губи ли за всеки сто, който е заложил?

справка : Европейската рулетка съдържа 18 червени, 18 черни и 1 зелен сектор („нула“). Ако се появи „червено“, на играча се изплаща двоен залог, в противен случай той отива към приходите на казиното

Има много други системи за рулетка, за които можете да създадете свои собствени вероятностни таблици. Но това е случаят, когато не се нуждаем от закони за разпределение и таблици, защото е установено със сигурност, че математическото очакване на играча ще бъде точно същото. Единственото нещо, което се променя от система на система е