Равномерно разпределение по сегмента. Равномерно разпределение на вероятностите

Функцията на разпределение в този случай, съгласно (5.7), ще приеме формата:

където: m – математическо очакване, s – стандартно отклонение.

Нормалното разпределение се нарича още гаусово на името на немския математик Гаус. Фактът, че една случайна променлива има нормално разпределение с параметри: m, се означава по следния начин: N (m,s), където: m =a =M ;

Доста често във формулите математическото очакване се означава с А . Ако една случайна променлива е разпределена по закона N(0,1), тогава тя се нарича нормализирана или стандартизирана нормална променлива. Функцията на разпределение за него има формата:

Графиката на плътността на нормално разпределение, която се нарича нормална крива или крива на Гаус, е показана на фиг. 5.4.

Ориз. 5.4. Нормална плътност на разпределение

Определянето на числените характеристики на случайна променлива чрез нейната плътност се разглежда с помощта на пример.

Пример 6.

Непрекъсната случайна променлива се определя от плътността на разпределение: .

Определете вида на разпределението, намерете математическото очакване M(X) и дисперсията D(X).

Сравнявайки дадената плътност на разпределение с (5.16), можем да заключим, че е даден нормалният закон на разпределение с m = 4. Следователно, математическо очакване M(X)=4, дисперсия D(X)=9.

Стандартно отклонение s=3.

Функцията на Лаплас, която има формата:

е свързано с функцията на нормалното разпределение (5.17), отношението:

F 0 (x) = Ф(x) + 0,5.

Функцията на Лаплас е странна.

Ф(-x)=-Ф(x).

Стойностите на функцията на Лаплас Ф(х) са таблични и взети от таблицата според стойността на x (вижте Приложение 1).

Нормалното разпределение на непрекъсната случайна променлива играе важна роля в теорията на вероятностите и при описанието на реалността; то е много разпространено в случайните природни явления. В практиката много често се сблъскваме със случайни величини, които се образуват именно в резултат на сумирането на много случайни членове. По-специално, анализът на грешките при измерване показва, че те са сбор от различни видове грешки. Практиката показва, че вероятностното разпределение на грешките при измерване е близко до нормалния закон.

С помощта на функцията на Лаплас можете да решите проблема с изчисляването на вероятността да попаднете в даден интервал и дадено отклонение на нормална случайна променлива.

Както бе споменато по-рано, примери за вероятностни разпределения непрекъсната случайна променлива X са:

• равномерно вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива;
• експоненциално вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива;
• нормална дистрибуция вероятности на непрекъсната случайна променлива.

Нека дадем концепцията за равномерни и експоненциални закони за разпределение, вероятностни формули и числени характеристики на разглежданите функции.

Индекс	Закон за равномерно разпределение	Експоненциален закон за разпределение
Определение	Нарича се униформен вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива X, чиято плътност остава постоянна на сегмента и има формата	Експоненциална се нарича вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива X, която се описва от плътност, имаща формата
		където λ е постоянна положителна стойност
Разпределителна функция
Вероятност попадащи в интервала
Очаквана стойност
дисперсия
Стандартно отклонение

Примери за решаване на задачи по темата „Равномерни и експоненциални закони за разпределение“

Задача 1.

Автобусите се движат строго по разписание. Интервал на движение 7 мин. Намерете: а) вероятността пътник, пристигащ на спирка, да чака по-малко от две минути за следващия автобус; б) вероятността пътник, пристигащ на спирка, да чака най-малко три минути за следващия автобус; в) математическо очакване и стандартно отклонение на случайната величина X - време на чакане на пътника.

Решение. 1. Съгласно условията на проблема, непрекъсната случайна променлива X = (време на изчакване на пътника) равномерно разпределен между пристигането на два автобуса. Дължината на интервала на разпределение на случайната променлива X е равна на b-a=7, където a=0, b=7.

2. Времето за изчакване ще бъде по-малко от две минути, ако случайната променлива X попада в интервала (5;7). Намираме вероятността да попаднем в даден интервал, използвайки формулата: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. Времето за изчакване ще бъде най-малко три минути (т.е. от три до седем минути), ако случайната променлива X попада в интервала (0;4). Намираме вероятността да попаднем в даден интервал, използвайки формулата: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. Математическото очакване на непрекъсната, равномерно разпределена случайна променлива X – времето за изчакване на пътника – ще бъде намерено по формулата: M(X)=(a+b)/2. M(X) = (0+7)/2 = 7/2 = 3,5.

5. Стандартното отклонение на непрекъсната, равномерно разпределена случайна променлива X - времето за изчакване на пътника - ще бъде намерено по формулата: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2,02.

Задача 2.

Експоненциалното разпределение е дадено за x ≥ 0 чрез плътността f(x) = 5e – 5x. Изисква се: а) запишете израз за функцията на разпределение; б) намерете вероятността в резултат на теста X да попадне в интервала (1;4); в) намерете вероятността в резултат на теста X ≥ 2; г) изчислете M(X), D(X), σ(X).

Решение. 1. Тъй като условието е дадено експоненциално разпределение , то от формулата за плътността на разпределение на вероятностите на случайната променлива X получаваме λ = 5. Тогава функцията на разпределение ще има формата:

2. Вероятността в резултат на теста X да попадне в интервала (1;4) ще се намери по формулата:
P(a< X < b) = e −λa − e −λb .
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. Вероятността в резултат на теста X ≥ 2 да бъде намерена по формулата: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
P(X≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Намерете експоненциалното разпределение:

• математическо очакване по формулата M(X) = 1/λ = 1/5 = 0,2;
• дисперсия по формулата D(X) = 1/ λ 2 = 1/25 = 0,04;
• стандартно отклонение по формулата σ(X) = 1/λ = 1/5 = 1,2.

С помощта на които се симулират множество реални процеси. И най-честият пример е разписанието на градския транспорт. Да предположим, че определен автобус (тролейбус/трамвай)работи на всеки 10 минути и спирате в произволен момент от времето. Каква е вероятността автобусът да пристигне след 1 минута? Очевидно 1/10. Каква е вероятността да изчакате 4-5 минути? Един и същ . Каква е вероятността да чакате автобус повече от 9 минути? Една десета!

Нека разгледаме някои краенинтервал, нека за определеност е отсечка. Ако произволна стойностима постоянен плътност на разпределение на вероятноститена даден сегмент и нулева плътност извън него, тогава казват, че е разпределен равномерно. В този случай функцията на плътност ще бъде строго дефинирана:

Наистина, ако дължината на сегмента (виж чертежа)е , тогава стойността неизбежно е равна - така че се получава единицата площ на правоъгълника и се наблюдава известна собственост:


Нека го проверим формално:
и т.н. От вероятностна гледна точка това означава, че случайната променлива надеждноще вземе една от стойностите на сегмента..., ех, бавно ставам скучен старец =)

Същността на еднаквостта е, че каквато и да е вътрешна празнина фиксирана дължинане сме обмисляли (запомнете минутите за „автобус“)– вероятността една случайна променлива да приеме стойност от този интервал ще бъде същата. На чертежа съм защрих три такива вероятности - още веднъж го подчертавам те се определят по области, а не функционални стойности!

Нека разгледаме типична задача:

Пример 1

Непрекъснатата случайна променлива се определя от нейната плътност на разпределение:

Намерете константата, изчислете и съставете функцията на разпределение. Изграждане на графики. намирам

С други думи, всичко, за което можете да мечтаете :)

Решение: тъй като на интервала (краен интервал) , тогава случайната променлива има равномерно разпределение и стойността на „ce“ може да бъде намерена с помощта на директната формула . Но е по-добре по общ начин - като използвате свойство:

... защо е по-добре? За да няма излишни въпроси ;)

Така че функцията на плътността е:

Да направим чертежа. Стойности невъзможен , поради което отдолу са поставени удебелени точки:


Като бърза проверка, нека изчислим площта на правоъгълника:
и т.н.

Да намерим очаквана стойност, и вероятно вече се досещате на какво е равно. Спомнете си „10-минутния“ автобус: ако на случаен принципприближава спирката за много, много дни, тогава средно аритметичноще трябва да го изчакате 5 минути.

Да, точно така - очакването трябва да е точно в средата на интервала "събитие":
, както се очаква.

Нека изчислим дисперсията, използвайки формула . И тук имате нужда от око и око, когато изчислявате интеграла:

По този начин, дисперсия:

Да композираме разпределителна функция . Нищо ново тук:

1) ако , тогава и ;

2) ако , тогава и:

3) и накрая, кога , Ето защо:

Като резултат:

Да направим чертежа:


На интервала „на живо“ функцията за разпределение нарастващ линеени това е друг знак, че имаме равномерно разпределена случайна променлива. Е, разбира се, в крайна сметка производна линейна функция- има константа.

Необходимата вероятност може да се изчисли по два начина, като се използва намерената функция на разпределение:

или използвайки определен интеграл на плътността:

На който му харесва.

И тук можете да пишете отговор: ,
, графиките се изграждат по протежение на решението.

... „възможно е“, защото обикновено няма наказание за липсата му. Обикновено ;)

Има специални формули за изчисляване на еднаква случайна променлива, които ви предлагам да извлечете сами:

Пример 2

Непрекъсната случайна променлива се дава чрез плътност .

Изчислете математическото очакване и дисперсията. Опростете резултатите, доколкото е възможно (формули за съкратено умножениеда помогна).

Получените формули са удобни за използване за проверка; по-специално проверете проблема, който току-що решихте, като замените конкретни стойности на „a“ и „b“ в тях. Кратко решение в долната част на страницата.

И в края на урока ще разгледаме няколко „текстови“ проблема:

Пример 3

Делението на скалата на измервателния уред е 0,2. Показанията на инструмента се закръглят до най-близкото цяло деление. Ако приемем, че грешките на закръгляването са разпределени равномерно, намерете вероятността при следващото измерване тя да не надвишава 0,04.

За по-добро разбиране решенияНека си представим, че това е някакво механично устройство със стрелка, например кантар със стойност на деление 0,2 кг, и трябва да претеглим прасе в джоба. Но не за да разберете дебелината му - сега ще е важно КЪДЕ спира стрелката между две съседни деления.

Нека разгледаме една случайна променлива - разстояниестрели от най-близоляво разделение. Или от най-близкия вдясно, няма значение.

Нека съставим функцията за плътност на вероятността:

1) Тъй като разстоянието не може да бъде отрицателно, тогава на интервала . Логично.

2) От условието следва, че стрелката на везната с равна вероятностможе да спре навсякъде между разделите * , включително самите деления и следователно на интервала:

* Това е съществено условие. Така например, когато претегляте парчета памучна вата или килограмови пакети сол, еднаквостта ще се поддържа в много по-тесни интервали.

3) И тъй като разстоянието от НАЙ-БЛИЗКОТО ляво деление не може да бъде по-голямо от 0,2, тогава at също е равно на нула.

По този начин:

Трябва да се отбележи, че никой не ни попита за функцията на плътността и аз представих нейната пълна конструкция изключително в когнитивни вериги. При приключване на задачата е достатъчно да запишете само 2-ра точка.

Сега нека отговорим на въпроса за проблема. Кога грешката при закръгляването до най-близкото деление няма да надвишава 0,04? Това ще се случи, когато стрелката спре на не повече от 0,04 от лявото деление на дясно илине по-далеч от 0,04 от дясното деление наляво. На чертежа защриховах съответните области:

Остава да открием тези зони с помощта на интеграли. По принцип те могат да бъдат изчислени „по училищния начин“ (като площите на правоъгълниците), но простотата не винаги се разбира;)

от теоремата за събиране на вероятности от несъвместими събития:

– вероятността грешката при закръгляване да не надвишава 0,04 (40 грама за нашия пример)

Лесно се вижда, че максималната възможна грешка при закръгляване е 0,1 (100 грама) и следователно вероятност грешката при закръгляване да не надвишава 0,1равно на едно.

Отговор: 0,4

В други източници на информация има алтернативни обяснения/формулировки на този проблем и аз избрах варианта, който ми се стори най-разбираем. Специално вниманиенеобходимо е да се обърне внимание на факта, че в условието можем да говорим за грешки НЕ закръгляване, а за случаенгрешки при измерване, които обикновено са (но не винаги), разпространена от нормален закон. По този начин, Само една дума може коренно да промени решението ви!Бъдете нащрек и разберете смисъла.

И щом всичко върви в кръг, краката ни водят до същата автобусна спирка:

Пример 4

Автобусите по определен маршрут се движат строго по разписание и на всеки 7 минути. Съставете функция на плътност на случайна променлива - времето за изчакване на следващия автобус от пътник, който произволно се е приближил до спирката. Намерете вероятността той да чака автобуса не повече от три минути. Намерете функцията на разпределение и обяснете смисловото й значение.

Разпределението се счита за равномерно, при което всички стойности на случайна променлива (в района на нейното съществуване, например в интервала) са еднакво вероятни. Функцията на разпределение за такава случайна променлива има формата:

Плътност на разпределение:

1

Ориз. Графики на функцията на разпределение (вляво) и плътност на разпределение (вдясно).

Равномерно разпределение – понятие и видове. Класификация и особености на категория "Равномерно разпределение" 2017, 2018г.

Този въпрос отдавна е проучен в детайли и най-широко използваният метод е методът на полярните координати, предложен от Джордж Бокс, Мервин Мюлер и Джордж Марсалия през 1958 г. Този метод ви позволява да получите двойка независими нормално разпределени случайни променливи с математическо очакване 0 и дисперсия 1, както следва:

Където Z 0 и Z 1 са желаните стойности, s = u 2 + v 2 и u и v са случайни променливи, равномерно разпределени в интервала (-1, 1), избрани по такъв начин, че условие 0 да е изпълнено< s < 1.
Много хора използват тези формули, без дори да мислят, а много дори не подозират за тяхното съществуване, тъй като използват готови реализации. Но има хора, които имат въпроси: „Откъде идва тази формула? И защо получавате няколко количества наведнъж?“ След това ще се опитам да дам ясен отговор на тези въпроси.

Като начало нека ви напомня какво е плътност на вероятността, функция на разпределение на случайна променлива и обратна функция. Да предположим, че има определена случайна променлива, чието разпределение се определя от функцията на плътност f(x), която има следния вид:

Това означава, че вероятността стойността на дадена случайна променлива да бъде в интервала (A, B) е равна на площта на защрихованата област. И като следствие, площта на цялата защрихована област трябва да бъде равна на единица, тъй като във всеки случай стойността на случайната променлива ще попадне в областта на дефиниране на функцията f.
Функцията на разпределение на случайна променлива е интегралът на функцията на плътността. И в този случай приблизителният му вид ще бъде така:

Значението тук е, че стойността на случайната променлива ще бъде по-малка от A с вероятност B. И като следствие функцията никога не намалява и нейните стойности лежат в интервала.

Обратната функция е функция, която връща аргумент на оригиналната функция, ако стойността на оригиналната функция е предадена в нея. Например за функцията x 2 обратната е функцията за извличане на корена, за sin(x) е arcsin(x) и т.н.

Тъй като повечето генератори на псевдослучайни числа произвеждат само равномерно разпределение като изход, често има нужда да го преобразувате в друго. В този случай към нормален Гаус:

В основата на всички методи за трансформиране на равномерно разпределение във всяко друго е методът на обратната трансформация. Работи по следния начин. Намира се функция, обратна на функцията на търсеното разпределение, и в нея като аргумент се предава случайна променлива, равномерно разпределена в интервала (0, 1). На изхода получаваме стойност с необходимото разпределение. За по-голяма яснота предоставям следната снимка.

По този начин еднакъв сегмент се размазва в съответствие с новото разпределение, проектирано върху друга ос чрез обратна функция. Но проблемът е, че интегралът на плътността на Гаусово разпределение не е лесен за изчисляване, така че горните учени трябваше да мамят.

Има разпределение хи-квадрат (разпределение на Пиърсън), което е разпределението на сумата от квадратите на k независими нормални случайни променливи. А в случая, когато k = 2, това разпределение е експоненциално.

Това означава, че ако точка в правоъгълна координатна система има произволни X и Y координати, разпределени нормално, тогава след преобразуването на тези координати в полярната система (r, θ), квадратът на радиуса (разстоянието от началото до точката) ще се разпределят според експоненциалния закон, тъй като квадратът на радиуса е сумата от квадратите на координатите (според закона на Питагор). Плътността на разпределение на такива точки в равнината ще изглежда така:

Тъй като е еднакъв във всички посоки, ъгълът θ ще има равномерно разпределение в диапазона от 0 до 2π. Обратното също е вярно: ако дефинирате точка в полярната координатна система, като използвате две независими случайни променливи (ъгъл, разпределен равномерно и радиус, разпределен експоненциално), тогава правоъгълните координати на тази точка ще бъдат независими нормални случайни променливи. И е много по-лесно да се получи експоненциално разпределение от равномерно, като се използва същият метод на обратна трансформация. Това е същността на полярния метод на Бокс-Мюлер.
Сега нека изведем формулите.

(1)

За да се получат r и θ, е необходимо да се генерират две случайни променливи, равномерно разпределени в интервала (0, 1) (да ги наречем u и v), разпределението на една от които (да кажем v) трябва да се преобразува в експоненциално в получи радиуса. Функцията на експоненциалното разпределение изглежда така:

Неговата обратна функция е:

Тъй като равномерното разпределение е симетрично, трансформацията ще работи по подобен начин с функцията

От формулата за разпределение хи-квадрат следва, че λ = 0,5. Заместете λ, v в тази функция и вземете квадрата на радиуса, а след това и самия радиус:

Получаваме ъгъла, като разтегнем единичния сегмент до 2π:

Сега заместваме r и θ във формули (1) и получаваме:

(2)

Тези формули вече са готови за употреба. X и Y ще бъдат независими и нормално разпределени с дисперсия 1 и математическо очакване 0. За да се получи разпределение с други характеристики, е достатъчно да се умножи резултатът от функцията по стандартното отклонение и да се добави математическото очакване.
Но е възможно да се отървете от тригонометричните функции, като посочите ъгъла не директно, а индиректно чрез правоъгълните координати на произволна точка в кръга. След това чрез тези координати ще бъде възможно да се изчисли дължината на радиус вектора и след това да се намерят косинусът и синусът, като се разделят съответно x и y на него. Как и защо работи?
Нека изберем произволна точка от равномерно разпределените в окръжност с единичен радиус и означим квадрата на дължината на радиус вектора на тази точка с буквата s:

Изборът се извършва чрез задаване на произволни правоъгълни координати x и y, равномерно разпределени в интервала (-1, 1), и изхвърляне на точки, които не принадлежат на окръжността, както и централната точка, в която ъгълът на радиус вектора не е дефиниран. Тоест условие 0 трябва да бъде изпълнено< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:

Получаваме формулите както в началото на статията. Недостатъкът на този метод е, че той отхвърля точки, които не са включени в кръга. Тоест, използвайки само 78,5% от генерираните случайни променливи. При по-старите компютри липсата на тригонометрични функции все още беше голямо предимство. Сега, когато една процесорна команда изчислява едновременно синус и косинус, мисля, че тези методи все още могат да се конкурират.

Лично аз все още имам два въпроса:

• Защо стойността на s е разпределена равномерно?
• Защо сумата от квадратите на две нормални случайни променливи се разпределя експоненциално?

Ако се направи подобна трансформация за нормална случайна променлива, тогава функцията на плътността на нейния квадрат ще се окаже подобна на хипербола. А събирането на два квадрата от нормални случайни променливи вече е много по-сложен процес, свързан с двойното интегриране. А това, че резултатът ще е експоненциално разпределение, за мен лично остава да се провери с практически метод или да се приеме като аксиома. А за тези, които се интересуват, предлагам да разгледат по-отблизо темата, като почерпят знания от тези книги:

• Вентцел Е.С. Теория на вероятностите
• Кнут Д.Е. Изкуството на програмирането, том 2

В заключение, ето пример за внедряване на нормално разпределен генератор на случайни числа в JavaScript:

Функция Gauss() ( var ready = false; var second = 0.0; this.next = function(mean, dev) ( mean = mean == undefined ? 0.0: mean; dev = dev == undefined ? 1.0: dev; if ( this.ready) ( this.ready = false; return this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. random() - 1.0; s = u * u * v; while (s > 1.0 || s == 0.0); this.ready = true; return r * v * dev + средно ) ) g = нов Gauss(); // създаване на обект a = g.next(); // генерирайте двойка стойности и вземете първата b = g.next(); // получаваме второто c = g.next(); // генерирайте двойка стойности отново и вземете първата
Параметрите mean (математическо очакване) и dev (стандартно отклонение) не са задължителни. Обръщам внимание на факта, че логаритъма е естествен.