Формула за обем на правилна пирамида. Формули за обем на правилна триъгълна пирамида. Примери за решаване на проблеми

Определение. Страничен ръб- това е триъгълник, в който единият ъгъл лежи на върха на пирамидата, а противоположната страна съвпада със страната на основата (многоъгълник).

Определение. Странични ребра- това са общите страни на страничните лица. Една пирамида има толкова ръбове, колкото са ъглите на многоъгълник.

Определение. Височина на пирамидата- това е перпендикуляр, спуснат от върха към основата на пирамидата.

Определение. апотема- това е перпендикуляр към страничната повърхност на пирамидата, спуснат от върха на пирамидата към страната на основата.

Определение. Диагонално сечение- това е сечение на пирамида от равнина, минаваща през върха на пирамидата и диагонала на основата.

Определение. Правилна пирамидае пирамида, в която основата е правилен многоъгълник, а височината се спуска към центъра на основата.

Обем и повърхност на пирамидата

Формула. Обем на пирамидатапрез основна площ и височина:

Свойства на пирамидата

Ако всички странични ръбове са равни, тогава около основата на пирамидата може да се начертае кръг, а центърът на основата съвпада с центъра на кръга. Също така, перпендикуляр, пуснат от върха, минава през центъра на основата (кръг).

Ако всички странични ръбове са равни, тогава те са наклонени към равнината на основата под същите ъгли.

Страничните ръбове са равни, когато образуват равни ъгли с равнината на основата или ако може да се опише окръжност около основата на пирамидата.

Ако страничните стени са наклонени към равнината на основата под същия ъгъл, тогава в основата на пирамидата може да се впише кръг, а върхът на пирамидата се проектира в нейния център.

Ако страничните лица са наклонени към равнината на основата под същия ъгъл, тогава апотемите на страничните лица са равни.

Свойства на правилната пирамида

1. Върхът на пирамидата е на еднакво разстояние от всички ъгли на основата.

2. Всички странични ръбове са равни.

3. Всички странични ребра са наклонени под еднакъв ъгъл спрямо основата.

4. Апотемите на всички странични лица са равни.

5. Площите на всички странични лица са равни.

6. Всички лица имат еднакви двустенни (плоски) ъгли.

7. Около пирамидата може да се опише сфера. Центърът на описаната сфера ще бъде пресечната точка на перпендикулярите, които минават през средата на ръбовете.

8. Можете да поставите сфера в пирамида. Центърът на вписаната сфера ще бъде точката на пресичане на ъглополовящите, излизащи от ъгъла между ръба и основата.

9. Ако центърът на вписаната сфера съвпада с центъра на описаната сфера, тогава сумата от равнинните ъгли при върха е равна на π или обратно, един ъгъл е равен на π/n, където n е числото на ъглите в основата на пирамидата.

Връзката между пирамидата и сферата

Сфера може да бъде описана около пирамида, когато в основата на пирамидата има многостен, около който може да се опише окръжност (необходимо и достатъчно условие). Центърът на сферата ще бъде пресечната точка на равнини, минаващи перпендикулярно през средните точки на страничните ръбове на пирамидата.

Винаги е възможно да се опише сфера около всяка триъгълна или правилна пирамида.

Сфера може да бъде вписана в пирамида, ако симетралните равнини на вътрешните двустенни ъгли на пирамидата се пресичат в една точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще бъде центърът на сферата.

Свързване на пирамида с конус

Конусът се нарича вписан в пирамида, ако върховете им съвпадат и основата на конуса е вписана в основата на пирамидата.

В пирамида може да се впише конус, ако апотемите на пирамидата са равни една на друга.

Конусът се нарича описан около пирамида, ако върховете им съвпадат и основата на конуса е описана около основата на пирамидата.

Може да се опише конус около пирамида, ако всички странични ръбове на пирамидата са еднакви.

Връзка между пирамида и цилиндър

Пирамидата се нарича вписана в цилиндър, ако върхът на пирамидата лежи върху една основа на цилиндъра, а основата на пирамидата е вписана в друга основа на цилиндъра.

Може да се опише цилиндър около пирамида, ако може да се опише окръжност около основата на пирамидата.

Тетраедърът има четири лица и четири върха и шест ръба, където всеки два ръба нямат общи върхове, но не се докосват.

Всеки връх се състои от три лица и ръбове, които се образуват триъгълен ъгъл.

Сегментът, свързващ върха на тетраедър с центъра на срещуположното лице, се нарича медиана на тетраедъра(GM).

Бимедианнарича сегмент, свързващ средните точки на противоположни ръбове, които не се допират (KL).

Всички бимедиани и медиани на тетраедър се пресичат в една точка (S). В този случай бимедианите се делят наполовина, а медианите се делят в съотношение 3:1, като се започне от върха.

Определение. Остроъгълна пирамида- пирамида, в която апотемата е повече от половината от дължината на страната на основата.

Определение. Тъпа пирамида- пирамида, в която апотемата е по-малка от половината от дължината на страната на основата.

Определение. Правилен тетраедър- тетраедър, в който и четирите лица са равностранни триъгълници. Той е един от петте правилни многоъгълника. В правилния тетраедър всички двустенни ъгли (между лицата) и тристенни ъгли (във върха) са равни.

Определение. Правоъгълен тетраедърсе нарича тетраедър, в който има прав ъгъл между три ръба на върха (ръбовете са перпендикулярни). Оформят се три лица правоъгълен триъгълен ъгъли лицата са правоъгълни триъгълници, а основата е произволен триъгълник. Апотемата на всяко лице е равна на половината от страната на основата, върху която пада апотемата.

Определение. Изоедърен тетраедърсе нарича тетраедър, чиито странични лица са равни една на друга, а основата е правилен триъгълник. Такъв тетраедър има лица, които са равнобедрени триъгълници.

Определение. Ортоцентричен тетраедърсе нарича тетраедър, в който всички височини (перпендикуляри), които са спуснати от върха към противоположното лице, се пресичат в една точка.

Определение. Звездна пирамиданаречен полиедър, чиято основа е звезда.

Теорема.

Обемът на пирамидата е равен на една трета от произведението на площта на основата и височината.

Доказателство:

1. Помислете за триъгълна пирамидаOABCс обем V, оснСи височина ч. Нека начертаем оста о (OM2- височина), помислете за секциятаA1 B1 C1пирамида с равнина, перпендикулярна на остаои следователно успоредна на равнината на основата. Нека означим схточка на абсцисата М1 пресечна точка на тази равнина с оста x и презС(х)- площ на напречното сечение. Да изразим С(х)през С, чИ х. Обърнете внимание, че триъгълници A1 IN1 СЪС1 И ABC са подобни. Наистина А1 IN1 II AB, значи триъгълник OA 1 IN 1 подобен на триъгълник OAB. СЪССледователно, А1 IN1 : АB= OA 1: OA .

Прави триъгълници OA 1 IN 1 и OAV също са подобни (имат общ остър ъгъл с върха O). Следователно ОА 1: ОА = О 1 М1 : OM = x: ч. По този начинА 1 IN 1 : A B = x: ч.По същия начин е доказано, чеB1 C1:слънце = Х: чИ A1 C1:AC =Х: ч.И така, триъгълникA1 B1 C1И ABCподобни с коефициент на подобиеХ: ч.Следователно S(x): S = (x: з)² или S(x) = S x²/ ч².

Нека сега приложим основната формула за изчисляване на обемите на телата приа= 0, b =чполучаваме

Така обемът на оригиналната пирамида е 1/3Sh. Теоремата е доказана.

Последица:

Обем V на пресечена пирамида, чиято височина е h и чиито основни площи са S и S1 , се изчисляват по формулата

h - височина на пирамидата

Спри се

- площ на горната основа

S по-ниско - площ на долната основа

Думата "пирамида" неволно се свързва с величествените гиганти в Египет, които вярно пазят мира на фараоните. Може би затова всички, дори децата, разпознават безпогрешно пирамидата.

Въпреки това, нека се опитаме да му дадем геометрична дефиниция. Нека си представим няколко точки от равнината (A1, A2,..., An) и още една (E), която не й принадлежи. Така че, ако точка E (връх) е свързана с върховете на многоъгълника, образуван от точки A1, A2,..., An (основа), получавате полиедър, който се нарича пирамида. Очевидно многоъгълникът в основата на пирамидата може да има произволен брой върхове и в зависимост от техния брой пирамидата може да се нарече триъгълна, четириъгълна, петоъгълна и т.н.

Ако се вгледате внимателно в пирамидата, ще стане ясно защо тя се определя и по друг начин - като геометрична фигура с многоъгълник в основата си и триъгълници, обединени от общ връх като странични лица.

Тъй като пирамидата е пространствена фигура, тя има и следната количествена характеристика, изчислена от добре познатата равна трета от произведението на основата на пирамидата и нейната височина:

При извеждането на формулата обемът на пирамидата първоначално се изчислява за триъгълна, като се взема за основа постоянно съотношение, свързващо тази стойност с обема на триъгълна призма със същата основа и височина, което, както се оказва, е три пъти този обем.

Отделно от всички пирамиди са правилните, които имат в основата си. Що се отнася до, тя трябва да "завършва" в центъра на основата.

В случай на неправилен многоъгълник в основата, за да изчислите площта на основата, ще ви трябва:

• разбийте го на триъгълници и квадрати;

• изчислете площта на всеки от тях;

• сумирайте получените данни.

В случай на правилен многоъгълник в основата на пирамидата, неговата площ се изчислява с помощта на готови формули, така че обемът на правилната пирамида се изчислява доста просто.

Например, за да се изчисли обемът на четириъгълна пирамида, ако тя е правилна, дължината на страната на правилен четириъгълник (квадрат) в основата се повдига на квадрат и, умножена по височината на пирамидата, полученият продукт се разделя на три.

Обемът на пирамидата може да се изчисли с други параметри:

• като една трета от произведението на радиуса на топка, вписана в пирамида, и нейната обща повърхност;

• като две трети от произведението на разстоянието между два произволно избрани пресичащи се ръба и площта на успоредника, който образува средните точки на останалите четири ръба.

Обемът на пирамидата се изчислява просто в случай, че нейната височина съвпада с един от страничните ръбове, тоест в случай на правоъгълна пирамида.

Говорейки за пирамиди, не можем да пренебрегнем пресечените пирамиди, получени чрез разрязване на пирамидата с равнина, успоредна на основата. Техният обем е почти равен на разликата между обемите на цялата пирамида и отрязания връх.

Демокрит пръв намира обема на пирамидата, макар и не точно в съвременния й вид, а равен на 1/3 от обема на известната ни призма. Архимед нарича своя метод на изчисление „без доказателство“, тъй като Демокрит разглежда пирамидата като фигура, съставена от безкрайно тънки подобни плочи.

Векторната алгебра също „разглежда“ въпроса за намиране на обема на пирамида, използвайки координатите на нейните върхове. Пирамида, изградена върху тройка от вектори a, b, c, е равна на една шеста от модула на смесеното произведение на дадени вектори.

Назад напред

внимание! Визуализациите на слайдовете са само за информационни цели и може да не представят всички функции на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Цели на урока.

Образователни: Изведете формула за изчисляване на обема на пирамида

Развитие: да развие познавателния интерес на учениците към академичните дисциплини, способността да прилагат знанията си на практика.

Образователни: култивирайте вниманието, точността, разширявайте хоризонтите на учениците.

Оборудване и материали: компютър, екран, проектор, презентация „Обем на пирамидата“.

1. Фронтално проучване. Слайдове 2, 3

Какво се нарича пирамида, основа на пирамидата, ребра, височина, ос, апотема. Коя пирамида се нарича правилна, тетраедърна, пресечена пирамида?

Пирамидата е многостен, състоящ се от плоскост многоъгълник, точки, не лежи в равнината на този многоъгълник и всички сегменти, свързваща тази точка с точките на многоъгълника.

Тази точкаНаречен Горна частпирамиди, а плосък многоъгълник е основата на пирамидата. Сегментисвързващи върха на пирамидата с върховете на основата се наричат ребра . Височинапирамиди - перпендикулярен, спусната от върха на пирамидата до равнината на основата. апотема - височина на страничния ръбправилна пирамида. Пирамидата, която в основатае вярно n-ъгълник, А височина основасъвпада с център на основатаНаречен правилно n-ъгълна пирамида. ос на правилна пирамида е линията, съдържаща нейната височина. Правилната триъгълна пирамида се нарича тетраедър. Ако пирамидата се пресече от равнина, успоредна на равнината на основата, тогава тя ще отреже пирамидата, подобендадено. Останалата част се нарича пресечена пирамида.

2. Извеждане на формулата за изчисляване на обема на пирамидата V=SH/3 Слайдове 4, 5, 6

1. Нека SABC е триъгълна пирамида с връх S и основа ABC.

2. Нека добавим тази пирамида към триъгълна призма със същата основа и височина.

3. Тази призма е съставена от три пирамиди:

1) от тази SABC пирамида.

2) пирамиди SCC 1 B 1.

3) и пирамиди SCBB 1.

4. Втората и третата пирамида имат равни основи CC 1 B 1 и B 1 BC и обща височина, прекарана от върха S до лицето на успоредника BB 1 C 1 C. Следователно те имат равни обеми.

5. Първата и третата пирамида също имат равни основи SAB и BB 1 S и съвпадащи височини, прекарани от върха C към лицето на успоредника ABB 1 S. Следователно те също имат равни обеми.

Това означава, че и трите пирамиди имат еднакъв обем. Тъй като сборът от тези обеми е равен на обема на призмата, обемите на пирамидите са равни на SH/3.

Обемът на всяка триъгълна пирамида е равен на една трета от произведението на площта на основата и височината.

3. Затвърдяване на нов материал. Решение на упражнения.

1) Задача № 33 от учебника на А.Н. Погорелова. Слайдове 7, 8, 9

От страната на основата? и страничен ръб b, намерете обема на правилна пирамида, чиято основа е:

1) триъгълник,

2) четириъгълник,

3) шестоъгълник.

В правилната пирамида височината минава през центъра на окръжност, описана около основата. Тогава: (Приложение)

4. Исторически сведения за пирамидите. Слайдове 15, 16, 17

Първият от нашите съвременници, който установи редица необичайни явления, свързани с пирамидата, беше френският учен Антоан Бови. Докато изследва Хеопсовата пирамида през 30-те години на ХХ век, той открива, че телата на малки животни, случайно попаднали в царската стая, са мумифицирани. Бови си обясни причината за това с формата на пирамида и, както се оказа, не сбърка. Неговите трудове са в основата на съвременните изследвания, в резултат на които през последните 20 години се появиха много книги и публикации, потвърждаващи, че енергията на пирамидите може да има практическо значение.

Мистерията на пирамидите

Някои изследователи твърдят, че пирамидата съдържа огромно количество информация за структурата на Вселената, Слънчевата система и човека, кодирана в нейната геометрична форма или по-точно във формата на октаедър, половината от който представлява пирамидата. Пирамидата с върха нагоре символизира живота, с върха надолу – смъртта, другия свят. Също като компонентите на Звездата на Давид (Magen David), където триъгълникът, насочен нагоре, символизира изкачването към Висшия разум, Бог, а триъгълникът с върха надолу символизира слизането на душата на Земята, материалното съществуване...

Цифровата стойност на кода, с който е шифрована информацията за Вселената в пирамидата, числото 365, не е избрана случайно. На първо място, това е годишният жизнен цикъл на нашата планета. Освен това числото 365 се състои от три цифри 3, 6 и 5. Какво означават те? Ако в Слънчевата система Слънцето преминава под номер 1, Меркурий - 2, Венера - 3, Земя - 4, Марс - 5, Юпитер - 6, Сатурн - 7, Уран - 8, Нептун - 9, Плутон - 10, тогава 3 е Венера, 6 – Юпитер и 5 – Марс. Следователно Земята е свързана по специален начин с тези планети. Като съберем числата 3, 6 и 5, получаваме 14, от които 1 е Слънцето, а 4 е Земята.

Числото 14 като цяло има глобално значение: по-специално на него се основава структурата на човешките ръце, общият брой на фалангите на пръстите на всяка от които също е 14. Този код е свързан и със съзвездието Голяма мечка, което включва нашето Слънце и в която някога е била друга звезда, която унищожи Фаетон, планета, разположена между Марс и Юпитер, след което Плутон се появи в Слънчевата система и характеристиките на останалите планети се промениха.

Много езотерични източници твърдят, че човечеството на Земята вече четири пъти е преживявало световна катастрофа. Третата лемурийска раса познаваше Божествената наука за Вселената, след това тази тайна доктрина беше предадена само на посветени. В началото на циклите и полуциклите на звездната година те строяха пирамиди. Те бяха близо до откриването на кода на живота. Цивилизацията на Атлантида успя в много неща, но на някакво ниво на познание те бяха спрени от друга планетарна катастрофа, придружена от смяна на расите. Вероятно посветените са искали да ни предадат, че пирамидите съдържат знания за космическите закони...

Специални устройства под формата на пирамиди неутрализират отрицателното електромагнитно излъчване на човек от компютър, телевизор, хладилник и други електрически уреди.

Една от книгите описва случай, при който пирамида, монтирана в купето на автомобил, намалява разхода на гориво и намалява съдържанието на CO в отработените газове.

Семената от градински култури, държани в пирамиди, имаха по-добра кълняемост и добив. Публикациите дори препоръчват накисване на семената в пирамидна вода преди сеитба.

Установено е, че пирамидите имат благоприятен ефект върху околната среда. Елиминирайте патогенните зони в апартаменти, офиси и вили, създавайки положителна аура.

Холандският изследовател Пол Дикенс в своята книга дава примери за лечебните свойства на пирамидите. Той забеляза, че с тяхна помощ можете да облекчите главоболието, болките в ставите, да спрете кървенето от малки порязвания и че енергията на пирамидите стимулира метаболизма и укрепва имунната система.

Някои съвременни публикации отбелязват, че лекарствата, съхранявани в пирамида, съкращават курса на лечение, а превръзката, наситена с положителна енергия, насърчава заздравяването на рани.

Козметичните кремове и мехлеми подобряват ефекта си.

Напитките, включително алкохолните, подобряват вкуса си, а водата, съдържаща се в 40% водка, става лековита. Вярно е, че за да заредите стандартна бутилка от 0,5 литра с положителна енергия, ще ви трябва висока пирамида.

В статия във вестник се казва, че ако бижутата се съхраняват под пирамида, те се самопочистват и придобиват особен блясък, а скъпоценните и полускъпоценните камъни натрупват положителна биоенергия и след това постепенно я освобождават.

Според американски учени хранителните продукти като зърнени храни, брашно, сол, захар, кафе, чай, след като са в пирамидата, подобряват вкуса си, а евтините цигари стават подобни на своите благородни братя.

Това може да не е от значение за мнозина, но в малка пирамида старите бръснарски ножчета се изострят сами, а в голяма пирамида водата не замръзва при -40 градуса по Целзий.

Според повечето изследователи всичко това е доказателство за съществуването на енергията на пирамидите.

За 5000 години от своето съществуване пирамидите са се превърнали в своеобразен символ, олицетворяващ желанието на човека да достигне върха на знанието.

5. Обобщаване на урока.

Библиография.

1) http://schools.techno.ru

2) Погорелов А.В. Геометрия 10-11, издателство Просвещение.

3) Енциклопедия „Дървото на знанието” Маршал К.