Най-голямата и най-малката стойност на функция. Най-малката и най-голямата стойност на функция на сегмент. Най-голямата и най-малката стойност на функция - дефиниции, илюстрации

На практика е доста обичайно да се използва производната, за да се изчисли най-голямата и най-малката стойност на функция. Извършваме това действие, когато разберем как да минимизираме разходите, да увеличим печалбите, да изчислим оптималното натоварване на производството и т.н., т.е. в случаите, когато трябва да определим оптималната стойност на даден параметър. За да разрешите правилно такива проблеми, трябва да имате добро разбиране за това кои са най-големите и най-малките стойности на дадена функция.

Обикновено ние дефинираме тези стойности в рамките на определен интервал x, който от своя страна може да съответства на цялата област на функцията или част от нея. Може да бъде като сегмент [a; b ] , и отворен интервал (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), безкраен интервал (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) или безкраен интервал - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

В този материал ще ви кажем как да изчислите най-голямата и най-малката стойност на изрично дефинирана функция с една променлива y=f(x) y = f (x) .

Основни определения

Нека започнем, както винаги, с формулирането на основните определения.

Определение 1

Най-голямата стойност на функцията y = f (x) на определен интервал x е стойността m a x y = f (x 0) x ∈ X, която за всяка стойност x x ∈ X, x ≠ x 0 прави неравенството f (x) ≤ f (x) валидно 0) .

Определение 2

Най-малката стойност на функцията y = f (x) на определен интервал x е стойността m i n x ∈ X y = f (x 0) , което за всяка стойност x ∈ X, x ≠ x 0 прави неравенството f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Тези определения са съвсем очевидни. Още по-просто можем да кажем следното: най-голямата стойност на функция е нейната най-голяма стойност на известен интервал при абсцисата x 0, а най-малката е най-малката приета стойност на същия интервал при x 0.

Определение 3

Стационарни точки са онези стойности на аргумента на функция, при които нейната производна става 0.

Защо трябва да знаем какво представляват неподвижните точки? За да отговорим на този въпрос, трябва да си спомним теоремата на Ферма. От това следва, че стационарна точка е точката, в която се намира екстремумът на диференцируемата функция (т.е. нейният локален минимум или максимум). Следователно функцията ще вземе най-малката или най-голямата стойност на определен интервал точно в една от стационарните точки.

Една функция може също да приеме най-голямата или най-малката стойност в онези точки, в които самата функция е дефинирана и нейната първа производна не съществува.

Първият въпрос, който възниква при изучаването на тази тема: във всички случаи можем ли да определим най-голямата или най-малката стойност на функция на даден интервал? Не, не можем да направим това, когато границите на даден интервал съвпадат с границите на дефиниционната област или ако имаме работа с безкраен интервал. Също така се случва функция в даден сегмент или в безкрайност да приема безкрайно малки или безкрайно големи стойности. В тези случаи не е възможно да се определи най-голямата и/или най-малката стойност.

Тези точки ще станат по-ясни, след като бъдат изобразени на графиките:

Първата фигура ни показва функция, която приема най-големите и най-малките стойности (m a x y и m i n y) в стационарни точки, разположени на сегмента [ - 6 ; 6].

Нека разгледаме подробно случая, посочен във втората графика. Нека променим стойността на сегмента на [ 1 ; 6 ] и намираме, че максималната стойност на функцията ще бъде постигната в точката с абсцисата на дясната граница на интервала, а минималната стойност в стационарната точка.

На третата фигура абсцисите на точките представляват граничните точки на отсечката [ - 3 ; 2]. Те съответстват на най-голямата и най-малката стойност на дадена функция.

Сега нека да разгледаме четвъртата снимка. В него функцията приема m a x y (най-голямата стойност) и m i n y (най-малката стойност) в стационарни точки на отворения интервал (- 6; 6).

Ако вземем интервала [ 1 ; 6), тогава можем да кажем, че най-малката стойност на функцията върху него ще бъде постигната в стационарна точка. Най-голямата стойност ще бъде непозната за нас. Функцията може да приеме максималната си стойност при x равно на 6, ако x = 6 принадлежи на интервала. Точно такъв е случаят, показан на графика 5.

В графика 6 тази функция придобива най-малката си стойност на дясната граница на интервала (- 3; 2 ] и не можем да направим категорични заключения за най-голямата стойност.

На фигура 7 виждаме, че функцията ще има m a x y в неподвижна точка с абциса, равна на 1. Функцията ще достигне минималната си стойност на границата на интервала от дясната страна. При минус безкрайност стойностите на функцията асимптотично ще се доближат до y = 3.

Ако вземем интервала x ∈ 2 ; + ∞ , тогава ще видим, че дадената функция няма да приеме нито най-малката, нито най-голямата стойност върху нея. Ако x клони към 2, тогава стойностите на функцията ще клонят към минус безкрайност, тъй като правата x = 2 е вертикална асимптота. Ако абсцисата клони към плюс безкрайност, тогава стойностите на функцията асимптотично ще се доближат до y = 3. Това е точно случаят, показан на фигура 8.

В този параграф ще представим последователността от действия, които трябва да се извършат, за да се намери най-голямата или най-малката стойност на функция на определен сегмент.

Първо, нека намерим домейна на дефиниция на функцията. Нека проверим дали посоченият в условието сегмент е включен в него.
Сега нека изчислим точките, съдържащи се в този сегмент, в които първата производна не съществува. Най-често те могат да бъдат намерени във функции, чийто аргумент е записан под знака на модула, или в степенни функции, чийто показател е дробно рационално число.
След това ще разберем кои неподвижни точки ще попаднат в дадения сегмент. За да направите това, трябва да изчислите производната на функцията, след това да я приравните към 0 и да решите полученото уравнение и след това да изберете подходящите корени. Ако не получим нито една неподвижна точка или те не попадат в дадения сегмент, тогава преминаваме към следващата стъпка.
Определяме какви стойности ще приеме функцията в дадени стационарни точки (ако има такива) или в тези точки, в които първата производна не съществува (ако има такива), или изчисляваме стойностите за x = a и x = b.
5. Имаме редица стойности на функцията, от които сега трябва да изберем най-голямата и най-малката. Това ще бъдат най-голямата и най-малката стойност на функцията, която трябва да намерим.

Нека видим как правилно да прилагаме този алгоритъм при решаване на задачи.

Пример 1

Състояние:дадена е функцията y = x 3 + 4 x 2. Определете неговите най-големи и най-малки стойности на сегментите [ 1 ; 4] и [-4; - 1 ] .

Решение:

Нека започнем с намиране на домейна на дефиниция на дадена функция. В този случай това ще бъде множеството от всички реални числа с изключение на 0. С други думи, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . И двата сегмента, посочени в условието, ще бъдат вътре в зоната за дефиниране.

Сега изчисляваме производната на функцията според правилото за диференциране на дроби:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 х 3

Научихме, че производната на функция ще съществува във всички точки на отсечките [ 1 ; 4] и [-4; - 1 ] .

Сега трябва да определим стационарните точки на функцията. Нека направим това с помощта на уравнението x 3 - 8 x 3 = 0. Има само един истински корен, който е 2. Тя ще бъде стационарна точка на функцията и ще попада в първия сегмент [1; 4 ] .

Нека изчислим стойностите на функцията в краищата на първия сегмент и в тази точка, т.е. за x = 1, x = 2 и x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Установихме, че най-голямата стойност на функцията m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 ще бъде постигнато при x = 1, а най-малкото m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – при x = 2.

Вторият сегмент не включва нито една стационарна точка, така че трябва да изчислим стойностите на функцията само в краищата на дадения сегмент:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Това означава m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Отговор:За сегмента [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , за отсечката [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Вижте снимката:

Преди да изучавате този метод, ви съветваме да прегледате как правилно да изчислите едностранната граница и границата в безкрайност, както и да научите основните методи за намирането им. За да намерите най-голямата и/или най-малката стойност на функция в отворен или безкраен интервал, изпълнете следните стъпки последователно.

Първо, трябва да проверите дали даденият интервал ще бъде подмножество от домейна на дадената функция.
Нека определим всички точки, които се съдържат в търсения интервал и в които първата производна не съществува. Те обикновено се появяват за функции, при които аргументът е ограден в знака за модул, и за степенни функции с дробно рационален показател. Ако тези точки липсват, можете да продължите към следващата стъпка.
Сега нека определим кои стационарни точки ще попаднат в дадения интервал. Първо приравняваме производната на 0, решаваме уравнението и избираме подходящи корени. Ако нямаме нито една стационарна точка или те не попадат в посочения интервал, тогава незабавно пристъпваме към по-нататъшни действия. Те се определят от вида на интервала.

Ако интервалът е във формата [ a ; b) , тогава трябва да изчислим стойността на функцията в точката x = a и едностранната граница lim x → b - 0 f (x) .
Ако интервалът има формата (a; b ], тогава трябва да изчислим стойността на функцията в точката x = b и едностранната граница lim x → a + 0 f (x).
Ако интервалът има формата (a; b), тогава трябва да изчислим едностранните граници lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
Ако интервалът е във формата [ a ; + ∞), тогава трябва да изчислим стойността в точката x = a и границата при плюс безкрайност lim x → + ∞ f (x) .
Ако интервалът изглежда като (- ∞ ; b ] , изчисляваме стойността в точката x = b и границата при минус безкрайност lim x → - ∞ f (x) .
Ако - ∞ ; b , тогава разглеждаме едностранната граница lim x → b - 0 f (x) и границата при минус безкрайност lim x → - ∞ f (x)
Ако - ∞; + ∞ , тогава разглеждаме границите на минус и плюс безкрайност lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

В крайна сметка трябва да направите заключение въз основа на получените стойности и граници на функцията. Тук има много опции. Така че, ако едностранната граница е равна на минус безкрайност или плюс безкрайност, тогава веднага става ясно, че нищо не може да се каже за най-малките и най-големите стойности на функцията. По-долу ще разгледаме един типичен пример. Подробните описания ще ви помогнат да разберете какво е какво. Ако е необходимо, можете да се върнете към фигури 4 - 8 в първата част на материала.

Пример 2

Условие: дадена функция y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Изчислете най-голямата и най-малката му стойност в интервалите - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞).

Решение

Първо, намираме областта на дефиниция на функцията. Знаменателят на дробта съдържа квадратен тричлен, който не трябва да се превръща в 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Получихме областта на дефиниране на функцията, към която принадлежат всички интервали, посочени в условието.

Сега нека разграничим функцията и да получим:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Следователно, производни на функция съществуват в цялата й област на дефиниция.

Нека да преминем към намирането на неподвижни точки. Производната на функцията става 0 при x = - 1 2 . Това е неподвижна точка, която лежи в интервалите (- 3 ; 1 ] и (- 3 ; 2) .

Нека изчислим стойността на функцията при x = - 4 за интервала (- ∞ ; - 4 ], както и границата при минус безкрайност:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Тъй като 3 e 1 6 - 4 > - 1, това означава, че m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Това не ни позволява еднозначно да определим най-малката стойност на може да се заключи само, че има ограничение под - 1, тъй като функцията се приближава асимптотично при минус безкрайност.

Особеността на втория интервал е, че в него няма нито една стационарна точка и нито една строга граница. Следователно няма да можем да изчислим нито най-голямата, нито най-малката стойност на функцията. След като дефинирахме границата при минус безкрайност и тъй като аргументът клони към -3 от лявата страна, получаваме само интервал от стойности:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Това означава, че стойностите на функцията ще бъдат разположени в интервала - 1; +∞

За да намерим най-голямата стойност на функцията в третия интервал, определяме нейната стойност в стационарната точка x = - 1 2, ако x = 1. Ще трябва също да знаем едностранната граница за случая, когато аргументът клони към - 3 от дясната страна:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Оказа се, че функцията ще приеме най-голяма стойност в стационарна точка m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Колкото до най-малката стойност, не можем да я определим. Всичко, което знаем , е наличието на долна граница до - 4 .

За интервала (- 3 ; 2) вземете резултатите от предишното изчисление и отново изчислете на какво е равно едностранното ограничение, когато клоните към 2 от лявата страна:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Това означава, че m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 и най-малката стойност не може да бъде определена, а стойностите на функцията са ограничени отдолу с числото - 4 .

Въз основа на това, което получихме в двете предишни изчисления, можем да кажем, че на интервала [ 1 ; 2) функцията ще приеме най-голямата стойност при x = 1, но е невъзможно да се намери най-малката.

На интервала (2 ; + ∞) функцията няма да достигне нито най-голямата, нито най-малката стойност, т.е. ще приема стойности от интервала - 1 ; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

След като изчислим на какво ще бъде равна стойността на функцията при x = 4, откриваме, че m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , и дадената функция при плюс безкрайност асимптотично ще се доближава до правата линия y = - 1 .

Нека сравним полученото при всяко изчисление с графиката на дадената функция. На фигурата асимптотите са показани с пунктирани линии.

Това е всичко, което искахме да ви кажем за намирането на най-голямата и най-малката стойност на функция. Последователността от действия, които дадохме, ще ви помогне да направите необходимите изчисления възможно най-бързо и лесно. Но не забравяйте, че често е полезно първо да разберете на кои интервали функцията ще намалява и на кои ще се увеличава, след което можете да направите допълнителни заключения. По този начин можете по-точно да определите най-големите и най-малките стойности на функцията и да обосновете получените резултати.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

В задача B14 от Единния държавен изпит по математика трябва да намерите най-малката или най-голямата стойност на функция на една променлива. Това е доста тривиална задача от математическия анализ и поради тази причина всеки абитуриент може и трябва да се научи да я решава нормално. Нека да разгледаме няколко примера, които учениците решиха по време на диагностична работа по математика, проведена в Москва на 7 декември 2011 г.

В зависимост от интервала, в който искате да намерите максималната или минималната стойност на дадена функция, за решаване на този проблем се използва един от следните стандартни алгоритми.

I. Алгоритъм за намиране на най-голямата или най-малката стойност на функция върху сегмент:

Намерете производната на функцията.
Изберете от точките, за които се подозира, че са екстремуми, тези, които принадлежат към дадения сегмент и област на дефиниране на функцията.
Изчислете стойности функции(не производна!) в тези точки.
Сред получените стойности изберете най-голямата или най-малката, тя ще бъде желаната.

Пример 1.Намерете най-малката стойност на функцията
г = х 3 – 18х 2 + 81х+ 23 на сегмента.

Решение:Следваме алгоритъма за намиране на най-малката стойност на функция върху сегмент:

Обхватът на функцията не е ограничен: D(y) = Р.
Производната на функцията е равна на: да = 3х 2 – 36х+ 81. Областта на дефиниране на производната на функция също не е ограничена: D(y’) = Р.
Нули на производната: да = 3х 2 – 36х+ 81 = 0, което означава х 2 – 12х+ 27 = 0, откъдето х= 3 и х= 9, нашият интервал включва само х= 9 (една точка съмнителна за екстремум).
Намираме стойността на функцията в точка, подозрителна за екстремум и в ръбовете на празнината. За по-лесно изчисление представяме функцията във формата: г = х 3 – 18х 2 + 81х + 23 = х(х-9) 2 +23:
- г(8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
- г(9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
- г(13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

И така, от получените стойности най-малката е 23. Отговор: 23.

II. Алгоритъм за намиране на най-голямата или най-малката стойност на функция:

Намерете областта на дефиниция на функцията.
Намерете производната на функцията.
Идентифицирайте точките, подозрителни за екстремум (тези точки, в които производната на функцията изчезва, и точки, в които няма двустранна крайна производна).
Маркирайте тези точки и областта на дефиниция на функцията върху числовата ос и определете знаците производна(не функции!) върху получените интервали.
Определете стойности функции(не производната!) в минималните точки (тези точки, в които знакът на производната се променя от минус на плюс), най-малката от тези стойности ще бъде най-малката стойност на функцията. Ако няма минимални точки, тогава функцията няма минимална стойност.
Определете стойности функции(не производната!) в максималните точки (тези точки, в които знакът на производната се променя от плюс на минус), най-голямата от тези стойности ще бъде най-голямата стойност на функцията. Ако няма максимални точки, тогава функцията няма най-голяма стойност.

Пример 2.Намерете най-голямата стойност на функцията.

Фигурите по-долу показват къде функцията може да достигне най-малката и най-голямата си стойност. В лявата фигура най-малките и най-големите стойности са фиксирани в точките на локалния минимум и максимум на функцията. На дясната снимка - в краищата на сегмента.

Ако функцията г = f(х) е непрекъснат на интервала [ а, b] , тогава достига до този сегмент най-малко И най-високи стойности . Това, както вече споменахме, може да се случи или в екстремни точки, или в краищата на сегмента. Следователно, за да намерите най-малко И най-големите стойности на функцията , непрекъснато на интервала [ а, b], трябва да изчислите стойностите му във всички критични точкии в краищата на сегмента, след което изберете най-малкия и най-големия от тях.

Нека, например, искате да определите най-голямата стойност на функцията f(х) на сегмента [ а, b] . За да направите това, трябва да намерите всички негови критични точки, лежащи на [ а, b] .

Критична точка наречена точката, в която дефинирана функция, и тя производнаили е равно на нула, или не съществува. След това трябва да изчислите стойностите на функцията в критичните точки. И накрая, трябва да сравните стойностите на функцията в критични точки и в краищата на сегмента ( f(а) И f(b)). Най-голямото от тези числа ще бъде най-голямата стойност на функцията върху сегмента [а, b] .

Проблеми с намирането най-малките стойности на функцията .

Търсим най-малката и най-голямата стойност на функцията заедно

Пример 1. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция на сегмента [-1, 2] .

Решение. Намерете производната на тази функция. Нека приравним производната към нула () и да получим две критични точки: и . За да намерите най-малката и най-голямата стойност на функция на даден сегмент, достатъчно е да изчислите нейните стойности в краищата на сегмента и в точката, тъй като точката не принадлежи на сегмента [-1, 2]. Тези стойности на функцията са: , , . Следва, че най-малката стойност на функцията(обозначено в червено на графиката по-долу), равно на -7, се постига в десния край на сегмента - в точка , и най велик(също червено на графиката), е равно на 9, - в критичната точка.

Ако една функция е непрекъсната в определен интервал и този интервал не е сегмент (но е, например, интервал; разликата между интервал и сегмент: граничните точки на интервала не са включени в интервала, но граничните точки на сегмента са включени в сегмента), тогава сред стойностите на функцията може да няма най-малката и най-голямата. Така например функцията, показана на фигурата по-долу, е непрекъсната върху ]-∞, +∞[ и няма най-голямата стойност.

Въпреки това, за всеки интервал (затворен, отворен или безкраен), следното свойство на непрекъснатите функции е вярно.

За самопроверка по време на изчисления можете да използвате онлайн деривативен калкулатор .

Пример 4. Намерете най-малките и най-големите стойности на функция на сегмента [-1, 3] .

Решение. Намираме производната на тази функция като производна на частното:

Приравняваме производната на нула, което ни дава една критична точка: . Принадлежи към сегмента [-1, 3] . За да намерим най-малките и най-големите стойности на функция на даден сегмент, намираме нейните стойности в краищата на сегмента и в намерената критична точка:

Нека сравним тези стойности. Заключение: равно на -5/13, в точка и най-висока стойностравно на 1 в точка .

Продължаваме да търсим най-малката и най-голямата стойност на функцията заедно

Има учители, които по темата за намиране на най-малката и най-голямата стойност на функция не дават на учениците примери за решаване, които са по-сложни от току-що обсъдените, тоест тези, в които функцията е полином или дроб, чиито числител и знаменател са полиноми. Но ние няма да се ограничим до такива примери, тъй като сред учителите има такива, които обичат да принуждават учениците да мислят изцяло (таблицата на производните). Следователно ще се използват логаритъм и тригонометрична функция.

Пример 8. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция на сегмента .

Решение. Намираме производната на тази функция като производно на продукта :

Приравняваме производната на нула, което дава една критична точка: . Принадлежи към сегмента. За да намерим най-малките и най-големите стойности на функция на даден сегмент, намираме нейните стойности в краищата на сегмента и в намерената критична точка:

Резултат от всички действия: функцията достига минималната си стойност, равно на 0, в точката и в точката и най-висока стойност, равен д², в точката.

За самопроверка по време на изчисления можете да използвате онлайн деривативен калкулатор .

Пример 9. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция на сегмента .

Решение. Намерете производната на тази функция:

Приравняваме производната на нула:

Единствената критична точка принадлежи на сегмента. За да намерим най-малките и най-големите стойности на функция на даден сегмент, намираме нейните стойности в краищата на сегмента и в намерената критична точка:

Заключение: функцията достига минималната си стойност, равно на , в точката и най-висока стойност, равен , в точката .

В приложните екстремални проблеми намирането на най-малките (максимални) стойности на функция, като правило, се свежда до намиране на минимума (максимум). Но не самите минимуми или максимуми са от по-голям практически интерес, а тези стойности на аргумента, при които те са постигнати. При решаването на приложни задачи възниква допълнителна трудност - съставяне на функции, които описват разглежданото явление или процес.

Пример 10.Резервоар с вместимост 4, имащ формата на паралелепипед с квадратна основа и отворен отгоре, трябва да бъде калайдисан. Какъв размер трябва да бъде резервоарът, така че да се използва най-малко количество материал за покриването му?

Решение. Позволявам х- основна страна, ч- височина на резервоара, С- неговата повърхност без покритие, V- обемът му. Площта на резервоара се изразява с формулата, т.е. е функция на две променливи. Да изразя Скато функция на една променлива използваме факта, че , от където . Заместване на намерения израз чвъв формулата за С:

Нека разгледаме тази функция до нейния екстрем. Той е дефиниран и диференцируем навсякъде в ]0, +∞[ и

Приравняваме производната на нула () и намираме критичната точка. Освен това, когато производната не съществува, но тази стойност не е включена в областта на дефиниция и следователно не може да бъде точка на екстремум. Така че това е единствената критична точка. Нека го проверим за наличие на екстремум, като използваме втория достатъчен знак. Нека намерим втората производна. Когато втората производна е по-голяма от нула (). Това означава, че когато функцията достигне минимум . Тъй като това minimum е единственият екстремум на тази функция, това е нейната най-малка стойност. Така че страната на основата на резервоара трябва да бъде 2 m, а височината му трябва да бъде .

За самопроверка по време на изчисления можете да използвате

С тази услуга можете намиране на най-голямата и най-малката стойност на функцияедна променлива f(x) с решението, форматирано в Word. Следователно, ако е дадена функцията f(x,y), е необходимо да се намери екстремумът на функцията на две променливи. Можете също така да намерите интервалите на нарастващи и намаляващи функции.

Правила за въвеждане на функции:

Необходимо условие за екстремума на функция на една променлива

Уравнението f" 0 (x *) = 0 е необходимо условие за екстремума на функция на една променлива, т.е. в точка x * първата производна на функцията трябва да се нулира. То идентифицира стационарни точки x c, в които функцията не увеличаване или намаляване.

Достатъчно условие за екстремум на функция на една променлива

Нека f 0 (x) е два пъти диференцируем по отношение на x, принадлежащ на множеството D. Ако в точка x * условието е изпълнено:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Тогава точка x * е локалната (глобална) минимална точка на функцията.

Ако в точка x * условието е изпълнено:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Тогава точка x * е локален (глобален) максимум.

Пример №1. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията: на сегмента.
Решение.

Критичната точка е 1 x 1 = 2 (f’(x)=0). Тази точка принадлежи на сегмента. (Точката x=0 не е критична, тъй като 0∉).
Изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента и в критичната точка.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2, f(3)=3 8 / 81
Отговор: f min = 5 / 2 при x=2; f max =9 при x=1

Пример №2. Използвайки производни от по-висок порядък, намерете екстремума на функцията y=x-2sin(x) .
Решение.
Намерете производната на функцията: y’=1-2cos(x) . Нека намерим критичните точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Намираме y’’=2sin(x), изчисляваме , което означава x= π / 3 +2πk, k∈Z са минималните точки на функцията; , което означава x=- π / 3 +2πk, k∈Z са максималните точки на функцията.

Пример №3. Изследвайте функцията екстремум в околността на точката x=0.
Решение. Тук е необходимо да се намерят екстремумите на функцията. Ако екстремумът x=0, тогава разберете неговия тип (минимум или максимум). Ако сред намерените точки няма x = 0, тогава се изчислява стойността на функцията f(x=0).
Трябва да се отбележи, че когато производната от всяка страна на дадена точка не променя знака си, възможните ситуации не са изчерпани дори за диференцируеми функции: може да се случи, че за произволно малък квартал от едната страна на точката x 0 или от двете страни производната променя знака. В тези точки е необходимо да се използват други методи за изследване на екстремни функции.

Пример №4. Разделете числото 49 на два члена, чийто продукт ще бъде най-голям.
Решение. Нека означим x като първи член. Тогава (49-x) е вторият член.
Продуктът ще бъде максимален: x·(49-x) → макс

Нека функцията y =f(Х)е непрекъснат на интервала [ а, б]. Както е известно, такава функция достига своите максимални и минимални стойности на този сегмент. Функцията може да приеме тези стойности или във вътрешната точка на сегмента [ а, б] или на границата на сегмента.

За да намерите най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмента [ а, б] необходимо:

1) намерете критичните точки на функцията в интервала ( а, б);

2) изчисляване на стойностите на функцията в откритите критични точки;

3) изчислете стойностите на функцията в краищата на сегмента, т.е х=Аи x = b;

4) от всички изчислени стойности на функцията изберете най-голямата и най-малката.

Пример.Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция

на сегмента.

Намиране на критични точки:

Тези точки лежат вътре в сегмента; г(1) = ‒ 3; г(2) = ‒ 4; г(0) = ‒ 8; г(3) = 1;

в точката х= 3 и в точката х= 0.

Изследване на функция за изпъкналост и инфлексна точка.

функция г = f (х) Наречен изпъкналмежду (а, b) , ако неговата графика лежи под допирателната, начертана във всяка точка от този интервал, и се нарича изпъкнал надолу (вдлъбнат), ако нейната графика лежи над тангентата.

Точката, през която изпъкналостта се заменя с вдлъбнатост или обратното, се нарича инфлексна точка.

Алгоритъм за изследване на изпъкналост и точка на инфлексия:

1. Намерете критични точки от втори род, т.е. точки, в които втората производна е равна на нула или не съществува.

2. Начертайте критични точки върху числовата права, като я разделите на интервали. Намерете знака на втората производна на всеки интервал; ако , тогава функцията е изпъкнала нагоре, ако, тогава функцията е изпъкнала надолу.

3. Ако при преминаване през критична точка от втори род знакът се промени и в тази точка втората производна е равна на нула, то тази точка е абсцисата на инфлексната точка. Намерете ординатата му.

Асимптоти на графиката на функция. Изследване на функция за асимптоти.

Определение.Асимптотата на графиката на функция се нарича прав, което има свойството, че разстоянието от всяка точка на графиката до тази линия клони към нула, тъй като точката на графиката се движи неограничено от началото.

Има три вида асимптоти: вертикални, хоризонтални и наклонени.

Определение.Правата се нарича вертикална асимптотафункционална графика y = f(x), ако поне една от едностранните граници на функцията в тази точка е равна на безкрайност, т.е.

където е точката на прекъсване на функцията, тоест тя не принадлежи към областта на дефиниция.

Пример.

Д ( г) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

х= 2 – точка на прекъсване.

Определение.Направо y =АНаречен хоризонтална асимптотафункционална графика y = f(x)в , ако

Пример.

х
г

Определение.Направо y =кx +b (к≠ 0) се извиква наклонена асимптотафункционална графика y = f(x)в , къде

Обща схема за изучаване на функции и построяване на графики.

Алгоритъм за изследване на функциятаy = f(x) :

1. Намерете домейна на функцията д (г).

2. Намерете (ако е възможно) точките на пресичане на графиката с координатните оси (ако х= 0 и при г = 0).

3. Разгледайте четността и нечетността на функцията ( г (‒ х) = г (х) ‒ паритет; г(‒ х) = ‒ г (х) ‒ странно).

4. Намерете асимптотите на графиката на функцията.

5. Намерете интервалите на монотонност на функцията.

6. Намерете екстремумите на функцията.

7. Намерете интервалите на изпъкналост (вдлъбнатост) и точки на инфлексия на графиката на функцията.

8. Въз основа на проведеното изследване постройте графика на функцията.

Пример.Разгледайте функцията и постройте нейната графика.

1) д (г) =

х= 4 – точка на прекъсване.

2) Кога х = 0,

(0; ‒ 5) – пресечна точка с ох.

При г = 0,

3) г(‒ х)= функция от общ вид (нито четна, нито нечетна).

4) Проверяваме за асимптоти.

а) вертикална

б) хоризонтална

в) намерете наклонените асимптоти, където

‒уравнение на наклонена асимптота

5) В това уравнение не е необходимо да се намират интервали на монотонност на функцията.

Тези критични точки разделят цялата област на дефиниране на функцията на интервал (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) и (10; +∞). Удобно е да представим получените резултати под формата на следната таблица: