Събиране с еднакви знаменатели. Събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели. Смесени фракции

Смесените дроби, точно както обикновените дроби, могат да се изваждат. За да извадите смесени числа от дроби, трябва да знаете няколко правила за изваждане. Нека изучим тези правила с примери.

Изваждане на смесени дроби с еднакви знаменатели.

Нека разгледаме пример с условието, че цялото число и дробната част, които се намаляват, са по-големи от съответно цялото число и дробната част, които се изваждат. При такива условия изваждането се извършва отделно. Изваждаме цялата част от цялата част и дробната част от дробната част.

Да разгледаме един пример:

Извадете смесени дроби \(5\frac(3)(7)\) и \(1\frac(1)(7)\).

\(5\frac(3)(7)-1\frac(1)(7) = (5-1) + (\frac(3)(7)-\frac(1)(7)) = 4\ frac(2)(7)\)

Правилността на изваждането се проверява чрез събиране. Нека проверим изваждането:

\(4\frac(2)(7)+1\frac(1)(7) = (4 + 1) + (\frac(2)(7) + \frac(1)(7)) = 5\ frac(3)(7)\)

Нека разгледаме пример с условието, когато дробната част на умаляваното е по-малка от съответната дробна част на субтрахенда. В този случай заимстваме едно от цялото в умаленото.

Да разгледаме един пример:

Извадете смесени дроби \(6\frac(1)(4)\) и \(3\frac(3)(4)\).

Умаляваното \(6\frac(1)(4)\) има по-малка дробна част от дробната част на субтрахента \(3\frac(3)(4)\). Тоест \(\frac(1)(4)< \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)

\(\begin(align)&6\frac(1)(4)-3\frac(3)(4) = (6 + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(red) (1) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(red) (\frac(4)(4)) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \frac(5)(4))-3\frac(3)(4) = \\\\ &= 5\frac(5)(4)-3\frac(3)(4) = 2\frac(2)(4) = 2\frac(1)(4)\\\\ \end(align)\)

Следващ пример:

\(7\frac(8)(19)-3 = 4\frac(8)(19)\)

Изваждане на смесена дроб от цяло число.

Пример: \(3-1\frac(2)(5)\)

Умаляваното 3 няма дробна част, така че не можем веднага да извадим. Нека вземем едно от цялата част на 3 и след това направим изваждането. Ще запишем единицата като \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac(5)(5) = 2\frac(5)(5)\)

\(3-1\frac(2)(5)= (2 + \color(red) (1))-1\frac(2)(5) = (2 + \color(red) (\frac(5) )(5)))-1\frac(2)(5) = 2\frac(5)(5)-1\frac(2)(5) = 1\frac(3)(5)\)

Изваждане на смесени дроби с различни знаменатели.

Нека разгледаме пример с условието, че дробните части на умаляваното и субтрахенда имат различни знаменатели. Трябва да го приведете към общ знаменател и след това да извършите изваждане.

Извадете две смесени дроби с различни знаменатели \(2\frac(2)(3)\) и \(1\frac(1)(4)\).

Общият знаменател ще бъде числото 12.

\(2\frac(2)(3)-1\frac(1)(4) = 2\frac(2 \times \color(red) (4))(3 \times \color(red) (4) )-1\frac(1 \times \color(red) (3))(4 \times \color(red) (3)) = 2\frac(8)(12)-1\frac(3)(12 ) = 1\frac(5)(12)\)

Свързани въпроси:
Как да извадим смесени дроби? Как се решават смесени дроби?
Отговор: трябва да решите към кой тип принадлежи изразът и да приложите алгоритъма за решение въз основа на типа израз. От цялата част изваждаме цялото число, от дробната част изваждаме дробната част.

Как да извадя дроб от цяло число? Как да извадя дроб от цяло число?
Отговор: трябва да вземете единица от цяло число и да запишете тази единица като дроб

\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac(7)(7) = 3\frac(7)(7)\),

и след това извадете цялото от цялото, извадете дробната част от дробната част. Пример:

\(4-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (1))-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (\frac(7) )(7)))-2\frac(3)(7) = 3\frac(7)(7)-2\frac(3)(7) = 1\frac(4)(7)\)

Пример #1:
Извадете правилна дроб от едно: a) \(1-\frac(8)(33)\) b) \(1-\frac(6)(7)\)

Решение:
а) Нека си представим едно като дроб със знаменател 33. Получаваме \(1 = \frac(33)(33)\)

\(1-\frac(8)(33) = \frac(33)(33)-\frac(8)(33) = \frac(25)(33)\)

б) Нека си представим едно като дроб със знаменател 7. Получаваме \(1 = \frac(7)(7)\)

\(1-\frac(6)(7) = \frac(7)(7)-\frac(6)(7) = \frac(7-6)(7) = \frac(1)(7) \)

Пример #2:
Извадете смесена дроб от цяло число: a) \(21-10\frac(4)(5)\) b) \(2-1\frac(1)(3)\)

Решение:
а) Нека вземем назаем 21 единици от цялото число и го запишем така \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac(5)(5) = 20\frac(5)(5)\)

\(21-10\frac(4)(5) = (20 + 1)-10\frac(4)(5) = (20 + \frac(5)(5))-10\frac(4)( 5) = 20\frac(5)(5)-10\frac(4)(5) = 10\frac(1)(5)\\\\\)

б) Нека вземем едно от цялото число 2 и го запишем така \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac(3)(3) = 1\frac(3)(3)\)

\(2-1\frac(1)(3) = (1 + 1)-1\frac(1)(3) = (1 + \frac(3)(3))-1\frac(1)( 3) = 1\frac(3)(3)-1\frac(1)(3) = \frac(2)(3)\\\\\)

Пример #3:
Извадете цяло число от смесена дроб: a) \(15\frac(6)(17)-4\) b) \(23\frac(1)(2)-12\)

а) \(15\frac(6)(17)-4 = 11\frac(6)(17)\)

б) \(23\frac(1)(2)-12 = 11\frac(1)(2)\)

Пример #4:
Извадете правилна дроб от смесена дроб: a) \(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5)\)

\(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5) = 1\\\\\)

Пример #5:
Изчислете \(5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8)\)

\(\begin(align)&5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8) = 5\frac(5)(16)-3\frac(3 \times \color(red) ( 2))(8 \times \color(red) (2)) = 5\frac(5)(16)-3\frac(6)(16) = (5 + \frac(5)(16))- 3\frac(6)(16) = (4 + \color(red) (1) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = \\\\ &= (4 + \color(red) (\frac(16)(16)) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = (4 + \color(red) (\frac(21) )(16)))-3\frac(3)(8) = 4\frac(21)(16)-3\frac(6)(16) = 1\frac(15)(16)\\\\ \край (подравняване)\)

Събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели
Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели
Концепция за НОК
Намаляване на дроби до един и същи знаменател
Как да съберем цяло число и дроб

1 Събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели

За да добавите дроби с еднакви знаменатели, трябва да добавите техните числители, но да оставите знаменателя същия, например:

За да извадите дроби с еднакви знаменатели, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя същия, например:

За да добавите смесени дроби, трябва отделно да добавите целите им части, а след това да добавите техните дробни части и да запишете резултата като смесена дроб,

Ако при добавяне на дробни части получите неправилна дроб, изберете цялата част от нея и я добавете към цялата част, например:

2 Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели

За да събирате или изваждате дроби с различни знаменатели, първо трябва да ги намалите до един и същ знаменател и след това да продължите, както е посочено в началото на тази статия. Общият знаменател на няколко дроби е LCM (най-малкото общо кратно). За числителя на всяка дроб се намират допълнителни множители чрез разделяне на LCM на знаменателя на тази дроб. Ще разгледаме един пример по-късно, след като разберем какво е NOC.

3 Най-малко общо кратно (LCM)

Най-малкото общо кратно на две числа (LCM) е най-малкото естествено число, което се дели и на двете числа без остатък. Понякога LCM може да се намери устно, но по-често, особено когато работите с големи числа, трябва да намерите LCM писмено, като използвате следния алгоритъм:

За да намерите LCM на няколко числа, трябва:

Разложете тези числа на прости множители
Вземете най-голямото разширение и запишете тези числа като продукт
Изберете числа в други разложения, които не се появяват в най-голямото разлагане (или се срещат по-малко пъти в него), и ги добавете към произведението.
Умножете всички числа в продукта, това ще бъде LCM.

Например, нека намерим LCM на числата 28 и 21:

4 Намаляване на дроби до същия знаменател

Нека се върнем към събирането на дроби с различни знаменатели.

Когато редуцираме дроби до един и същ знаменател, който е равен на LCM на двата знаменателя, трябва да умножим числителите на тези дроби по допълнителни множители. Можете да ги намерите, като разделите LCM на знаменателя на съответната дроб, например:

По този начин, за да намалите дробите до един и същи показател, първо трябва да намерите LCM (т.е. най-малкото число, което се дели на двата знаменателя) на знаменателите на тези дроби, след което да добавите допълнителни множители към числителите на дробите. Можете да ги намерите, като разделите общия знаменател (CLD) на знаменателя на съответната дроб. След това трябва да умножите числителя на всяка дроб с допълнителен коефициент и да поставите LCM като знаменател.

5Как да съберем цяло число и дроб

За да съберете цяло число и дроб, просто трябва да добавите това число преди дробта, което ще доведе до например смесена дроб.

Събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели
Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели
Концепция за НОК
Намаляване на дроби до един и същи знаменател
Как да съберем цяло число и дроб

1 Събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели

Пример 1:

Пример 2:

2 Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели.

3 Най-малко общо кратно (LCM)

За да намерите LCM на няколко числа, трябва:

Разложете тези числа на прости множители
Вземете най-голямото разширение и запишете тези числа като продукт
Изберете числа в други разложения, които не се появяват в най-голямото разлагане (или се срещат по-малко пъти в него), и ги добавете към произведението.
Умножете всички числа в продукта, това ще бъде LCM.

Например, нека намерим LCM на числата 28 и 21:

4 Намаляване на дроби до един и същи знаменател

Нека се върнем към събирането на дроби с различни знаменатели.

5 Как да съберем цяло число и дроб

За да добавите цяло число и дроб, просто добавяте това число преди дробта, за да създадете смесена дроб, например:

Ако добавим цяло число и смесена дроб, добавяме това число към цялата част от дробта, например:

Треньор 1

Събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели.

Времево ограничение: 0

Навигация (само номера на задания)

0 от 20 изпълнени задачи

Информация

Този тест тества способността ви да събирате дроби с еднакви знаменатели. В този случай трябва да се спазват две правила:

Ако резултатът е неправилна дроб, трябва да я преобразувате в смесено число.
Ако една дроб може да бъде съкратена, не забравяйте да я съкратите, в противен случай ще бъде зачетен неправилен отговор.

Вече сте правили теста преди. Не можете да го започнете отново.

Тестът се зарежда...

Трябва да влезете или да се регистрирате, за да започнете теста.

Трябва да завършите следните тестове, за да започнете този:

Резултати

Верни отговори: 0 от 20

Вашето време:

Времето изтече

Постигнахте 0 от 0 точки (0)

С отговор
С маркировка за гледане

Обърнете внимание!Преди да напишете окончателния си отговор, вижте дали можете да съкратите дробта, която сте получили.

Изваждане на дроби с еднакви знаменатели, примери:

Изваждане на правилна дроб от едно.

Ако е необходимо да се извади дроб от единица, която е правилна, единицата се преобразува във формата на неправилна дроб, нейният знаменател е равен на знаменателя на извадената дроб.

Пример за изваждане на правилна дроб от едно:

Знаменател на дробта, която трябва да се извади = 7 , т.е. представяме единица като неправилна дроб 7/7 и я изваждаме според правилото за изваждане на дроби с еднакви знаменатели.

Изваждане на правилна дроб от цяло число.

Правила за изваждане на дроби -правилно от цяло число (естествено число):

Дадени дроби, които съдържат цяла част, преобразуваме в неправилни. Получаваме нормални термини (няма значение дали имат различни знаменатели), които изчисляваме по дадените по-горе правила;
След това изчисляваме разликата между дробите, които сме получили. В резултат на това почти ще намерим отговора;
Извършваме обратната трансформация, тоест се отърваваме от неправилната дроб - избираме цялата част във фракцията.

Извадете правилна дроб от цяло число: представете естественото число като смесено число. Тези. Взимаме единица в естествено число и я преобразуваме във формата на неправилна дроб, като знаменателят е същият като този на извадената дроб.

Пример за изваждане на дроби:

В примера сменихме едно с неправилната дроб 7/7 и вместо 3 записахме смесено число и извадихме дроб от дробната част.

Изваждане на дроби с различни знаменатели.

Или казано по друг начин, изваждане на различни дроби.

Правило за изваждане на дроби с различни знаменатели.За да извадите дроби с различни знаменатели, е необходимо първо да намалите тези дроби до най-малкия общ знаменател (LCD) и едва след това да извършите изваждането, както при дроби с еднакви знаменатели.

Общият знаменател на няколко дроби е LCM (най-малко общо кратно)естествени числа, които са знаменателите на тези дроби.

внимание!Ако в крайната дроб числителят и знаменателят имат общи множители, тогава дробта трябва да се намали. Неправилната дроб е най-добре представена като смесена дроб. Оставянето на резултата от изваждането без намаляване на дробта, където е възможно, е непълно решение на примера!

Процедура за изваждане на дроби с различни знаменатели.

намерете LCM за всички знаменатели;
поставете допълнителни множители за всички дроби;
умножете всички числители с допълнителен коефициент;
Записваме получените продукти в числителя, като подписваме общия знаменател под всички дроби;
извадете числителите на дробите, подписвайки общия знаменател под разликата.

По същия начин се извършва добавяне и изваждане на дроби, ако в числителя има букви.

Изваждане на дроби, примери:

Изваждане на смесени дроби.

При изваждане на смесени дроби (числа)отделно, цялата част се изважда от цялата част, а дробната част се изважда от дробната част.

Първият вариант за изваждане на смесени дроби.

Ако дробните части идентичензнаменатели и числител на дробната част на умаляваното (изваждаме го от него) ≥ числител на дробната част на изваждаемото (изваждаме го).

Например:

Вторият вариант за изваждане на смесени дроби.

Когато дробни части различнизнаменатели. Като начало привеждаме дробните части към общ знаменател и след това изваждаме цялата част от цялата част и дробната част от дробната част.

Например:

Третият вариант за изваждане на смесени дроби.

Дробната част на умаляваното е по-малка от дробната част на изваждаемото.

Пример:

защото Дробните части имат различни знаменатели, което означава, както във втория вариант, първо привеждаме обикновените дроби към общ знаменател.

Числителят на дробната част на умаляваното е по-малък от числителя на дробната част на субтрахенда.3 < 14. Това означава, че вземаме единица от цялата част и редуцираме тази единица до формата на неправилна дроб с еднакви знаменател и числител = 18.

В числителя от дясната страна записваме сбора на числителите, след което отваряме скобите в числителя от дясната страна, тоест умножаваме всичко и даваме подобни. Не отваряме скобите в знаменателя. Прието е продуктът да се оставя в знаменателите. Получаваме:

Следните правила се прилагат за правилни и неправилни дроби (смесена дроб винаги може да се преобразува в неправилна дроб) с еднакви знаменатели.

правило. За да съберете дроби с еднакви знаменатели, трябва да съберете техните числители и да оставите същия знаменател.

Например:

правило. За да извадите дроби с еднакви знаменатели, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите същия знаменател.

Например:

Следните правила се прилагат за смесени дроби с еднакви знаменатели.

правило. За да добавите смесени дроби, трябва отделно да съберете техните цели и дробни части и да запишете сбора от целите части и сбора от дробните части като смесена дроб.

Ако общата дробна част се окаже неправилна дроб, тогава те трябва да се превърнат в смесена дроб и цялата част, отделена от неправилната дроб, трябва да се добави към сбора на целите части. Запишете крайния сбор от целите и дробните части като смесена дроб.

Например добавяне на дроби:

Правило: За да извадите смесени дроби, трябва отделно да извадите целите им части и поотделно техните дробни части и да запишете сбора на получените разлики като смесена дроб.

Ако дробната част на умаляваното е по-малка от дробната част на изместеното, тогава ние „заемаме“ 1 от цялата част на умаляваното, което представяме като дроб със същия знаменател като дробната част на смесените дроби, и с числител, равен на този знаменател. Заимстваното 1, изразено като неправилна дроб с еднакви числител и знаменател, се сумира с дробната част на умаляваното. След това извършваме изчисления според правилото за изваждане на смесени дроби.