Примери за обратна матрица с решение 2x2. Матрична алгебра - обратна матрица

Методи за намиране на обратната матрица, . Помислете за квадратна матрица

Нека означим Δ =det A.

Квадратната матрица A се нарича неизроден,или не особено, ако неговата детерминанта е различна от нула, и изроден,или специален, АкоΔ = 0.

Квадратна матрица B е за квадратна матрица A от същия ред, ако техният продукт е A B = B A = E, където E е матрицата на идентичност от същия ред като матриците A и B.

Теорема . За да има матрица А обратна матрица е необходимо и достатъчно нейната детерминанта да е различна от нула.

Обратната матрица на матрица A, означена с A- 1, така че B = A - 1 и се изчислява по формулата

, (1)

където A i j са алгебрични добавки на елементите a i j на матрицата A..

Изчисляването на A -1 с помощта на формула (1) за матрици от висок ред е много трудоемко, така че на практика е удобно да се намери A -1 с помощта на метода на елементарните трансформации (ET). Всяка неособена матрица A може да бъде редуцирана до единичната матрица E чрез прилагане само на колоните (или само редовете) към единичната матрица, ако трансформациите, съвършени върху матрицата A, се прилагат в същия ред към единичната матрица E, резултатът ще бъде обратна матрица. Удобно е да се извърши EP върху матрици A и E едновременно, като се напишат двете матрици една до друга през линия. Нека отбележим още веднъж, че когато търсите каноничната форма на матрица, за да я намерите, можете да използвате трансформации на редове и колони. Ако трябва да намерите обратното на матрица, трябва да използвате само редове или само колони по време на процеса на трансформация.

Пример 2.10. За матрица намерете A -1 .

Решение.Първо намираме детерминантата на матрица А
Това означава, че обратната матрица съществува и можем да я намерим по формулата: , където A i j (i,j=1,2,3) са алгебрични добавки на елементи a i j от оригиналната матрица.

Където .

Пример 2.11. Използвайки метода на елементарните трансформации, намерете A -1 за матрицата: A = .

Решение.Присвояваме на оригиналната матрица отдясно матрица на идентичност от същия ред: . Използвайки елементарни трансформации на колоните, ще редуцираме лявата „половина“ до единица, като едновременно с това извършваме точно същите трансформации на дясната матрица.
За да направите това, разменете първата и втората колона: ~ . Към третата колона добавяме първата, а към втората - първата, умножена по -2: . От първата колона изваждаме втората удвоена, а от третата - втората, умножена по 6; . Нека добавим третата колона към първата и втората: . Умножете последната колона по -1: . Квадратната матрица, получена вдясно от вертикалната лента, е обратната матрица на дадената матрица A. И така,
.

Нека разгледаме проблема с дефинирането на обратната операция на умножението на матрицата.

Нека A е квадратна матрица от ред n. Матрица A^(-1), удовлетворяваща, заедно с дадената матрица A, равенствата:

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,

От дефиницията следва, че ако обратната матрица A^(-1) съществува, тогава тя е квадратна от същия ред като A. Въпреки това, не всяка квадратна матрица има обратна. Ако детерминантата на матрица A е равна на нула (\det(A)=0), тогава няма обратна за нея. Всъщност, прилагайки теоремата за детерминантата на произведението от матрици за матрицата на идентичност E=A^(-1)A, получаваме противоречие

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

Теорема 4.1 за съществуването и единствеността на обратната матрица. Квадратна матрица A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), чийто детерминант е различен от нула, има обратна матрица и освен това само една:

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),

където A^(+) е матрицата, транспонирана за матрица, съставена от алгебрични добавки на елементи от матрицата A.

Матрицата A^(+) се нарича присъединена матрицапо отношение на матрица А.

Всъщност матрицата \frac(1)(\det(A))\,A^(+)съществува при условието \det(A)\ne0 . Необходимо е да се покаже, че тя е обратна на A, т.е. отговаря на две условия:

\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(aligned)

Нека докажем първото равенство. Съгласно параграф 4 от забележки 2.3, от свойствата на детерминантата следва, че AA^(+)=\det(A)\cdot E. Ето защо

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,

което трябваше да се покаже. Второто равенство се доказва по подобен начин. Следователно, при условието \det(A)\ne0, матрица A има обратна

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).

Ще докажем уникалността на обратната матрица от противно. Нека в допълнение към матрицата A^(-1) има друга обратна матрица B\,(B\ne A^(-1)), така че AB=E. Умножавайки двете страни на това равенство отляво по матрицата A^(-1) , получаваме \под скоба(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Следователно B=A^(-1) , което противоречи на предположението B\ne A^(-1) . Следователно обратната матрица е уникална.

Бележки 4.1

1. От определението следва, че матриците A и A^(-1) комутират.

2. Обратната на неособена диагонална матрица също е диагонална:

\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1 )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\right)\!.

3. Обратната на неособена долна (горна) триъгълна матрица е долна (горна) триъгълна.

4. Елементарните матрици имат обратни, които също са елементарни (виж параграф 1 от забележки 1.11).

Свойства на обратна матрица

Операцията за обръщане на матрицата има следните свойства:

\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \удебелен(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \край (подравнено)

Нека докажем свойство 2: ако произведението AB на неособени квадратни матрици от същия ред има обратна матрица, тогава (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).

Наистина детерминантата на произведението на матриците AB не е равна на нула, тъй като

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), Където \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0

Следователно обратната матрица (AB)^(-1) съществува и е уникална. Нека покажем по дефиниция, че матрицата B^(-1)A^(-1) е обратна на матрицата AB. Наистина ли.

Матрица A -1 се нарича обратна матрица по отношение на матрица A, ако A*A -1 = E, където E е матрицата на идентичност от n-ти ред. Обратна матрица може да съществува само за квадратни матрици.

Цел на услугата. С помощта на тази услуга онлайн можете да намерите алгебрични допълнения, транспонирана матрица A T, свързана матрица и обратна матрица. Решението се извършва директно на уебсайта (онлайн) и е безплатно. Резултатите от изчислението се представят в отчет във формат Word и Excel (т.е. възможно е да се провери решението). вижте примерен дизайн.

Инструкции. За да се получи решение, е необходимо да се посочи размерът на матрицата. След това попълнете матрица A в новия диалогов прозорец.

Вижте също обратна матрица, използваща метода на Йордано-Гаус

Алгоритъм за намиране на обратната матрица

1. Намиране на транспонираната матрица A T .
2. Дефиниция на алгебрични добавки. Заменете всеки елемент от матрицата с нейното алгебрично допълнение.
3. Компилиране на обратна матрица от алгебрични добавки: всеки елемент от получената матрица се разделя на детерминантата на оригиналната матрица. Получената матрица е обратната на оригиналната матрица.

1. Определете дали матрицата е квадратна. Ако не, тогава няма обратна матрица за него.
2. Изчисляване на детерминантата на матрицата A. Ако не е равно на нула, продължаваме решението, в противен случай обратната матрица не съществува.
3. Дефиниция на алгебрични добавки.
4. Попълване на обединителната (взаимна, съпътстваща) матрица C .
5. Съставяне на обратна матрица от алгебрични добавки: всеки елемент от присъединената матрица C се разделя на детерминантата на оригиналната матрица. Получената матрица е обратната на оригиналната матрица.
6. Те правят проверка: умножават оригиналната и получената матрица. Резултатът трябва да бъде матрица за идентичност.

Пример №1. Нека напишем матрицата във формата:

Друг алгоритъм за намиране на обратната матрица

1. Намерете детерминантата на дадена квадратна матрица A.
2. Намираме алгебрични допълнения към всички елементи на матрицата A.
3. Пишем алгебрични добавки на елементи от ред към колони (транспониране).
4. Разделяме всеки елемент от получената матрица на детерминантата на матрицата A.

Специален случай: Обратната на матрицата на идентичност E е матрицата на идентичност E.

Нека има квадратна матрица от n-ти ред

Извиква се матрица A -1 обратна матрицапо отношение на матрица A, ако A*A -1 = E, където E е матрицата на идентичност от n-ти ред.

Идентификационна матрица- такава квадратна матрица, в която всички елементи по главния диагонал, минаващ от горния ляв ъгъл до долния десен ъгъл, са единици, а останалите са нули, например:

обратна матрицаможе да съществува само за квадратни матрицитези. за тези матрици, в които броят на редовете и колоните съвпада.

Теорема за условието за съществуване на обратна матрица

За да има една матрица обратна матрица, е необходимо и достатъчно тя да не е сингулярна.

Извиква се матрицата A = (A1, A2,...A n). неизродени, ако колонните вектори са линейно независими. Броят на линейно независимите колонни вектори на матрица се нарича ранг на матрицата. Следователно можем да кажем, че за да съществува обратна матрица, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата да е равен на нейната размерност, т.е. r = n.

Алгоритъм за намиране на обратната матрица

1. Запишете матрица A в таблицата за решаване на системи от уравнения по метода на Гаус и й присвоете матрица E отдясно (на мястото на десните части на уравненията).
2. Използвайки трансформации на Йордан, редуцирайте матрица A до матрица, състояща се от единични колони; в този случай е необходимо едновременно да се трансформира матрицата E.
3. Ако е необходимо, пренаредете редовете (уравненията) на последната таблица, така че под матрицата A на оригиналната таблица да получите матрицата на идентичност E.
4. Запишете обратната матрица A -1, която се намира в последната таблица под матрицата E на оригиналната таблица.

За матрица A намерете обратната матрица A -1

Решение: Записваме матрица A и присвояваме матрицата на идентичност E вдясно. Използвайки трансформации на Йордан, редуцираме матрица A до матрицата на идентичност E. Изчисленията са дадени в таблица 31.1.

Нека проверим правилността на изчисленията, като умножим оригиналната матрица A и обратната матрица A -1.

В резултат на умножението на матрицата се получава единичната матрица. Следователно изчисленията са извършени правилно.

Отговор:

Решаване на матрични уравнения

Матричните уравнения могат да изглеждат така:

AX = B, HA = B, AXB = C,

където A, B, C са посочените матрици, X е желаната матрица.

Матричните уравнения се решават чрез умножаване на уравнението по обратни матрици.

Например, за да намерите матрицата от уравнението, трябва да умножите това уравнение по отляво.

Следователно, за да намерите решение на уравнението, трябва да намерите обратната матрица и да я умножите по матрицата от дясната страна на уравнението.

Други уравнения се решават по подобен начин.

Решете уравнението AX = B, ако

Решение: Тъй като обратната матрица е равна на (вижте пример 1)

Матричен метод в икономическия анализ

Наред с други се използват и те матрични методи. Тези методи се основават на линейна и векторно-матрична алгебра. Такива методи се използват за целите на анализа на сложни и многоизмерни икономически явления. Най-често тези методи се използват, когато е необходимо да се направи сравнителна оценка на функционирането на организациите и техните структурни подразделения.

В процеса на прилагане на методите на матричния анализ могат да се разграничат няколко етапа.

На първия етапсе формира система от икономически показатели и на нейна основа се съставя матрица от изходни данни, която представлява таблица, в която в отделните й редове са показани номерата на системата (i = 1,2,....,n), а във вертикални колони - номера на показателите (j = 1,2,....,m).

На втория етапЗа всяка вертикална колона се идентифицира най-голямата от наличните стойности на индикатора, която се приема за една.

След това всички суми, отразени в тази колона, се разделят на най-голямата стойност и се формира матрица от стандартизирани коефициенти.

На третия етапвсички компоненти на матрицата са повдигнати на квадрат. Ако имат различно значение, тогава на всеки матричен показател се присвоява определен коефициент на тежест к. Стойността на последния се определя от експертиза.

На последния, четвърти етапнамерени рейтингови стойности Rjса групирани по ред на нарастване или намаляване.

Посочените матрични методи трябва да се използват например при сравнителен анализ на различни инвестиционни проекти, както и при оценка на други икономически показатели за дейността на организациите.

Подобно на обратното в много свойства.

Енциклопедичен YouTube

1 / 5

✪ Как да намерите обратното на матрица - bezbotvy

✪ Обратна матрица (2 начина за намиране)

✪ Обратна матрица №1

✪ 2015-01-28. Обратна матрица 3x3

✪ 2015-01-27. Обратна матрица 2x2

субтитри

Свойства на обратна матрица

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Където det (\displaystyle \\det )обозначава детерминантата.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))за две квадратни обратими матрици A (\displaystyle A)И B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Където (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))обозначава транспонирана матрица.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))за всеки коефициент k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• Ако е необходимо да се реши система от линейни уравнения, (b е ненулев вектор), където x (\displaystyle x)е желаният вектор и ако A − 1 (\displaystyle A^(-1))съществува, тогава x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). В противен случай или размерността на пространството на решенията е по-голяма от нула, или изобщо няма решения.

Методи за намиране на обратната матрица

Ако матрицата е обратима, тогава за намиране на обратната матрица можете да използвате един от следните методи:

Точни (директни) методи

Метод на Гаус-Джордан

Нека вземем две матрици: Аи единични д. Нека представим матрицата Акъм матрицата на идентичност, използвайки метода на Гаус-Джордан, като прилагате трансформации по редовете (можете също да прилагате трансформации по колоните, но не смесени). След като приложите всяка операция към първата матрица, приложете същата операция към втората. Когато редуцирането на първата матрица до единична форма е завършено, втората матрица ще бъде равна на A−1.

Когато използвате метода на Гаус, първата матрица ще бъде умножена отляво по една от елементарните матрици Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(трансвекционна или диагонална матрица с такива на главния диагонал, с изключение на една позиция):

Втората матрица след прилагане на всички операции ще бъде равна на Λ (\displaystyle \Lambda), тоест ще е желаната. Сложност на алгоритъма - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Използване на матрицата на алгебричното допълнение

Матрица, обратна на матрица A (\displaystyle A), могат да бъдат представени във формата

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Където adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- съединена матрица;

Сложността на алгоритъма зависи от сложността на алгоритъма за изчисляване на детерминантата O det и е равна на O(n²)·O det.

Използване на LU/LUP декомпозиция

Матрично уравнение A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))за обратната матрица X (\displaystyle X)може да се разглежда като колекция n (\displaystyle n)системи на формата A x = b (\displaystyle Ax=b). Нека обозначим i (\displaystyle i)та колона на матрицата X (\displaystyle X)през X i (\displaystyle X_(i)); Тогава A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n), тъй като i (\displaystyle i)та колона на матрицата I n (\displaystyle I_(n))е единичният вектор e i (\displaystyle e_(i)). с други думи, намирането на обратната матрица се свежда до решаване на n уравнения с една и съща матрица и различни десни части. След извършване на декомпозицията на LUP (O(n³) време), решаването на всяко от n уравнения отнема O(n²) време, така че тази част от работата също изисква O(n³) време.

Ако матрицата A е неособена, тогава LUP декомпозицията може да бъде изчислена за нея PA = L U (\displaystyle PA=LU). Позволявам P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Тогава от свойствата на обратната матрица можем да запишем: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Ако умножите това равенство по U и L, можете да получите две равенства на формата U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))И D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Първото от тези равенства е система от n² линейни уравнения за n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))от които са известни десните части (от свойствата на триъгълните матрици). Второто също представлява система от n² линейни уравнения за n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))от които са известни десните части (също и от свойствата на триъгълните матрици). Заедно те представляват система от n² равенства. Използвайки тези равенства, можем рекурсивно да определим всички n² елементи на матрицата D. Тогава от равенството (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. получаваме равенството A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

В случай на използване на LU декомпозиция не се изисква пермутация на колоните на матрицата D, но решението може да се разминава дори ако матрицата A е неособена.

Сложността на алгоритъма е O(n³).

Итеративни методи

Методи на Шулц

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Оценка на грешката

Избор на начално приближение

Проблемът с избора на първоначално приближение в процесите на итеративна инверсия на матрицата, разглеждани тук, не ни позволява да ги третираме като независими универсални методи, които се конкурират с методите на директна инверсия, базирани например на LU декомпозицията на матрици. Има някои препоръки за избор U 0 (\displaystyle U_(0)), гарантиращи изпълнението на условието ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (спектралният радиус на матрицата е по-малък от единица), което е необходимо и достатъчно за конвергенцията на процеса. В този случай обаче, първо, се изисква да се знае отгоре оценката за спектъра на обратимата матрица A или матрицата A A T (\displaystyle AA^(T))(а именно, ако A е симетрична положително определена матрица и ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), тогава можете да вземете U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Където ; ако A е произволна неособена матрица и ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), тогава вярват U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), където също α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Можете, разбира се, да опростите ситуацията и да се възползвате от факта, че ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), слагам U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Второ, когато се указва първоначалната матрица по този начин, няма гаранция, че ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)ще бъде малко (може би дори ще се окаже ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), и висок порядък на степента на конвергенция няма да бъде открит веднага.

Примери

Матрица 2х2

Обръщането на матрица 2x2 е възможно само при условие, че a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).